colineares (em particular não nulos) associa .sÐ? ß @ Ñ − Ó!ß #ÒÄ Ä tal que, sempre que Ä? œ EFÄ e Ä@ œ EGÄ, se tenha .sÐ? ß @ Ñ œ ÐÖEFß EG×ÑÄ Ä . Û Û (cf. 3.16). Dizemos que .sÐ? ß @ ÑÄ Ä é a amplitude ângulodo dos vectores e .Ä Ä? @
Dem: A unicidade de uma aplicação nas condições pedidas é uma.s consequência de que, fixado , existem pontos únicos e tais queE F G
? œ EF @ œ EG Eß Fß G EF EG
Ä Ä e Ä Ä e então são não colineares, pelo que Û e Û são semirrectas com a mesma origem determinando rectas distintas. Para terminar a demonstração, tudo o que temos que verificar é que, se for também Ä? œ E FÄw w e Ä@ œ E GÄw w, então tem-se .ÐÖEFß EG×Ñ œ ÐÖE F ß E G ×ÑÛ Û . Ûw w Ûw w . Ora, por 9.28, uma vez que
F œw ÐE Ñw F œw ÐFÑ
FßE E E
7 , tem-se também 7 w e, do mesmo modo
G œw ÐGÑ E œw ÐEÑ
E E E E
7 w e, evidentemente, 7 w . Tendo em conta o facto de
7E Ew ÀXÄ ser uma isometria, deduzimos agora de X 5.8 que se tem efectivamente ..ÐÖEFß EG×Ñ œ ÐÖE F ß E G ×ÑÛ Û . Ûw w Ûw w
10.2 Extendemos a definição anterior definindo, quando e são vectores nãoÄ Ä? @ nulos colineares, a amplitude do ângulo .sÐ? ß @ Ñ œ !Ä Ä , se os vectores tiverem o mesmo sentido, e .sÐ? ß @ Ñ œ #Ä Ä , se os vectores tiverem sentidos diferentes. 10.3 Quaisquer que sejam os vectores não nulos ?Ä Äß @ e + !, tem-se:
a) .sÐ? ß @ Ñ œ Ð@ ß ? ÑÄ Ä .sÄ Ä; b) .sÐ+? ß @ Ñ œ Ð? ß @ ÑÄ Ä .sÄ Ä; c) .sÐ? ß @ Ñ œ # Ð? ß @ ÑÄ Ä .sÄ Ä.
Dem: A alínea a) resulta trivialmente das definições em 10.1 10.2 e . Quanto a b), no caso em que os vectores são colineares, temos uma consequência de ? +?
Ä e Ä terem o mesmo sentido e, no caso em que não são colineares, basta repararmos que, sendo Ä? œ EFÄ e Ä@ œ EGÄ, tem-se +? œ EFÄ Äw, onde, por EFÄw ter o mesmo sentido que EFÄ, as semirrectas EFÛ e EFÛw coincidem. Qanto a c), no caso em que os vectores são colineares, temos uma consequência de e Ä? ?Ä terem sentidos opostos e, no caso em que não são colineares, basta repararmos que se tem ? œ EFÄ Äww, onde as semirrectas EFÛ e EFÛw são opostas, e portanto os ângulos ÖEFß EG×Û Û e ÖEF ß EG×Ûww Û são
adjacentes.
10.4 (Nota) Os resultados precedentes tornam possível definir, sem dificuldade, a amplitude do ângulo de duas semirrectas, não necessariamente com a mesma origem, de tal modo que quando elas tenham a mesma origem e tenham rectas continentes distintas, se reencontre a noção em 3.16.
10.5 Dizemos que dois vectores Ä Ä?e são @ ortogonais, ou perpendiculares, e escrevemos Ä? ¼ @Ä, se pelo menos um deles for ou, sendo ambos nãoÄ! nulos, for .sÐ? ß @ Ñ œ "Ä Ä .
10.6 A relação de ortogonalidade verifica as seguintes condições: a) Se Ä? ¼ @Ä, então Ä@ ¼ ?Ä;
b) Se Ä? ¼ @Ä, então, para cada + −‘, Ä? ¼ +@Ä.
Dem: Trata-se de uma consequência imediata de 10.3 se repararmos que, afastando já os casos triviais em que Ä? œ !Ä ou Ä@ œ !Ä, se s.Ð? ß @ Ñ œ "Ä Ä , então tem-se também .sÐ? ß @ Ñ œ # Ð? ß @ Ñ œ "Ä Ä .sÄ Ä , donde, para + !, .sÐ? ß +@ Ñ œ Ð? ß @ Ñ œ "Ä Ä .Ä Ä , para + !, .sÐ? ß +@ Ñ œ Ð? ß @ Ñ œ "Ä Ä .sÄ Ä e, para
+ œ ! +@ œ !, , Ä Ä donde .Ä? ¼ +@Ä
10.7 (O complementar ortogonal de um conjunto) Seja T §ÄX um conjunto de vectores. Define-se então o complementar ortogonal de como sendo oT
conjunto T¼ dos vectores Ä? −ÄX tais que Ä? ¼ @Ä para qualquer Ä@ −T. 10.8 Tem-se:
a) Para cada , T !Ä− T¼; b) Se T §U, então T¼ ¨U¼; c) g œ¼ ÄX
d) Ö! × œÄ ¼ ÄX e) ÄX¼œ Ö! ×Ä .
Dem: As alíneas a) e d) resultam de se ter Ä! ¼ @Ä, para todo o . As alíneasÄ@ b) e c) são triviais. A alínea e) resulta de a) e de que, se Ä? Á !Ä, então não se tem Ä? ¼ ?Ä (.sÐ? ß ? Ñ œ !Ä Ä ) e portanto Ä? ÂÄX¼. 10.9 (O complementar ortogonal de um vector não nulo e de uma recta vectorial) Sejam ?ÄÁ !Ä um vector e a única recta vectorial tal que Ä< Ä Ä? − < (cf. 9.34). Tem-se então que Ö? × œ <Ä ¼ ļ é um plano vectorial , para o qualÄ! se tem ÄX œ < ŠÄ Ä!. Mais precisamente, escolhendo T − <, pode-se tomar para o plano perpendicular a que passa por (cf. ! < T 5.21).
Dem: Uma vez que é um espaço vectorial de dimensão que contém oÄ< " vector não nulo , segue-se que todo o vector de é da forma Ä? Ä< +?Ä com + −‘ e portanto qualquer vector ortogonal a é ortogonal a todos osÄ? vectores de , o que mostra que se tem Ä< Ö? × œ <Ä ¼ ļ. Escolhamos T − <, seja U − < tal que Ä? œ T UÄ e seja o plano perpendicular a que passa por .! < T Cada vector Ä Ä@ −! é perpendicular a visto que, supondo-o já diferente deÄ?
! @ œ T E E − T T E
Ä Ä Ä
, tem-se , com ! distinto de e então as rectas e T U œ < são perpendiculares (cf. 5.17), em particular .s Ä ÄÐ? ß @ Ñ œ ". Reciprocamente, se Ä@ −ÄX é perpendicular a , então Ä? Ä Ä@ −! visto que, supondo já Ä@ Á !Ä, podemos escrever Ä@ œ T FÄ, para um certo F −X e então a recta T F é perpendicular à recta T U œ < donde, por 5.19, T F §!, em particular Ä@ œ T F −Ä Ä!. Ficou assim provado que Ä! œ <Ä e o facto de ter lugar a soma directa ÄX œ < ŠÄ Ä! resulta, por exemplo, de 9.42, uma vez que
< œ Ö! × !
Ä Ä! Ä , já que um vector diferente de nunca é perpendicular a siÄ
mesmo.
10.10 (Corolário) O complementar ortogonal de qualquer conjunto T §ÄX é um subespaço vectorial de , e portanto é ÄX Ö! ×Ä , ou , ou uma recta vectorial ,ÄX Ä< ou um plano vectorial .Ä!
Dem: Já sabemos que g œ¼ ÄX e, se TÁ g, T¼ é trivialmente a intersecção dos Ö? ×Ä ¼, com Ä? −T e portanto, sendo uma intersecção de subespaços vectoriais é um subespaço vectorial. Basta agora reparar que, uma vez que XÄ tem dimensão , os seus subespaços vectoriais só podem ter dimensão , , $ ! " # ou , no primeiro caso sendo igual a $ Ö! ×Ä , no segundo sendo uma recta vectorial (cf. Ä< 9.56), no terceiro sendo um plano vectorial (cf. 9.57) e no
quarto sendo igual a .ÄX
10.11 (O complementar ortogonal de um plano vectorial) Dado um plano vectorial !Ä, tem-se que Ä!¼ é uma recta vectorial , para a qual se temÄ<
X ! !
Ä
recta perpendicular a que passa por (cf. ! T 5.22).
Dem: Escolhamos T −! e seja a recta perpendicular a que passa por .< ! T Cada vector Ä Ä@ − < é ortogonal a , visto que, supondo já Ä! Ä@ Á !Ä, podemos escrever Ä@ œ T UÄ com U − < distinto de e então é ortogonal a qualquerT Ä@ vector Ä Ä? −! visto que, supondo já Ä? Á !Ä, tem-se Ä? œ T EÄ, para um certo E −! distinto de e então a recta T T E está contida em portanto, por! definição, < œ T U é perpendicular a T E, em particular .s Ä ÄÐ? ß @ Ñ œ ". Suponhamos, reciprocamente, que Ä@ −ÄX é ortogonal a e mostremos queÄ!
@ − < @ Á ! @ œ T U
Ä Ä, para o que podemos já supor Ä Ä, portanto Ä Ä, para um certo U −X distinto de . Para cada recta T = §! com T − =, podemos considerar E − = distinto de e então é ortogonal ao vector T Ä@ T E −Ä Ä!, pelo que a recta < œ T Uw é perpendicular à recta = œ T E. Ficou assim provado que é perpendicular a todas as rectas de que passam por , ou<w ! T seja é perpendicular ao plano o que, por <w ! 5.22, implica que < œ <w , e portanto Ä@ œ T U − <Ä Ä. O facto de se ter ÄX œÄ Ä!Š < é uma consequência de
10.9, uma vez que é o plano perpendicular a que passa por .! < T Vamos agora definir o produto interno de vectores do espaço, associado a uma função distância que se suporá fixada. Começamos, para isso, por considerar o caso mais simples em que os vectores são colineares.
10.12 Consideremos fixada uma função distância . − Y e notemos simplesmente m? mÄ a norma m? mÄ . dum vector , associada a (cf. Ä? . 9.15 e a alínea 8) em 9.31). Dados dois vectores colineares e , definimos o seuÄ Ä? @ produto interno Ø? ß @ Ù −Ä Ä. ‘, ou simplesmente Ø? ß @ Ù −Ä Ä ‘, se estiver. implícito, do seguinte modo:
1) Se Ä? œ !Ä ou Ä@ œ !Ä, definimos Ø? ß @ Ù œ !Ä Ä ;
2) Se Ä? Á !Ä e Ä@ Á !Ä tiverem o mesmo sentido (cf. 9.48), definimos Ø? ß @ Ù œ m? mm@ mÄ Ä Ä Ä .
3) Se Ä? Á !Ä e Ä@ Á !Ä tiverem sentidos opostos (cf. 9.48 e 9.47), definimos Ø? ß @ Ù œ m? mm@ mÄ Ä Ä Ä .
10.13 Dadas duas funções distância .ß . −w Y, com . œ -.w , para um certo - !, tem-se, quaisquer que sejam os vectores colineares Ä Ä Ä Ä? ß @ Ø? ß @ Ù œ, .w
- Ø? ß @ Ù#Ä Ä ..
Dem: Trata-se de uma consequência imediata da definição, tendo em conta a correspondente propriedade para as normas em 9.16. 10.14 (Corolário) Consideremos fixada uma função distância . − Y. Qualquer
que seja o vector , tem-se Ä? Ø? ß ? Ù œ m? mÄ Ä Ä #.
Dem: Se Ä? Á !Ä, temos uma consequência da alínea 2) da definição. Se
? œ ! !
10.15 (Lema) Consideremos fixada uma função distância . −Y e sejam uma< recta e 0 À < Ä‘ um d-sistema de coordenadas de origem S − <. Quaisquer que sejam Eß F − <, tem-se então ØSE ß SFÙ œ 0 ÐEÑ0 ÐFÑÄ Ä .
Dem: Uma vez que 0 ÐSÑ œ !, a igualdade anterior é trivial no caso em que um dos vectores SEÄ e SFÄ é (tem-se então Ä! E œ S ou F œ S). Afastando já este caso trivial reparamos que se tem
mSEm œ .ÐSß EÑ œ l0 ÐEÑ 0 ÐSÑl œ l0 ÐEÑlÄ
e, do mesmo modo, mSFm œ l0 ÐFÑlÄ pelo que, para concluirmos o resultado, basta repararmos que os vectores SE SFÄ e Ä têm o mesmo sentido se, e só se, E e pertencem à mesma semirrecta de de origem , o que, uma vez queF < S 0 transporta uma das ordens lineares de sobre a ordem usual de , é< ‘ equivalente a 0 ÐEÑ e 0 ÐFÑ terem o mesmo sinal, ou seja, o seu produto ser
positivo.
10.16 (Bilinearidade do produto interno numa recta vectorial)Consideremos fixada uma função distância . −Y. Dada uma recta , a aplicação<
< ‚ < Ä Ð? ß @ Ñ Ø? ß @ Ù
Ä Ä ‘ que a Ä Ä associa Ä Ä é bilinear e simétrica.
Dem: Seja 0 À < Ä‘ um -sistema de coordenadas de origem . S − <. Sejam
? @ @ < + − ? œ SE @ œ SF
Ä Ä Ä, e vectores de e w Ä ‘. Podemos então escrever Ä Ä, Ä Ä e Ä@ œ SFw Äw, para pontos Eß Fß F − <w . A igualdade Ø? ß @ Ù œ Ø@ ß ? ÙÄ Ä Ä Ä resulta imediatamente da caracterização do produto interno no lema 10.15. Tendo em conta esse mesmo lema, assim como o lema 9.53:
1) Tem-se Ä Ä@ @ œ SFw Äww, onde 0 ÐF Ñ œ 0 ÐFÑ 0 ÐF Ñww w , portanto Ø? ß @ @ Ù œ 0 ÐEÑÐ0 ÐFÑ 0 ÐF ÑÑ œ 0 ÐEÑ0 ÐFÑ 0 ÐEÑ0 ÐF Ñ œÄ Ä Ä
œ Ø? ß @ Ù Ø? ß @ ÙÄ Ä Ä Ä
w w w
w .
2) Tem-se +@ œ SGÄ Ä, onde 0 ÐGÑ œ +0 ÐFÑ, portanto
Ø? ß +@ Ù œ 0 ÐEÑ0 ÐGÑ œ +0 ÐEÑ0 ÐFÑ œ +Ø? ß @ ÙÄ Ä Ä Ä .
Ficou assim provada a linearidade na segunda variável a a linearidade na pri- meira variável resulta daquela e da simetria do produto interno. 10.17 (O produto interno de vectores arbitrários) Consideremos fixada uma função distância . −Y.Sejam Ä Ä? e dois vectores arbitrários de . Defi-@ ÄX ne-se então o produto interno Ø? ß @ Ù −Ä Ä. ‘ (ou simplesmente Ø? ß @ ÙÄ Ä) do seguinte modo:
1) Se Ä? œ !Ä, então Ø? ß @ Ù œ !Ä Ä Ä.
2) Se Ä? Á !Ä, considera-se a única recta vectorial que contém ,Ä< Ä? considera-se a aplicação linear 1 XÄ<ÀÄÄ <Ä, primeira projecção associada à soma directa ÄX œ < Š <Ä Ä¼ (cf. 10.9) e define-se
Ø? ß @ Ù œ Ø? ßÄ Ä Ä1Ä<Ð@ ÑÙÄ .
Repare-se que esta definição extende a definição apresentada anteriormente para o caso dos vectores colineares. Com efeito, isso acontece trivialmente no caso em que Ä? œ !Ä e, se Ä? Á !Ä, basta repararmos que, se e sãoÄ Ä? @ colineares, tem-se Ä Ä@ − <, e portanto 1Ä<Ð@ Ñ œ @Ä Ä.
10.18 Dadas duas funções distância .ß . −w Y, com . œ -.w , para um certo - !, tem-se, quaisquer que sejam os vectores Ä Ä Ä? ß @ −X,
Ø? ß @ Ù œ - Ø? ß @ ÙÄ Ä.w # Ä Ä..
Dem: Trata-se de uma consequência imediata da definição e da correspon- dente propriedade para o caso dos vectores colineares em 10.13. 10.19 (Comutatividade do produto interno) Consideremos fixada uma função distância . −Y. Quaisquer que sejam os vectores Ä Ä Ä? ß @ −X, tem-se Ø@ ß ? Ù œ Ø? ß @ ÙÄ Ä Ä Ä. Além disso, no caso em que e são diferentes de ,Ä Ä? @ Ä! tem-se Ø? ß @ Ù !Ä Ä se s.Ð? ß @ Ñ "Ä Ä (cf. 10.1 e 10.2), Ø? ß @ Ù œ !Ä Ä se .sÐ? ß @ Ñ œ " Ø? ß @ Ù !Ä Ä e Ä Ä se .sÐ? ß @ Ñ "Ä Ä .
Dem: Comecemos por reparar que decorre imediatamente da definição em 10.17 que se tem Ø? ß @ Ù œ !Ä Ä , sempre que Ä? œ !Ä ou Ä@ œ !Ä (no segundo caso, fora da situação trivial em que Ä? œ !Ä, tem-se, por linearidade, 1Ä<Ð! Ñ œ !Ä Ä). Basta assim demonstrar a igualdade do enunciado no caso em que Ä? Á !Ä e Ä@ Á !Ä. No caso em que os vectores e são colineares, aÄ Ä? @ comutatividade já foi estabelecida em 10.16 e, tendo em conta 10.2 10.12 e , sabemos que, ou .sÐ? ß @ Ñ œ ! Ø? ß @ Ù !Ä Ä e Ä Ä , ou .sÐ? ß @ Ñ œ # Ø? ß @ Ù !Ä Ä e Ä Ä . Examinemos agora o caso em que e não são colineares. Escolhamos umÄ Ä? @ ponto e sejam S Eß F tais que Ä? œ SEÄ e Ä@ œ SFÄ. Sejam e as rectas< = SE SF e , respectivamente.
Se .sÐ? ß @ Ñ œ "Ä Ä , os vectores e são pependiculares, pelo que o facto de seÄ Ä? @ ter Ä Ä@ − <¼ (cf. ) implica que Ð@ Ñ œ !Ä Ä, e portanto Ø? ß @ Ù œÄ Ä
< Ä
10.9 1
Ø? ßÄ 1Ä<Ð@ ÑÙ œ !Ä e, por simetria dos papéis dos dois vectores, tem-se também Ø@ ß ? Ù œ !Ä Ä .
Suponhamos agora que .sÐ? ß @ Ñ "Ä Ä , portanto que o ângulo ÖSEß SF×Û Û é agudo. Sejam o pé da perpendicular de para a recta sT E œ SF e o pé daU perpendicular de para a recta F < œ SE (cf. 4.28), pontos que são distintos de , por S SE e SF não serem perpendiculares, e que, tendo em conta 4.32
pertencem respectivamente às semirrectas SF SEÛ e Û.
O facto de se ter Ä@ œ SF œ SU UFÄ Ä Ä, com SU − <Ä Ä e UFÄ perpendicular a SUÄ, e portanto a , implica que Ä< SU œÄ 1Ä<Ð@ ÑÄ e, do mesmo modo, ST œÄ 1Ä=Ð? ÑÄ . Podemos assim concluir que
Ø? ß @ Ù œ Ø? ß SUÙ œ .ÐSß EÑ ‚ .ÐSß UÑ !Ä Ä Ä Ä Ø@ ß ? Ù œ Ø@ ß ST Ù œ .ÐSß FÑ ‚ .ÐSß T Ñ !Ä Ä Ä Ä , .
O
A
BP
Q
Mas, uma vez que ÖSEß ST × œ ÖSFß SU×Û Û Û Û e .ÐÖUSß UF×Ñ œ " œÛ Û .ÐÖT Sß T E×ÑÛ Û , o teorema 8.10 garante que os triângulos ÐUß Sß FÑ e ÐT ß Sß EÑ são semelhantes, e daqui deduzimos que .ÐSßFÑ.ÐSßUÑœ .ÐSßEÑ.ÐSßT Ñ, donde
Ø? ß @ Ù œ .ÐSß EÑ ‚ .ÐSß UÑ œ .ÐSß FÑ ‚ .ÐSß T Ñ œ Ø@ ß ? ÙÄ Ä Ä Ä . Examinemos enfim o caso em que .sÐ? ß @ Ñ "Ä Ä , portanto em que o ângulo ÖSEß SF×Û Û é obtuso. Sejam o pé da perpendicular de para a rectaT E sœ SF U e o pé da perpendicular de para a recta F < œ SE, pontos que são distintos de , por S SE e SF não serem perpendiculares, e que, tendo em conta 4.32 pertencem respectivamente às semirrectas opostas a SFÛ e a SEÛ.
O A
B
P Q
O facto de se ter Ä@ œ SF œ SU UFÄ Ä Ä, com SU − <Ä Ä e UFÄ perpendicular a SUÄ, e portanto a , implica que Ä< SU œÄ 1Ä<Ð@ ÑÄ e, do mesmo modo, ST œÄ 1Ä=Ð? ÑÄ . Podemos assim concluir que
Ø? ß @ Ù œ Ø? ß SUÙ œ .ÐSß EÑ ‚ .ÐSß UÑ !Ä Ä Ä Ä Ø@ ß ? Ù œ Ø@ ß ST Ù œ .ÐSß FÑ ‚ .ÐSß T Ñ !Ä Ä Ä Ä , .
verticalmente opostos, e .ÐÖUSß UF×Ñ œ " œ ÐÖT Sß T E×ÑÛ Û . Û Û , o teorema
8.10 garante que os triângulos ÐUß Sß FÑ e ÐT ß Sß EÑ são semelhantes, e daqui deduzimos que .ÐSßFÑ .ÐSßEÑ, donde
.ÐSßUÑ œ.ÐSßT Ñ
Ø? ß @ Ù œ .ÐSß EÑ ‚ .ÐSß UÑ œ .ÐSß FÑ ‚ .ÐSß T Ñ œ Ø@ ß ? ÙÄ Ä Ä Ä . 10.20 (Corolário) Consideremos fixada uma função distância . − Y. Dois
vectores ?Ä Äß @ −ÄX são ortogonais se, e só se, Ø? ß @ Ù œ !Ä Ä .
Dem: Se os vectores forem ambos diferentes de , a conclusão já foi referidaÄ! em 10.19. Se um dos vectores for tem-se, por definição e pela comutati-Ä! vidade, Ø? ß @ Ù œ !Ä Ä e os vectores são, por definição, ortogonais (cf. 10.5). 10.21 (Bilinearidade do produto interno) Consideremos fixada uma função
distância . −Y. A aplicação Ä ÄX ‚X Ä‘, Ð? ß @ Ñ È Ø? ß @ ÙÄ Ä Ä Ä, é bilinear. Dem: Tendo em conta a comutatividade em 10.19, basta mostrarmos que, para cada Ä? −X fixado, a aplicação Ä@ È Ø? ß @ ÙÄ Ä é linear. Ora, isso é trivial se Ä? œ !Ä, por termos uma aplicação identicamente nula, e, no caso em que
? Á ! < ?
Ä Ä, consideramos a recta vectorial que contém e atendemos a que,Ä Ä por se ter Ø? ß @ Ù œ Ø? ßÄ Ä Ä 1Ä<Ð@ ÑÙÄ , a linearidade é consequência da linearidade da projecção ortogonal 1 XÄ<ÀÄÄ <Ä e da bilinearidade em 10.16. 10.22 (A norma de uma projecção ortogonal) Consideremos fixada uma função distância . −Y. Sejam uma recta vectorial, Ä< Ä!œ <ļ o plano vectorial complementar ortogonal e 1 XÄ<ÀÄÄ <Ä a projecção associada à soma directa ÄX œ < ŠÄ Ä! (cf. 10.9). Para cada vector Ä? −ÄX, tem-se então m1Ä<Ð? Ñm Ÿ m? mÄ Ä , tendo-se m1Ä<Ð? Ñm œ m? mÄ Ä se, e só se, Ä Ä? − <.
Dem: Tem-se Ä? œ @ AÄ Ä, com Ä@ œ1Ä<Ð? Ñ − <Ä Ä e Ä ÄA −!, e portanto Ø@ ß AÙ œ !Ä Ä . Resulta daqui que
m? m œ Ø? ß ? Ù œ Ø@ Aß @ AÙ œ Ø@ ß @ AÙ ØAß @ AÙ œÄ Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä œ Ø@ ß @ Ù Ø@ ß AÙ ØAß @ Ù ØAß AÙ œ m@ m mAmÄ Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä #
# #,
portanto m? m m@ mÄ # Ä #, tendo-se m? m œ m@ mÄ # Ä # se, e só se, mAm œ !Ä # , isto é, A œ ! ? − <
Ä Ä, isto é, Ä Ä.
10.23 Dados dois vectores não nulos ?Ä Ä e , fica bem definido um número real@ cosÐ? ß @ ÑÄ Ä , pela condição de se ter, qualquer que seja a função distância . − Y , cosÐ? ß @ Ñ œÄ Ä Ø? ß @ ÙÄ Ä m? m m@ mÄ Ä . . . .
.ß . −w Y , existe - ! tal que . œ -.w e então, tendo em conta 10.13 9.16 e , Ø? ß @ ÙÄ Ä - Ø? ß @ ÙÄ Ä Ø? ß @ ÙÄ Ä m? m m@ mÄ Ä œ -m? m -m@ mÄ Ä œ m? m m@ mÄ Ä . . . . . . . # w w w .
10.24 A função cos, no conjunto dos pares de vectores não nulos, verifica as seguintes propriedades:
a) cosÐ? ß @ Ñ œÄ Ä cosÐ@ ß ? ÑÄ Ä;
b) Se + !, então cosÐ? ß + @ Ñ œÄ Ä cosÐ? ß @ ÑÄ Ä; c) Se + !, então cosÐ? ß + @ Ñ œ Ä Ä cosÐ? ß @ ÑÄ Ä;
d) cosÐ? ß @ Ñ − Ò"ß "ÓÄ Ä , sendo cosÐ? ß @ Ñ œ "Ä Ä se, e só se, e têm o mesmoÄ Ä? @ sentido (em particular são colineares) e cosÐ? ß @ Ñ œ "Ä Ä se, e só se, e Ä Ä? @ têm sentidos opostos (em particular são colineares).
e) cosÐ? ß @ Ñ œ !Ä Ä se, e só se, os vectores e são ortogonais.Ä Ä? @
Dem: Fixemos uma função distância . −YÞA alínea a) é uma consequência directa da simetria do produto interno. Quanto a b) e a c) basta repararmos que, tendo em conta a bilinearidade do produto interno e 9.52, tem-se, para cada + Á !
cosÐ? ß + @ Ñ œÄ Ä Ø? ß +@ Ù œ + Ø? ß @ Ù œ + cosÐ? ß @ ÑÄ Ä
Ä Ä Ä Ä
m? mm+ @ mÄ Ä l+l m? mm@ mÄ Ä l+l .
Quanto a d), tem-se, por definição, sendo a recta vectorial que contém , eÄ< Ä? tendo em conta 10.22,
lØ? ß @ Ùl œ lØ? ßÄ Ä Ä 1Ä<Ð@ ÑÙl œ l„m? mmßÄ Ä 1Ä<Ð@ Ñml Ÿ m? mm@ mÄ Ä Ä ,
tendo-se lØ? ß @ Ùl œ m? mm@ mÄ Ä Ä Ä se, e só se, Ä Ä@ − < isto é, e são colineares,Ä Ä? @ e, nesse caso, sabemos, por definição que Ø? ß @ Ù œ m? mm@ mÄ Ä Ä Ä , se e têm oÄ Ä? @ mesmo sentido, e Ø? ß @ Ù œ m? mm@ mÄ Ä Ä Ä , se e têm sentidos opostos. AÄ Ä? @ conclusão de e) resulta imediatamente de 10.20. 10.25 Para cada par de vectores não nulos ?Ä Äß @, define-se sinÐ? ß @ Ñ − Ò!ß "ÓÄ Ä por
sinÐ? ß @ Ñ œÄ Ä É" cos#Ð? ß @ ÑÄ Ä. Por definição, tem-se sempre sin#Ð? ß @ Ñ Ä Ä cos#Ð? ß @ Ñ œ "Ä Ä .
10.26 (Teorema Pitagoróide) Sejam Eß Fß G três pontos, com e distintosF G de . Dada uma funE ção distância . − Y, tem-se então
.ÐFß GÑ œ .ÐEß FÑ .ÐEß GÑ #.ÐEß FÑ.ÐEß GÑ# # # cosÐEFß EGÑÄ Ä . Dem: Uma vez que EF FG œ EGÄ Ä Ä, vem FG œ EG EFÄ Ä Ä. Lembrando que cosÐEFß EGÑ œÄ Ä ØEFßEGÙÄ Ä , podemos agora escrever
.ÐFß GÑ œ mFGm œ ØFGß FGÙ œ ØEG EFß EG EFÙ œÄ Ä Ä Ä Ä Ä Ä œ ØEGß EGÙ ØEGß EFÙ ØEFß EGÙ ØEFß EFÙ œÄ Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä œ mEFm mEGm #ØEFß EGÙ œÄ Ä Ä Ä
œ mEFm mEGm #mEÄ Ä
# #
# #
# # ÄFmmEGmÄ ÐEFß EGÑ œÄ Ä œ .ÐEß FÑ .ÐEß GÑ #.ÐEß FÑ.ÐEß GÑ ÐEFß EGÑÄ Ä
cos cos
# # ,
como queríamos.
10.27 Sejam ?Ä Ä Ä Äß @ e ? ß @w w dois pares de vectores não nulos. Tem-se então
. . . . sÐ? ß @ Ñ œ Ð? ß @ Ñ ÊÄ Ä sÄ Ä Ð? ß @ Ñ œÄ Ä Ð? ß @ ÑÄ Ä sÐ? ß @ Ñ Ð? ß @ Ñ ÊÄ Ä sÄ Ä Ð? ß @ Ñ Ä Ä Ð? ß @ ÑÄ Ä w w w w w w w w cos cos cos cos , . (cf. as definições de ângulo de vectores em 10.1 10.2 e ).
Dem: Fixemos uma função distância . − Y. Tendo em contas as alíneas a) e
b) de 10.3 e as alíneas a) e b) de 10.24, vemos que, se necessário substituindo
? ß @ ß ? ß @ ? ß @ ß ? ß @
Ä Ä Ä Äw w "Ä "Ä "Äw "Äw m?mÄ m@mÄ m? mÄ m@ mÄ
respectivamente por w w , o que não altera os valores de cosÐ? ß @ ÑßÄ Ä cosÐ? ß @ Ñß Ð? ß @ Ñß Ð? ß @ ÑÄ Äw w .sÄ Ä .sÄ Äw w , podemos já supor que se tem m? m œ m@ m œ m? m œ m@ m œ "Ä Ä Äw Äw .
Se repararmos que Ä Ä? ß @ são colineares e do mesmo sentido (respectivamente colineares e com sentidos opostos) se, e só se, cosÐ? ß @ Ñ œÄ Ä 1 (respectiva- mente cosÐ? ß @ Ñ œ Ä Ä 1) se, e só se .sÐ? ß @ Ñ œÄ Ä 0 (respectivamente .sÐ? ß @ Ñ œ #Ä Ä ) e que, se Ä Ä? ß @ são não colineares, " cosÐ? ß @ Ñ "Ä Ä e ! Ð? ß @ Ñ #.s Ä Ä (cf. 10 1 10.2Þ , e a alínea d) de 10.24) assim como nos
factos análogos para Ä Ä? ß @w w, constatamos que basta provar as implicações apenas no caso em que tento Ä Ä? ß @ como Ä Ä? ß @w w são não colineares.
Escolhamos pontos Eß Fß G tais que Ä? œ EFÄ e Ä@ œ EGÄ e pontos E ß F ß Gw w w tais que Ä? œ E Fw Äw w e Ä@ œ E Gw Äw w. Temos assim dois triângulos ÐEß Fß GÑ e ÐE ß F ß G Ñw w w com .ÐEß FÑ œ .ÐEß GÑ œ " e .ÐE ß F Ñ œ .ÐE ß G Ñ œ "w w w w , pelo que a igualdade em 10.26 dá .ÐFß GÑ œ # # ÐEFß EGÑÄ Ä .ÐF ß G Ñ œ # # ÐE F ß E G ÑÄ Ä # w w # w w w w cos cos , .
Se , s.Ð? ß @ Ñ œ Ð? ß @ ÑÄ Ä .sÄ Äw w vem .ÐÖEFß EG×Ñ œ ÐÖE F ß E G ×ÑÛ Û . Ûw w Ûw w donde, pelo axioma 4.13, os triângulos são congruentes, em particular .ÐFß GÑ œ .ÐF ß G Ñw w o que, pelas fórmulas anteriores, implica que
cosÐ? ß @ Ñ œÄ Ä cosÐEFß EGÑ œÄ Ä cosÐE F ß E G Ñ œÄw w Äw w cosÐ? ß @ ÑÄ Äw w . Se .sÐ? ß @ Ñ Ð? ß @ ÑÄ Ä .sÄ Äw w , vem .ÐÖEFß EG×Ñ ÐÖE F ß E G ×ÑÛ Û . Ûw w Ûw w donde, por
implica que
cosÐ? ß @ Ñ œÄ Ä cosÐEFß EGÑ Ä Ä cosÐE F ß E G Ñ œÄw w Äw w cosÐ? ß @ ÑÄ Äw w . 10.28 Fica bem definida uma aplicação coss À Ò!ß #Ó Ä Ò"ß "Ó pela condição de se
ter, quaisquer que sejam os vectores não nulos Ä Ä? ß @, coss Ð Ð? ß @ ÑÑ œ.s Ä Ä cosÐ? ß @ ÑÄ Ä. 23
Dem: Trata-se de uma consequência da primeira implicação em 10.27, desde que reparemos que, para cada + − Ò!ß #Ó, existem vectores não nulos Ä Ä? ß @ tais que .sÐ? ß @ Ñ œ +Ä Ä . Ora, para + œ ! e + œ # basta tomar um vector não nulo arbitrário e tomar respectivamente Ä? Ä@ œ ?Ä Äe @ œ ?Ä e, para ,+ − Ó!ß #Ò podemos tomar duas semirrectas < / s com a mesma origem , com rectas E correspondentes < Á = tais que .ÐÖ< ß = ×Ñ œ + (cf. o axioma a) em 3.17) e escolhendo então F − < e G − =, ambos distintos de , tem-se, comE ? œ EF @ œ EG Ð? ß @ Ñ œ ÐÖ< ß = ×Ñ œ +
Ä Ä e Ä Ä, .sÄ Ä . .
10.29 A aplicação coss À Ò!ß #Ó Ä Ò"ß "Ó é contínua, estritamente decrescente e sobrejectiva. Tem-se coss Ð!Ñ œ ", coss Ð"Ñ œ ! e coss Ð#Ñ œ ". Tem-se ainda, para cada + − Ò!ß #Ó, coss Ð# +Ñ œ coss Ð+Ñ.
Dem: O facto de ela ser estritamente decrescente é uma consequência da segunda implicação em 10.27. Consideremos agora uma função distância . −Y e, em duas semirrectas perpendiculares < e com a mesma origem= E, dois pontos F − < e G − = com .ÐEß FÑ œ .ÐEß GÑ œ ". Sendo ? œ EF A œ EG Ø? ß AÙ œ ! m? m œ mAm œ " Ä Ä e Ä Ä, tem-se assim Ä Ä e Ä Ä . Dado
agora , − Ò"ß "Ó, podemos tomar - œÈ" ,# e, tomando o vector Ä@ œ ,? -AÄ Ä, vem
m@ m œ Ø@ ß @ Ù œ Ø,? -Aß ,? -AÙ œÄ Ä Ä Ä Ä Ä Ä
œ , Ø? ß ? Ù ,-Ø? ß AÙ ,-ØAß ? Ù - ØAß AÙ œÄ Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä œ , m? m - mAm œ , - œ "Ä Ä
#
# #
# # # # #
e, por outro lado,
Ø? ß @ Ù œ Ø? ß ,? -AÙ œ ,Ø? ß ? Ù -Ø? ß AÙ œ ,m? m œ ,Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä # , donde coss Ð Ð? ß @ ÑÑ œs Ä Ä cosÐ? ß @ Ñ œÄ Ä Ø? ß @ Ù œ , Ä Ä m? mm@ mÄ Ä . .
23A razão do símbolo ^ em cima de cos é a necessidade de distinguirmos esta função da função cosÀ‘Ä Ò"ß "Ó dos analistas (cf. o apêndice 1). Veremos adiante uma relação entre estas duas funções.
A continuidade da função coss À Ò!ß #Ó Ä Ò"ß "Ó resulta de um teorema elementar de Análise Real que garante que toda a função real cujo domínio é um intervalo de , que seja crescente ou decrescente (mesmo que apenas no‘ sentido lato) e cuja imagem seja um intervalo de , é uma aplicação‘ contínua. Quanto aos valores indicados para a função coss , basta repararmos que
cos cos cos
cos cos cos
cos cos cos
s Ð!Ñ œ s Ð Ð? ß ? ÑÑ œs Ä Ä Ð? ß ? Ñ œ Ø? ß ? Ù œ "Ä Ä Ä Ä s Ð"Ñ œ s Ð Ð? ß AÑÑ œs Ä Ä Ð? ß AÑ œ Ø? ß AÙ œ !Ä Ä Ä Ä s Ð#Ñ œ s Ð Ð? ß ? Ñ œs Ä Ä Ð? ß ? Ñ œ Ø?Ä Ä . . . , , Ä Äß ? Ù œ ".
A igualdade coss Ð# +Ñ œ coss Ð+Ñ é verdadeira, por inspecção directa dos valores, nos casos em que + œ ! e + œ #. Mostremo-la então para + − Ó!ß #Ò. Para isso, retomando as notações do início da demonstração, seja naGw semirrecta de origem oposta de e também com < E < .ÐEß G Ñ œ "w , tendo-se assim ? œ Eß GÄ Ä w. Seja uma semirrecta de origem tal que> E
.ÐÖ< ß > ×Ñ œ + (cf. o axioma a) em 3.17) e reparemos que, por 3.19, tem-se .ÐÖ< ß > ×Ñ œ # + . Seja H − > tal que .ÐEß HÑ œ " e seja ÄD œ EHÄ, para o qual se tem assim mD m œ "Ä . Podemos então escrever
cos cos cos
cos cos cos
s Ð# +Ñ œ s Ð Ð? ß D ÑÑ œs Ä Ä Ð? ß D Ñ œ Ø? ß D Ù œ Ø? ß D Ù œÄ Ä Ä Ä Ä Ä œ Ð? ß D Ñ œ Ä Ä s Ð Ð? ß D ÑÑ œ sÄ Ä s Ð+Ñ
.
. .
10.30 Definimos também uma aplicação contínua sins À Ò!ß #Ó Ä Ò!ß "Ó, por sins Ð+Ñ œÉ" coss #Ð+Ñ.
É claro que, por construção, tem-se, para todo o + − Ò!ß #Ó, coss Ð+Ñ # sins#Ð+Ñ œ ".
Além disso, das propriedades correspondentes em 10.29, para a função coss , deduzimos que
sin sin sin
sin sin
sÐ!Ñ œ ! sÐ"Ñ œ " sÐ#Ñ œ ! sÐ# +Ñ œ sÐ+Ñ
, ,
,
e da definição em 10.25 deduzimos que, para e vectores não nulos,Ä Ä? @ sins Ð Ð? ß @ ÑÑ œ.s Ä Ä sinÐ? ß @ ÑÄ Ä.
10.31 (O cosseno da soma) Sejam +ß , − Ò!ß #Ó tais que + , − Ò!ß #Ó. Tem-se então
Dem: O resultado é verdadeiro se + œ !, uma vez que se reduz a fórmula coss Ð,Ñ œ " ‚coss Ð,Ñ ! ‚sinsÐ,Ñ,
e, por simetria dos papéis, ele é também verdadeiro se , œ !. No caso em que + , œ #, portanto , œ # +, uma vez que vem
coss Ð+Ñcoss Ð,Ñ sinsÐ+ÑsinsÐ,Ñ œ coss #Ð+Ñ sins#Ð+Ñ œ " œcoss Ð+ ,Ñ. Resta-nos verificar o resultado no caso em que + ! , !, e + , #. Fixemos um ponto e uma semirrecta de origem e consideremos umaE < E semirrecta de origem tal que = E .ÐÖ< ß = ×Ñ œ + , e, sendo a recta< que contém , uma semirrecta de origem contida no mesmo< > E semiplano de bordo que a semirrecta e tal que < = .ÐÖ< ß > ×Ñ œ + . Tendo em conta 3.18, tem-se > § nÖ< ß = × , com distinta de e de , e> < = portanto, pelo axioma b) em 3.17, .ÐÖ> ß = ×Ñ œ , .
A r s t+ + + u v w B C D a b
Fixada uma função distância . −Y, escolhamos pontos F − <, G − = e H − > tais que .ÐEß FÑ œ .ÐEß GÑ œ .ÐEß HÑ œ ". Pondo Ä? œ EF @ œÄ, Ä EGÄ e ÄA œ EHÄ, tem-se assim m? m œ m@ m œ mAm œ "Ä Ä Ä e, tendo em conta
9.64, tem-se ÄA œ -? . @Ä Ä, com - ! e . ! (se algum fosse , estaria! H numa das semirrectas e ). Reparemos agora que se pode escrever< =
" œ ØAß AÙ œ Ø-? . @ ß -? . @ Ù œ - Ø?ß ?Ù . Ø@ ß @ Ù #-.Ø? ß @ Ù œÄ Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä œ - . #-. s Ð+ ,Ñ
# #
# # cos .
Por outro lado, vem também
cos cos
cos cos
s Ð+Ñ œ ØAß ? Ù œ Ø-? . @ ß ? Ù œ - .Ø@ ß ? Ù œ - .Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä s Ð+ ,Ñ s Ð,Ñ œ ØAß @ Ù œ Ø-? . @ ß @ Ù œ . -Ø? ß @ Ù œ . -Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä s Ð+ ,Ñ, donde sai, por um lado,
coss Ð+Ñcoss Ð,Ñ œ -. -.coss #Ð+ ,Ñ Ð- . Ñ# # coss Ð+ ,Ñ, e, por outro lado,
sin cos cos cos cos cos cos sin s Ð+Ñ œ " s Ð+Ñ œ " - . s Ð+ ,Ñ #-. s Ð+ ,Ñ œ œ " - . #-. s Ð+ ,Ñ . Ð" s Ð+ ,ÑÑ œ œ " " . Ð" s Ð+ ,ÑÑ œ . s Ð+ ,Ñ # # # # # # # # # # # # # tal como
sin cos cos cos
cos cos cos sin s Ð,Ñ œ " s Ð,Ñ œ " . - s Ð+ ,Ñ #-. s Ð+ ,Ñ œ œ " - . #-. s Ð+ ,Ñ - Ð" s Ð+ ,ÑÑ œ œ " " - Ð" s Ð+ ,ÑÑ œ - s Ð+ ,Ñ # # # # # # # # # # # # # , portanto
sinsÐ+Ñ œ .sinsÐ+ ,Ñ, sinsÐ,Ñ œ -sinsÐ+ ,Ñ. Podemos agora escrever
cos cos sin sin
cos cos sin
cos cos cos s Ð+Ñ s Ð,Ñ sÐ+ÑsÐ,Ñ œ œ -. -. s Ð+ ,Ñ Ð- . Ñs Ð+ ,Ñ -.s Ð+ ,Ñ œ œ #-. s Ð+ ,Ñ Ð- . Ñ s Ð+ ,Ñ œ œ s Ð+ ,ÑÐ- . #- # # # # # # # # # .coss Ð+ ,ÑÑ œcoss Ð+ ,Ñ. 10.32 (Corolário) Seja + − Ò!ß "Ó. Tem-se então
coss Ð#+Ñ œcoss #Ð+Ñ sins#Ð+Ñ œ #coss #Ð+Ñ ". 10.33 (Corolário) Seja , − Ò!ß #Ó. Tem-se então
coss Ð Ñ œ, " cosÐ,Ñ
# #
s
Ê .
Dem: Do corolário anterior podemos deduzir que coss Ð,Ñ œ #coss Ð Ñ ", # # , portanto coss Ð Ñ œ, " cosÐ,Ñ # # s # ,
bastando enfim atender a que, por ser , , tem-se , 0
# Ÿ " coss Ð Ñ Þ# 10.34 (Relação entre os cossenos e senos geométrico e analítico) Seja
coss Ð+Ñ œcosÐ +Ñ sinÐ+Ñ œsinÐ +Ñ
# s #
1 1
, ,
onde nos segundos membros estão as funções trigonométricas definidas analiticamente no apêndice 1.
Dem: Começamos por notar que, se para um certo + − Ò!ß #Ó se verifica a primeira igualdade do enunciado, então também se verifica a segunda. Com efeito, tem-se 1+ , donde 1+ e, tendo em conta a definição
# − Ò!ß Ó1 sinÐ# Ñ ! de sins Ð+Ñ e Ap1.8, tem-se então
sins Ð+Ñ œ " coss Ð+Ñ œ " cos Ð +Ñ œsinÐ +Ñ
# #
É # Ê # 1 1
Reparemos agora que a primeira igualdade, e portanto a segunda, é válida para + œ #, uma vez que coss Ð Ñ œ " œ2 cos 1Ð Ñ. Suponhamos a primeira igualdade, e portanto a segunda é válida para um certo + − Ò!ß #Ó. Uma vez que 1+ 1 , e portanto 1+ , resulta de e da fórmula
% − Ò!ß Ó# cosÐ%Ñ ! 10.33
análoga em Ap1.12,
coss Ð Ñ œ+ " cosÐ+Ñœ cos œcosÐ +Ñ
# # # %
s " Ð Ñ
Ê Ê 1+# 1 ,
pelo que a primeira igualdade, e portanto a segunda, é também válida para .+ # Resulta daqui, por indução, que, para cada 8 !, a primeira igualdade, e portanto a segunda, é válida para cada da forma . Observamos agora que,+ ##8
se a primeira igualdade, e portanto a segunda, é válida para valores +ß , − Ò!ß #Ó tais que + , − Ò!ß #Ó a primeira igualdade, e portanto a segunda, é também válida para + ,, uma vez que podemos escrever, tendo em conta 10.31 Ap1.11 e
cos cos cos sin sin
cos cos sin sin cos
s Ð+ ,Ñ œ s Ð+Ñ s Ð,Ñ sÐ+ÑsÐ,Ñ œ
œ Ð +Ñ Ð ,Ñ Ð +Ñ Ð ,Ñ œ Ð Ð+ ,ÑÑ
# # # # #
1 1 1 1 1
. Resulta daqui, por indução em , que, para cada : 8 ! e cada " Ÿ : Ÿ #8, a