2) Se e são vectores colineares, então, qualquer que seja o vector , osÄ Ä? @ ÄA vectores , e são complanares.Ä Ä Ä? @ A
3) Se e são não colineares e é o único plano vectorial que os contémÄ Ä? @ Ä! (cf. o corolário 9.40), então Ä Ä Ä? ß @ ß A são complanares se, e só se, Ä ÄA −!. 4) Se Ä? œ EF @ œ EGÄ, Ä Ä e ÄA œ EHÄ, então Ä Ä Ä? ß @ ß A são complanares se, e só se, Eß Fß Gß H são complanares.
Dem: Para a propriedade 1), basta repararmos que qualquer recta vectorial está contida num plano vectorial e, no caso de dois vectores não colineares, termos em conta o corolário 9.40. Quanto a 2), sendo uma recta vectorialÄ< que contenha e e uma recta vectorial que contenha , existe sempreÄ Ä Ä? @ = ÄA um plano vectorial que contenha e (trivialmente se Ä! Ä Ä< = Ä< œ =Ä e por 9.39
caso contrário). A propriedade 3) é trivial. Verifiquemos enfim a propriedade 4). Se Eß Fß Gß H são complanares, existe um plano que os contém e então! ? œ EF @ œ EG A œ EH
Ä Ä, Ä Ä e Ä Ä pertencem a , o que mostra que estes trêsÄ! vectores são complanares. Suponhamos, reciprocamente, que os três vectores são complanares. Se e são colineares, já vimos, na alínea Ä Ä? @ 4) de 9.35, que existe uma recta tal que < Eß Fß G − < e então, sendo um plano que! contenha e (cf. a alínea < H a) de 1.8, se H Â <, caso contrário qualquer plano que contenha ), tem-se < Eß Fß Gß H − ! e os quatro pontos são complanares. Se e não são colineares, o resultado citado diz-nos queÄ Ä? @ Eß Fß G não são colineares, pelo que existe um único plano que contém! estes três pontos e portanto é o único plano vectorial que contém e Ä! Ä Ä? @ (cf. 9.40) pelo que, por Ä Ä Ä? ß @ ß A serem complanares, tem-se Ä ÄA −!, donde H −! e portanto Eß Fß Gß H são complanares. 9.42 (Segunda soma directa)Sejam Ä! um plano vectorial e uma recta vecto-Ä<
Dem: Tendo em conta 9.37, tem-se Ä Ä! < œ Ö! ×Ä , o que nos permite utilizar a notação Ä Ä!Š <, e e não são paralelos, portanto < ! ! < œ ÖE×, para um certo E −X. Seja ÄA −ÄX arbitrário e seja G −X tal que ÄA œ EGÄ. Seja a<w recta paralela a tal que < G − <w.
Tem-se ainda que não é paralela a (cf. <w ! 7.12) e portanto < w !œ ÖF×, para um certo F − X. Tem-se então
A œ EG œ EF FG
Ä Ä Ä Ä,
onde EF −Ä Ä! e FG − < œ <Ä Äw Ä, o que mostra que se tem efectivamente
X !
Ä
œÄ Ä.Š <
9.43 (Corolário) Sejam Ä Ä Ä?ß @ ß A três vectores não complanares. Em particular estes vectores são diferentes de e, sendo Ä! Ä ÄÄ< ß = ß > as rectas vectoriais que os contêm, tem-se ÄX œ < Š = Š >Ä Ä Ä.
Dem: Tendo em conta a alínea 2) de 9.41 e a alínea 1) de 9.35, e sãoÄ Ä? @ não colineares, em particular diferentes de . Sendo e as rectasÄ! Ä< Ä= vectoriais que contêm e , respectivamente, tem-se Ä Ä? @ Ä Ä< Á = portanto, por
9.39, sendo o único plano vectorial que contém e , tem-se Ä! Ä Ä< = Ä Ä Ä! œ < Š =. Mas Ä> §Î Ä!, senão Ä Ä Ä? ß @ ß A eram complanares, e portanto, tendo em conta
9.42, vem
X !
Ä
œÄŠ > œ Ð< Š = Ñ Š > œ < Š = Š >Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä. Vamos agora verificar como se pode definir uma noção de sentido para os vectores não nulos. Começamos, para isso, por definir uma relação de equivalência na classe dos pares ordenados de pontos distintos de ,X relação a cujas classe de equivalência vamos chamar sentidos.
9.44 Consideremos a relação µ na classe dos pares ordenados ÐEß FÑ de pontos distintos de definida por X ÐEß FÑ µ ÐGß HÑ se, e só se, a isometria (trans- lação) 7GßE aplica a semirrecta EFÛ sobre a semirrecta GHÛ (lembrar que, tendo em conta 5.4 e 5.5, 7GßE aplica a semirrecta EFÛ da recta EF sobre uma semirrecta da recta 7GßEÐEFÑ de origem 7GßEÐEÑ œ G). Tem-se então: a) A relação µ é de equivalência.
b) Dados pontos E Á F e , tem-se G ÐEß FÑ µ ÐGß HÑ, com H œ7GßEÐFÑ. Se , EF œ GH Á !Ä Ä Ä então .ÐEß FÑ µ ÐGß HÑ
c) Se ÐEß FÑ µ ÐGß HÑ, então as rectas EF GH e são paralelas.
d) Se é diferente de e de , então E F Fw ÐEß FÑ µ ÐEß F Ñw se, e só se, e F Fw estão numa mesma semirrecta de origem (em particular, as rectas E EF e EFw coincidem).
Dem: O facto de se ter a) ÐEß FÑ µ ÐEß FÑ é uma consequência de 7EßE ser a identidade e aplicar assim a semirrecta EFÛ sobre ela mesma. Supondo que ÐEß FÑ µ ÐGß HÑ, a translação 7GßE aplica a semirrecta EFÛ sobre a semirrecta GHÛ e portanto a sua inversa que, tendo em conta 9.22, é 7EßG, aplica GHÛ sobre EFÄ, o que mostra que ÐGß HÑ µ ÐEß FÑ. Por fim, se ÐEß FÑ µ ÐGß HÑ e ÐGß HÑ µ ÐIß J Ñ a translação 7GßE aplica a semirrecta EFÛ sobre a semirrecta GHÛ e a translação 7IßG aplica a semirrecta GHÛ sobre a semirrecta IJÛ pelo que, tendo em conta 9.25, 7IßEœ7IßG‰7GßE aplica a semirrecta EFÛ sobre a semirrecta IJÛ, isto é, ÐEß FÑ µ ÐIß J Ñ.
b) Uma vez que G œ7GßEÐEÑ, se H œ7GßEÐFÑ então a translação 7GßE aplica a recta EF sobre a recta GH e a semirrecta EFÛ sobre a semirrecta GHÛ , o que mostra que ÐEß FÑ µ ÐGß HÑ. Supondo que EF œ GH Á !Ä Ä Ä, em particular E Á F e G Á H, tem-se H œ7FßEÐGÑ (cf. 9.21) portanto, por
9.28, vem também H œ7GßEÐFÑ donde, como acabamos de verificar, ÐEß FÑ µ ÐGß HÑ.
c) Uma vez que a isometria 7GßE aplica a semirrecta EFÛ sobre a semirrecta GHÛ, a imagem da recta EF, que contém EFÛ, é uma recta que contém GHÛ, e portanto é a recta GH. Basta agora lembrarmos que, por 9.9, a imagem por 7GßE da recta EF é uma recta paralela a EF.
d) Trata-se de uma consequência imediata da definição e do facto de a
translação 7EßE ser a identidade.
9.45 Vamos chamar sentido em a uma classe de equivalência de pares orde-X nados ÐEß FÑ de pontos distintos de para a relaX ção µ definida em . 9.44 A classe de equivalência do par ordenado ÐEß FÑ será notada ÒÐEß FÑÓµ.
9.46 Chamamos direcção de um sentido ÒÐEß FÑÓµ à recta vectorial associadaÄ< à recta < œ EF, recta vectorial essa que está bem definida uma vez que, tendo em conta a alínea c) de 9.44, se ÒÐEß FÑÓ œ ÒÐGß HÑÓµ µ, então as rectas < œ EF e = œ GH são paralelas, e portanto Ä Ä< œ =.
9.47 Cada direcção é direcção de dois, e só dois, sentidos.Ä<
Dado um sentido, chamamos sentido oposto ao outro sentido que tem a mesma direcção que o primeiro.
Dem: Fixemos E − < e sejam Fß F − <w distintos de e em semirrectas de E < distintas de origem . Tem-se então que que E ÒÐEß FÑÓµ e ÒÐEß F ÑÓw µ são sentidos cuja direcção é e são sentidos distintos uma vez que Ä< 7EßE é a identidade e aplica assim a semirrecta EFÛ sobre ela mesma, que é distinta da semirrecta EFw. Suponhamos, enfim que ÒÐGß HÑÓ é um sentido cuja
µ Û
direcção é , e portanto que Ä< = œ GH é uma recta paralela a . Podemos< então considerar F œww ÐHÑ, tendo-se portanto que a translação
EßG EßG
7 7
aplica a semirrecta GHÛ sobre a semirrecta EFÛww, donde ÒÐGß HÑÓ œ µ
ÒÐEß F ÑÓww EFww < <
µ e portanto a recta também é paralela a , logo igual a por ter o ponto em comum. Tem-se assim que E Fww pertence a uma das semirrectas EFÛ ou EFÛw, ou seja EFÛww é uma das semirrectas EFÛ ou EFÛw e portanto, mais uma vez por 7EßE ser a identidade, ÒÐGß HÑÓ œ ÒÐEß F ÑÓµ ww µ é um dos sentidos ÒÐEß FÑÓµ ou ÒÐEß F ÑÓw µ. 9.48 Dado um vector ?ÄÁ !Ä, com Ä? œ EFÄ, chamamos sentido de ao sentidoÄ? ÒÐEß FÑÓµ, sentido esse que está vem definido, tendo em conta a alínea b) de
9.44.
Repare-se que, como decorre das definições em 9.34 9.46 e , a direcção de um vector Ä? Á !Ä é igual à direcção do sentido de .Ä?
9.49 Dado um vector ?ÄÁ !Ä, o vector ?Ä tem a mesma direcção mas sentido distinto do de (por outras palavras, tem sentido oposto ao de ) e portanto,Ä? Ä? sendo a direcção de qualquer vector Ä< Ä? Ä Ä@ − < Ï Ö! ×Ä tem o sentido de ouÄ? o de ?Ä.
Dem: Escolhendo E − <, tem-se Ä? œ EFÄ, para um certo F − <, e então, tendo em conta 9.23, tem-se ? œ EFÄ Äw, onde F œ 38@ ÐFÑw é um ponto de
E
< na semirrecta de oposta à que contém e portanto é também a< F Ä< direcção de ?Ä e o seu sentido ÒÐEß F ÑÓw é distinto do sentido ÒÐEß FÑÓ de
µ µ
? œ M. EF
Ä (a translação 7EßE X aplica a semirecta Û sobre ela mesma, que é diferente de EFÛw). Por fim, qualquer vector Ä@ Á !Ä em tem que ter um dosÄ< dois sentidos cuja direcção é (cf. Ä< 9.47), e portanto o seu sentido tem que
ser o de ou o de Ä? ?Ä.
9.50 (Caracterização dos vectores por sentido e comprimento) Suponhamos fixada uma função distância . −Y. Dado um sentido ÒÐEß FÑÓµ e um real + ! existe um, e um só, vector Ä Ä? −X Ï Ö! ×Ä com aquele sentido e tal que m? m œ +Ä .
Dem: Fixado , qualquer vector E Ä? Á !Ä pode escrever-se de maneira única na forma EFÄw, com F Á Ew e um tal vector tem o sentido ÒÐEß FÑÓ se, e só
se, a translação 7EßEœ M.X aplicar a semirrecta EFÛ sobre a semirrecta EFÛw ou seja, se, e só se, pertence à semirrecta Fw EFÛ. Ficamos assim reduzidos ao facto conhecido que existe um, e um só elemento da semirrecta Fw EFÛ tal
que ..ÐEß F Ñ œ +w
Como acontece com qualquer grupo abeliano, com notação aditiva, o conjunto dos vectores livres fica a ser automaticamente um módulo sobre o anel dos inteiros, onde a acção de associa a cada ™ ™ 8 −™ e a cada vector um vector Ä? 8?Ä. Lembramos que o vector 8?Ä, com 8 !, pode ser definido indutivamente por ! ? œ !Ä Ä e Ð8 "Ñ? œ 8? ?Ä Ä Ä (em parti- cular " ? œ ?Ä Ä) e que, para 8 Ÿ !, define-se 8? œ Ð8Ñ?Ä Ä (para 8 œ ! as duas caracterizações dão o mesmo resultado, nomeadamente ), emÄ! particular ? œ Ð"Ñ?Ä Ä. Lembremos ainda que se tem 8! œ !Ä Ä, para cada 8 − ™.
O nosso próximo objectivo é mostrar que o conjunto dos vectores livres tem mesmo uma estrutura de espaço vectorial real, cuja soma é a definida anteriormente. A multiplicação pelos reais estende então automaticamente a multiplicação pelos inteiros referida atrás.
9.51 Sejam ?Ä um vector e + −‘. Define-se então um vector +?Ä, produto do real + pelo vector , do seguinte modo:Ä?
a) Se + œ ! ou Ä? œ !Ä, então +? œ !Ä Ä.
b) Se + ! e Ä? Á !Ä, então, fixado . −Y, +?Ä é o único vector com o mesmo sentido que e tal que Ä? m+? m œ +m? mÄ . Ä . (constata-se então que, para cada . −w , tem-se ainda m+? m œ +m? mÄ Ä , pelo que o resultado não
. .
Y w w
depende da fixação de )..
c) Se + ! e Ä? Á !Ä, então, fixado . −Y, +?Ä é o único vector com o sentido oposto ao de e tal que Ä? m+? m œ l+lm? mÄ . Ä . (constata-se então que, para cada . −w , tem-se ainda m+? m œ l+lm? mÄ Ä , pelo que o resultado não
. .
Y w w
depende da fixação de )..
9.52 Como consequência imediata da definição anterior, vemos que, fixada uma função distância . − Y e considerando a norma associada, tem-se, para cada ? − + − m+? m œ l+lm? m
Ä ÄX e ‘, Ä Ä .
9.53 (Lema) Fixemos uma função distância . −Y e seja uma recta e < 0 À < Ä‘ um -sistema de coordenadas com origem . S − <, portanto com 0 ÐSÑ œ !. Dados vectores Ä Ä Ä? ß @ − <, com Ä? œ SE @ œ SFÄ e Ä Ä, tem-se então:
a) Tem-se ? œ SEÄ Äw, onde 0 ÐE Ñ œ 0 ÐEÑw ;
b) Tem-se Ä Ä? @ œ SGÄ, onde 0 ÐGÑ œ 0 ÐEÑ 0 ÐFÑ; c) Para cada + −‘, tem-se +? œ SHÄ Ä, onde 0 ÐHÑ œ +0 ÐEÑ.
Dem: Temos uma consequência de a) 9.23, tendo em conta o facto de ser 0 ÐSÑ œ !.
b) Começamos por reparar que b) é trivial no caso em que Ä? œ !Ä (ou seja, E œ S) ou Ä@ œ !Ä (ou seja, F œ S) pelo que basta examinar o caso em que
? Á ! @ Á ! @ œ EG
Ä Ä e Ä Ä. Tendo em conta 9.20, tem-se também Ä Ä, onde G œ7ESÐFÑ, e portanto, por 9.13,
0 ÐGÑ œ 0 ÐFÑ Ð0 ÐEÑ 0 ÐSÑÑ œ 0 ÐEÑ 0 ÐFÑ. Basta agora atendermos que se tem, por 9.25,
? @ œ SE EG œ SG
Ä Ä Ä Ä Ä.
c) Começamos por reparar que a conclusão é trivial no caso em que + œ ! (vem H œ S) e naquele em que Ä? œ !Ä (vem E œ S, donde 0 ÐHÑ œ ! e H œ S). Podemos assim supor já que se tem + Á ! e Ä? Á !Ä. Supondo que + ! 0 ÐHÑ, e 0 ÐEÑ têm o mesmo sinal ou seja, por ser 0 ÐSÑ œ ! H, e E estão na mesma semirrecta de origem e portanto os vectores S SHÄ e SEÄ têm o mesmo sentido, pelo que, por ser
mSHm œ .ÐSß HÑ œ l0 ÐHÑ 0 ÐSÑl œ l0 ÐHÑl œ +l0 ÐEÑl œÄ œ +l0 ÐEÑ 0 ÐSÑl œ + .ÐSß EÑ œ +mSEmÄ
.
.,
tem-se efectivamente SH œ + SE œ +?Ä Ä Ä. Supondo agora que + ! 0 ÐHÑ, e 0 ÐEÑ têm sinais distintos ou seja, por ser 0 ÐSÑ œ ! H, e estão em semir-E rectas opostas de origem e portanto os vectores S SHÄ e SEÄ têm sentidos opostos, pelo que, por ser
mSHm œ .ÐSß HÑ œ l0 ÐHÑ 0 ÐSÑl œ l0 ÐHÑl œ l+ll0 ÐEÑl œÄ œ l+ll0 ÐEÑ 0 ÐSÑl œ l+l .ÐSß EÑ œ l+lmSEmÄ .
.,
tem-se efectivamente SH œ + SE œ +?Ä Ä Ä. 9.54 (Primeiras propriedades da multiplicação pelos reais) Dados +ß , − ‘ e
? ß @ −
Ä Ä ÄX que sejam colineares, tem-se:
a) 0† ? œ ! + † ! œ ! " † ? œ ?Ä Ä, Ä Ä, Ä Ä e Ð"Ñ † ? œ ?Ä Ä; b) Ð+ ,Ñ? œ +? ,?Ä Ä Ä;
c) Ð+,Ñ? œ +Ð,? ÑÄ Ä; d) +Ð? @ Ñ œ +? +@Ä Ä Ä Ä.
Dem: As propriedades em a) resultam imediatamente da definição em 9.51. Para as restantes alíneas, fixemos um função distância . −Y, uma recta tal< que Ä Ä Ä? ß @ − < e um -sistema de coordenadas . 0 À < Ä‘ com origem S − < e consideremos Eß F − < tais que Ä? œ SE @ œ SFÄ e Ä Ä. Aplicando as diferentes conclusões do lema 9.53, vemos que se tem +? œ SEÄ Äw e ,? œ SEÄ Äww, com 0 ÐE Ñ œ +0 ÐEÑw e 0 ÐE Ñ œ ,0 ÐEÑww , donde +? ,? œ SGÄ Ä Ä, com 0 ÐGÑ œ
+0 ÐEÑ ,0 ÐEÑ œ Ð+ ,Ñ0 ÐEÑ, o que mostra que +? ,? œ Ð+ ,Ñ?Ä Ä Ä. Do mesmo modo, de ser ,? œ SEÄ Äww, com 0 ÐE Ñ œ ,0 ÐEÑww , deduzimos que +Ð,? Ñ œ SHÄ Ä, com 0 ÐHÑ œ +0 ÐE Ñ œ +,0 ÐEÑww , o que mostra que +Ð,? Ñ œÄ Ð+,Ñ?Ä. Quanto a d), sabemos que Ä Ä? @ œ EGÄ, com 0 ÐGÑ œ 0 ÐEÑ 0 ÐFÑ, donde +Ð? @ Ñ œ EGÄ Ä Äw, com 0 ÐG Ñ œ +0 ÐGÑ œ +0 ÐEÑ +0 ÐFÑw e, por outro lado, +? œ SEÄ Äw e +@ œ SFÄ Äw, com0 ÐE Ñ œ +0 ÐEÑw e 0 ÐF Ñ œ +0 ÐFÑw donde resulta finalmente que +? +@ œ EG œ +Ð? @ ÑÄ Ä Äw Ä Ä. 9.55 (Espaço vectorial) O conjunto ÄX dos vectores do espaço, com a soma de vectores e a multiplicação de um vector por um número real atrás definidas, é um espaço vectorial.
Dem: A única propriedade que nos falta estabelecer é a igualdade +Ð? @ Ñ œ +? +@Ä Ä Ä Ä, no caso em que os vectores e não são colineares,Ä Ä? @ em particular são ambos diferentes de . Podemos também já supor queÄ! + !, uma vez que a igualdade se reduz a Ä! œ ! !Ä Ä, no caso em que + œ !, e que o caso em que + ! se reduz àquele em que + !, tendo em conta que se + !, pode-se escrever
Ð+ÑÐ? @ Ñ œ +ÐÐ"ÑÐ? @ ÑÑ œ +ÐÐ? @ ÑÑ œ +ÐÐ? Ñ Ð@ ÑÑ œÄ Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä œ +Ð? Ñ +Ð@ Ñ œ +ÐÐ"Ñ? Ñ +ÐÐ"Ñ@ Ñ œÄ Ä Ä Ä
œ Ð+Ñ? Ð+Ñ@Ä Ä.
Depois de termos mostrado que basta considerar o caso em que + !, reparemos agora que basta considerar o caso em que ! + ". Com efeito, se + œ " a igualdade pretendida é trivial (Ä Ä? @ œ ? @Ä Ä) e, se tivermos provado a igualdade no caso em que + " vemos que, para + ", tem-se
" + ", e portanto +Ð? @ Ñ œ +ÐÐ +Ñ? Ð +Ñ@ Ñ œ +Ð Ð+? Ñ Ä Ä " Ä " Ä " Ä "Ð+@ ÑÑ œÄ + + + + œ +Ð Ð+? +@ ÑÑ œ Ð+ ÑÐ+? +@ Ñ œ +? +@" " + + Ä Ä Ä Ä Ä Ä.
Passemos então à demonstração no caso em que + ". Escolhamos pontos Eß F tais que Ä? œ EFÄ e um ponto tal que G Ä@ œ FGÄ. O facto de e nãoÄ Ä? @ serem colineares implica que Eß Fß G não são colineares e tam-se então +? œ E\Ä Ä, onde \ − ÒEß FÓ é distinto de e de e definido pela condiçãoE F de se ter lE\l œ +lEFl. Podemos então aplicar o lema 8.1 para considerar o único ponto ] − ÒEß GÓ tal que a recta \] seja paralela a FG, ponto esse que é diferente de e de , e o único ponto E G ^ − ÒGFÓ tal que a recta ] ^ seja paralela a EF, ponto esse que é diferente de e de , tendo-se entãoF G que ÐFß ^ß ] ß \Ñ é um paralelogramo.
A
B C
X Y
Z
Pelo teorema de Thales em 8.3, tem-se também lF^l œ l\] l œ +lFGl e lE] l œ +lEGl, a última igualdade implicando que E] œ +EGÄ Ä e a primeira que F^ œ +FG œ +@Ä Ä Ä. Por outro lado, tendo em conta 9.12 e 9.20, tem-se F^ œ \]Ä Ä, e portanto também \] œ +@Ä Ä. Podemos agora escrever, tendo em conta 9.25, EG œ EF FG œ ? @Ä Ä Ä Ä Ä, donde
+Ð? @ Ñ œ E] œ E\ \] œ +? +@Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä. 9.56 Se < §X é uma recta, então a correspondente recta vectorial é umÄ< subespaço vectorial de dimensão de e qualquer subespaço vectorial de" ÄX dimensão de é deste tipo." ÄX
Dem: Fixemos uma função distância . −Y e seja 0 À < Ä‘ um -sistema de. coordenadas com origem S −‘. Uma vez que, para cada E −‘, SE − <Ä Ä e que qualquer vector Ä Ä? − < se escreve de modo único na forma SEÄ, com E − <, podemos definir uma bijecção :À < ÄÄ ‘ pela condição de, para cada
? œ SE Ð? Ñ œ 0 ÐEÑ À Ä <
Ä Ä se ter :Ä . Tendo em conta 9.53, a bijecção :" ‘ Ä é linear, o que implica que é, tal como , um espaço vectorial de dimensãoÄ< ‘ ". Por fim, se fosse um espaço vectorial de dimensão , podíamosÄZ " considerar uma base de e pondo Ä@ ÄZ Ä@ œ EFÄ, com E Á F, podemos considera a recta < œ EF para a qual se tem Ä Ä@ − <, donde ÄZ § <Ä e portanto, por se tratar de espaços com a mesma dimensão, ÄZ œ <Ä. 9.57 Se !§X é um plano, então o correspondente plano vectorial é umÄ! subespaço vectorial de dimensão de e qualquer subespaço vectorial de# ÄX dimensão de é deste tipo.# ÄX
Dem: Sejam Eß Fß G três pontos não colineares de . Podemos então! considerar as rectas concorrentes < œ EF e = œ EG contidas em , tendo! assim que as rectas vectoriais associadas e estão contidas em e sãoÄ Ä< = Ä! distintas. Tendo em conta 9.39, tem lugar a soma directa de grupos comutativos Ä Ä Ä!œ < Š =, pelo que, uma vez que estes são espaços vectoriais de dimensão , é um subespaço vectorial de dimensão . Por outro lado, se"Ä! #
Z Ä
#
fosse um subespaço vectorial de dimensão , podíamos considerar uma base Ä Ä@ ß A de , que eram assim não colineares e portanto, por ÄZ 9.40, existia um plano vectorial contendo e , de onde duduzimos que Ä! Ä@ ÄA ÄZ §Ä!, donde ÄZ œÄ!, por se tratarem de subespaços vectoriais com a mesma
dimensão.
9.58 O espaço vectorial XÄ tem dimensão .$
Dem: Sejam Eß Fß Gß H pontos não complanares de . Tendo em conta X 9.41, os vectores Ä? œ EF @ œ EGÄ, Ä Ä e ÄA œ EHÄ são não complanares e portanto, por 9.43, sendo , e as rectas vectoriais que contêm aqueles trêsÄ Ä< = Ä> vectores, tem lugar a soma directa ÄX œ < Š = Š >Ä Ä Ä de subgrupos abelianos que são subespaços vectoriais de dimensão , o que mostra que é um" ÄX
espaço vectorial de dimensão .$
Vamos agora examinar alguns exemplos de utilização da Álgebra Linear de ao estudo da Geometria.ÄX
9.59 (Caracterização vectorial dos pontos da recta) Sejam uma recta e < Eß F dois pontos distintos de . Tem-se então que os pontos < \ − < são exactamente aqueles para os quais se tem E\Ä œ > EFÄ, para um certo > −‘. Um tal é então único e, sendo > < œ EF Û e a semirrecta oposta de origem< E, tem-se \ − < se, e só se, > ! \ − < e se, e só se, > Ÿ !.
Dem: Sabemos que os pontos \ − < são exactamente aqueles para os quais E\ − <Ä Ä pelo que a primeira afirmação, tal como aquela sobre a unicidade de > resulta simplesmente de que EFÄ é um vector não nulo, e portanto uma base do subespaço vectorial de dimensão . Afastando agora o caso trivial emÄ< " que \ œ E, que pertence a ambas as semirrectas e para o qual > œ !, vemos que \ − < se, e só se, os vectores E\Ä e EFÄ têm o mesmo sentido o que, tendo em conta a definição da multiplicação dos vectores pelos números reais
em 9.51, equivale a > !.
9.60 (Combinações afins de pontos) Sejam ÐE Ñ4 4−N uma família finita de pontos e Ð> Ñ4 4−N uma família de números reais tal que > œ "4 . Existe então
4 !
um, e um só, ponto , que notaremos \ !> E com a propriedade de, para 4 4 4
qualquer ponto , se ter S S\ œÄ !> SEÄ . 4 4 4
Dem: A unicidade de um ponto nas condições pedidas é imediata. Para\ provarmos a existência, o que temos que repararar é que, escolhendo eS definindo pela condição de se ter \ S\ œÄ !> SEÄ , então dado outro
ponto , Sw tem-se S \ œ S S S\ œÄ Ä Ä > S S Ä > SE œÄ œ > ÐS S SE Ñ œÄ Ä > S EÄ w w w 4 4 4 4 4 4 4 4 w 4 4 w 4 " " " " .
9.61 (Nota) É comum utilizar notações alternativas para ! (quando se tem 4 4 4
> E !
4 4
> œ ") que são claramente entendidas como sinónimas. Ninguém terá dúvidas em entender, por exemplo, o que queremos significar ao escrever =E >F (se = > œ ") ou = E â = E" " 8 8 (se = â = œ "" 8 ). Note-se que, como caso particular trivial, tem-se E œ "E.
9.62 (Caracterização afim dos pontos duma recta, duma semirrecta e dum segmento de recta) Sejam uma recta e < Eß F dois pontos distintos de .< Tem-se então que os pontos \ − < são exactamente aqueles para os quais se tem \ œ =E >F, com = > œ ", os reais =ß > estando então univocamente determinados por . Tem-se então \ E œ "E !F F œ !E "F, e, para \ com a decomposição referida, \ − EFÛ se, e só se, > ! \ − FE, Û se, e só se, = ! (ou, o que é equivalente, > Ÿ ") e portanto \ − ÒEß FÓ se, e só se, > ! = ! e (ou, o que é equivalente, > − Ò!ß "Ó).
Dem: A caracterização dos pontos \ − < como os que se podem escrever na forma ção\ œ =E >F, com = > œ ", e a unicidade de uma tal decomposi resultam de 9.59, uma vez que, escolhendo como ponto auxiliar o ponto ,E aquela igualdade é equivalente a E\ œ =EE >EFÄ Ä Ä, isto é a E\ œ >EFÄ Ä, igualdade que, para cada é verificada para um único , o qual determina \ > = pela condição = œ " >. É evidente que "E !F œ "E œ E e que !E "F œ "F œ F. O facto de se ter \ − EFÛ se, e só se, > ! é uma consequência de 9.59 uma vez que, como já referido, \ œ =E >F é equivalente a E\ œ >EFÄ Ä. Por simetria dos papéis de e , tem-seE F \ − FEÛ se, e só se, = !, o que é equivalente a > Ÿ ", por ser > œ " =Þ Por fim, sabemos que \ − ÒEß FÓ se, e só se, pertence simultaneamente às\ semirrectas EFÛ e FEÛ, o que é equivalente a > ! e = !, e portanto também a > − Ò!ß "Ó uma vez que, como já referido, = ! é equivalente a
> Ÿ ".
9.63 Sejam (Caracterização vectorial dos pontos do plano) ! um plano, < §! uma recta, G −!Ï < e notemos ! o semiplano de de bordo que contém! <
G e ! o outro semiplano com o mesmo bordo. Sejam Eß F pontos distintos de . Tem-se então que os pontos < \ − ! são exactamente os pontos de X para os quais se pode escrever
E\ œ = EF > EGÄ Ä Ä,
com =ß > −‘. Um tal par de números reais Ð=ß >Ñ é então único e tem-se \ − < se, e só se, > œ ! \ −, ! se, e só se, > ! e \ −! se, e só se, > Ÿ !.
Dem: Sabemos que os pontos \ − ! são exactamente aqueles para os quais E\ −Ä Ä! pelo que a primeira afirmação, assim como a unicidade do par Ð=ß >Ñ, resultam de que, por 9.35, EFÄ e EGÄ são vectores não colineares, logo linearmente independentes, do espaço vectorial de dimensão , e portantoÄ! # uma base deste espaço. A caracterização dos pontos \ − < em 9.59 mostra-nos que, para um tal ponto , tem-se \ \ − < se, e só se, > œ !. Seja agora \ −!Ï <, portanto E\ œ = EF > EGÄ Ä Ä com > Á !. Tendo em conta a caracterização dos segmentos de recta em 9.62, os pontos ] − ÒGß \Ó são aqueles para os quais, para um certo ? − Ò!ß "Ó,
E] œ Ð" ?ÑEG ?E\ œ Ð" ? ?>ÑEG ?=EFÄ Ä Ä Ä Ä.
Se > !, tem-se, para todo o ? − Ò!ß "Ó " ? ?> !, portanto ]  <, o que mostra que o segmento de recta ÒGß \Ó não intersecta , e portanto < \ está no mesmo semiplano de bordo que , ou seja, < G \ − !. Suponhamos agora que > !. Podemos então considerar o valor ? œ ">" − Ò!ß "Ó, para o qual se tem " ? ?> œ !, pelo que o ponto ] − ÒGß \Ó definido por E] œ Ð" ?ÑEG ?E\Ä Ä Ä pertence a , o que mostra que e estão em< G \ semiplanos opostos de bordo , ou seja, < \ − !. 9.64 (Corolário)Sejam ! um plano e Eß Fß G três pontos não colineares de e! consideremos as semirrectas < œ EF Û e = œ EG Û de origem e oE correspondente sector angular nÖ< ß = × § !. Tem-se então que um ponto \ −!, com E\ œ ?EF @ EGÄ Ä Ä, pertence a nÖ< ß = × se, e só se, ? ! e @ !.
Dem: Trata-se de uma consequência de 9.63, se nos lembrarmos que nÖ< ß = × é a intersecção do semiplano de de bordo ! EF que contém G com o semiplano de de bordo ! EG que contém .F 9.65 (Caracterização afim dos pontos dum plano, dum semiplano, dum sector angular e dum segmento triangular) Sejam um plano e ! Eß Fß G três pontos não colineares de . Tem-se então que os pontos ! \ −! são exactamente aqueles para os quais se tem
\ œ =E >F ?G,
com = > ? œ " e, para cada ponto nessas condições, o triplo \ Ð=ß >ß ?Ñ fica univocamente determinado. Além disso, para um ponto nessas\ condições, tem-se que pertence à recta \ EF se, e só se ? œ ! \, pertence ao semiplano de de bordo ! EF que contém se, e só se, G ? ! \, pertence
ao sector angular nÖEFß EG×Û Û se, e só se, > ! e ? ! e pertence ao\ segmento triangular ÒEß Fß GÓ se, e só se, = !ß > ! ? ! e .
Dem: A caracterização dos pontos \ − ! como os que se podem escrever na forma , \ œ =E >F ?G com = > ? œ ", e a unicidade de uma tal