В ЫВОДЫ И ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В ходе исследования были введены понятия эквивалентной размерности кластера, характеризующей расстояние между центральными сотами и заданы требования для антенных решеток, устанавливаемых на борту спутникового ретранслятора для соответствующих размерностей кластера.

Было показано, что АР должна обладать низким уровнем боковых лепестков и наименьшим возможным уровнем бокового лепестка удаленного от главного лепестка.

Были описаны требования к АР и выявлены АР, использование которых является целесообразным: они обеспечивают минимальный уровень помехи и позволяют получить меньшую вероятность ошибки.

Было показано при какой конфигурации достигается максимальное значение пропускной способности сети, что обусловлено благоприятным характером боковых лепестков АР и невысоким значением размерности кластера внутренней соты.

С

ПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

[1] Anderson, S. Adaptive antennas for GSM and TDMA systems / S.

Anderson, B. Hagerman, H. Dam, U. Forssén, J. Karlsson, F. Kronestedt, S.

Mazur, and K. J. Molnar // IEEE Personal Communications. – 1999. – vol.

6. – P. 74-86.

[2] El-Jabu, B. Cellular Communications Using Aerial Platforms / B. El-Jabu, R. Steele // IEEE Transactions on Vehicular Technology. – 2001. – vol. 50.

– P. 686-700.

[3] Haupt, R. L. Optimized Element Spacing for Low Sidelobe Concentric Ring Arrays / R. L. Haupt // IEEE Transactions on Antennas and Propagation. – 2008. – vol. 56 (1). – P. 266-268.

[4] Vishnevsky, V. M. Broadband wireless data transmission network / Vishnevsky V.M., Lyahov A.I., Portnoy S.L., Shahnovich I.V.,. – Moskow:

Technosfera, 2005. – 592 p.

[5] Geniatulin K.A. Subscribers distribution modeling for frequency-spatial network planning for satellite connection with zone service / Geniatulin K.A. // Modern problems of telecommunications: – Novosibirsk: SibGUTY, 2014. – P. 103-104.

[6] Nosov V.I. Methods of determining the coefficient of mutual influence for coordinate rings method at the frequency-spatial planning of satellite communication system with zone service / Nosov V.I, Geniatulin K.A. //

Modern problems of telecommunications: Novosibirsk: SibGUTY, 2014. – P. 118-119.

97

[7] Krasikov M.S., Nosov V.I., Research of the satellite transponder beams interference impact/ Krasikov M.S., Nosov V.I.// 2016 13th international scientifictechnical conference on actual problems of electronic instrument engineering (apeie) – 39281 proceedings: APEIE – 2016. Volume 7 (Novosibirsk, October 3-6, 2016) / – Novosibirsk. – P. 40–42. – ISBN: 978- 1-5090-4068-1.

[8] RECOMMENDATION ITU-R M.1184-2 Technical characteristics of mobile satellite systems in the frequency bands below 3 GHz for use in developing

criteria for sharing between the mobile-satellite service (MSS) and other services.

Максим С. Красиков родился в г. Улан-Удэ, Российская федерация в 1995 г. Получил степень магистра по специальности Инфокоммуникационные сети и системы связи в Сиб ГУТИ, г. Новосибирск, Российская Федерация, в 2016 году.

С 2016 г. продолжает обучение в аспирантуре по специальности Электроника, радиотехника и системы связи. Работает на кафедре Системы радиосвязи в Сиб ГУТИ в качестве младшего научного сотрудника. Является автором 10 статей и участников 5 научных конференций. Его область научных интересов включает системы беспроводной связи.

Владимир И. Носов, родился на станции Хадабулак, Оловянинского района Читинской области в 1943 году. Получил: диплом с отличием инженера радиосвязи и радиовещания в Новосибирском электротехническом институте связи в 1968 году;

степень кандидата технических наук в 1973 году;

степень доктора технических наук в 1999 году.

С 1973 по 1993 год был доцентом, а с 1994 года по настоящее время профессором кафедры систем радиосвязи Новосибирского электротехнического института связи. С 1978 года по настоящее время заведующий этой кафедрой. Он является автором и соавтором 8 монографий, 16 учебников и учебных пособий, более 180 статей. Под его руководством защищено 9 кандидатских диссертаций. В федеральной службе по интеллектуальной собственности зарегистрировано 5 программ для ЭВМ. Является членом редколлегий двух научных журналов. Его исследовательские интересы включают в себя оптимальное построение, обеспечение электромагнитной совместимости, повышение помехоустойчивости систем и сетей радиосвязи.

Имеет правительственные награды: почѐтный радист 1982 год; заслуженный работник высшей школы 2007 год.

98 978-1-5386-7054-5/18/$31.00 ©2018 IEEE

Универсальная тензорная модель линейного канала и сети связи

Валерий В.Лебедянцев

Сибирский государственный университет телекоммуникаций и информатики, Новосибирск, Россия

Аннотация – Разработана универсальная геометрически наглядная тензорная модель физической системы, пригодная для анализа и синтеза как каналов, так и сетей связи. Показан пример ее использования для решения оптимизационных задач.

Ключевые слова – Тензорная модель канала связи, тензорная модель сети связи, трехкаскадная универсальная модель, сингулярное разложение матриц.

I.

В

ВЕДЕНИЕ

ДАННОЙ работе тензор определяется как геометрический объект, описываемый своими проекциями в некоторой системе координат пространства представления. При этом проекции тензора при преобразовании системы координат меняются по линейному закону, а свойства самого тензора инвариантны относительно системы координат.

Тензоры давно и плодотворно используются в различных областях физики, электротехники, экономики и в других науках.

Известные преимущества тензорного анализа сложных систем [1], позволяют предположить о возможности его эффективного применения для анализа и синтеза построения универсальной тензорной модели линейного канала и сети связи.

II.

П

ОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Пусть линейный канал связи задан импульсной реакцией

( )

g t , т.е. откликом на входное воздействие



-функции.

Тогда взаимосвязь между входным сигналомs t

( )

и выходным сигналомs t

( )

будет выражаться известным интегралом свертки

0

( )

_вх

( ) ( )

s s t g t dt



 

 



 ^.(1)

Необходимо построить модель линейного канала в виде некоторого геометрического объекта (тензора), внутренние свойства которого отображают основные сущностные свойства канала и показывают пути решения некоторых задач теории связи.

Также задана некоторая сеть электросвязи, состоящая из узлов коммутации, каналов связи, соединяющих узлы. К узлам коммуникации подключены абоненты. Для наглядности ниже приведен пример сети с контурной топологией.

Рис.1. Простой пример сети связи с контурной топологией.

На рисунке представлены четыре абонентаA₁,A₂,A₃,A₄, которые генерируют исходящие потоки сообщений с интенсивностямиx₁,x₂,x₃,x₄,соответственно. Исходящие

потоки поступают на

коммутаторы(маршрутизаторы)K₁,K₂,K₃,K₄.Интенсивно

сти входящих к абонентам потоков

обозначеныy₁,y₂,y₃,y₄.

Предполагается, что каналы связи являются двунаправленными.

Распределение интенсивностей входящих потоков междуi- ым и j- ым узлами определяется коэффициентами связи (тяготения)C_{i j,} 

1

.

Необходимо построить модель сети связи в виде некоторого геометрического объекта, свойства которого отображают основные свойства сети и показывают пути решения некоторых задач, например, задачи оптимизации распределения нагрузки на коммутаторы (маршрутизаторы).

III.

Т

ЕОРИЯ

В начале построим тензорную модель канала. Для этого выражение (1) следует представить в эквивалентной матричной форме. С этой целью для отображения сигналов на входе и выходе канала используем конечномерное евклидово пространство с некоторым ортонормированным базисом

{ ( )} 

_i t .

Вкачестве базиса, обеспечивающего наглядность, удобно воспользоваться функциями Котельникова, отличающиеся соответствующим временным сдвигом. При этом координаты концов векторов сигналов будут представлять собой их временные отсчеты.

Запишем представление входногоs t

( )

и выходногоs t

( )

сигналов, а также импульсной реакции каналаg t

( )

в виде соответствующих временных рядов

В

99

1

( )

^m _{i i}

( )

i

s t s



t







^;

1

( )

ⁿ _{i i}

( )

i

s t s



t



 



 ^;

1

( )

^l _{i i}

( )

i

g t g



t







^.

Из анализа процедуры свертки (1) следует, что длительность выходного сигнала больше длительности входного сигнала на величину равную длительности импульсной реакции. В данном случае

n m l    1

.

Матричным аналогом интеграла является

s sG. (2) Здесьs_,

s

-векторы-строки, составленные из временных отсчетов выходного и входного сигналов;

G

– матрица оператора линейного канала, построенная из временных отсчетов импульсной реакции и имеющая следующий вид

1 2

1 2

1 2

, , ..., 0 0

0 , , ..., 0

0 ..., , , ...,

l l

l n

g g g

g g g

G m

g g g







       



 .

Аналогично (2) можно записать взаимосвязь между интенсивностями входных и выходных потоков сообщений для сети связи

yxC. (3)

Для рис. 1

1

, , ,

2 3 4

x x x x x ;y y y y y₁

, , ,

_{2 3 4} ;

12 14

21 23 24

32 34

41 42 43

0 0

0

0 0

0

C C

C C C

C C C

C C C

 .

Представим матрицы

G

и

C

в виде соответствующих сингулярных разложений

1 1T 2 2

G G G

G P



P ;

1 1T 2 2

С С С

С P



P , (4) где T – символ транспонирования;

P1G и P_1C-ортонормированные матрицы собственных векторов матрицGG^Tи CC^T;

P2G и P_2C-ортонормированные матрицы собственных векторов матрицG G^T и С C^T .



Gи



_C- диагональные матрицы собственных чисел матрицGG^Tи CC^T.

Далее будем предполагать, что собственные числа располагаются на диагоналях этих матриц по убыванию их величин.

С учетом (4), выражения (2) и (3) можно записать в виде

1 1T 2 2

G G G

s sP



P ;

1 1T 2 2

C C C

yxP



P .

Эти формулы позволяют и канал связи, и сеть связи представить в виде однотипной модели, именующую трехкаскадную однонаправленную структуру

Рис. 2. Универсальная модель канала и сети связи.

Поскольку умножение вектора входных воздействий на ортонормированную матрицуP₁^Tне меняет его длины, то потенциальные возможности данной модели по передаче энергии входного воздействия, очевидно, полностью определяется средним блоком, представляющим собой сеть без перекрестных связей с коэффициентом передачи каждой прямой связи равным

1 i2



.С учетом этого нетрудно рассчитать коэффициентпередачи энергии входного воздействия

output T

E T

input

E c c

K E сс

 



,

где

c

- коэффициенты разложения вектора входных воздействий в базисе из столбцов матрицы P₁.

Модель, изображенная на Рис.2, имеет наглядный геометрически образ. Построим этот образ, воспользовавшись, например, (2). Для наглядности примем

m  2

и

l  2

. Тогда

n  3

:

1 2

1 2 3 1 2

1 2

, , , 0 0

g g s s s s s

g g

     .

Следовательно,s₁ s g_{1 1};s₂ s g_{1 2}s g_{2 1};s₃ s g_{2 2}. Из этих выражений несложно получить

2 1 1 2 1 2 3

(

g g s

)

 s

(

g g s

)

 

0

,

т.е. уравнение видаAx By Cz  двумерной плоскости

(

m

2)

в трехмерном пространстве

(

n

3)

с координатными осями



₁

( )

t ,



₂

( )

t ,



₃

( )

t . Полученный результат обобщается и для случая больших размерностей

m

и

n

. При этом следует говорить уже о

m

-мерной плоскости, погруженной в

n

-мерное пространство представления.

Следует отметить, что каждая точка плоскости модели одновременно отображает и входной, и соответствующий ему выходной сигналы. Входной сигнал определяется проекциями точки на собственную внутреннюю систему координат плоскости, а выходной сигнал – проекциями точки на координатные оси пространства представления, в которое погружена плоскость модели. При этом множество точек плоскости ограничивает возможное множество вариантов реакций на входные воздействия.

Можно показать, что внутренние свойства плоскости не зависят от базиса пространства представления.

Другими словами, данная плоскость является тензором.

Внутренняя структура плоскости тензорной модели задается двумя матрицами



иP₁. Строки матрицыP₁задают на плоскости главные направления, вдоль которых анизотропность плоскости выражается соответствующими собственными числами

1 i2



.

100

Процесс прохождения входного воздействия через канал или сеть связи имеет следующую геометрическую интерпретацию.

1 Этап. Умножение вектора входных воздействий на матрицуP₁^T- определение координат конца этого вектора в базисе из главных направлений плоскости модели.

2 Этап.Коррекция координат вектора с учетом анизотропности плоскости модели – умножение на диагональную матрицу

1



2.

3 Этап. Вычисление координат измененного вектора для представления его в исходном базисе

{ ( )} 

_i t , – умножении на матрицуP₂.

Вследствие наглядности тензорной модели упрощается решение ряда оптимизационных задач. Например, легко осуществляется поиск сигнала, проходящего канал с минимальными энергетическими потерями. Очевидно, что вектор такого сигнала, должен совпадать с первым главным направлением на плоскости модели, вдоль которого коэффициент анизотропности

1 12



максимален. Аналогичные рассуждения применимы и для оптимизации распределения нагрузки на узлы сети с целью минимизации потери сообщений в сети. Следует добавить, что эти выводы подтверждаются решениями, получаемыми аналитически посредством использования отношения Релея (5).

No documento TECHNICAL CONFERENCE ON ACTUAL PROBLEMS OF ELECTRONIC INSTRUMENT (páginas 98-102)