dimensão finita, Y § I um aberto e Ð0 Ñ8 8− uma família de funções de classe G", 0 À Y Ä J, tal que existam aplicações 0 À Y Ä J e
8
-À Y Ä PÐIà J Ñ tais que 0 ÐBÑ Ä 0 ÐBÑ8 , para cada B − Y, e que H08BÄ- uniformemente para B B − Y. Tem-se então que 0 À Y Ä J é de classe G" e, para cada B − Y H0 œ, .
B -B
Dem: Comecemos por notar que, uma vez que cada H0 À Y Ä PÐIà J Ñ8 é contínua e que o limite uniforme da aplicações contínuas é uma aplicação contínua, podemos concluir que -À Y Ä PÐIà J Ñ é uma aplicação contínua. Seja B − Y! arbitrário. Seja $ ! arbitrário. Seja < ! tal que a bola aberta F ÐB Ñ< ! esteja contida em e que, para cada Y B − F ÐB Ñ m< ! , -B-B!m Ÿ #. $ Pela convergência uniforme, seja tal que, sempre que 8! 8 8! e B − Y, mH08B-Bm Ÿ # 8 8! B − F ÐB Ñ< !
$. Para cada e , tem-se assim mH08B-B!m Ÿ mH08B-Bm m-B-B!m Ÿ$.
Podemos agora aplicar o teorema da média à aplicação :À F ÐB Ñ Ä J< ! , definida por :ÐBÑ œ 0 ÐBÑ 8 -B!ÐBÑ, para a qual se tem
mH:Bm œ mH08B-B!m Ÿ$, para deduzir que, para cada 8 8! e B − F ÐB Ñ< ! ,
m0 ÐBÑ 0 ÐB Ñ 8 8 ! -B!ÐB B Ñm œ m ÐBÑ ÐB Ñm Ÿ mB B m! : : ! $ ! , pelo que, passando ao limite em , vem também8
m0 ÐBÑ 0 ÐB Ñ ! -B!ÐB B Ñm œ m ÐBÑ ÐB Ñm Ÿ mB B m! : : ! $ ! , o que mostra que é diferenciável em e com 0 B! H0B!œ-B!.
Ap1.2 Tendo em conta a convergência uniforme da série, em qualquer bola de centro , deduzimos do resultado anterior que tem lugar uma aplica! ção de classe G ß" exp ‚À Ä‚, a aplicação exponencial, definida por
expÐDÑ œ / œ " D D " "D "D â
# $x %x
D # $ % ,
aplicação para a qual se tem expwÐDÑ œ expÐDÑ e que, portanto, é mesmo de classe .G_
Ap1.3 A aplicação exponencial verifica as seguintes propriedades: a) expÐ!Ñ œ ",
b) expÐDÑ ‚expÐDÑ œ ", em particular tem-se expÐDÑ Á !; c) expÐD AÑ œexpÐDÑ ‚expÐAÑ.
Dem: A conclusão de a) resulta de substituir por na expressão da sérieD ! definidora. Para provarmos b), consideramos uma função : ‚À Ä‚ definida por :ÐDÑ œexpÐDÑ ‚expÐDÑ e reparamos que, tendo em conta a expressão da derivada da função exp, sai
:wÐDÑ œexpÐDÑ ‚expÐDÑ expÐDÑ ‚expÐDÑ œ !
pelo que a função é constante, portanto : :ÐDÑ œ Ð!Ñ œ ": . Para provarmos c), consideremos A −‚ fixado e definamos uma função < ‚À Ä‚ por
<ÐDÑ œ ÐDÑ ‚ ÐAÑ ÐD AÑ
exp exp
exp .
Obtemos então
<wÐDÑ œ ÐDÑ ‚ ÐAÑ ‚ ÐD AÑ ÐDÑ ‚# ÐAÑ ‚ ÐD AÑ œ ! ÐD AÑ
exp exp exp exp exp exp exp
pelo que a função é constante e portanto < <ÐDÑ œ Ð!Ñ œ< expexpÐAÑÐAÑ œ ", o que implica que expÐD AÑ œexpÐDÑ ‚expÐAÑ. Ap1.4 A restrição da aplicação exponencial a é um difeomorfismo‘
estritamente crescente de sobre ‘ Ó!ß _Ò.
Dem: Começamos por notar que, para cada > !, o facto de termos uma série de termos reais latamente positivos implica que expÐ>Ñ " !, assim como expÐ>Ñ " >, o que implica que lim expÐ>Ñ œ _. Para cada
>Ä_
> Ÿ !, o facto de se ter > ! e expÐ>Ñ œ exp"Ð>Ñ implica que expÐ>Ñ ! e que lim exp . O facto de a restrição de exp a ser estritamente
>Ä_ Ð>Ñ œ ! ‘
crescente resulta de que expwÐ>Ñ œexpÐ>Ñ !. O conhecimento dos limites de exp quando > Ä _ e quando > Ä _ implica agora que o contradomínio de exp é Ó!ß _Ò e portanto que exp é uma bijecção estritamente crescente de sobre ‘ Ó!ß _Ò e o facto de se ter expwÐ>Ñ Á ! implica, pelo teorema da função inversa, que a função inversa de exp é
Ap1.5 Define-se a função logaritmo neperiano lnÀ Ó!ß _Ò Ä ‘ como sendo o difeomorfismo inverso do difeomorfismo expÀ‘Ä Ó!ß _Ò, difeomorfismo para o qual se tem lnw ".
= Ð=Ñ œ
Dem: Pelo teorema da função inversa, tem-se ln exp ln exp ln w w Ð=Ñ œ " œ " œ " Ð Ð=ÑÑ Ð Ð=ÑÑ =.
Ap1.6 Para cada complexo , tem-se D expÐDÑ œexpÐDÑ. Em consequência, se D œ D, isto é, se D œ ,3, para um certo , −‘, então lexpÐDÑl œ ".
Dem: A primeira afirmação resulta da série definidora da aplicação exponencial, tendo em conta o facto de a conjugação ser uma aplicação linear real e o de o conjugado de um produto ser o produto dos conjugados (e portanto, por indução, o conjugado de uma potência de expoente é a8 potência de expoente do conjugado). Quando 8 D œ D, podemos assim escrever
lexpÐDÑl œ# expÐDÑ ‚expÐDÑ œexpÐDÑ ‚expÐDÑ œ ". Ap1.7 Definimos funções trigonométricas cos sinß À‘Ä‘, pela igualdade
expÐ3>Ñ œcosÐ>Ñ sinÐ>Ñ 3.
Ap1.8 Tendo em conta Ap1.6, tem-se lexp3>Ñl œ ", portanto, para cada ,> cos#Ð>Ñ sin#Ð>Ñ œ ",
em particular cos#Ð>Ñ Ÿ " e sin#Ð>Ñ Ÿ ", isto é, cosÐ>Ñ − Ò ß "Ó1 e sinÐ>Ñ − Ò"ß "Ó.
Ap1.9 Lembrando que expÐ3>Ñ œexpÐ3>Ñ œexpÐ3>Ñ, podemos escrever cosÐ>Ñ sinÐ>Ñ 3 œcosÐ>Ñ sinÐ>Ñ 3,
portanto
cosÐ>Ñ œcosÐ>Ñ, sinÐ>Ñ œ sinÐ>Ñ.
Ap1.10 Por derivação da igualdade cosÐ>Ñ sinÐ>Ñ 3 œexpÐ3>Ñ, obtemos coswÐ>Ñ sinwÐ>Ñ 3 œ 3expÐ3>Ñ œ sinÐ>Ñ cosÐ>Ñ 3, portanto
Ap1.11 Da fórmula expÐ3Ð= >ÑÑ œexpÐ3=Ñ ‚expÐ3>Ñ, deduzimos que
cos sin cos sin cos sin
cos cos sin sin cos sin sin cos
Ð= >Ñ Ð= >Ñ 3 œ Ð Ð=Ñ Ð=Ñ 3ÑÐ Ð>Ñ Ð>Ñ 3Ñ œ œ Ð Ð=Ñ Ð>Ñ Ð=Ñ Ð>ÑÑ Ð Ð=Ñ Ð>Ñ Ð=Ñ Ð>ÑÑ 3, de onde deduzimos as fórmulas
cos cos cos sin sin
sin sin cos cos sin
Ð= >Ñ œ Ð=Ñ Ð>Ñ Ð=Ñ Ð>Ñ Ð= >Ñ œ Ð=Ñ Ð>Ñ Ð=Ñ Ð>Ñ , .
Ap1.12 Como casos particulares de Ap1.11, temos, tendo em conta Ap1.8,
cos cos sin cos sin
sin sin cos
Ð#>Ñ œ Ð>Ñ Ð>Ñ œ # Ð>Ñ " œ " # Ð>Ñ Ð#>Ñ œ # Ð>Ñ Ð>Ñ
# # # # ,
. e portanto também, pondo > œ =#,
cosÐ Ñ œ „= " cosÐ=Ñ
# Ê # .
Ap1.13 Partindo da série definidora da aplicação exponencial, vemos que, com a convenção ,! œ "!
cosÐ>Ñ sinÐ>Ñ 3 œexpÐ3>Ñ œ " Ð3>Ñ œ 5x œ " 3 > " 3 > œ Ð#8Ñx Ð#8 "Ñx œ Ð"Ñ > Ð"Ñ > 3 Ð#8Ñx Ð#8 "Ñx " " " " " 5œ! _ 5 8œ! 8œ! _ _ #8 #8 #8" #8" 8œ! 8œ! _ 8 _ 8 #8 #8" ,
pelo que, comparando as partes reais e as partes imaginárias, obtemos a séries definidoras das funções trigonométricas,
cos sin Ð>Ñ œ Ð"Ñ > œ " > > > â Ð#8Ñx #x %x 'x Ð>Ñ œ Ð"Ñ > œ > > > > â Ð#8 "Ñx $x &x (x " " 8œ! _ 8 # % ' #8 8œ! _ 8 $ & ( #8" , .
Ap1.14 (Algumas avaliações das funções trigonométricas) Tem-se cosÐ!Ñ œ " e sinÐ!Ñ œ !. Para cada ! Ÿ > Ÿ ", tem-se cosÐ>Ñ "# e sinÐ>Ñ >&' . Tem-se cosÐ#Ñ !.
Dem: Os valores das funções trigonométricas em resultam imediatamente! da substituição nas séries. Suponhamos agora que ! Ÿ > Ÿ ". Tem-se então que cosÐ>Ñ e sinÐ>Ñ são também caracterizados pelas séries de termos latamente positivos
cos sin Ð>Ñ œ Ð" > Ñ Ð> > Ñ Ð> > Ñ â #x %x 'x )x "!x Ð>Ñ œ Ð> > Ñ Ð> > Ñ Ð> > Ñ â $x &x (x *x ""x # % ' ) "! $ & ( * ""
de onde deduzimos que cos sin Ð>Ñ " > " " œ" # # # Ð>Ñ > > œ >Ð" > Ñ >Ð" Ñ œ" &> ' ' ' ' # $ # , . Em particular, tem-se sinÐ"Ñ &, donde, por ,
' Ap1.12
cosÐ#Ñ œ " #sinÐ"Ñ Ÿ " &! ! $'
# .
Ap1.15 Existe um mínimo para o conjunto dos >! > ! tais que cosÐ>Ñ œ !, tendo-se " > #! , tendo-se então cosÐ>Ñ !, para cada ! Ÿ > >!. Dem: A existência de ! Ÿ > # tal que cosÐ>Ñ œ ! é uma consequência de se ter cosÐ!Ñ œ " ! e cosÐ#Ñ !. O conjuntos do > ! tais que cosÐ>Ñ œ ! é assim fechado não vazio e minorado pelo que admite um mínimo (o seu ínfimo) . O facto de se ter >! > #! resulta de que, como referimos, existe um elemento > # no conjunto referido e o facto de se ter > "! resulta de que, para cada ! Ÿ > Ÿ ", tem-se cosÐ>Ñ " !. O facto de se ter
# cosÐ>Ñ !,
para cada ! Ÿ > >!, resulta de que a existir um tal com > cosÐ>Ñ Ÿ !, podíamos aplicar mais uma vez o teorema do valor intermédio para garantir a existência de = − Ò!ß >Ó tal que cosÐ=Ñ œ !, o que contrariava o facto de ser>!
o mínimo nessas condições.
Ap1.16 Definimos o número real 1 como sendo o dobro do número real >! referido em Ap1.15. Tem-se assim, por aquele resultado, # 1 %.27 Ap1.17 A restrição da função sin ao intervalo Ò!ß Ó1# é uma bijecção estritamente
crescente deste intervalo sobre o intervalo Ò!ß "Ó e a restrição da função cos ao intervalo Ò!ß Ó1 é uma bijecção estritamente decrescente deste intervalo sobre
#
o intervalo Ò!ß "Ó. Em particular, cosÐ Ñ œ !1 e sinÐ Ñ œ "1 .
# #
Dem: Por definição de , tem-se 1 cosÐ Ñ œ !1 e cosÐ>Ñ !, para cada #
> − Ò!ß Ò1# . Uma vez que sinwÐ>Ñ œcosÐ>Ñ, segue-se que a restrição de sin a
Ò!ß Ó1 Ð!Ñ œ !
# é estritamente crescente, em particular injectiva, e, por ser sin , tem-se sinÐ>Ñ !, para cada > − Ó!ß Ó1# . Da igualdade sin#Ð Ñ 1# cos#Ð Ñ œ "1# , resulta que sin# , e portanto sin . A imagem da restrição da
# #
Ð Ñ œ "1 Ð Ñ œ "1
função sin a Ò!ß Ó1# é o intervalo Ò!ß "Ó, visto que contém esse intervalo, pelo
teorema do valor intermédio, e está contida nesse intervalo, por ser estritamente crescente. Uma vez que coswÐ>Ñ œ sinÐ>Ñ, tem-se, para cada > − Ó!ß Ó1# , coswÐ>Ñ !, o que implica que a restrição de cos a Ò!ß Ó1# é estritamente decrescente, em particular injectiva e com valores no intervalo Ò!ß "Ó. Como antes, o teorema do valor intermédio garante que a imagem por cos do intervalo Ò!ß Ó1# é precisamente o intervalo Ò!ß "Ó. Ap1.18 As igualdades a) cosÐ Ñ œ !1 sinÐ Ñ œ "1
# e # podem ser traduzidas por expÐ 3Ñ œ 31
# .
b) De a) resulta que expÐ 3Ñ œ1 expÐ 3Ñ œ 3 œ "1# # # (fórmula de Euler), o que pode ser traduzido por cosÐ Ñ œ "1 e sinÐ Ñ œ !1 .
c) De a) também resulta que expÐ$ 3Ñ œexpÐ 3Ñ œ 3 œ 3, o que pode
#1 1# $ $
ser traduzido por cosÐ$ Ñ œ ! e sinÐ$ Ñ œ ".
#1 #1
d) De b) resulta que expÐ# 3Ñ œ1 expÐ 3Ñ œ Ð"Ñ œ " œ1 # # expÐ!Ñ, o que pode ser traduzido por cosÐ# Ñ œ " œ1 cosÐ!Ñ e sinÐ# Ñ œ ! œ1 sinÐ!Ñ. Ap1.19 As funções cos sinß À‘Ä Ò"ß "Ó são periódicas, admitindo como#1
período positivo mínimo.
Dem: Comecemos por reparar que, de se ter
expÐ > # 3Ñ œ( 1) expÐ>3Ñ ‚expÐ# 3Ñ œ1 expÐ>3Ñ ‚ " œexpÐ>3Ñ, podemos escrever
cosÐ> # Ñ œ1 cosÐ>Ñ, sinÐ> # Ñ œ1 sinÐ>Ñ,
o que mostra que é um período de ambas as funções. Uma vez que estas#1 têm restrições injectivas ao intervalo Ò!ß Ó1# , não podem admitir período menor ou igual a . Sendo contínuas admitem assim um período positivo1
#
mínímo que tem que ser submúltiplo inteiro de . Se não fosse o período#1 #1 positivo mínimo, ele teria assim que ser . Mas as igualdades 1 cosÐ!Ñ œ " e cosÐ Ñ œ "1 mostram que não é período de 1 cos e as igualdades sinÐ Ñ œ "1
# e sinÐ Ñ œ1 sinÐ 1Ñ œ " mostram que não é período de sin.
# 1 $# 1
Ap1.20 Tem-se cosÐ >Ñ œ1# sinÐ>Ñ e sinÐ >Ñ œ1# cosÐ>Ñ. Dem: Podemos escrever
expÐÐ >Ñ3Ñ œexpÐ 3Ñ ‚expÐ>3Ñ œ 3 ‚expÐ>3Ñ
# #
1 1
, ou seja,
cos sin cos sin
sin cos Ð >Ñ Ð >Ñ 3 œ 3 ‚ Ð Ð>Ñ Ð>Ñ 3Ñ œ # # œ Ð>Ñ Ð>Ñ 3 1 1 , donde o resultado.
Ap1.21 Tem-se cosÐ1 >Ñ œ cosÐ>Ñ e sinÐ >Ñ œ1 sinÐ>Ñ. Dem: Podemos escrever
expÐÐ >Ñ3Ñ œ1 expÐ 3Ñ ‚1 expÐ>3Ñ œ " ‚expÐ>3Ñ, ou seja
cos sin cos sin
cos sin Ð >Ñ Ð >Ñ 3 œ Ð Ð>Ñ Ð>Ñ3Ñ œ œ Ð>Ñ Ð>Ñ 3 1 1 , donde o resultado.
Ap1.22 A restrição da função sin ao intervalo Ò ß Ó1 é uma bijecção estritamente # 1
decrescente daquele intervalo sobre o intervalo Ò!ß "Ó e a restrição da função cos ao intervalo Ò ß Ó1# 1 é uma bijecção estritamente decrescente daquele intervalo sobre o intervalo Ò"ß !Ó.
Dem: Trata-se de uma consequência de Ap1.17 e de Ap1.21, se repararmos que a aplicação > È1 > é uma bijecção estritamente decrescente de Ò ß Ó1# 1 sobre Ò!ß Ó1 (com inversa definida pela mesma fórmula) e que a aplicação
#
= È = é uma bijecção estritamente decrescente de Ò!ß "Ó sobre Ò"ß !Ó (mais uma vez com inversa definida pela mesma fórmula). Ap1.23 Tem-se, tendo em conta a periodicidade de sin e cos e as fórmulas em
Ap1.9, cos sin Ð# Ð# 1 1 >Ñ œ Ð>Ñ œ Ð>Ñ >Ñ œ Ð>Ñ œ Ð>Ñ cos cos sin sin , .
Ap1.24 A restrição da função sin ao intervalo Ò ß1 $ Ó é uma bijecção estritamente #1
decrescente deste intervalo sobre o intervalo Ò"ß !Ó A restri. ção da função cos ao intervalo Ò ß1 $ Ó é uma bijecção estritamente crescente deste intervalo
#1 sobre o intervalo Ò"ß !Ó.
Dem: Trata-se de uma consequência de Ap1.22 e de Ap1.23, se repararmos que a aplicação > È # >1 é uma bijecção estritamente decrescente de Ò ß1 $#1Ó sobre Ò ß Ó1# 1 (com inversa definida pela mesma fórmula) e que a aplicação = È = é uma bijecção estritamente decrescente de Ò!ß "Ó sobre Ò"ß !Ó (mais uma vez com inversa definida pela mesma fórmula). Ap1.25 A restrição da função sin ao intervalo Ò$ ß # Ó é uma bijecção estrita-
#1 1
mente crescente deste intervalo sobre o intervalo Ò"ß !Ó. A restrição da função cos ao intervalo Ò$#1ß # Ó1 é uma bijecção estritamente crescente deste intervalo sobre o intervalo Ò!ß "Ó.
Dem: Trata-se de uma consequência de Ap1.17 e de Ap1.23, se repararmos que a aplicação > È # >1 é uma bijecção estritamente decrescente de Ò$ ß # Ó Ò!ß Ó
#1 1 sobre #1 (com inversa definida pela mesma fórmula) e que a aplicação = È = é uma bijecção estritamente decrescente de Ò!ß "Ó sobre Ò"ß !Ó (mais uma vez com inversa definida pela mesma fórmula).
Ap1.26 Seja W §‚ o conjunto dos complexos de módulo . Tem então lugar" uma bijecção de Ò!ß # Ò1 sobre , definida porW
> ÈexpÐ3>Ñ œcosÐ>Ñ sinÐ>Ñ 3.
Dem: Já verificámos em Ap1.6 que esta aplicação toma valores em . ParaW verificarmos que se trata de uma bijecção sobre , basta decompormosW Ò!ß # Ò1 como união de subconjuntos E " Ÿ 5 Ÿ )5, , disjuntos dois a dois, tais que a restrição da aplicação a cada E5 seja uma bijecção sobre um subconjunto F5 de , com os W F5 disjuntos dois a dois e de união .W Definimos, para isso,
E œ Ö!× F œ Ö"× E œ Ó!ß Ò F œ ÖD œ + ,3 − W ± + ! • , !× # E œ Ö × F œ Ö3× # E œ Ó ß Ò F œ ÖD œ + ,3 − W ± + ! • , !× # E œ Ö × F œ Ö"× E œ Ó ß$ Ò F œ ÖD œ + , # " " # # $ $ % % & & ' ' , , , , , , , , , , , 1 1 1 1 1 1 1 3 − W ± + ! • , !× E œ Ö$ × F œ Ö3× # E œ Ó$ ß # Ò F œ ÖD œ + ,3 − W ± + ! • , !× # , , , , . ( ( ) ) 1 1 1
Reparando que, para D œ + ,3 − W, se + œ !, então , œ „" e, se , œ !, então + œ „", constatamos que os conjuntos F5 são efectivamente disjuntos dois a dois de união . Reparando, por outro lado, que, se W + ,3 − W, com + œcosÐ>Ñ, resulta de Ap1.8 que , œ „sinÐ>Ñ, deduzimos das propriedades
Ap1.17 Ap1.22 Ap1.24, , e Ap1.25 que as restrições da aplicação do enun- ciado a cada E5 é efectivamente uma bijecção de E5 sobre F5.