II. Analyse a posteriori du questionnaire pour enseignant
II.1. Liens entre aire, primitive et intégrale (Partie 1)
La lecture des réponses des enseignants nous mène à ajouter dans les liens possibles entre aire et intégrale les deux liens suivants :
- L’intégrale d’une fonction continue positive est une aire sous la courbe.
- L’aire est un nombre strictement positif, l’intégrale est un réel.
Nous exposons dans le tableau 27 les liens entre aire et intégrale que les enseignants de chacun de deux pays cherchent à mettre en place.
Liens entre aire et intégrale France Vietnam 1. Le calcul de l’aire sous la courbe mène à la définition de l’intégrale. 3 9
2. L’intégrale d’une fonction continue positive est une aire sous la courbe. 9 13 3. L’intégrale sert à calculer l’aire sous la courbe. 1 24
4. L’aire sous la courbe sert à interpréter géométriquement l’intégrale.
5. L’aire est un nombre strictement positif, l’intégrale est un réel 1
6. Sans réponse 9
1 et 2 3
1 et 3 8
1 et 4 1
2 et 3 1
Total 14 68
Tableau 27. Liens apprêtés entre aire et intégrale en France et au Vietnam (Première analyse)
À première vue, nous constatons que le lien prédominant entre aire et intégrale est le lien 2 en France et le lien 3 au Vietnam. Or, ce premier constat est d’emblée incohérent avec l’analyse institutionnelle : seul un enseignant français cherche à mettre en place l’interprétation géométrique de l’intégrale (1 et 4, tableau 27), 13 enseignants vietnamiens considèrent l’intégrale (d’une fonction continue positive) comme l’aire sous la courbe.
Nous devons donc effectuer un retour sur les programmes et manuels concernés pour
« décrypter » le lien 2 : l’intégrale d’une fonction continue positive est une aire sous la courbe.
En France, dans la période 1980 – 2002, l’intégrale est définie par la formule de Newton – Leibniz. Le nouveau programme de terminale S mis en œuvre depuis 2002 prescrit une double approche :
« Pour une fonction continue positive sur [a, b], introduction de la notation ∫b
a
dx x
f( ) comme aire sous la courbe. »
« On indiquera que l’aire sous la courbe peut être approchée en l’encadrant par deux suites adjacentes construites en quadrillant le plan de plus en plus finement. »
et le statut de l’interprétation en terme d’aire de l’intégrale :
« On interprètera ces propriétés [linéarité, positivité, ordre, relation de Chasles, inégalité de la moyenne] en terme d’aire ou en terme de valeur moyenne pour les rendre conformes à l’intuition. »
Cette injonction du programme établit une correspondance entre aire et intégrale : l’intégrale (d’une fonction continue positive) est une aire (sous la courbe) et vice-versa.
Conformément au programme, le manuel M6 présente, dans la partie cours, l’interprétation en terme d’aire des propriétés de l’intégrale, et l’application de l’intégrale au calcul d’aire.
Dans la partie exercices, il propose l’interprétation géométrique de l’intégrale et le calcul d’aire par intégration. Ainsi, le lien 2 en France peut se traduire institutionnellement en deux liens 3 et 4.
Par ailleurs, dans leurs réponses, tous les enseignants vietnamiens ayant indiqué le lien 2 ont précisé qu’ils voulaient aborder la propriété proprement dite signification géométrique de l’intégrale, énoncée dans la partie cours du manuel dès la définition de l’intégrale par la formule de Newton – Leibniz.
Si la fonction f(x) [sic] est continue et positive sur l’intervalle [a, b], alors l’intégrale ∫b
a
dx x f( ) est l’aire22 du trapèze curviligne délimité par la courbe représentative de la fonction y = f(x), l’axe Ox et les droites d’équations x = a et x = b.
Dans la partie exercices du manuel, cet énoncé sert d’élément technologique, uniquement au calcul d’aire par intégration. Il ne sert pas à l’interprétation géométrique de l’intégrale car celle-ci est absente de la partie cours comme de la partie exercices. Nous pouvons en déduire que le lien 2 au Vietnam peut se traduire institutionnellement en le lien 3.
Après le retour institutionnel, nous présentons dans le tableau 28 les liens entre aire et intégrale en séparant les choix multiples des enseignants.
Liens entre aire et intégrale France Vietnam 1. Le calcul de l’aire sous la courbe mène à la définition de l’intégrale. 3 9 2. L’intégrale d’une fonction positive est une aire sous la courbe.
3. L’intégrale sert à calculer l’aire sous la courbe. 1 37 4. L’aire sous la courbe sert à interpréter géométriquement l’intégrale.
5. L’aire est un nombre strictement positif, l’intégrale est un réel 1
6. Sans réponse 9
1 et 2
1 et 3 11
1 et 4 1
2 et 3
3 et 4 9
3 et 5 1
Total 14 68
Tableau 28. Liens apprêtés entre aire et intégrale en France et au Vietnam (Deuxième analyse)
Nous présentons finalement dans le tableau 29 les liens entre aire et intégrale en additionnant les choix multiples.
Liens entre aire et intégrale France
(14) Vietnam (68) 1. Le calcul de l’aire sous la courbe mène à la définition de l’intégrale. 4 (0,29) 20 (0,29) 2. L’intégrale d’une fonction positive est une aire sous la courbe.
3. L’intégrale sert à calculer l’aire sous la courbe. 10 (0,71) 49 (0,72) 4. L’aire sous la courbe sert à interpréter géométriquement l’intégrale. 10 (0,71)
5. L’aire est un nombre strictement positif, l’intégrale est un réel 2 (0,03)
6. Sans réponse 9 (0,69)
Tableau 29. Liens apprêtés entre aire et intégrale en France et au Vietnam (Deuxième analyse)
Ainsi, les liens prédominants entre aire et intégrale sont les liens 3 et 4 dans l’institution française et le lien 3 dans l’institution vietnamienne. Les deux institutions se rencontrent par le lien 3 : l’intégrale sert à calculer l’aire. Elles diffèrent par le lien 4 : l’aire est un outil pour l’interprétation géométrique de l’intégrale dans l’institution française, mais elle ne l’est pas dans l’institution vietnamienne. En revanche, 20 des 68 enseignants vietnamiens insistent sur le rôle de l’aire, ou plus précisément du calcul d’aire, dans l’introduction de la définition de l’intégrale. Ceci confirme de nouveau que si l’intervention de l’aire dans l’intégration est présente en France dans le logos et dans la praxis, elle n’est présente que dans le logos au Vietnam. En particulier, deux enseignants vietnamiens distinguent l’aire de l’intégrale par leur signe : la première est un nombre strictement positif, la seconde est un réel de signe quelconque. Il y a une intention de séparer les deux objets aire, intégrale par leur nature numérique en abandonnant leur ressemblance épistémologique.
II.1.2. Liens entre intégrale et primitive
Après avoir lu les réponses des enseignants, nous complétons les liens possibles entre intégrale et primitive par le lien suivant :
« Les primitives de f sont aussi une intégrale, mais « indéfinie ». La différence entre intégrale et primitive est que l’intégrale a deux bornes et une valeur numérique unique, tandis que les primitives d’une fonction (l’intégrale indéfinie) n’ont aucune borne et diffèrent d’une constante additive. » (Un enseignant vietnamien)
Nous exposons dans les tableaux 30 et 31 les liens entre aire et intégrale que les enseignants de deux pays cherchent à mettre en place.
Liens entre intégrale et primitive France Vietnam
7. Sur un intervalle fermé, borné, la connaissance d’une primitive d’une fonction permet de calculer son intégrale à travers la formule de Newton – Leibniz.
7 (0,50)
40 (0,58) 8. L’intégrale (dépendant de la borne supérieure) permet de calculer la
primitive d’une fonction s’annulant en un point donné.
4 (0,29)
4 (0,05) 9. Les primitives de f sont aussi une intégrale, mais « indéfinie ». La
différence entre intégrale et primitive est que l’intégrale a deux bornes et une valeur numérique unique, tandis que les primitives d’une fonction (l’intégrale indéfinie) n’ont aucune borne et diffèrent d’une constante additive.
10 (0,15)
10. Sans réponse 1 11
7 et 8 2 1
7 et 9 2
Total 14 68
Tableau 30. Liens apprêtés entre intégrale et primitive en France et au Vietnam (Séparation des choix multiples)
Liens entre intégrale et primitive France (14)
Vietnam (68) 7. Sur un intervalle fermé, borné, la connaissance d’une primitive
d’une fonction permet de calculer son intégrale à travers la formule de Newton – Leibniz.
9
(0,64) 43
(0,63) 8. L’intégrale (dépendant de la borne supérieure) permet de calculer la
primitive d’une fonction s’annulant en un point donné.
6 (0,43)
5 (0,07) 9. Les primitives de f sont aussi une intégrale, mais « indéfinie ». La
différence entre intégrale et primitive est que l’intégrale a deux bornes et une valeur numérique unique, tandis que les primitives d’une fonction (l’intégrale indéfinie) n’ont aucune borne et diffèrent d’une constante additive.
12 (0,17)
10. Sans réponse 1 11
Tableau 31. Liens apprêtés entre intégrale et primitive en France et au Vietnam (Addition des choix multiples)
Le lien prédominant entre intégrale et primitive en France est identique à celui au Vietnam : la primitive sert à calculer l’intégrale. Ceci était prévisible car ce lien directeur fonde le calcul d’intégrale dans les deux institutions.
Cependant l’intégrale dépendant de la borne supérieure occupe une place plus importante en France (6/14) qu’au Vietnam (5/68). En France, elle est présente dans le logos comme dans la praxis pour générer de nouvelles fonctions et calculer la primitive d’une fonction s’annulant en un point donné. Au Vietnam, elle est présente dans le logos pour indiquer la primitive d’une fonction s’annulant en un point donné, mais non pour générer de nouvelles fonctions. Elle est absente de la praxis. Nous en déduisons que l’intégrale dépendant de la borne supérieure est présente dans les pratiques institutionnelles effectives en France, et absente de celles au Vietnam.
En revanche, le lien 9 (12/68) est une particularité de l’institution vietnamienne en raison de la présence de l’ostensif ∫ dans le calcul de primitive. Dans leurs réponses, les 12 enseignants vietnamiens concernés ont identifié les primitives (d’une fonction f) à l’intégrale indéfinie ∫f(x)dx grâce à l’ostensif ∫. Nous pouvons schématiser leurs réponses comme suit :
Primitives = Intégrale indéfinie ≠ Intégrale (définie)
∫f(x)dx = F(x) + C ≠ F(b) – F(a) = ∫b
a
dx x f( )
Ainsi, l’ostensif ∫ fait vivre la notion d’intégrale indéfinie au détriment de celle de primitive. Il amalgame le calcul de primitive et celui d’intégrale. L’intégrale indéfinie (les primitives) devient une intégrale sans bornes et l’intégrale devient une intégrale indéfinie avec bornes.
II.1.3. Liens entre aire et primitive
Nous ajoutons dans les liens possibles entre aire et primitive les liens suivants : - L’aire et la primitive sont liées indirectement par l’intermédiaire de l’intégrale.
- L’aire est un nombre strictement positif, la primitive est une fonction.
Nous présentons dans le tableau 32 les liens entre aire et primitive apprêtés par les
Liens entre aire et primitive En France
Au Vietnam 11. L’aire variable sous la courbe est une primitive de la fonction en
question. 1 7
12. L’aire et la primitive sont liées indirectement par l’intermédiaire de l’intégrale.
10 38
13. L’aire est un nombre strictement positif, la primitive est une fonction.
1 14. On n’expose aucun lien entre aire et primitive dans l’enseignement 3
15. Sans réponse 3 19
Total 14 68
Tableau 32. Liens apprêtés entre aire et primitive dans deux institutions
Ainsi, la plupart des enseignants de deux pays ne cherchent pas à mettre en place un lien direct entre aire et primitive. Dans les deux institutions, l’aire et la primitive sont liées indirectement par l’intermédiaire de l’intégrale.
II.2. Propriétés de l’intégrale jugées la plus facile ou la plus difficile (Partie 1)