Da Geometria Euclidiana aos Vectores Livres
Armando Machado
Índice
Introdução 2
1. Primeiras noções básicas e primeiros axiomas 5
2. Axioma de separação do plano 14
3. Ângulos 20
4. Triângulos 36
5. Isometrias e Aplicações 64
6. Quadriláteros e Paralelogramos 77
7. Paralelismo e o Axioma das Paralelas 85
8. Teorema de Thales e semelhança 96
9. Outros resultados sobre isometrias; Translações e vectores 105 10. Ângulo de vectores, ortogonalidade, produto interno 133
11. Geometria da Circunferência 150
Apêndice 1. As funções trigonométricas dos Analistas 161
Introdução
Este texto é um ensaio de desenvolvimento da Geometria Euclidiana, do ponto de vista axiomático, tendo em vista chegar a uma definição dos vectores livres e ao estudo das suas propriedades algébricas. A via axiomática seguida é a introduzida por Moïse, E. E., Elementary Geometry from an
Advanced Standpoint, Addison-Wesley, 1990, e que se caracteriza pela
introdução de axiomas métricos para os comprimentos e os ângulos (o axioma da régua e o do transferidor), baseados no preconhecimento das propriedades dos números reais.
Também baseados na via seguida por Moïse, existem pelo menos mais dois textos em língua portuguesa, o livro de Paulo Ventura Araújo, Curso de
Geometria, publicado pela Gradiva em 1998, e o de A. J. Franco Oliveira, Geometria Euclidiana, publicado pela Universidade Aberta em 1995. O nosso
texto difere destes em vários pontos. Em primeiro lugar é bastante menos ambicioso, tendo como objectivo essencial chegar à noção de vector livre e a algumas aplicações dos vectores livres à Geometria. Em segundo lugar é bastante mais detalhado nas demonstrações e nas referências a resultados anteriores. Esta segunda característica torna-o mais pesado e, eventualmente, aborrecido, se for estudado na forma tradicional de um texto impresso, mas poderá ser útil se, como temos em vista, ele for utilizado no monitor do computador, como ficheiro pdf, com as referências associadas a “links” que enviam, com possibilidade de retorno à origem, para os resultados citados.
Destacamos a seguir alguns pontos em que a nossa opção foi diferente da tomada por Moïse e pelos autores portugueses atrás referidos.
Relativamente aos axiomas métricos, pareceu-nos pouco natural (apesar de perfeitamente legítimo do ponto de vista formal) ser dada como noção primitiva uma função distância que associa a cada par de pontos do espaço um número real. A existência de uma tal função distância privilegiada corresponde à ideia de uma unidade de medida dada a priori, quando é certo que a nossa experiência geométrica nos diz que uma tal unidade não existe. Preferimos assim tomar, em vez disso, como noção primitiva um conjunto “completo” de funções distância, cada uma múltipla de qualquer outra, correspondendo às diferentes unidades de medida que é possível escolher. Se é verdade que disso resultou uma ligeira complicação para alguns enunciados, pareceu-nos ter ganho alguma coisa na compreensão geométrica do espaço e, mais geralmente com o estabelecimento de relações com a problemática dos diferentes tipos de grandeza em Física. Em particular um comprimento não é um número real mas uma família de números reais indexada no conjunto das funções distância, família que deve verificar uma condição de homogeneidade natural, e torna-se evidente que nunca pode ter significado geométrico, por exemplo, um resultado que afirme a
igualdade de um comprimento com um produto de dois comprimentos. A partir de certa altura torna-se naturalmente conveniente, para não cair em exageros de formalismo, pressupor a fixação de uma função distância, por exemplo quando se discute o produto interno de dois vectores, mas pensamos que nessa altura já será claro para o leitor como se poderia proceder se se fizesse questão de não fixar uma tal unidade de medida.
Escolhemos enunciar o axioma de separação do plano através da exigência de que uma certa relação no complementar duma recta num plano é de equivalência e tem duas classes de equivalência, que vão ser os semiplanos abertos. Esse enunciado pareceu-nos preferível àquele que afirma que o complementar referido é união de dois convexos verificando uma certa condição e que são então os semiplanos abertos, por este último escamotear a necessidade de justificar que uma tal decomposição é única. Também constatámos que o resultado correspondente para a separação do espaço por um plano é um teorema e não necessita assim de ser tomado como um novo axioma.
Preferimos definir ângulo como um conjunto de duas semirrectas com a mesma origem, contidas em rectas distintas, em vez da união dessas semirrectas. Evitámos assim a necessidade de mostrar que os lados dum ângulo são semirrectas bem definidas. Dentro do mesmo espírito, preferimos definir triângulo como um triplo ordenado de três pontos não colineares, o que nos permite simplificar o enunciado dos resultados envolvendo a congruência de triângulos.
Relativamente aos axiomas de medida dos ângulos, preferimos utilizar como unidade de medida o ângulo recto, em vez do grau. Se é verdade que o mais cómodo a prazo seria utilizar desdo o início o radiano, partindo do número 1 definido de forma analítica, isso pareceu-nos pouco natural, tal como nos pareceu a utilização do grau. Constatámos também que um dos axiomas sobre a medição dos ângulos, aquele que afirma que a soma das medidas de dois ângulos adjacentes é igual a dois rectos, é de facto um teorema.
Apresentamos um estudo elementar das isometrias, definidas numa recta, num plano ou no espaço, e de algumas das suas propriedades, sem preocupações de fazer a classificação destas. Como exemplos fundamentais, começamos por apresentar as inversões, relativamente a um ponto, a uma recta ou a um plano, e utilizamo-las no estudo da perpendicularidade entre uma recta e um plano.
As translações são definidas como as isometrias que se podem obter como compostas de duas inversões pontuais e as suas propriedades fundamentais são estabelecidas, em particular a de uma translação ficar bem definida quando se dá arbitrariamente a imagem de um ponto do espaço e o facto de o conjunto das translações ser um grupo comutativo relativamente à operação de composição. Os vectores livres são identificados com as translações e não definidos como classes de equivalência de segmentos orientados, embora a posteriori a relação entre os dois modos de aproximação a esta noção fique clara
e seja o espírito da segunda aproximação aquele que está presente quando se define o produto de um vector por um núero real. Em particular o vector EFÄ é definido como a única translação que aplica em , nomeadamente a compostaE F da inversão relativamente a seguida da inversão relativamente ao ponto médioE do par ÐEß FÑ. São estudadas as propriedades de espaço vectorial nos vectores livres e os subespaços vectoriais próprios e diferentes de Ö!× são identificados como as rectas e os planos vectoriais. O prodto interno de vectores é definido, primeiro para vectores colineares e depois para vectores arbitrários, utilizando nesse caso a projecção ortogonal do segundo vector sobre a recta vectorial definida pelo primeiro, sendo provada a comutatividade e as propriedades de bilinearidade.
O cosseno, primeiro de um par de vectores não nulos, e depois de um ângulo, é definido a partir do produto interno, o que leva a alguma simplificação na discussão da questão do sinal. O seno é definido a partir do cosseno e são estabelecidas as fórmulas para o cosseno da soma de dois ângulos e, a partir desta, para o cosseno da metade de um ângulo. Essa fórmulas são utilizadas, em particular para relacionar as funções trigonométricas assim definidas com as definidas de modo analítico. Uma das definições analíticas das funções trigonométricas é apresentada num apêndice.
Referimos enfim que este trabalho necessitaria de uma revisão mais cuidada se o objectivo fosse o de uma publicação mais formal. Em particular temos a consciência de que algumas notações alternativas são introduzidas, sem que venham a ser utilizadas no seguimento, e que alguma propriedades técnicas são estabelecidas sem que a sua utilidade se viesse a confirmar posteriormente.
1. Primeiras noções básicas e primeiros axiomas.
1.1 (Primeiras noções primitivas) Supomos dados, como noções primitivas, um conjunto , cujos elementos são chamados X T pontos, um conjunto dee partes de , cujos elementos são chamados X < rectas, um conjunto de partesc de , cujos elementos são chamados X ! planos, e um conjunto de aplica-Y ções .À ‚X XÄ Ò!ß _Ò, cujos elementos são chamados funções distância, supondo-se verificados os axiomas que iremos descrevendo a seguir:
1.2 (Definições) Um conjunto (ou família) de pontos diz-se colinear (respectivamente complanar) se existir uma recta < − e (respectivamente um plano !−c) que contenha todos os seus elementos. Dois subconjuntos de dizem-se X concorrentes se a sua intersecção é um conjunto unitário ÖT ×. 1.3 (Axiomas de incidência)
a) O conjunto é não vazioX .
b) Quaisquer que sejam T ß U −X, e são colineares e, no caso em queT U T Á U existe uma, e uma só, recta < −e tal que T ß U − <.
c) Qualquer que seja a recta < −e, existem T ß U − < com T Á U.
d) Quaisquer que sejam T ß Uß V −X, , e são complanares e, no casoT U V em que eles não são colineares, existe um, e um só, plano !−c, tal que T ß Uß V − !.
e) Qualquer que seja o plano !−c, existe T ß Uß V −! não colineares. f) Quaisquer que sejam < −e ! e −c, ou < !œ g, ou < §!, ou e são< ! concorrentes.
g) Se ! "ß −c então e não são concorrentes.! " h) Existem T ß Uß Vß W − X não complanares.
Vamos agora tirar algumas consequências simples dos axiomas de incidência que agrupamos para uma melhor sistematização.
1.4 (Planaridade das rectas)Sejam !−c um plano, T ß U −! com T Á U e < −e tal que T ß U − <. Então < §!.
Dem: Uma vez que < !Á g e e não são concorrentes, resulta do< !
axioma f) em 1.3 que < § Þ!
1.5 (Os pontos são distintos)
a) Se T ß Uß V são não colineares, então são três pontos distintos. b) Se T ß Uß Vß W são não complanares, então são quatro pontos distintos. Dem: Se dois dos três pontos são iguais, resulta do axioma a) b) em 1.3 que os pontos são colineares.
b) Se dois dos quatro pontos são iguais, resulta do axioma d) em 1.3 que os pontos são colineares.
1.6 (Resultados de existência)
a) Para cada T −X, existe uma recta < −e e um plano !−c tais que T − < e T −!. Em particular, existem rectas e existem planos (e Á g e c Á g).
b) Para cada recta < −e e cada T − <, existe U − < com U Á T. c) Para cada recta < − e, existe um plano !−c tal que < § Þ! d) Para cada recta < −e e plano !−c, existe T −! com T Â <. e) Para cada plano , existe ! T −X com T Â Þ!
f) Para cada plano !−c e cada T −!, existem rectas >ß < §! com T − > e T Â <.
Dem: Trata-se de uma consequência de ser não vazio e dos axiomas a) X b) e
d) em 1.3 (no primeiro caso com U œ T e no segundo com U œ V œ T). b) Pelo axioma c) em 1.3, existem Vß W − < com V Á W, pelo que basta tomar para um destes dois pontos.U
c) Sejam T ß U − < com T Á U. Tendo em conta o axioma d) em 1.3, existe um plano contendo os pontos ! T ß Uß U e resulta então de 1.4 que < §!. d) Se isso não acontecesse, qualquer subconjunto de estava contido em ,! < sendo assim colinear, o que contrariava o axioma e) em 1.3.
e) Se isso não acontecesse, qualquer subconjunto de estava contido em ,X ! sendo assim complanar, o que contrariava o axioma h) em 1.3.
f) Sejam, pelo axioma e) em 1.3, Uß Vß W − ! não colineares, em particular todos distintos. Um deles, por exemplo , é distinto de e, sendo U T > − e a única recta tal que T ß U − > (cf. o axioma b) em 1.3), resulta de 1.4 que > § !. Mais uma vez pelo axioma b) em 1.3, podemos considerar a única recta < −e tal que Uß V − < e a única recta = −e tal que Uß W − =, rectas para as quais, mais uma vez por 1.4, se tem < §! e = §!. Tem-se < Á =, sem o que Uß Vß W eram colineares, e portanto, por ser T Á U, a parte de unicidade no axioma b) de 1.3 implica que não pode pertencer a ambas asT rectas e , por exemplo < = T Â <. 1.7 (Resultados de inclusão e de intersecção)
a) , Dados <ß = −ecom <§ = tem-se < œ =. b) Dados ! "ß −c com !§", tem-se !œ".
c) Dados <ß = −e, com < Á =, e < = Á g, então e são concorrentes.< = d) Dados ! "ß −c com !Á" ! e "Á g, tem-se que !" é uma recta. Dem: Pelo axioma a) c) em 1.3, podemos considerar T Á U em , e portanto< em , e então resulta do axioma = b) em 1.3 que < œ =.
b) Pelo axioma e) em 1.3, podemos considerar T ß Uß V não colineares em ,! e portanto em , e então resulta do axioma " d) em 1.3 que !œ".
c) Sendo T − < =, se as rectas não fossem concorrentes, existia U Á T, com U − < =, então, pelo axioma d) em 1.3, tinha-se < œ =.
d) Suponhamos que !"Á g e seja T −!". Pelo axioma g) em 1.3
existe U −!" com T Á U. Pelo axioma b) em 1.3, existe uma única recta < tal que T ß U − < e, por 1.4, tem-se então < §!". Se não fosse < œ!", existia V −!" tal que V  <. Uma vez que é a única recta<
que contém e , segue-se que T U T ß Uß V são não colineares e portanto, pelo axioma , d) em 1.3 vinha !œ".
1.8 (Outras formas de “definir” um plano)
a) Se < −e e T Â <, então existe um, e um só !−c tal que < §! e T −!. b) Se <ß = −e concorrentes, há um, e um só !−c tal que < §! e = §!. Dem: Sejam a) Uß V − < com U Á V. Uma vez que é a única recta que< contém e e U V T Â <, segue-se que T ß Uß V são não colineares e assim, pelo axioma d) em 1.3, existe um único plano !−c que contém T ß Uß V. Por 1.4, tem-se < §! e a unicidade de contendo e resulta de que! < T qualquer plano nessas condições também contém e .U V
b) Seja < = œ ÖT ×. Pelo axioma c) em 1.3, existe U − < com U Á T. Do mesmo modo, existe V − = com V Á T. O facto de ser < = œ ÖT × implica que V  <. Pelo que vimos em a), existe um único plano tal que ! < §! e V −! e, por 1.4, tem-se também = §!. A unicidade resulta da unicidade em a) e de que qualquer plano que contivesse e , continha também .< = V
Vamos agora introduzir os axiomas que fazem intervir a classe deY funções-distância.
1.9 (Axiomas métricos)
a) (Primeiro axioma da conformalidade) Quaisquer que sejam .ß .w− Y , existe - ! em tal que ‘ . œ -.w , isto é, . ÐT ß UÑ œ -.ÐT ß UÑw , quaisquer que sejam T ß U − X.
b) (Segundo axioma da conformalidade) Quaisquer que sejam . − Y e - ! em , ‘ . œ -. −w Y.
c) (Axioma de régua graduada) Para cada recta < − e, existe uma bijecção 0 À < Ä‘ tal que, para um certo . −Y, se tenha, quaisquer que sejam T ß U −X, ..ÐT ß UÑ œ l0 ÐUÑ 0 ÐT Ñl
1.10 (Definição) A uma bijecção 0 À < Ä ‘, que verifique as condições do axioma c) em 1.9, damos o nome de sistema de coordenadas da recta ou, se< quisermos ser mais precisos, o de .-sistema de coordenadas. Ao ponto S œ 0"Ð!Ñ dá-se o nome de origem do sistema de coordenadas.
1.11 (Propriedades das funções-distância) Cada função-distância . − Y verifica as propriedades .ÐT ß UÑ œ .ÐUß T Ñ .ÐT ß UÑ œ ! Í T œ U e .1 Dem: Dados T ß U −X, podemos escolher uma recta com < T ß U − <, e um .w-sistema de coordenadas 0 À < Ä‘. Para a função distância , a igualdade.w . ÐT ß UÑ œ l0 ÐUÑ 0 ÐT Ñlw implica imediatamente que se tem . ÐT ß UÑ œw . ÐUß T Ñw e . ÐT ß UÑ œ ! Í T œ Uw . O facto de as mesmas propriedades serem verificadas por qualquer função distância é uma consequência.
imediata do axioma a) em 1.9.
1Repare-se que, tendo em conta o axioma a), se uma das funções-distância verifica esta. propriedade, o mesmo acontece com todas as outras.
1.12 (Mudança de sistema de coordenadas I) Sejam 0 À < Ä‘ um -sistema. de coordenadas. Tem-se então:
a) Se - −‘Ï Ö!×, então a bijecção 1À < Ä‘ definida por 1ÐT Ñ œ -0 ÐT Ñ é um Ðl-l .Ñ-sistema de coordenadas com a mesma origem. Em particular, para cada s. −Y, a recta admite um -sistema de coordenadas.< s.
b) Se + −‘, então a bijecção 2À < Ä‘ definida por 2ÐT Ñ œ 0 ÐT Ñ + é um .-sistema de coordenadas com origem 0"Ð+Ñ.
Dem: De ser a) 0 ÐSÑ œ !, sai ainda 1ÐSÑ œ ! e vemos que
l1ÐUÑ 1ÐT Ñl œ l-Ð0 ÐUÑ 0 ÐT Ñl l-ll0 ÐUÑ 0 ÐT Ñl œ l-l .ÐT ß UÑ. A última afirmação resulta de que qualquer s. −Y é da forma , para algum-. - !.
b) Tem-se 2Ð0"Ð+ÑÑ œ 0 Ð0"Ð+ÑÑ + œ ! e
l2ÐUÑ 2ÐT Ñl œ l0 ÐUÑ + 0 ÐT Ñ +l œ l0 ÐUÑ 0 ÐT Ñl œ .ÐT ß UÑ. 1.13 (Lema) Seja : ‘À Ä‘ uma aplicação tal que :Ð!Ñ œ ! e que, quaisquer que sejam Bß C −‘ :, l ÐBÑ ÐCÑl œ lB Cl: . Tem-se então que ou :œ M.‘ ou .: œ M.‘
Dem: Para cada B − ‘, vem
l ÐBÑl œ l ÐBÑ Ð!Ñl œ lB !l œ lBl: : : ,
e portanto, ou :ÐBÑ œ B ou :ÐBÑ œ B. É claro que, para B œ ! tem-se simultaneamente :ÐBÑ œ B e :ÐBÑ œ B, pelo que, se não fosse :œ M.‘ nem :œ M.‘, existiam B Á ! e C Á ! tais que :ÐBÑ œ B e :ÐCÑ œ C. Podíamos então escrever
lB Cl œ l ÐBÑ ÐCÑl œ lB Cl: : ,
portanto, ou B C œ B C ou B C œ C B; no primeiro caso vinha C œ ! e no segundo vinha B œ !, pelo que, em ambos os casos, chegámos a um
absurdo.
1.14 (Mudança de sistema de coordenadas II) Sejam < − e uma recta, .ß .s −Y duas funções-distância, 0 À < Ä‘ um -sistema de coordenadas e.
0 À < Ä . - − Ï Ö!× + −
s ‘ um -sistema de coordenadas. Existem então s ‘ e ‘ únicos tais que, qualquer que seja T − <,
0 ÐT Ñ œ -0 ÐT Ñ +
s ,
tendo-se então s. œ l-l ..
Dem: Seja - !w tal que s. œ - .w e ponhamos + œ 0 Ð0s "Ð!ÑÑ. Seja : ‘À Ä‘ a aplicação definida por
:ÐBÑ œ 0 Ð0s Ð ÑÑ +B -"
Tem-se :Ð!Ñ œ !e l ÐBÑ ÐCÑl œ l0 Ð0s Ð ÑÑ + 0 Ð0B s Ð ÑÑ +l œC - -œ l0 Ð0s Ð ÑÑ 0 Ð0B s Ð ÑÑl œ .Ð0C Ð Ñß 0B Ð ÑÑ œC - - s - -œ - .Ð0 Ð Ñß 0B Ð ÑÑ œ - lC B C - - - -: : " w " w " " " " w w w w w " " w w w w wl œ lB Cl.
Podemos assim concluir, pelo lema precedente, que, ou : œ M.‘, ou : œ M.‘. No primeiro caso, pondo - œ -w, vem, para cada T − <, considerando ,B œ - 0 ÐT Ñw
-0 ÐT Ñ œ B œ ÐBÑ œ 0 ÐT Ñ +: s ,
isto é, s0 ÐT Ñ œ -0 ÐT Ñ +. No segundo caso, pondo - œ -w, vem, para cada T − <, considerando B œ - 0 ÐT Ñw ,
-0 ÐT Ñ œ B œ ÐBÑ œ 0 ÐT Ñ +: s ,
isto é, s0 ÐT Ñ œ -0 ÐT Ñ +. Tem-se assim, em ambos os casos, s0 ÐT Ñ œ -0 ÐT Ñ +, com l-l œ -w, e portanto s. œ l-l .. Quanto à unicidade, se for
0 ÐT Ñ œ -0 ÐT Ñ + T + œ 0 Ð0 Ð!ÑÑ
s , para todo o , tem-se necessariamente s " e, escolhendo tal que T 0 ÐT Ñ Á !, tem-se necessariamente - œ 0 ÐT Ñ+s0 ÐT Ñ . 1.15 Sejam < −e uma recta e Sß T − < com S Á T. Existe então um, e um só, sistema de coordenadas 0sÀ < Ä‘ com origem e tal que S s0 ÐT Ñ œ " (o sistema de coordenadas de <de origem Sdeterminado por ).T
Dem: Seja 0 À < Ä ‘ um sistema de coordenadas arbitrário. Tendo em conta
1.12 e 1.14, existe uma correspondência biunívoca entre pares Ð-ß +Ñ − Ð Ï Ö!×Ñ ‚‘ ‘ e sistemas de coordenadas de , que a cada < Ð-ß +Ñ associa o sistema de coordenadas s0 À < Ä‘ definido por s0 ÐUÑ œ -0 ÐUÑ +. As condições de ser a origem de e de se ter S s0 s0 ÐT Ñ œ " são assim equivalentes a ! œ -0 ÐSÑ + e " œ -0 ÐT Ñ +, condições que implicam que -Ð0 ÐT Ñ 0 ÐSÑÑ œ ", portanto - œ " , e daqui
0 ÐT Ñ0 ÐSÑ + œ -0 ÐSÑ œ 0 ÐSÑ
0 ÐT Ñ 0 ÐSÑ. Por outro lado, se tomarmos
- œ " + œ 0 ÐSÑ
0 ÐT Ñ 0 ÐSÑ, 0 ÐT Ñ 0 ÐSÑ,
tem-se efectivamente -0 ÐSÑ + œ ! -0 ÐT Ñ + œ " e . 1.16 (Ordens lineares numa recta) Dada uma recta < − e, diz-se que uma relação de ordem total Ÿ em é uma < ordem linear se, para algum sistema
de coordenadas 0 À < Ä‘, vem, para cada T ß U − <, T Ÿ U Í 0 ÐT Ñ Ÿ 0 ÐUÑ.
Existem então em duas, e só duas, ordens lineares < Ÿ e Ÿw, uma oposta da outra, isto é, com T Ÿ U Í U Ÿ Tw .
Dem: Fixado um sistema de coordenadas 0 À < Ä ‘, podemos definir uma ordem total Ÿ em por transporte da ordem total usual de , isto é, pondo< ‘ T Ÿ U Í 0 ÐT Ñ Ÿ 0 ÐUÑ. Considerando o novo sistema de coordenadas 0 À < Ä‘ (cf. 1.12), obtemos, a partir dele uma nova ordem linear Ÿw, para a qual se tem
T Ÿ U Í 0 ÐT Ñ Ÿ 0 ÐUÑ Í 0 ÐUÑ Ÿ 0 ÐT Ñ Í U Ÿ Tw ,
sendo assim a ordem inversa da primeira. Sendo agora s0 À < Ä‘ um sistema de coordenadas arbitrário, sabemos, por 1.14, que existe - −‘Ï Ö!× + − e ‘ tais que s0 ÐT Ñ œ -0 ÐT Ñ +. Tem-se então, se - !,
0 ÐT Ñ Ÿ 0 ÐUÑ Í 0 ÐT Ñ Ÿ 0 ÐUÑ Í T Ÿ U
s s
e, se - !,
0 ÐT Ñ Ÿ 0 ÐUÑ Í 0 ÐUÑ Ÿ 0 ÐT Ñ Í U Ÿ T
s s ,
pelo que, em qualquer caso, a ordem linear associada a é a ordem s0 Ÿ ou a
sua oposta.
1.17 (Propriedades das ordens lineares) Por definição, uma ordem linear de uma recta é isomorfa à ordem usual de e, consequentemente, goza das< ‘ propriedades que aquela tem. Por exemplo, fixada uma ordem linear de :< a) Para cada T − <, existe Uß V − < com U T e T V;
b) Dados T ß U − <, com T Á U, existe V − < tal que T V U.
1.18 (Definições) a) Dados T ß U −X com T Á U, notamos T U, ou T UÇ a única recta tal que < T ß U − <.
b) Dados T ß U −X com T Á U, podemos considerar a única ordem linear na recta < œ T U para a qual T U e definimos a semirrecta de de origem< T
determinada por (ou U determinada pela ordem linear referida), que notamos T UÛ ou T U• , como sendo o conjunto dos V − < tais que T Ÿ V. c) Dados T ß U −X com T Á U, podemos considerar a única ordem linear na recta < œ T U para a qual T U e definimos o segmento de recta de extremidades e , notado T U ÒT ß UÓ ou T U, como sendo o conjunto dos pontos V − < tais que T Ÿ V Ÿ U.
Para cada T −X, definimos também ÒT ß T Ó œ ÖT ×, embora não chamemos segmento de recta a este conjunto.
d) Dados pontos T ß U −X, vamos notar lT Ul a família Ð.ÐT ß UÑÑ.−Y. 1.19 (Propriedades das semirrectas) a) Dada uma recta e um ponto < T − <,
existem duas, e só duas, semirrectas de de origem . Fixada uma ordem< T linear Ÿ em , essas semirrectas são respectivamente o conjunto dos< <
V − < tais que T Ÿ V e o conjunto dos < V − < tais que V Ÿ T (a primeira é a associada a essa ordem linear e a segunda a associada à ordem linear oposta) . Dado 2 U − < com T Á U, a semi-recta T UÛ é a única semirrecta de < que contém .U
b) Dada uma recta e um ponto < T − <, a intersecção das duas semirrectas de < de origem é o conjunto T ÖT × e a sua união é .<
c) Um mesmo conjunto não pode ser semirrecta de mais que uma recta e a origem de uma semirrecta é um elemento bem definido.
d) Se é uma semirrecta de origem e se < S . −Y é uma função distância, então, para cada + ! em , existe um, e um só, ‘ T − < tal que .ÐSß T Ñ œ +. Além disso, dados T ß U − <, tem-se T − ÒSß UÓ se, e só se .ÐSß T Ñ Ÿ .ÐSß UÑ.
Dem: As conclusões de a) e de b) resultam imediatamente das definições. O facto de um mesmo conjunto não poder ser semirrecta de mais que uma recta resulta de que uma semirrecta tem pelo menos dois pontos. O facto de a origem de uma semirrecta ser um elemento bem definido vem de que, fixada uma ordem linear na recta correspondente, ou a origem é um elemento mínimo da semirrecta e esta não tem máximo, ou a origem é um elemento máximo da semirrecta e esta não tem mínimo. Quanto a d), tendo em conta a alínea a) de 1.12, podemos fixar um -sistema de coordenadas . 0 À < Ä ‘ da recta que contém e então, substituindo eventualmente por < < 0 0 <, é formado pelos pontos U − < tais que 0 ÐUÑ 0 ÐSÑ. Considerando em a< ordem linear determinada por (cf. 0 1.16), o único ponto nas condiçõesT pedidas é 0"Ð0 ÐSÑ +Ñ e tem-se T − ÒSß UÓ se, e só se, 0 ÐT Ñ Ÿ 0 ÐUÑ se, e só se, .ÐSß T Ñ œ 0 ÐT Ñ 0 ÐSÑ Ÿ 0 ÐUÑ 0 ÐSÑ œ .ÐSß UÑ. 1.20 (Propriedades dos segmentos de recta) a) Dada uma recta e < T ß U − <
com , T Á U tem-se
ÒT ß UÓ œ ÒUß T Ó œ T U UTÛ Û .
b) Tem-se T ß U − ÒT ß UÓ, em particular um segmento de recta está contido numa única recta.
c) Fixada uma ordem linear da recta T U, tem-se que, ou é o mínimo doT segmento ÒT ß UÓ e é o seu máximo, ou é o máximo do segmento U T ÒT ß UÓ e é o seu mínimo. Em particular, as U extremidades dum segmento de recta são pontos bem definidos, embora não esteja bem definido qual a “extremidade esquerda” e qual a “extremidade direita”.
d) Dada uma recta < −e e três pontos distintos T ß Uß V de , verifica-se< uma, e uma só, das propriedades seguintes: T − ÒUß VÓ U − ÒT ß VÓ, , V − ÒT ß UÓ.
e) Dados Vß W −T UÛ, tem-se ÒVß WÓ§ T UÛ .
2Repare-se que só é possível escolher qual a semirrecta notada e qual a notada se< <
fixarmos uma das ordens lineares em ; se trocarmos a ordem linear, as duas notações< vêm trocadas.
f) Dados Vß W − ÒT ß UÓ, tem-se ÒVß WÓ § ÒT ß UÓ. g) Se V − T UÛ, com V Á T, então T U T VÛ=Û.
h) Dados T Á U V − ÒT ß UÓ e , com V Á U, tem-se VU § T UÛ Û.
i) Dado V − ÒT ß UÓ, tem-se ÒT ß UÓ œ ÒT ß VÓ ÒVß UÓ, com ÒT ß VÓ ÒVß UÓ œ ÖV×Þ
Dem: Trata-se de consequências imediatas das definições. 1.21 Dados T ß Uß Vß W −X, tem-se lT Ul œ lVWl se, e só se, existe uma função-distância . −s Y tal que .ÐT ß UÑ œ .ÐVß WÑs s . Mais geralmente, tem-se lT Ul Ÿ lVWl (no sentido de ser .ÐT ß UÑ Ÿ .ÐVß WÑ, para cada se, e só se,.) existe uma função-distância . −s Y tal que s.ÐT ß UÑ Ÿ .ÐVß WÑs e, dado + !, tem-se lT Ul œ +lVWl (no sentido de ser .ÐT ß UÑ œ + .ÐVß WÑ, para cada ) se, e só se, existe uma fun. ção-distância s. −Y tal que s.ÐT ß UÑ œ + .ÐVß WÑ
s .
Dem: Trata-se de consequências imediatas de, dadas duas funções-distância .ß . −s Y , existir uma constante - ! tal que . œ -.s . 1.22 (Congruência de pares de pontos) Dados T ß Uß Vß W − X, diz-se que os
pares ordenados ÐT ß UÑ ÐVß WÑ e são congruentes se se tem lT Ul œ lVWl. 1.23 Tendo em conta a definição de congruência e a propriedade 1.11, é
imediato que a relação de congruência entre pares ordenados de pontos de X é uma relação de equivalência e que ÐT ß UÑ e ÐUß T Ñ são sempre congruentes. Tendo em conta o mesmo axioma, vemos também que se tem lT T l œ ! (no sentido de se tratar da família constante com todos os termos !) e que 3 ÐT ß UÑ é congruente a ÐVß VÑ se, e só se, T œ U.
1.24 Diz-se que dois segmentos de recta ÒT ß UÓ e ÒUß VÓ são congruentes se os pares de pontos ÐT ß UÑ ÐUß VÑ e forem congruentes.
Repare-se que esta definição faz sentido uma vez que, como vimos, um segmento de recta determina o conjunto das suas extremidades e que ÐT ß UÑ e ÐUß T Ñ são congruentes.
1.25 (As funções-distância restritas a uma recta) Sejam . −Y e < −e fixadas. Dados T ß U − <, com T Á U, para cada V − < são equivalentes as propriedades:
1) ;V − ÒT ß UÓ
2) .ÐT ß UÑ œ .ÐT ß VÑ .ÐVß UÑà
3) lT Ul œ lT Vl lVUl, isto é, .ÐT ß UÑ œ .ÐT ß VÑ .ÐVß UÑs s s , para todo o .
s − Y.
Além disso, quando V Â ÒT ß UÓ, tem-se mesmo lT Ul lT Vl lVUl, isto é, s.ÐT ß UÑ .ÐT ß VÑ .ÐVß UÑs s , para todo o s − Y..
Dem: A equivalência entre 2) e 3) é uma consequência imediata do axioma 3Pelo contrário, quando T Á U lT Ul, não é uma família contante, e portanto não pode ser caracterizado como um número real.
a) em 1.9, tal como o facto de se ter lT Ul lT Vl lVUl se for .ÐT ß UÑ .ÐT ß VÑ .ÐVß UÑ, para algum − Y. Consideremos então,. para fixar ideias, um -sistema de coordenadas de , . < 0 À < Ä ‘ tal que 0 ÐT Ñ œ ! e 0 ÐUÑ œ " (cf. 1.15). Se V − ÒT ß UÓ, tem-se ! Ÿ 0 ÐVÑ Ÿ ", e então
.ÐT ß UÑ œ " œ 0 ÐVÑ Ð" 0 ÐVÑÑ œ .ÐT ß VÑ .ÐVß UÑ.
Por outro lado, se V Â ÒT ß UÓ, ou 0 ÐVÑ ", ou 0 ÐVÑ !. No primeiro caso tem-se
.ÐT ß UÑ œ " 0 ÐVÑ œ .ÐT ß VÑ Ÿ .ÐT ß VÑ .ÐVß UÑ, e, no segundo caso, tem-se
.ÐT ß UÑ œ " " 0 ÐVÑ œ .ÐVß UÑ Ÿ .ÐT ß VÑ .ÐVß UÑ. 1.26 (O ponto médio de um segmento) Sejam < −e e T ß U − < com T Á U. Existe então um, e um só, ponto Q − < tal que lQ T l œ lQ Ul (condição equivalente à de se ter .ÐQ ß T Ñ œ .ÐQ ß UÑ, para algum . − Y). Tem-se Q − ÒT ß UÓ, e portanto lQ T l œ lT Ul" . Para cada sistema de coordenadas
# 0 À < Ä‘, tem-se 0 ÐQ Ñ œ 0 ÐT Ñ0 ÐUÑ.
#
Nas condições anteriores diz-se que é o Q ponto médio do par ÐT ß UÑ (ou do segmento de recta ÒT ß UÓ). Por extensão, quando T œ U, definimos o ponto médio do par ÐT ß UÑ como sendo Q œ T œ U, que verifica trivialmente ainda as propriedades Q − ÒT ß UÓ, lQ T l œ lQ Ulœ lT Ul"# e, para cada sistema de coordenadas 0 À < Ä‘, 0 ÐQ Ñ œ 0 ÐT Ñ0 ÐUÑ# .
Dem: A equivalência entre a condição de se ter lQT l œ lQUl e a de se ter .ÐQ ß T Ñ œ .ÐQ ß UÑ, para algum . −Y, é uma consequência imediata do axioma a) em 1.9. Seja 0 À < Ä‘ um -sistema de corrdenadas. A condição. .ÐQ ß T Ñ œ .ÐQ ß UÑ é então equivalente a
l0 ÐQ Ñ 0 ÐT Ñl œ l0 ÐQ Ñ 0 ÐUÑl, ou seja, à verificação de alguma das condições
0 ÐQ Ñ 0 ÐT Ñ œ 0 ÐQ Ñ 0 ÐUÑ 0 ÐQ Ñ 0 ÐT Ñ œ 0 ÐUÑ 0 ÐQ Ñ.
A primeira condição é impossível, uma vez que 0 ÐT Ñ Á 0 ÐUÑ, pelo que ficamos reduzidos à condição 0 ÐQ Ñ 0 ÐT Ñ œ 0 ÐUÑ 0 ÐQ Ñ que é, de facto, verificada por um único , a saber, o definido porQ
0 ÐQ Ñ œ 0 ÐT Ñ 0 ÐUÑ
# .
Esta condição implica que, se 0 ÐT Ñ 0 ÐUÑ, então 0 ÐT Ñ 0 ÐQ Ñ 0 ÐUÑ e que, se 0 ÐUÑ 0 ÐT Ñ, então 0 ÐUÑ 0 ÐQ Ñ 0 ÐT Ñ, em qualquer caso
tem-se Q − ÒT ß UÓ. Em particular, pelo resultado precedente, tem-se lT Ul œ lT Q l lQ Ul œ #lQ T l,
portanto .lQ T l œ lT Ul"#
2. Axioma de separação do plano.
2.1 (A relação segmental) Seja um subconjunto de . Definimos então umaV X relação µ em (a que damos o nome de V relação segmental em ) , pondoV4
T µ U Í ÒT ß UÓ § V (cf. a alínea c) de 1.18).
Esta relação é trivialmente reflexiva e simétrica (lembrar que ÒT ß T Ó œ ÖT × e que ÒT ß UÓ œ ÒUß T Ó) mas só em casos particulares será uma relação de equivalência.
2.2 Dizemos que um conjunto V § X é convexo se a relação segmental em forV a relação universal, isto é, se, quaisquer que sejam T ß U − V, tem-se ÒT ß UÓ § V.
Repare-se que, para verificar que um conjunto é convexo basta trivialmenteV verificar que, para T Á U em , tem-se V ÒT ß UÓ §V.
2.3 (Propriedades dos conjuntos convexos)
a) O espaço todo , o vazio e um conjunto unitário X g ÖT × são conjuntos convexos.
b) Uma intersecção arbitrária de conjuntos convexos é um conjunto convexo. c) Um plano !−c é um conjunto convexo.
d) Uma recta < − e é um conjunto convexo. e) Uma semirecta T UÛ é um conjunto convexo.
f) Um segmento de recta ÒT ß UÓ é um conjunto convexo.
Dem: as alíneas a) e b) são triviais, no caso do conjunto unitário atendendo à observação no segundo parágrafo de 2.2. A alínea c) resulta de que, dados T Á U em , concluímos de ! 1.4 que a recta < œ T U está contida em , e! portanto ÒT ß UÓ § < §!. A alínea d) resulta de que, dados T Á U em ,<
tem-se ÒT ß UÓ § <. As alíneas e) e f) resultam das alíneas homónimas da
propriedade .1.20
2.4 Dizemos que um conjunto V §X é cónico relativamente a um pontoT −X se se tem T −V e, para todo o U −V com U Á T T U §, Û V.
2.5 (Propriedades dos conjuntos cónicos)
a) Dado T −X, o espaço todo e o conjunto unitário X ÖT × são cónicos relativamente a .T
b) Uma intersecção arbitrária de conjuntos cónicos relativamente a é umT conjunto cónico relativamente a .T
c) Um plano é um conjunto cónico relativamente a qualquer ponto ! T −!. d) Uma recta é um conjunto cónico relativamente a qualquer ponto < T − <. e) Uma semirrecta T UÛ é um conjunto cónico relativamente a .T
Dem: Trata-se de consequências imediatas das definições se recordarmos, para a alínea c), que dado U Á T em , a recta ! T U está contida em .! 2.6 (Quando a relação segmental é de equivalência) Seja V§X um conjunto
cuja relação segmental associada seja de equivalência. Tem-se então que as correspondentes classes de equivalência são conjuntos convexos.
Dem: Basta atender a que, se T ß U − V estão numa mesma classe de equivalência, tem-se T µ U, portanto ÒT ß UÓ §V e então ÒT ß UÓ também está contido na classe de equivalência, visto que, para cada V − ÒT ß UÓ, tem-se ÒT ß VÓ § ÒT ß UÓ §V (cf. a alínea f) de 1.20), e portanto T µ V. 2.7 (Teorema de separação da recta) Sejam < −e uma recta e S − < um elemento fixado. Sejam e as duas semirrectas de de origem (cf.< < < S
1.19). Tem-se então que:
a) A relação segmental em < Ï ÖS× é uma relação de equivalência com duas classes de equivalência, os conjuntos < Ï ÖS× < Ï ÖS× e .
b) Se T − < Ï ÖS× U − < Ï ÖS× e , então S − ÒT ß UÓ.
Dem: Fixemos em uma das suas duas ordens lineares e sejam e as< < < semirrectas constituídas respectivamente pelos pontos com T S Ÿ T e por aqueles com T Ÿ S. Sendo T ß U − < Ï ÖS× , portanto S T e S U, tem-se trivialmente S V, para cada V − ÒT ß UÓ, portanto ÒT ß UÓ § < Ï ÖS× , o que mostra que T µ U. Analogamente se verifica que, para T ß U − < Ï ÖS× se tem T µ U. Por fim, se T − < Ï ÖS× U − < Ï ÖS× e , tem-se T S S U e , portanto S − ÒT ß UÓ, em particular T µÎ U. 2.8 (Axioma da separação do plano) Sejam !−c um plano e < −e uma
recta com < §!. Tem-se então que a relação segmental em !Ï < é uma relação de equivalência, com duas classes de equivalência Ð Ï <Ñ! e Ð Ï <Ñ! , a que damos o nome de semiplanos abertos de com bordo .! <5
5Como anteriormente, nenhum dos semiplanos é privilegiado pelo que os índices e são de atribuição arbitrária.
Chamamos semiplanos de com bordo aos subconjuntos de ! < ! !œ Ð Ï <Ñ <! , !œ Ð Ï <Ñ <! .
2.9 (Definição) Sejam < −e uma recta e T −X um ponto, tais que T Â <. Considerando o único plano que contém e (cf. a alínea ! < T a) de 1.8), notamos <TÛ o semiplano de de bordo que contém o ponto .! < T
2.10 Nas hipóteses de 2.8, se T − Ð Ï <Ñ! e U − Ð Ï <Ñ! , então ÒT ß UÓ < Á g e as rectas = œ T U e são concorrentes (isto é, têm intersecção reduzida a< um ponto) e portanto também ÒT ß UÓ < e são concorrentes.
P
Q r
s
Dem: Uma vez que ÒT ß UÓ §Î !Ï < e ÒT ß UÓ §!, vem ÒT ß UÓ < Á g. Uma vez que as rectas = œ T U < e são distintas, por a segunda não conter (nemT U) e que têm um ponto comum, basta agora aplicarmos c) de 1.7. 2.11 (Teorema de separação do espaço )6 Seja !§X um plano. Tem-se então
que a relação segmental µ em XÏ! (cf. 2.1) é uma relação de equivalência com duas classes de equivalência Ð Ï ÑX ! e Ð Ï ÑX !, a que damos o nome de semiespaços abertos com bordo . Chamamos !7 semiespaços com bordo ! aos subconjuntos de X
X œ Ð Ï Ñ X ! !, Xœ Ð Ï Ñ X ! !.
Dem: 1) Comecemos com a seguinte observação que teremos ocasião de utilizar adiante. Dado um plano "§X tal que "! seja uma recta e dados< dois pontos \ß ] −"Ï <, tem-se também \ß ] −XÏ! e vem \ µ ], para a relação segmental em XÏ! se, e só se, \ µ ], para a relação segmental em " Ï <. Para justificar esta afirmação basta reparar que se tem sempre Ò\ß ] Ó §" e que um ponto de Ò\ß ] Ó que esteja em está também em! !"œ <.
2) Uma segunda observação que nos será útil é a de que, dados três pontos Eß Fß G −XÏ!, tais que pelo menos um dos conjuntos ÒEß FÓ ÒFß GÓ, e
6Comparar com 2.7 2.8 e .
7Como habitualmente, nenhum dos semiespaços é privilegiado pelo que os índices e são de atribuição arbitrária.
ÒGß EÓ contenha um ponto T −!, então existe um plano "§X, contendo os três pontos e tal que "! seja uma recta . Para justificar esta afirmação,< separamos os casos em que Eß Fß G não são colineares e em que o são. No primeiro caso tomamos para o único plano que contém os pontos " Eß Fß G, reparando que "Á! e que "! contém o ponto (cf. a alínea T d) de 1.7). No segundo caso consideramos a única recta que contém os três pontos= (uma tal recta contém necessariamente , que é distinto de T Eß Fß G), tomamos uma recta arbirária de tal que < ! T − < e tomamos para o único" plano que contém as rectas e (cf. a alínea < = b) de 1.8).
3) Mostremos agora que a relação segmental µ é uma relação de equiva-lência em XÏ!. Sejam então Eß Fß G −XÏ! tais que E µ F e F µ G e tentemos provar que E µ G. Suponhamos, por absurdo, que isso não acontecia, e portanto que existia T − ÒEß GÓ !. Como vimos em 2), existe um plano contendo os três pontos e tal que " "! seja uma recta e, tendo< em conta o que vimos em ) vem, para a relação segmental em " "Ï < E µ F, , F µ G e E µÎ G, o que é absurdo, tendo em conta 2.8.
4) Mostremos agora que µ admite pelo menos duas classes de equivalência. Consideremos então E −XÏ! arbitrário e T −! arbitrário. Sendo a recta= que contém e , fixemos a ordem linear de para a qual E T = E T e reparemos que = !œ ÖT ×. Seja enfim F − = tal que T F. Tem-se assim F −XÏ! e T −! ÒEß FÓ, o que mostra que não se tem E µ F.
5) Mostremos enfim que µ não pode ter mais que duas classes de equivalência, isto é, que, se Eß Fß G −XÏ! são tais que E µ F/ e F µ G/ , então E µ G. Para isso, tendo em conta o que vimos em 2), consideramos um plano contendo os três pontos e tal que " "! seja uma recta e, tendo< em conta o que vimos em ) vemos que, para a relação segmental em " "Ï <, tem-se ainda E µ F/ e F µ G/ donde, por 2.8, E µ G e portanto também E µ G para a relação segmental em XÏ!, tendo em conta o que vimos em
1).
2.12 (Semiplanos e semirrectas) Sejam ! um plano e < §! uma recta e consideremos os correspondentes semiplanos abertos Ð Ï <Ñ! e Ð Ï <Ñ! e os semiplanos associados ! e !. Seja T − <. Tem-se então:
a) Se U − Ð Ï <Ñ! , e se = œ T U, tem-se então que = < œ ÖT × = , ! é a semirecta T U = Û e ! é a outra semirrecta de de origem .= T
b) Se = Á < é uma recta contida em e com ! T − =, então = ! e = ! são as duas semirectas de de origem .= T
c) Um semiplano ! de bordo é cónico relativamente a qualquer ponto< T − <.
Dem: O facto de se ter a) = < œ ÖT × é uma consequência de c) de 1.7, uma vez que = Á <, por ser U − = e U  <. Além disso tem-se = § !, tendo em conta 1.4. Escolhamos em a ordem linear para a qual se tem = T U. Suponhamos que V − = é tal que V T. Tem-se V  < e V µÎ U, uma vez que T − ÒVß UÓ, donde ÒVß UÓ §Î !Ï <, e portanto V − Ð Ï <Ñ! . Fixando agora um V − =! tal que V T! , vemos que, para cada W − = tal que
T W, tem-se ÒV ß WÓ §! Î !Ï <, uma vez que T − ÒV ß WÓ! , portanto V µ! Î W, o que implica que W − Ð Ï <Ñ! . Uma vez que T − = !, concluímos portanto que = ! é o conjunto dos W − = tais que T Ÿ W, isto é, é a semirecta T UÛ. Por outro lado, = ! é constituído pelo único ponto deT = < e pelos pontos de que estão em = Ð Ï <Ñ! , isto é, que não estão em !, sendo assim o conjunto dos X − = tais que X Ÿ T, sendo assim a outra semirrecta de origem .T Q r s P R R S
α
α
+ − 0b) Temos uma consequência imediata de a), uma vez que = < œ ÖT × e portanto, considerando U − = arbitrário com U Á T, ou U − Ð Ï <Ñ! ou U − Ð Ï <Ñ! .
c) Se U −!Ï < œ Ð Ï <Ñ! , já verificámos em a) que T U §Û !. Por outro lado se X − <, com X Á T, tem-se T X § < §Û !. 2.13 (Nova notação para semiplanos) Sejam < −e uma recta, T − < = e uma semirrecta de origem cuja recta associada seja distinta de . QuaisquerT = <
que sejam Uß Uw w
− = distintos de , tem-se então T Uß U Â < e os semiplanos <UÛ e <UÛw (cf. 2.9) coincidem, o que nos permite definir a notação
<= œ <UÛ Û ,
onde é um elemento arbitrário de distinto de . Trata-se de umU = T semiplano de bordo do único plano que contém e . O outro semiplano< ! < = de de bordo é então ! < <=Û, onde é a outra semirrecta de .= =
Dem: Uma vez que e são rectas distintas com o ponto comum, elas são< = T concorrentes, e portanto existe um único plano que contém e . Sendo! < = !œ <UÛ o semiplano de de bordo que contém , resulta da alínea ! < U a) de
2.12 que = œ T U § Û !, em particular U −w !Ï <, pelo que ! é também o semiplano de de bordo que contém , isto é ! < Uw ! œ <UÛw. O facto de <=Û
ser o outro semiplano de de bordo resulta de que, também pela alínea ! < a) de 2.12, os pontos de distintos de estão em = T !Ï < œ Ð Ï <Ñ! . 2.14 (Os semiplanos são convexos) Sejam ! um plano e < §! uma recta e consideremos os correspondentes semiplanos ! e ! de , de bordo .! < Tem-se então que estes semiplanos são conjuntos convexos.
Dem: Suponhamos que T ß U −!, com T Á U. Três casos são possíveis: 1) T ß U − Ð Ï <Ñ! . Nesse caso ÒT ß UÓ § Ð Ï <Ñ §! !, porque os semipla-nos abertos são conjuntos convexos (cf. 2.6).
2) T ß U − <. Nesse caso ÒT ß UÓ § < § !, porque as rectas são conjuntos convexos (cf. a alínea d) de 2.3).
3) Um dos pontos, por exemplo pertence a e ou outro, , pertence aT < U Ð Ï <Ñ! . Nesse caso, concluímos a partir da alínea a) de 2.12 que
ÒT ß UÓ § T U §Û !.
2.15 (Rectas que passam num ponto dum semiplano aberto) Sejam ! um
plano e < § ! uma recta e consideremos os correspondentes semiplanos ! e ! de , de bordo . Seja ! < S −!Ï < œ Ð Ï <Ñ! e seja = §! uma recta com S − =. Qualquer que seja a ordem linear de existem então pontos= T ß U − = Ð Ï <Ñ! com T S U.
Dem: Suponhamos, em primeiro lugar, que = < œ g. Qualquer que seja V − =, tem-se então, em particular, ÒSß VÓ < œ g, donde, tendo em conta
2.10, V − Ð Ï <Ñ! , pelo que podemos tomar para e pontos arbitráriosT U de com = T S U.
Suponhamos agora que = < Á g, portanto, uma vez que se trata de rectas distintas, por ser S  < = < œ ÖE×, , para um certo ponto . Fixemos aE ordem linear de para a qual = E S. Tendo em conta a alínea a) de 2.12, tem-se que = ! é a semirecta ESÛ pelo que, escolhendo pontos T ß U − = com E T S U, tem-se T ß U − ESÛ e T ß U  <, donde T ß U − Ð Ï <Ñ! . No caso de a ordem linear considerada em ser a oposta desta,=
basta trocar os papéis de e .T U
2.16 (Os semiplanos determinam o plano e a recta)Sejam !−c um plano e < −e uma recta com < §! e seja ! um dos semiplanos de com bordo .! <
Tem-se então:
a) Existem em ! três pontos não colineares, em particular é o único plano! que contém !.
b) Dado S −!, tem-se S Â < se, e só se, quaisquer que sejam a recta = §! com S − =, e a ordem linear de , existem = T ß U − = ! com T S U. Em particular o semiplano ß ! não pode ter mais que uma recta como bordo.
Dem: Sejam a) T − Ð Ï <Ñ! e Uß U − <w , com U Á Uw. Sendo = §! a recta T U, resulta da alínea a) de 2.12 que = < œ ÖU× e que = ! é a semirrecta UTÛ. Considerando a ordem linear de tal que = U T, podemos considerar pontos Vß W − = tais que W V U, pontos que não pertencem à semirecta UTÛ, ou seja, não pertencem a !, pelo que pertencem a
Ð Ï <Ñ! . Do mesmo modo, sendo = §w ! a recta T Uw, podemos considerar X − =w Ð Ï <Ñ em ! .
P
r
s
s'
Q
Q'
R
S
T
α
α
+
−
Uma vez que = < œ ÖU×, tem-se U  =w , e portanto as rectas e são= =w distintas. Uma vez que T − = =w, segue-se que = = œ ÖT ×w , e portanto X  =. Uma vez que é a única recta que contém os pontos distintos e ,= V W concluímos que Vß Wß X são pontos não colineares em Ð Ï <Ñ! , em particular também em !.
b) No caso em que S  <, resulta de 2.15 que, quaisquer que sejam a recta = §! com S − =, e a ordem linear de , existem = T ß U − = ! com T S U (reparar que Ð Ï <Ñ §! !). Suponhamos agora que S − <. Escolhendo U − Ð Ï <Ñ! . podemos considerar na recta = œ SU §! a ordem linear para a qual S U e resulta então da alínea a) de 2.12 que = !œ SUÛ, em particular, para cada T S em , = T Â!. 2.17 (Teorema de Pasch) Sejam ! um plano, < §! uma recta e Eß Fß G −!Ï < três pontos distintos. Se tem intersecção não vazia com um< dos segmentos ÒEß FÓ ÒFß GÓ, e ÒEß GÓ, então tem intersecção não vazia com dois, e só dois, destes segmentos.
Dem: Suponhamos que ÒEß FÓ < Á g. Então E µÎ F para a relação que define os semiplanos abertos de de bordo , pelo que, nomeando-os! < convenientemente, tem-se E − Ð Ï <Ñ! e F − Ð Ï <Ñ! . Tem-se então que ou G − Ð Ï <Ñ! , ou G − Ð Ï <Ñ! . No primeiro caso, como Ð Ï <Ñ! é convexo (cf. 2.6), ÒEß GÓ § Ð Ï <Ñ! , donde ÒEß GÓ < œ g e, por outro lado G µÎ F , e portanto ÒFß GÓ < Á g. Analogamente, no segundo caso,
ÒFß GÓ < œ g ÒEß GÓ < Á g e .
3. Ângulos.
3.1 (Definição) Vamos chamar ângulo (não orientado) a um conjunto Ö< ß = × de duas semirrectas com uma mesma origem , cujas rectas e corres-S < = pondentes sejam distintas (em particular < = œ ÖS×). Dizemos que é aS
origem ou vértice do ângulo e que as semirrectas e são as suas< =
extremidades.
3.2 Dado um ângulo Ö< ß = × , existe um único plano que contém e (a! < = que damos o nome de plano do ângulo) e esse plano contém mesmo as rectas < = e correspondentes às semirrectas.
Dem: Uma vez que uma semirrecta contém sempre mais que um ponto, resulta de 1.4 que qualquer plano que contenha e contém também e< = < =. Mas e são rectas concorrentes e portanto, pela alínea < = b) de 1.8, existe um único plano contendo e , esse plano contendo, em particular, e! < = <
=.
3.3 (O sector angular) Consideremos um ângulo Ö< ß = × com vértice eS plano e sejam e as rectas que contém e . Podemos considerar o! < = < = semiplano <=Û de de bordo (cf.! < 2.13), que coincide com o semiplano <TÛ, com ponto arbitrário de distinto de e, do mesmo modo, o semiplanoT = S =<Û de de bordo que coincide com o semiplano ! = =UÛ, com pontoU arbitrário de distinto de . Definimos então o conjunto < S nÖ< ß = × § !, a que damos o nome de sector angular associado ao ângulo dado, ou tendo as semirrectas e como bordo< = , como sendo a intersecção daqueles dois semiplanos: nÖ< ß = × œ <= =< Û Û .
r
s
+
+
Q
P
O
3.4 (O conteúdo e o plano continente dum sector angular) Nas condições anteriores, o sector angular nÖ< ß = × é um conjunto convexo, cónico relativamente a , que contém as semirrectas e e não intersecta osS < = conjuntos < Ï ÖS× = Ï ÖS× e . Em particular um sector angular está contido num único plano.
Dem: O facto de se tratar dum conjunto convexo, cónico relativamente a ,S resulta de termos a intersecção de dois conjuntos convexos, cónicos relativamente a , a saber, dois semiplanos com nos respectivos bordos. OS S facto de o sector angular conter as semirrectas e resulta de que isso< =
acontece com cada um dos semiplanos considerados. O facto de o sector angular ter intersecção vazia com, por exemplo, o conjunto < Ï ÖS× vem de que, por 2.12, este conjunto está contido no semiplano aberto distinto do que contém , e portanto não intersecta U =UÛ.
3.5 Nas (Intersecção de um sector angular com uma recta) çõescondi
anteriores, notando o plano que contém o sector angular ! nÖ< ß = × : a) Sejam T − =, com T Á S, e U − <, com U Á S. Sendo > œ T U §!, tem-se que > nÖ< ß = × œ ÒT ß UÓ > < œ ÖU× , e > = œ ÖT × . Em particular, > nÖ< ß = × tem pontos que não estão em nem em < = Þ b) Seja > §! uma recta com S − >. Tem-se então que ou > nÖ< ß = × œ ÖS×, ou > nÖ< ß = × é uma semirrecta de com origem .> S
c) Seja V − nÖ< ß = × tal que V Â < e V Â =. Quaisquer que sejam a recta > §! com V − > e a ordem linear de , existem > Eß F − > nÖ< ß = × tais que E V F.
Dem: Tendo em conta a alínea a) a) de 2.12 > <T œ UT > =U œ T U, Û Û e Û Û, tal como > < œ ÖU× > = œ ÖT × e , pelo que podemos concluir que
> nÖ< ß = × œ > Ð<T =U Ñ œ UT T U œ ÒT ß UÓ Û Û Û Û .
Em particular, concluímos que os pontos V − ÒT ß UÓ, distintos de e de ,T U são pontos de nÖ< ß = × que não estão em nem en < = Þ
b) Suponhamos que > nÖ< ß = × Á ÖS× e escolhamos V Á S em > nÖ< ß = × . Se V − < ou V − =, tem-se > œ < ou > œ =, respectiva-mente, pelo que resulta de 3.4 que > nÖ< ß = × é ou , respectiva-< = mente, portanto uma semirrecta de de origem . Vejamos enfim o que> S sucede V  < e V  =. Mais uma vez por 3.4, V  < e V  =, pelo que resulta da alínea a) de 2.12 que, com e escolhidos nas condições da a),T U > <TÛ e > =UÛ são ambos iguais à semirrecta SVÛ de , e portanto também> > nÖ< ß = × œ > Ð<T =U Ñ Û Û é igual à semirrecta SVÛ.
c) Como anteriormente, resulta de 3.4 que V Â < e V Â =, com nosV semiplanos <TÛ e =UÛ. Fixada uma das ordens lineares em , resulta da alínea>
b) de 2.16 a existência de E V Fw w em > <TÛ e de E V Fww ww em > =UÛ . Sejam o maior dos pontos e e o menor dos pontos eE Ew Eww F Fw Fww. Tem-se assim que Eß F − > são tais que E V F e o facto de se ter E − ÒE ß VÓ ÒE ß VÓw ww e F − ÒVß F Ó ÒVß F Ów ww e de os semiplanos <TÛ e =UÛ serem convexos (cf.2.14) implica que se tem também Eß F − <T =U œÛ Û
nÖ< ß = × .
3.6 (O sector angular determina o ângulo) Não pode haver dois ângulos que determinem o mesmo sector angular.
Dem: Já verificámos em 3.4 que um sector angular está contido num único plano . Tudo o que temos que fazer é apresentar uma caracterização das! semirrectas e que constituem o ângulo a partir do conjunto < = nÖ< ß = × , para o que utilizaremos as conclusões das diferentes alíneas de 3.5.
Em primeiro lugar o vértice , origem comum das semirrectas, ficaS determinado pelo conjunto nÖ< ß = × . De facto é o único pontoS V − nÖ< ß = × que tem a propriedade de qualquer recta > §! contendo V intersectar nÖ< ß = × em ÖV× ou numa semirecta de de origem . Com> V efeito, pela alínea b), o ponto tem essa propriedade, pela alínea a) qualquerS ponto de ou de distinto de não a verifica, por existir uma rectaV < = S > §! contendo que intersectada com V nÖ< ß = × é igual a um segmento de recta, tendo como uma das extremidades, e, pela alínea c), qualquer pontoV V de nÖ< ß = × que não pertença a nem a também não a verifica, visto< = que, para qualquer recta > §!, com V − > V nÖ< ß = ×, não é uma semir-recta de origem , por conter pontos menores e pontos maiores que .V V O raciocínio feito atrás mostra também que os pontos de de V < = distintos de ficam determinados pelo conjunto S nÖ< ß = × : São, nomeadamente, os pontos V − nÖ< ß = × com a propriedade de, para alguma recta > §! com V − >, o conjunto > nÖ< ß = × ser um segmento de recta com como uma das extermidades.V
Por fim, as próprias semirrectas e que constituem o ângulo, ficam< = determinadas pelo conjunto nÖ< ß = × , por se tratar das duas semirrectas de origem que contêm algum ponto de S < = distinto de .S
3.7 (Ângulos adjacentes e verticalmente opostos) Sejam ! um plano e Ö< ß = × um ângulo de vértice contido em . Sendo e as rectas queS ! < =
contêm as semirrectas e , respectivamente, e sendo e as< = < = semirrectas opostas, chamamos ângulos adjacentes do ângulo Ö< ß = × aos ângulos Ö< ß = × e Ö< ß = × , que têm uma semirrecta comum e a outra semirrecta oposta, e ângulo verticalmente oposto do ângulo Ö< ß = × ao ângulo Ö< ß = × , definido pelas duas semirrectas opostas.
3.8 (O plano em quatro partes) Nas condições anteriores:
a) O plano é a união dos quatro sectores angulares ! nÖ< ß = × nÖ< ß = × , , nÖ< ß = × nÖ< ß = × e .
b) A intersecção nÖ< ß = × nÖ< ß = × dos sectores angulares correspon-dentes a ângulos adjacentes é a semirrecta comum .<
c) A intersecção nÖ< ß = × nÖ< ß = × dos sectores angulares correspon-dentes a ângulos verticalmente opostos é o conjunto ÖS×.
Dem: Uma vez que o plano é trivialmente a união dos dois semiplanos! com uma dada recta como bordo, os quais têm essa recta como intersecção, podemos escrever, tendo em conta 2.13
! Û Û Û Û ! Û Û Û Û œ <= <= <= <= œ < œ =< =< =< =< œ = , , , .
Das igualdades na primeira coluna resulta que é a reunião dos quatro! conjuntos
<= =< œ nÖ< ß = × <= =< œ nÖ< ß = × <= =< œ nÖ< ß = × <= =< œ nÖ< ß = × Û Û Û Û Û Û ,, Û Û ,.
Podemos agora notar que, pela alínea a) de 2.12,
nÖ< ß = × nÖ< ß = × œ Ð<= <= Ñ =< œ < =< œ < Û Û Û Û e que
nÖ< ß = × nÖ< ß = × œ Ð<= =< Ñ Ð<= =< Ñ œ < = œ ÖS× Û Û Û Û ,
o que termina a demonstração,
3.9 (O teorema da barra cruzada) Seja Ö< ß = × um ângulo de vértice S contido no plano . Seja ! V − nÖ< ß = × com V  < e V  = e consideremos a recta > œ SV §! e a semirrecta > œ SV Û de . Tem-se> então:
a) A recta é distinta de e de , tem-se > < = > œ > nÖ< ß = × , a semirrecta < está contida num dos semiplanos de tendo como bordo e a semirrecta ! > = está contida no outro semiplano de com o mesmo bordo.!
b) Dados pontos arbitrários T − = Ï ÖS×ww e U − < Ï ÖS×ww , a semirrecta
> é concorrente com o segmento ÒT ß U Óww ww. c) Tem-se nÖ< ß = × œ nÖ< ß > × nÖ> ß = × nÖ< ß > × nÖ> ß = × œ > . d) tem-se < § nÖ> ß = × = § nÖ< ß > × e .
Dem: Tendo em conta a) 3.4, tem-se mesmo V  < e V  = e daqui resulta que a recta é distinta de e de . O facto de ser > < = > œ > nÖ< ß = × resulta da alínea b) de 3.5. Fixemos pontos T − = Ï ÖS× e U − < Ï ÖS× . Consi-deremos em , e as ordens lineares para as quais < = > S U S T, e S V, respectivamente e fixemos pontos U − < T − =w , w e V − >w tais que U S T S V Sw , w e .w r s + + t+ P Q R R' P' Q' O
Tendo em conta a alínea a) de 2.12, <TÛw é o semiplano de de bordo ! < diferente de <TÛ e =UÛw é o semiplano de de bordo diferente de ! = =UÛ. Tendo em conta o mesmo resultado, os elementos de > œ SV Û pertencem a <T =UÛ Û, os elementos de > œ SV Ûw pertencem a <T =UÛw Ûw e, em ambos os casos, com a excepção de , não pertencem a nem a . Por outro lado, eS < = T Uw pertencem ambos a =U <TÛw Û pelo que, uma vez que os semiplanos são convexos, ÒT ß U Ó § =U <Tw Ûw Û. Podemos assim concluir que os elementos de ÒT ß U Ów (que não incluem , senão as rectas e coincidiam ambas comS < =
U Tw > =U =Uw
) não podem estar em (senão estariam em Û Û e não estariam em ) nem em (senão estariam em = > <T <TÛ Ûw e não estariam em ) e< portanto não podem estar em . Tem-se assim que e pertencem ao> T Uw mesmo semiplano aberto de de bordo . Mas, uma vez que ! > ÒUß U Ów intersecta em , e pertencem a semiplanos abertos distintos de de> S U Uw ! bordo , pelo que podemos concluir que e pertencem a semiplanos> T U abertos distintos de de bordo . Mais uma vez pelo mesmo resultado que! > temos vindo a aplicar, a semirrecta < œ SU Û está contida num dos semiplanos de de bordo e a semirrecta ! > = œ ST Û no outro semiplano de ! com o mesmo bordo.
b) Uma vez que Tww e Uww são elementos de e de , respectivamente, que= <
não pertencem a , o que vimos em a) implica que > Tww e Uww pertencem a semiplanos abertos de de bordo distintos, pelo que ! > ÒT ß U Óww ww intersecta > num ponto Vww. O facto os sectores angulares serem convexos implica que
V − > nÖ< ß = ×ww V Á Sww
que, pela alínea b) de 3.5, uma vez que contém , é uma semirrecta de de origem , e portanto é a semirrecta > S SV œ >Û . O facto de se ter > ÒT ß U Ó œ ÖV × ww ww ww vem de que se tem mesmo > T U œ ÖV ×ww ww ww por as rectas > / T Uww ww serem distintas (por exemplo, T  >ww porque > Á =).
c) Fixemos pontos T − = Ï ÖS× e U − < Ï ÖS× . Tendo em conta b), podemos considerar W − > ÒT ß UÓ . Vem W Á S (senão T ß Sß U eram colineares e < œ =) e W Á T e W Á U (senão seria uma das rectas e , ao> < = contrário do que vimos em a)).
r s t + + + O Q P R S
Suponhamos agora que \ − nÖ< ß > × , com \ Á S. Tem-se então que a semirrecta S\Û intersecta ÒUß WÓ num ponto \w, que não é mais do que a intersecção das rectas S\ e UT; com efeito, isso é evidente nos casos em que \ − < (então \ œ Uw ) e em que \ − > (então \ œ Ww ) e, caso contrário, temos uma consequência de b). Resulta daqui que se tem \ − ÒUß T Ó œ UT nÖ< ß = ×w
(cf. a alínea a) de 3.5) e daqui resulta que \ − nÖ< ß = × , uma vez que \ − S\Ûw e nÖ< ß = × é cónico relativamente a .S
Por simetria dos papéis de e , se < = \ − nÖ= ß > × , com \ Á S, então S\Û intersecta ÒT ß WÓ num ponto \w, que não é mais do que a intersecção das rectas S\ UT e , e tem-se também \ − nÖ< ß = × .
O que vimos nos dois parágrafos anteriores, mostra que se \ Á S e \ − nÖ< ß > × nÖ= ß > × , então a intersecção \w das rectas S\ e UT é simultaneamente a intersecção de S\Û com ÒUß WÓ e com ÒT ß WÓ, sendo assim \ œ Ww \ − SW œ >
, portanto Û .
Uma vez que pertence a todos os sectores angulares envolvidos e àS semirrecta , o que vimos até agora mostra que > nÖ< ß > × § nÖ< ß = × , que , nÖ= ß > × § nÖ< ß = × donde
nÖ< ß > × nÖ> ß = × § nÖ< ß = ×
e que nÖ< ß > × nÖ> ß = × § > , e podemos dizer que se tem mesmo nÖ< ß > × nÖ> ß = × œ > , uma vez que está contido nos dois sectores> angulares nÖ< ß > × nÖ> ß = × e .
Resta-nos mostrar que nÖ< ß = × § nÖ< ß > × nÖ> ß = × , para o que consideramos \ − nÖ< ß = × , que podemos já supor distinto de . Tem-seS então que a semirrecta S\Û intersecta ÒUß T Ó num ponto \w, que não é mais do que a intersecção das rectas S\ e UT; com efeito, isso é evidente nos casos em que \ − < (então \ œ Uw ) e em que \ − = (então \ œ Tw ) e, caso contrário, temos uma consequência de b). Uma vez que ÒUß T Ó œ ÒUß WÓ ÒWß T Ó, tem-se \ − ÒUß WÓ œ UW nÖ< ß > ×w ou \ − ÒWß T Ó œw
WT nÖ> ß = × , em particular \ − nÖ< ß > ×w ou \ − nÖ> ß = ×w (cf. a alínea a) de 3.5) e daqui resulta que \ − nÖ< ß > × ou \ − nÖ> ß = × , uma vez que \ − S\Ûw e os sectores angulares são cónicos relativamente a .S d) Uma vez que a semirrecta está contida num dos semiplanos de tendo< ! > como bordo e a semirrecta está contida no outro semiplano de com o= ! mesmo bordo e uma vez que, por 2.12, a semirrecta está contida no= semiplano de de bordo distinto do que contém a semirrecta , segue-se! > = que < § >= Û. Por outro lado o facto de se ter > § nÖ< ß = × § =< Û implica que =< œ =>Û Û, e portanto < § => Û. Tem-se assim
< § >= => œ nÖ> ß = × Û Û
3.10 (Corolário)Seja Ö< ß = × um ângulo de vértice contido no plano . SejaS ! V − nÖ< ß = × com V  < e V  = e consideremos a recta > œ SV §! e a semirrecta > œ SV Û de . Tem-se então que a recta é distinta de e e:> > < = a) as semirrectas e estão contidas no mesmo semiplano de de bordo< = ! >. b) Se U − < Ï ÖS× , então U − nÖ= ß > × U  = > e , e portanto nÖ= ß > × œ nÖ= ß < × nÖ< ß > × nÖ= ß < × nÖ< ß < × œ < .
r
s
+
+
P
Q
P'
Q'
O
t+
R
Dem: Aplicando a alínea a) a) de 3.9 às semirrectas e , concluímos que< = a recta é distinta das rectas e , que a semirrecta está contida num dos> < = < semiplanos de tendo como bordo e a semirrecta está contida no outro! > = semiplano de com o mesmo bordo. Basta agora reparamos que, pala alínea!
a) de 2.12, a semirecta está contida no semiplano de de bordo distinto= ! > daquele que contém , e portanto no mesmo que contém a semirrecta .= < b) Pela conclusão de a), tem-se >< œ >=Û Û, e portanto, por ser U − ><Û, vem também U − >=Û. Por outro lado, por hipótese, V − nÖ< ß = × § =< Û, pelo que =< œ =>Û Û, donde, por ser U − =<Û, vem também U − =>Û. Tem-se assim U − >= => œ nÖ= ß > ×Û Û e o facto de ser U  = > vem de que U  = U  > e , por a recta ser distinta das rectas e . O resto da conclusão< = >
de b) resulta agora da alínea c) de 3.9.
3.11 (Relação de ordem total nas semirrectas) Seja uma semirrecta de= origem e contida num plano e escolhamos um dos semiplanos S ! ! de ! cujo bordo é a recta que contém . Fica então definida uma ordem total no= = conjunto das semirrectas de origem contidas em < S ! e com recta continente , < Á = por
> £ < Í nÖ= ß > × § nÖ= ß < × Í > § nÖ= ß < × Í > § <= Û . Dem: Tomamos a primeira equivalência como definição da relação £. É evidente que, se nÖ= ß > × § nÖ= ß < × , então > § nÖ= ß < × e, recipro-camente, se > § nÖ= ß < × , ou > œ < , caso em que se tem trivialmente nÖ= ß > × § nÖ= ß < × , ou > Á < e então, aplicando 3.9 depois de escolher em V > Ï ÖS× , concluímos que
nÖ< ß = × œ nÖ< ß > × nÖ> ß = × ,
em particular nÖ= ß > × § nÖ= ß < × . Ficou assim provada a segunda equivalência no enunciado. A terceira equivalência do enunciado é uma consequência de que nÖ= ß < × œ <= =< Û Û e de que, por hipótese, tem-se sempre .> § !œ =<Û
A definição da relação £ implica trivialmente que ela é transitiva e que verifica < £ < , para cada . Por outro lado, se < > £ < e < £ > , podemos concluir que nÖ= ß > × § nÖ= ß < × e portanto, por 3.6, < œ > . Consideremos enfim e tais que não se tenha < > > £ < . Tem-se assim > § <= Î Û e portanto como os semiplanos são cónicos, > § <= Û e portanto
> § <= =< œ nÖ= ß < × Û Û ,
com > Á < (porque > § <= Î Û) e > Á = (porque > Á =). Podemos então aplicar 3.10, depois de escolher em V > Ï ÖS× , para deduzir que
nÖ= ß > × œ nÖ= ß < × nÖ< ß > × ,
em particular nÖ= ß < × § nÖ= ß > × , ou seja, < £ > . 3.12 (Corolário) Nas condições anteriores, se notarmos £w a relação de ordem total que se obtém no mesmo conjunto de semirrectas de origem quando seS utiliza a semirrecta no lugar de , tem-se= =
> £ < Í < £ > w (as ordens totais são opostas uma da outra).
Dem: Por simetria dos papéis das semirrectas e , basta mostrarmos que,= = se > £ < w , então < £ > . Ora, isso é evidente se > œ < e caso contrário, vem > § <= Û, donde > § <= Î Û (senão > § < !œ <, donde > œ < ) e portanto não é > £ < , sendo assim < £ > . 3.13 (Os intervalos para a relação £ Seja ) = uma semirrecta de origem eS contida num plano e escolhamos um dos semiplanos ! ! de cujo bordo é! a recta que contém e consideremos a correspondente ordem total= = definida em 3.11 no conjunto das semirrectas de origem contidas em S ! e de recta continente distinta de . Sejam, no referido conjunto, = > £ < , com > Á < . Seja ? uma semirrecta de origem contida em S ! e de recta continente distinta de . Tem-se então que = ? § nÖ> ß < × se, e só se, > £ ? £ < .
