A
B
C
B'
C'
C"
X
Y
Consideremos o ponto F − ÒEß FÓw para o qual se tem lEF l œ 5lE\lw (cf. a alínea d) de 1.19) e os pontos ] ß G − ÒEß GÓw definidos pela condição de \] e F Gw w serem rectas paralelas a FG. Consideremos o ponto G − ÒFß GÓww definido pela condição de a recta G Gw ww ser paralela a EF. Tendo em conta o
lema 8.1, tem-se , ,lFF l œ lG G l lFG l œ lF G lw ww w ww w w
. Û Û . Û Û . Û Û
. Û Û . Û Û . Û Û
ÐÖGG ß GG ×Ñ œ ÐÖGFß GE×Ñ œ ÐÖ] \ß ] E×Ñ ÐÖE\ß E] ×Ñ œ ÐÖEFß EG×Ñ œ ÐÖG G ß G G×Ñ
ww w
w ww w ,
. Uma vez que
Ð5 "ÑlE\l œ lEFl œ lEF l lF Fl œ 5lE\l lF Flw w w ,
deduzimos que lE\l œ lFF l œ lG G lw ww w. Deduzimos de 4.35 que os triângu- los ÐEß \ß ] Ñ ÐG ß G ß GÑ e w ww são congruentes, e portanto que lE] l œ lG Glw e l\] l œ lG Glww . Por outro lado, pela hipótese de indução, tem-se lEG l œ 5lE] l lF G l œ 5l\] lw e w w . Podemos finalmente concluir que
lEGl œ lEG l lG Gl œ 5lE] l lE] l œ Ð5 "ÑlE] l
lFGl œ lFG l lG Gl œ lF G l lG Gl œ 5l\] l l\] l œ Ð5 "Ñl\] l
w w
ww ww w w ww
,
,
o que termina a demonstração por indução.
8.3 (Versão interior de Thales) Seja ÐEß Fß GÑ um triângulo e seja \ − ÒEß FÓ, distinto de . Existe então um único E ] − ÒEß GÓ tal que a recta \] seja paralela a FG, e, sendo + ! o definido por lE\l œ +lEFl, vem + Ÿ ", lE] l œ +lEGl, , l\] l œ +lFGl .ÐÖFGß FE×Ñ œ ÐÖ\] ß \E×Ñ Û Û . Û Û e .ÐÖGFß GE×Ñ œ ÐÖ] \ß ] E×Ñ.Û Û . Û Û
A
B
C
X
Y
Dem: 1) O facto de se ter + " é uma consequência imediata de se ter ! lE\l Ÿ lEFl (cf. a alínea d) de 1.19). No caso em que \ œ F, e portanto + œ " G, é o único ] − ÒEß GÓ tal que \] é paralelo a FG, uma vez que FG EG œ ÖG×, e é trivial que ] œ G verifica todas as condições do enunciado.
Podemos assim supor em seguida \ Á F, portanto que lE\l lEFl e que + ".
2) A existência e unicidade de ] − ÒEß GÓ tal que \] seja paralela a FG foi estabelecida no lema 8.1 tal como o foi o facto de ser diferente de e de] E G e a igualdade .ÐÖGFß GE×Ñ œ ÐÖ] \ß ] E×ÑÛ Û . Û Û . Aplicando a mesma con-
clusão ao triângulo ÐEß Gß FÑ e reparando que é o único elemento de\ ÒEß FÓ tal que ] \ seja paralela a GF, concluímos que se tem também a igualdade ..ÐÖFGß FE×Ñ œ ÐÖ\] ß \E×ÑÛ Û . Û Û
3) Resta-nos mostrar as igualdades lE] l œ +lEGl l\] l œ +lFGl, . Faremos essa prova nesta alínea no caso particular em que ! + " é racional, portanto da forma + œ :;, onde e são naturais com : ; " Ÿ : ;, podendo já afastar-se o caso em que : œ ", caso em que a conclusão está contida no lema 8.2. Sejam ^ − ÒEß \Ó o ponto para o qual se tem lE^l œ lE\l" ,
: portanto também lE^l œ lEFl"; e [ − ÒEß ] Ó o único ponto tal que ^[ seja paralela a.\], e portanto a FG.
A
B
C
X
Y
Z
W
Aplicando duas vezes o lema 8.2, concluímos que se tem lE] l œ :lE[ l, l\] l œ :l^[ l lEGl œ ;lE[ l lFGl œ ;l^[ l, e , donde
lE] l œ : l\] l œ : ‚ lEGl œ +lEGl" ; ‚ lFGl œ +lFGl" ; , .
4) Vamos enfim examinar o caso mais geral em que ! + " é um real arbitrário. Sejam +w e racionais arbitrários tais que +ww ! + + + "w ww .
A
B
C
XX'
Y
X"
Y'
Y"
Sejam \ ß \ − ÒEß FÓw ww , distintos de e de os pontos definidos porE F lE\ l œ + lEFlw w e lE\ l œ + lEFlww ww , pontos para os quais se tem assim
\ − ÒEß \Ów e \ − ÒEß \ Óww (cf. a alínea d) de 1.19). Sejam ] ß ] − ÒEß GÓw ww os únicos pontos para os quais as rectas \ ]w w e \ ]ww ww são paralelas a FG, pontos para os quais se tem ] − ÒEß ] Ów (o único ponto ] − ÒEß ] Ów tal que \ ]w w é paralela a \] é um ponto de ÒEß GÓ tal que \ ]w w é paralela a FGÑ e ] − ÒEß ] Óww (justificação análoga). Tem-se assim lE] l lE] l lE] lw ww e, tendo em conta o lema 8.1, l\ ] l l\] l l\ ] lw w ww ww. Tendo em conta o caso particular tratado em 3), tem-se lE] l œ + lEFl l\ ] l œ + lFGlw w , w w w , lE] l œ + lEFlww ww e l\ ] l œ + lFGlww ww ww , pelo que sendo ,ß - os números reais definidos por lE] l œ ,lEFl e l\] l œ -lFGl, tem-se + , +w ww e + - +w ww. Tendo em conta a arbitrariedade dos racionais e ,+w +ww concluímos finalmente que , œ + - œ + e .19 8.4 (Versão completa do recíproco de Thales) Seja ÐEß Fß GÑ um triângulo. Sejam \ − EFÛ e ] − EGÛ tais que, para um certo + ! lE\l œ +lEFl, e lE] l œ +lEGl. Tem-se então que a recta \] é paralela à recta FG.
Dem: Comecemos por examinar o caso em que ! + Ÿ ", e portanto \ − ÒEß FÓ ] − ÒEß GÓ e são diferentes de . Tendo em conta E 8.3, existe um único ] − ÒEß GÓw tal que a recta \]w seja paralela a FG e então lE] l œw +lEGl œ lE] l, o que implica, por e estarema na mesma semirrecta de] ]w origem , que E ] œ ]w , e portanto a recta \] é paralela a FG.
Vejamos agora o que se passa no caso em que + ". Uma vez que Eß \ß ] são não colineares, podemos considerar o triângulo ÐEß \ß ] Ñ, para o qual se tem F − E\ G − E] lEFl œ lE\lÛ, Û, +" e lEGl œ lE] l+" , onde ! +" ", pelo que, aplicando o caso estudado anteriormente, concluímos que a recta
FG é paralela à recta \].
A
B
X
C
Y
8.5 (Versão completa de Thales) Seja ÐEß Fß GÑ um triângulo e seja \ − EFÛ, distinto de . Existe então um único E ] −EGÛ tal que a recta \] seja paralela a FG, e, sendo + ! o definido por lE\l œ +lEFl, vem lE] l œ +lEGl, , l\] l œ +lFGl .ÐÖFGß FE×Ñ œ ÐÖ\] ß \E×Ñ Û Û . Û Û e
19Um número real que é menor que todos os racionais maiores que e maior que todos os+ racionais menores que tem que ser .+ +
.ÐÖGFß GE×Ñ œ ÐÖ] \ß ] E×Ñ.Û Û . Û Û
Dem: O caso em que \ − ÒEß FÓ ou, o que é o mesmo, aquele em que + Ÿ ", já foi estabelecido em 8.3 (em rigor aí apenas se afirmou a unicidade de ] em ÒEß GÓ, mas não pode haver mais que um ] − EG tal que E] seja paralela a FG). Resta examinar o caso em que \  ÒEß FÓ, isto é, em que + ", caso em que se tem F − ÒEß \Ó e lEFl œ lE\l" . Sendo ] −
+ EGÛ o
definido por lE] l œ +lEGl, resulta de 8.4 que a recta \] é paralela a FG e, é claro que é mesmo o único elemento da recta ] EG com esta propriedade, em particular é o único elemento de EGÛ para o qual isso acontece. É claro que é também o único elemento de G E] tal que FG seja paralela a \], pelo que, aplicando 8.3 ao triângulo ÐEß \ß ] Ñ e ao ponto F − ÒEß \Ó concluímos que .ÐÖ\] ß \E×Ñ œ ÐÖFGß FE×Ñ Û Û . Û Û e
.ÐÖ] \ß ] E×Ñ œ ÐÖGFß GE×Ñ.Û Û . Û Û
8.6 Diz-se que dois triângulos ÐEß Fß GÑ e ÐEwß F ß G Ñ são w w semelhantes se se tem .ÐE Ñ œ ÐE Ñw . ww , .ÐF Ñ œ ÐF Ñw . ww e .ÐG Ñ œ ÐG Ñw . ww e existe + ! tal que lE F l œ +lEFl lF G l œ +lFGl lG E l œ +lGElw w , w w e w w . Diz-se então que + é a razão de semelhança (do primeiro triângulo para o segundo).
8.7 A relação de semelhnça entre triângulos é uma relação de equivalência. Mais precisamente:
1) Os triângulos ÐEß Fß GÑ e ÐEß Fß GÑ são semelhantes, com razão de semelhança ."
2) Se ÐEß Fß GÑ e ÐEwß F ß G Ñw w são semelhantes, com razão de sememelhança + !, então ÐEwß F ß G Ñw w e ÐEß Fß GÑ são semelhantes, com razão de seme- lhança ."
+
3) ÐEß Fß GÑ e ÐEwß F ß G Ñw w são semelhantes, com razão de semelhança , e+ ÐEwß F ß G Ñ e w w ÐE ß F ß G Ñww ww ww são semelhantes, com razão de semelhança ,, então ÐEß Fß GÑ e ÐEwwß F ß G Ñ são semelhantes, com razão de semelhançaww ww +,.
Dem: Trata-se de uma consequência imediata da definição. 8.8 Dois triângulos ÐEß Fß GÑ e ÐEwß F ß G Ñ são congruentes (cf. a definiçãow w
4.11) se, e só se, são semelhantes, com razão de semelhança ."
8.9 (Critério LAL de semelhança) Sejam ÐEß Fß GÑ e ÐEwß F ß G Ñ dois triân-w w gulos tais que .ÐE Ñ œ ÐE Ñw . ww e que exista + ! tal que lE F l œ +lEFlw w e lE G l œ +lEGlw w . Tem-se então que os dois triângulos são semelhantes, com razão de semelhança .+
Dem: Consideremos \−EF ] − EGÛ e Û tais que
lE\l œ lE F l œ +lEFlw w , lE] l œ lE G l œ +lEGlw w .
Tendo em conta o axioma LAL (cf. 4.13), os triângulos ÐEß \ß ] Ñ e ÐE ß F ß G Ñw w w são congruentes. Tendo em conta 8.4, a recta \] é paralela à recta FG e podemos então aplicar 8.5 para garantir que
lF G l œ l\] l œ +lFGl ÐF Ñ œ ÐÖ\] ß \E×Ñ œ ÐÖFGß FE×Ñ œ ÐF Ñ ÐG Ñ œ ÐÖ] \ß ] E×Ñ œ ÐÖGFß GE×Ñ œ ÐG Ñ w w w w , , , . w . Û Û . Û Û .w . w . Û Û . Û Û .w donde o resultado.
8.10 (Critério AA de semelhança) Sejam ÐEß Fß GÑ e ÐEwß F ß G Ñ dois triân-w w gulos tais que .ÐE Ñ œ ÐE Ñw . ww e .ÐF Ñ œ ÐF Ñw . ww . Tem-se então que os dois triângulos são semelhantes.
Dem: Seja \−EFÛ tal que lE\l œ lE F lw w. Tendo em conta 8.5, podemos considerar ] −EGÛ tal que a recta \] seja paralela a FG, e, sendo + ! o definido por lE\l œ +lEFl, vem lE] l œ +lEGl, l\] l œ +lFGl, .ÐÖFGß FE×Ñ œ ÐÖ\] ß \E×ÑÛ Û . Û Û e .ÐÖGFß GE×Ñ œ ÐÖ] \ß ] E×ÑÛ Û . Û Û . As igualdades ,lE\l œ lE F lw w
. Û Û .w . w
. Û Û . Û Û .w . w
ÐÖE\ß E] ×Ñ œ ÐE Ñ œ ÐE Ñ
ÐÖ\] ß \E×Ñ œ ÐÖFGß FE×Ñ œ ÐF Ñ œ ÐF Ñ w
w ,
,
implicam, pelo teorema ALA (cf. 4.15), que os triângulos ÐEß \ß ] Ñ e ÐE ß F ß G Ñw w w são congruentes. Tem-se assim
.ÐG Ñ œ ÐÖGFß GE×Ñ œ ÐÖ] \ß ] E×Ñ œ ÐÖG F ß G E ×Ñ œ ÐG Ñw . Û Û . Û Û . Û Û . w lE F l œ lE\l lE G l œ lE] l lF ß G l œ l\] l w w w w w w w w w w w , œ +lEFl œ +lEGl œ +lFGl , , ,
o que mostra que os dois triângulos são semelhantes. 8.11 (Critério LLL de semelhança) Sejam ÐEß Fß GÑ e ÐEwß F ß G Ñ dois triân-w w gulos tais que, para um certo + ! lE F l œ +lEFl lF G l œ +lFGl, w w , w w e lG E l œ +lGElw w . Tem-se então que os dois triângulos são semelhantes. Dem: Fixemos um ponto arbitrário Eww e duas semirrecta e de origem< =
Eww Ð< ß = Ñ œ ÐE Ñ F − <ww G − =ww
tais que . .w . Consideremos pontos e
tais que lE F l œ lE F l œ +lEFlww ww w w e lE G l œ lE G l œ +lEGlww ww w w . Tendo em conta o critério LAL de semelhança (cf. 8.9), os triângulos ÐEß Fß GÑ e ÐE ß F ß G Ñww ww ww são semelhantes, em particular tem-se também lF G l œww ww +lFGl œ lF G lw w. Tendo em conta o teorema LLL (cf. 4.34), vemos que os triângulos ÐEwß F ß G Ñw w e ÐE ß F ß G Ñww ww ww são congruentes, em particular semelhantes e daqui decorre, por transitividade, que ÐEß Fß GÑ ÐE e wß F ß G Ñw w
são semelhantes.
8.12 (Teorema de Pitágoras) Seja ÐEß Fß GÑ um triângulo tal que .ÐE Ñ œ "w (um triângulo rectângulo em ). Tem-se entãoE
lFGl œ lEFl lEGl# # #
(a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa) .20
Dem: Para simplificar o formalismo, vamos fixar . − Y, reparando que nos bastará provar que se tem .ÐFß GÑ œ .ÐEß FÑ .ÐEß GÑ# # #, isto é, + œ - ,# # #, onde, como é habitual, se nota + œ .ÐFß GÑ - œ .ÐEß FÑ, e , œ .ÐEß GÑ.
Uma vez que .ÐE Ñ ÐF Ñ ÐG Ñ œ #w .w .w , vem .ÐF Ñ ÐG Ñ œ "w .w , em particular .ÐF Ñ "w e .ÐG Ñ "w . Consideremos o pé da perpendicular H de para a recta E FG (cf. 4.28) e reparemos que, tendo em conta 4.33, tem-se H − ÒFß GÓ, com diferente de e de . Notemos H F G B œ .ÐFß HÑ e C œ .ÐHß GÑ e reparemos que, por ser H − ÒFß GÓ, resulta de 1.25 que
+ œ .ÐFß GÑ œ .ÐFß HÑ .ÐHß GÑ œ B C. A B D C 1 1 1 a b c x y
Reparemos agora que, tendo em conta 8.10, os triângulos ÐHß Fß EÑ e ÐHß Eß GÑ são ambos semelhantes ao triângulo ÐEß Fß GÑ, no primeiro caso por ser
.ÐÖHFß HE×Ñ œ " œ ÐÖEFß EG×ÑÛ Û . Û Û , ÖFHß FE× œ ÖFEß FG×Û Û Û Û , e no segundo caso por ser
.ÐÖHEß HG×Ñ œ " œ ÐÖEFß EG×ÑÛ Û . Û Û , ÖGHß GE× œ ÖGEß GF×Û Û Û Û . Da primeira semelhança deduzimos que B - a da segunda que ,.
- + , +
C
œ œ
Deduzimos destas duas igualdades que - œ B+ , œ C+# e # , donde - , œ B+ C+ œ ÐB CÑ+ œ +# # #,
como queríamos.
8.13 (Corolário) Seja ÐEß Fß GÑ um triângulo tal que .ÐE Ñ " (respectiva-w mente .ÐE Ñ "w ). Tem-se então lFGl lEFl lEGl# # # (respectivamente
20Lembrar que, por exemplo, lFGl é a família dos .ÐFß GÑ, indexada nas distâncias . −Y . A notação lFGl# refere-se asim, naturalmente à família dos .ÐFß GÑ#. Analogamente, o segundo membro é uma soma de duas famílias indexadas em . − Y e, como tal, é naturalmente uma família indexada em . − Y.
lFGl lEFl lEGl# # #). Em consequência, se ÐEß Fß GÑ é um triângulo tal que lFGl œ lEFl lEGl# # #, então .ÐE Ñ œ "w .
Dem: Escolhamos um ponto arbitrário e duas semirrectas e deEw < =
origem tais que Ew Ð< ß = Ñ œ ". Escolhamos pontos F − <w e G − =w
.
tais que lE F l œ lEFlw w e lE G l œ lEGlw w e reparemos que, por 8.12, tem-se lF G l œ lE F l lE G lw w # w w # w w #. Supondo que .ÐE Ñ " œ ÐE Ñw . ww (respectiva- mente que .ÐE Ñ " œ ÐE Ñw . ww ), resulta de 4.44 quelFGl lF G lw w (respec- tivamente que lFGl lF G lw w) e portanto
lFGl lF G l œ lE F l lE G l œ lEFl lEGl# w w # w w # w w # # # (respectivamente
lFGl lF G l œ lE F l lE G l œ lEFl lEGl# w w # w w # w w # # #).
Por fim, se ÐEß Fß GÑ é um triângulo tal que lFGl œ lEFl lEGl# # #, então, pelo que vimos atrás, não pode ser .ÐE Ñ "w nem .ÐE Ñ "w , e portanto
vem ..ÐE Ñ œ "w