5.1 Seja V §X um conjunto. Diz-se que uma aplicação F VÀ ÄX é isométrica se, quaisquer que sejam Eß F −V F, l ÐEÑ ÐFÑl œ lEFlF .
5.2 Se F VÀ Ä é uma aplicação isométrica, então é injectiva e, sendoX F WœF V FÐ Ñ, "ÀWÄX também é uma aplicação isométrica.
Dem: Se FÐEÑ œFÐFÑ, vem lEFl œ l ÐEÑ ÐFÑl œ !F F , donde E œ F. Para Gß H −W, vem lF"ÐGÑF"ÐHÑl œ l ÐF F"ÐGÑÑ ÐF F"ÐHÑÑl œ lGHl. 5.3 Se F VÀ ÄX é uma aplicação isométrica e Vw§V, então 0 ÀÎVw VwÄX é
trivialmente também uma aplicação isométrica.
5.4 (Aplicações isométricas numa recta) Seja < §X uma recta e seja FÀ < ÄX uma aplicação isométrica. Tem-se então que FÐ<Ñ é uma recta = §X e, fixada uma das duas ordens lineares Ÿ de , existe uma das duas ordens< lineares Ÿw de tal que seja um isomorfismo de ordem, isto é, que se= F tenha, para \ß ] − <, FÐ\Ñ ŸwFÐ] Ñ se, e só se, \ Ÿ ].
Dem: Fixemos uma das ordens lineares Ÿ de e dois pontos distintos< Eß F − <, com E F. Tem-se então FÐEÑ ÁFÐFÑ, pelo que podemos considerar a única recta tal que = FÐEÑß ÐFÑ − =F .
1) Comecemos por mostrar que se tem FÐ<Ñ § =, para o que consideramos \ − < arbitrário, que podemos já supor distinto de e de . Verifica-seE F assim uma das três propriedades E \ F \ E F, e E F \. No primeiro caso tem-se \ − ÒEß FÓ donde, tendo em conta 4.41,
l ÐEÑ ÐFÑl œ lEFl œ lE\l l\Fl œ l ÐEÑ Ð\Ñl l Ð\Ñ ÐFÑlF F F F F F o que, pelo mesmo resultado, implica que FÐ\Ñ − Ò ÐEÑß ÐFÑÓF F , em particular FÐ\Ñ − =. No segundo caso tem-se E − Ò\ß FÓ portanto
l Ð\Ñ ÐFÑl œ l\Fl œ l\El lEFl œ l Ð\Ñ ÐEÑl l ÐEÑ ÐFÑlF F F F F F donde FÐEÑ − Ò Ð\Ñ ÐFÑÓF F , em particular FÐ\Ñ − = e no terceiro caso
tem-se F − ÒEß \Óportanto
l ÐEÑ Ð\Ñl œ lEß \l œ lEFl lF\l œ l ÐEÑ ÐFÑl l ÐFÑ Ð\ÑlF F F F F F donde FÐFÑ − Ò ÐEÑ Ð\ÑÓF F , em particular FÐ\Ñ − =. Em qualquer dos casos tem-se portanto FÐ\Ñ − =.
2) Vamos agora mostrar que se tem mesmo FÐ<Ñ œ =, para o que consideramos ] − = arbitrário, que podemos já supor diferente de FÐEÑ. Tem-se então l] ÐEÑl !F e, tendo em conta a alínea d) de 1.19, existem dois pontos \ ß \ − <w ww distintos de tais que E l\ El œ l\ El œ l] ÐEÑlw ww F (um em cada uma das duas semirrectas de de origem ). Tem-se então que< E FÐ\ Ñw e FÐ\ Ñww são dois pontos distintos de para os quais=
l Ð\ Ñ ÐEÑl œ l\ El œ l] ÐEÑl œ l\ El œ l Ð\ Ñ ÐEÑlF w F w F ww F ww F pelo que, uma vez que existem apenas dois pontos de a uma distância= estritamente positiva de FÐEÑ (um em cada semirrecta de origem FÐEÑ), concluímos que ] œFÐ\ Ñw ou ] œFÐ\ Ñww , em qualquer caso ] − Ð=ÑF . 3) Consideremos agora um sistema de coordenadas 0 À < Ä ‘ tal que, para \ß ] −‘, \ Ÿ ] se, e só se, 0 Ð\Ñ Ÿ 0 Ð] Ñ (cf. 1.16). Sendo . −Y tal que .Ð\ß ] Ñ œ l0 Ð\Ñ 0 Ð] Ñl, vemos agora que, para ^ß [ − =,
l0 ‰F"Ð^Ñ 0 ‰F"Ð[ Ñl œ .ÐF"Ð^ÑßF"Ð[ ÑÑ œ .Ð^ß [ Ñ, portanto 0 ‰F"À = Ä‘ é também um sistema de coordenadas e, sendo Ÿw a relação de ordem linear em associada a este, tem-se=
FÐ\Ñ Ÿ FÐ] Ñ Í 0 ‰F Ð Ð\ÑÑ Ÿ 0 ‰F F Ð Ð] ÑÑ ÍF Í 0 Ð\Ñ Ÿ 0 Ð] Ñ Í \ Ÿ ]
w " "
,
como queríamos.
5.5 (Corolário) Sejam < §X uma recta, FÀ < ÄX uma aplicação isométrica e = œFÐ<Ñ a recta imagem. Dados T ß U − <, com T Á U, tem-se então que F aplica a semirrecta T UÛ de sobre a semirrecta < FÐT Ñ ÐUÑÛF de e o segmento= de recta ÒT ß UÓ de sobre o segmento de recta < Ò ÐT Ñß ÐUÑÓF F de .=
Dem: Sendo Ÿ a ordem linear de para a qual < T U, a ordem linear Ÿw de para a qual é um isomorfismo de ordem é aquela para a qual= F FÐT Ñ FÐUÑ, bastando agora lembrar a definição das semirrectas e dos segmentos de recta em termos das ordens lineares consideradas (cf. as alíneas
b) e c) de 1.18).
5.6 (Aplicações isométricas num plano) Sejam !§X um plano e F !À ÄX uma aplicação isométrica. Tem-se então que F !Ð Ñ é um plano de ." X Dem: Sejam < §! uma recta fixada e E −!Ï < um ponto fixado. Sejam ! o semiplano de de bordo que contém e ! < E ! o outro semiplano de com! o mesmo bordo. Tendo em conta 5.4, sabemos que = œFÐ<Ñ é uma recta e a injectividade de implica que F FÐEÑ Â = e podemos assim definir um plano " como sendo o único que contém e = FÐEÑ (cf. a alínea a) de 1.8).
1) Comecemos por mostrar que se tem F !Ð Ñ §", ou seja, que, se \ −!, então FÐ\Ñ −". Isso é trivial no caso em que \ − <. Vejamos o que sucede se \ −!Ï <. Tem-se então que o segmento ÒEß \Ó intersecta num ponto< T, em particular a recta ET contém o ponto e portanto, mais uma vez por\
5.4, FÐET Ñ é uma recta que contém o ponto FÐ\Ñ. Mas, uma vez que FÐET Ñ contém os pontos distintos FÐEÑ e FÐT Ñ em , ela está contida em" ", em particular FÐ\Ñ −". Resta-nos examinar o que se passa no caso em que \ −!Ï <. Para isso, tomamos F −!Ï < e, uma vez que já sabemos que FÐFÑ −", repetimos o raciocínio anterior: O segmento ÒFß \Ó intersecta < num ponto , em particular a recta U FU contém o ponto e portanto\ FÐFUÑ é uma recta que contém o ponto FÐ\Ñ e que contém os pontos distintos FÐFÑ e FÐUÑ em , pelo que está contida em , em particular" " FÐ\Ñ − ."
2) Vamos agora mostrar que se tem mesmo F !Ð Ñ œ", isto é, que, para cada ] −", existe \ −! tal que FÐ\Ñ œ ]. Isso é trivial no caso em que ] pertence à recta = œFÐ<Ñ. Notemos " o semiplano de de bordo que" = contém FÐEÑ e " o outro semiplano de com o mesmo bordo. Vejamos o" que se passa quando ] −"Ï <. Nesse caso o segmento Ò ÐEÑß ] ÓF intersecta a recta num certo ponto, que será da forma = FÐT Ñ, com T − <, e portanto ] pertence à recta FÐEÑ ÐT ÑF , que não é mais do que a imagem por da rectaF ET §!, o que implica que é da forma ] FÐ\Ñ para um certo \ − ET §!. Resta-nos examinar o que se passa quando ] −"Ï <. Para isso começamos por fixar um ponto de "Ï =, que já sabemos poder ser escrito na forma FÐGÑ, para um certo G −!. O segmento Ò ÐGÑß ] ÓF intersecta a recta num certo ponto, que será da forma = FÐUÑ, com U − <, e portanto pertence à recta ] FÐGÑ ÐUÑF , que não é mais do que a imagem por F da recta GU §!, o que implica que é da forma ] FÐ\Ñ para um certo
\ − GU § !.
5.7 (Corolário)Sejam !§X um plano, F !À ÄX uma aplicação isométrica e "œF !Ð Ñ o plano imagem. Dada uma recta < §! cuja imagem é a recta = œFÐ<Ñ §" e sendo ! e ! os semiplanos de de bordo , tem-se então! < que F !Ð Ñ e F !Ð Ñ são os semiplanos de de bordo ." =
Dem: A restrição de é uma bijecção de F !Ï < sobre "Ï = pelo que, notando µ as relações segmentais nestes dois conjuntos (cf. 2.1), tudo o que temos que verificar é que, para Eß F −!Ï <, tem-se E µ F em !Ï < se, e só se, FÐEÑ µFÐFÑ em "Ï =. Ora, isso é uma consequência de se ter FÐÒEß FÓÑ œ Ò ÐEÑß ÐFÑÓ, tendo em conta F F 5.5. 5.8 (Conservação dos ângulos)Sejam !§X um plano, F !À ÄX uma aplica- ção isométrica e "œF !Ð Ñ o plano imagem. Sendo e duas semirrectas< = contidas em , com a mesma origem e com rectas continentes distintas e! T < =, tem-se então que FÐ< Ñ e FÐ= Ñ são duas semirrectas contidas em com a" mesma origem FÐT Ñ e com rectas continentes distintas FÐ<Ñ e FÐ=Ñ e vem
Dem: FÐ<Ñ e FÐ=Ñ são rectas distintas de F !Ð Ñ e, tendo em conta 5.5, FÐ< Ñ e FÐ= Ñ são semirrectas daquelas rectas com origem FÐT Ñ e evidentemente contidas em "œF !Ð Ñ. Consideremos pontos E − < e F − =, com E Á T e F Á T. Tem-se que Eß Fß T são não colineares, e portanto FÐEÑß ÐFÑß ÐT Ñ são também não colineares e o facto de se terF F
l ÐEÑ ÐFÑl œ lEFlF F , l ÐFÑ ÐT Ñl œ lFT lF F , l ÐT Ñ ÐEÑl œ lT ElF F , implica, pelo teorema LLL (cf. 4.34) que os triângulos Ð ÐEÑß ÐFÑß ÐT ÑÑF F F e ÐEß Fß T Ñ são congruentes, e portanto
. FÐÖ Ð< Ñß Ð= Ñ×Ñ œ Ð ÐT ÑÑ œ ÐT Ñ œ ÐÖ< ß = ×Ñ F . Fw .w . . 5.9 (Aplicações isométricas no espaço) Seja F XÀ ÄX uma aplicação isomé- trica. Tem-se então F XÐ Ñ œX e diz-se também que é uma F isometria de .X Dem: Sejam !§X um plano fixado e E −XÏ! um ponto fixado. Tendo em conta 5.6, sabemos que "œF !Ð Ñ é um plano e a injectividade de F implica que FÐEÑ Â". Sejam X o semiespaço de bordo que contém " FÐEÑ e X o outro semiespaço com o mesmo bordo (cf. 2.11). O que temos que provar é, que, para cada ] −X, existe \ −X tal que FÐ\Ñ œ ]. Isso é trivial no caso em que pertence ao plano ] "œF !Ð Ñ. Vejamos o que se passa quando ] −XÏ". Nesse caso o segmento Ò ÐEÑß ] ÓF intersecta o plano num certo ponto, que será da forma " FÐT Ñ, com T −!, e portanto ] pertence à recta FÐEÑ ÐT ÑF , que não é mais do que a imagem por da rectaF ET, o que implica que é da forma ] FÐ\Ñ para um certo \ − ET §X. Resta-nos examinar o que se passa quando ] −XÏ". Para isso começamos por fixar um ponto de XÏ", que já sabemos poder ser escrito na forma FÐGÑ, para um certo G −X. O segmento Ò ÐGÑß ] ÓF intersecta o plano num" certo ponto, que será da forma FÐUÑ, com U −!, e portanto pertence à] recta FÐGÑ ÐUÑF , que não é mais do que a imagem por da recta F GU, o que implica que é da forma ] FÐ\Ñ para um certo \ − GU §X. 5.10 (Corolário)Sejam F XÀ ÄX um isometria e !§X um plano, cuja imagem é o plano "œF !Ð Ñ §X. Sendo X e X os semiespaços de bordo , tem-se! então que F XÐ Ñ e F XÐ Ñ são os semiespaços de bordo ."
Dem: A restrição de é uma bijecção de F XÏ! sobre XÏ" pelo que, notando µ as relações segmentais nestes dois conjuntos (cf. 2.1), tudo o que temos que verificar é que, para Eß F −XÏ!, tem-se E µ F em XÏ! se, e só se, FÐEÑ µFÐFÑ em XÏ". Ora, isso é uma consequência de se ter FÐÒEß FÓÑ œ Ò ÐEÑß ÐFÑÓ, tendo em conta F F 5.5. 5.11 (O grupo das isometrias) O conjunto das isometrias F XÀ Ä constituiX um subgrupo do grupo de todas as bijecções XÄX, em particular M. ÀX XÄX é uma isometria.
Dem: Trata-se de uma consequência imediata da definição de aplicação isométrica e de as isometrias serem bijectivas.
5.12 (A inversão relativamente a um ponto) Seja S − X um ponto fixado. Definimos então uma aplicação 38@ ÀS XÄX, a que daremos o nome de
inversão relativamente a , do seguinte modo: S 38@ ÐSÑ œ SS ; para cada T Á S, consideramos a recta < œ ST, a semirrecta < œ ST Û e a semirrecta oposta e definimos < 38@ ÐT ÑS como sendo o único ponto de para o qual< se tem lS 38@ ÐT Ñl œ lST lS . Equivalentemente, para cada , T 38@ ÐT ÑS é o único ponto tal que seja o ponto médio de S ÐT ß 38@ ÐT ÑÑS .
5.13 (38@S é isometria) Nas condições anteriores, a aplicação 38@ ÀS XÄX é uma isometria involutiva, isto é, que verifica 38@ ‰ 38@ œ M.S S X.
Dem: Comecemos por reparar que o facto de se ter 38@ Ð38@ ÐT ÑÑ œ TS S , para cada T − X é uma consequência imediata da definição, uma vez que a semirrecta oposta da semirrecta de origem que contém S 38@ ÐT ÑS é a semirrecta STÛ. Resta-nos mostrar que, quaisquer que sejam T ß U −X, tem-se l38@ ÐT Ñ 38@ ÐUÑl œ lT UlS S , o que faremos começando por examinar casos particulares:
1) A conclusão é trivialmente válida, pelo modo como a aplicação foi definida, no caso em que T œ S ou U œ S. Supomos assim nas alíneas seguintes que T Á S U Á S e .
2) Suponhamos que Sß T ß U são colineares e notemos a recta que os con-< tém. Consideremos um -sistema de coordenadas de , . < 0 À < Ä ‘ de origem S, isto é, tal que 0 ÐSÑ œ ! (cf. 1.15). Se > −‘, com > Á !, os pontos 0"Ð>Ñ e 0"Ð>Ñ estão em semirrectas opostas de de origem e são tais que< S
.Ð0 Ð>Ñß SÑ œ .Ð0 Ð>Ñß 0 Ð!ÑÑ œ l> !l œ l> !l œ œ .Ð0 Ð>Ñß 0 Ð!ÑÑ œ .Ð0 Ð>Ñß SÑ " " "
" " " ,
o que mostra que 38@ Ð0S "Ð>ÑÑ œ 0"Ð>Ñ, igualdade que é trivialmente também verificada para > œ !. Vem então
0 Ð38@ ÐT ÑÑ œ 0 Ð38@ Ð0S S "Ð0 ÐT ÑÑÑÑ œ 0 Ð0"Ð0 ÐT ÑÑÑ œ 0 ÐT Ñ e, do mesmo modo 0 Ð38@ ÐUÑÑ œ 0 ÐUÑS , portanto
.Ð38@ ÐT Ñß 38@ ÐUÑÑ œ l0 Ð38@ ÐT ÑÑ 0 Ð38@ ÐUÑÑl œ œ l0 ÐT Ñ 0 ÐUÑl œ l0 ÐT Ñ 0 ÐUÑl œ .ÐT ß UÑ
S S S S
, o que implica que l38@ ÐT Ñ 38@ ÐUÑl œ lT UlS S .
3) Examinemos enfim o caso em que Sß T ß U são não colineares e portanto as rectas < œ ST e = œ SU são distintas. Por construção, os ângulos ÖST ß SU×Û Û e ÖS38@ ÐT Ñß S38@ ÐUÑ×ÛS ÛS são verticalmente opostos, e portanto com a mesma amplitude e tem-se lS 38@ ÐT Ñl œ lST lS e lS 38@ ÐUÑl œS lSUl pelo que, pelo axioma 4.13, os triângulos ÐSß 38@ ÐT Ñß 38@ ÐUÑÑS S e ÐSß T ß UÑ são congruentes, o que implica, também neste caso, que se tem
5.14 (A inversão relativamente a uma recta) Seja < § X uma recta fixada. Definimos então uma aplicação 38@ À< XÄX, a que daremos o nome de
inversão relativamente a , do seguinte modo: Para cada < T − <, 38@ ÐT Ñ œ T< ; Para cada E  <, consideramos o pé da perpendicular de T E sobre (cf. < 4.28) e definimos 38@ ÐEÑ œ 38@ ÐEÑ< T (cf. 5.12).
5.15 (Lema) Nas condições anteriores, seja !§X um plano tal que < §!. Tem-se então que a restrição de 38@< a é uma aplicação isométrica que! toma valores em .!
Dem: O facto de, para cada E −!, ser 38@ ÐEÑ −< ! é evidente no caso em que E − < e, caso contrário, resulta de que, sendo o pé da perpendicular deT E sobre , a recta < T E está contida em , por ter dois pontos distintos e ! T E em . Resta-nos mostrar que, quaisquer que sejam ! Eß F −!, tem-se l38@ ÐEÑ 38@ ÐFÑl œ lEFl< < , o que faremos começando por examinar casos particulares:
1) O resultado é trivial no caso em que E − < F − < e .
2) Examinemos o caso em que, dos pontos e , um pertence a e o outroE F < não. Se necessário trocando os papéis de e , suponhamos que E F E − < e F Â <. Duas situações podem acontecer: Na primeira é o pé daE perpendicular de para e então temos simplesmenteF <
l38@ ÐEÑ 38@ ÐFÑl œ lE 38@ ÐFÑl œ lEFl< < E ;
Na segunda, o pé da perpendicular de para é diferente de e então,T F < E notando F œ 38@ ÐFÑw , podemos considerar os triângulos ÐEß T ß FÑ e
T
ÐEß T ß F Ñw 38@
T , para os quais, tendo em conta a definição de ,
vem .ÐÖT Eß T F×Ñ œ " œ ÐÖT Eß T F ×ÑÛ Û . Û Ûw e lT Fl œ lT F lw. Pelo axioma LAL (cf. 4.13) os triângulos em questão são congruentes e portanto
l38@ ÐEÑ 38@ ÐFÑl œ lEF l œ lEFl< < w .
3) Examinemos agora o caso em que E Â < e F Â < têm o mesmo pé da perpendicular sobre a recta . Neste casos, tendo em conta o facto de T < 38@T ser uma isometria, vem, mais uma vez
l38@ ÐEÑ 38@ ÐFÑl œ l38@ ÐEÑ 38@ ÐFÑl œ lEFl< < T T .
4) Examinemos enfim o caso que nos falta, aquele em que E  < e F  < têm pés da perpendicular e sobre a recta , com T U < T Á U. Notemos E œw 38@ ÐEÑ œ 38@ ÐEÑ F< T , o ponto, de entre e w F 38@ ÐFÑ œ 38@ ÐFÑ< U , que está no mesmo semiplano ! de com bordo que e ! < E Fww o outro daqueles dois pontos.
Reparemos que as rectas EEw e F Fw ww não se intersectam, tendo em conta a afirmação de unicidade da definição do pé da perpendicular em 4.28, e daqui resulta que e pertencem ao mesmo semiplano de de bordo E Ew ! F Fw ww que T, e portanto que E − nÖUT ß UF × E − nÖUT ß UF ×Û Ûw e w Û Ûww .
" œ ÐÖUT ß UF ×Ñ œ ÐÖUT ß UE×Ñ ÐÖUEß UF ×Ñ " œ ÐÖUT ß UF ×Ñ œ ÐÖUT ß UE ×Ñ ÐÖUE ß UF ×Ñ
. Û Û . Û Û . Û Û . Û Û . Û Û . Û Û w w ww w w ww , .
Uma vez que, pelo axioma LAL (cf. 4.13) os triângulos ÐT ß Uß EÑ e ÐT ß Uß E Ñw são congruentes, sabemos que lEUl œ lE Ulw e que .ÐÖUT ß UE×Ñ œ ÐÖUT ß UE ×ÑÛ Û . Û Ûw e desta última igualdade e das igualdades acima destacadas resulta que .ÐÖUEß UF ×Ñ œ ÐÖUE ß UF ×ÑÛ Ûw . Ûw Ûww . Aplicando de novo o axioma LAL, deduzimos agora que lEF l œ lE F lw w ww. Pelo teorema LLL (cf. 4.34) podemos agora garantir que os triângulos ÐEß Uß F Ñw e ÐE ß Uß F Ñw ww são congruentes, o que implica que
.ÐÖF Eß F F ×Ñ œ ÐÖF Eß F U×Ñ œ ÐÖF E ß F U×Ñ œ ÐÖF E ß F F ×ÑÛw Ûw ww . Ûw Ûw . Ûww w Ûww . Ûww w Ûww w . Mais uma vez o axioma LAL implica agora que os triângulos ÐF ß F ß EÑw ww e ÐF ß F ß E Ñww w w são congruentes, e portanto que lEF l œ lE F lww w w. As duas
igualdades lEF l œ lE F lw w ww e lEF l œ lE F lww w w mostram-nos finalmente que, quer se tenha F œ Fw, e portanto 38@ ÐFÑ œ Fww, ou F œ Fww, e portanto
< 38@ ÐFÑ œ F< w, tem-se sempre
l38@ ÐEÑ 38@ ÐFÑl œ lE 38@ ÐFÑl œ lEFl< < w < . 5.16 (38@< é isometria) Nas condições de 5.14, a aplicação 38@ À< XÄX é uma
isometria involutiva, isto é, verifica 38@ Ð38@ ÐEÑÑ œ E< < , para cada E −X, Dem: Comecemos por reparar que o facto de se ter 38@ Ð38@ ÐEÑÑ œ E< < , para cada E −X resulta de que, afastando já o caso trivial em que E − <, sendo T o pé da perpendicular de para , é também o pé da perpendicular deE < T 38@ ÐEÑT para , bastando portanto ter em conta o facto de a simetria< relativamente a ser uma involução. Resta-nos mostrar que, quaisquer queT sejam Eß F −X, tem-se l38@ ÐEÑ 38@ ÐFÑl œ lEFl< < , o que faremos come- çando por examinar casos particulares:
1) Se existir um plano tal que ! < §!, E −! e F −!, a igualdade pretendida é uma consequência do lema 5.15.
2) Afastamos de seguida o caso particular referido em 1), o que implica, em particular, que E Â < e F Â <. No caso em que e têm o mesmo pé daE F perpendicular sobre a recta , ficamos com uma consequência de T < 38@T ser uma isometria (cf. 5.13):
l38@ ÐEÑ 38@ ÐFÑl œ l38@ ÐEÑ 38@ ÐFÑl œ lEFl< < T T .
4) Passemos enfim ao caso que nos falta e que é o de justificação mais elaborada, nomeadamente aquele em que E Â < e F Â < têm pés da perpendicular e sobre a recta , com T U < T Á U e em que, sendo o plano! que contém e e o plano que contém e , tem-se < E " < F !Á". Notemos ! e " o semiplanos de e de , em ambos os casos com bordo , tais que! " < E −! e F −" e sejam ! e " os semiplanos opostos daqueles.
Notemos E œ 38@ ÐEÑ œ 38@ ÐEÑ F œ 38@ ÐFÑ œ 38@ ÐFÑw e .w
< T < U
Consideremos ainda uns pontos auxiliares: Na recta do plano que passa por! U e é perpendicular a , definimos dois pontos e < \ \w, respectivamente em ! e em !, pela condição de se ter
lU\l œ lU\ l œ lT El œ lT E lw w,
tendo-se então \ œ 38@ Ð\Ñw . Notamos ainda o ponto médio do parQ U
ÐT ß UÑ e lembramos que, tendo em conta o lema 4.46, é também o pontoQ médio dos pares ÐEß \ Ñ ÐE ß \Ñw e w .
Começamos por reparar que, uma vez que 38@U é uma isometria, tem-se
lF\ l œ lF \lw w 38@
<
. Por outro lado, uma vez que as restrições de a e a ! " são isometrias, pelo lema 5.15, tem-se também lQ F l œ lQ Flw e lQ \ l œw lQ \l. Pelo teorema LLL (cf. 4.34), concluímos que os triângulos ÐQ ß Fß \ Ñ ÐQ ß F \Ñw e w são congruentes, e portanto
.ÐÖQ Fß Q \ ×Ñ œ ÐÖQ F ß Q \×ÑÛ Ûw . Ûw Û .
Uma vez que os ângulos ÖQ Fß Q \ ×Û Ûw e ÖQ Fß Q E×Û Û são adjacentes, e o mesmo acontece aos ângulos ÖQ F ß Q \×Ûw Û e ÖQ F ß Q E ×Ûw Ûw , deduzimos agora de 3.19 que se tem também
.ÐÖQ Fß Q E×Ñ œ ÐÖQ F ß Q E ×ÑÛ Û . Ûw Ûw .
lQ F l œ lQ Flw e lQ E l œ lQ Elw e daqui deduzimos, pelo axioma 4.13, que os triângulos ÐQ ß Eß FÑ e ÐQ ß E ß F Ñw w são congruentes, e portanto, vem l38@ ÐEÑ 38@ ÐFÑl œ lE F l œ lEFl< < w w , como queríamos.
Como aplicação do resultado precedente vamos examinar a noção de perpendicularidade entre uma recta e um plano.
5.17 Sejam uma recta e < ! um plano e suponhamos que e são concorrentes,< ! com < !œ ÖT ×. Diz-se que e são perpendiculares se a recta é< ! < perpendicular a todas as rectas ? §! tais que T − ?.
5.18 (Lema) Sejam uma recta e < ! um plano tais que < !œ ÖT ×. Tem-se então que e são perpendiculares se, e só se, < ! 38@ Ð Ñ §< ! ! (e portanto 38@ Ð Ñ œ< ! !).12
Dem: O facto de a condição 38@ Ð Ñ §< ! ! implicar 38@ Ð Ñ œ< ! ! é uma consequência de que, uma vez que 38@< é uma isometria, 38@ Ð Ñ< ! é um plano (cf. 5.6). Suponhamos que e são perpendiculares e mostremos que< ! 38@ Ð Ñ §< ! !, para o que tomamos E −!, que podemos já supor diferente de T. Tem-se então que a recta T E está contida em , e portanto é! perpendicular à recta , o que implica que é o pé da perpendicular de < T E para , donde < 38@ ÐEÑ œ 38@ ÐEÑ − T E §< T !. Suponhamos, reciprocamente, que 38@ Ð Ñ œ Þ< ! ! Sendo ? §! uma recta, com T − ?, podemos escolher E − ? com E Á T (portanto E  <) e, sendo o pé daU perpendicular de para , tem-se E < 38@ ÐEÑ œ 38@ ÐEÑ −< U !, pelo que U pertence à recta que contém os pontos distintos e E 38@ ÐEÑ< , que está contida em , donde ! U − < !, portanto U œ T, donde ? œ ET œ EU é perpendicular a , o que mostra que e são perpendiculares.< < ! 5.19 Sejam e < ! uma recta e um plano perpendiculares, com < !œ ÖT ×. Tem-se então que qualquer recta perpendicular a , com = < T − =, está contida em ; em particular é a união de todas as rectas perpendiculares a! ! = <, com T − =.
Dem: Seja uma recta perpendicular a , com = < T − =. Seja o plano que" contém as rectas concorrentes e , com < = < = œ ÖT ×. Como "Á!, porque < §Î !, e T −!", segue-se que "! é uma recta (cf. a alínea ? d) de 1.7), com T − ?. Mas então e são duas rectas de contendo e? = " T perpendiculares a e portanto, por < 4.26, ? œ =, donde = §!. O que acabamos de mostrar mostra que a união de todas as rectas perpendiculares= a , com < T − =, esta contida em e esta união é mesmo visto que, para! ! cada E −!, já com E Á T, a recta ET está contida em e contém e , e! T E
portanto é perpendicular a .<
12A hipótese de e serem concorrentes é essencial: Lembrar que, se < ! < §!, então 38@ Ð Ñ œ< ! ! (cf. 5.15) e, no entanto não é perpendicular a .< !
5.20 (Condição suficiente de perpendicularidade) Sejam um plano, ! T −! e =ß > §! duas rectas com = > œ ÖT ×. Se é uma recta, com < T − <, simultaneamente perpendicular a e a , então é perpendicular a .= > < !
Dem: Comecemos por reparar que não pode ser < § !, tendo em conta 4.26. Uma vez que T − < !, segue-se que < !œ ÖT ×. Sejam E − = e F − >, com Eß F Á T. Uma vez que é então o pé da perpendicular de e de T E F sobre , segue-se que<
38@ ÐEÑ œ 38@ ÐEÑ − = § 38@ ÐFÑ œ 38@ ÐFÑ − > § < T < T ! ! , .
Por outro lado, 38@ ÐT Ñ œ T −< !. Uma vez que T ß Eß F não são colineares e que 38@< é uma isometria involutiva, resulta de 5.4 que 38@ ÐT Ñß 38@ ÐEÑß< < 38@ ÐFÑ< também são não colineares. Tendo em conta 5.6, sabemos que 38@ Ð Ñ< ! é um plano pelo que, por conter três pontos não colineares de ,! tem-se 38@ Ð Ñ œ< ! !. Pelo lema 5.18, e são perpendiculares.< ! 5.21 (Existência e unicidade do plano perpendicular num ponto duma recta) Sejam uma recta e < T − <. Existe então um, e um só, plano ! tal que T −! e e sejam perpendiculares.< !
Dem: A unicidade resulta de 5.19, uma vez que não pode deixar de ser a! união da rectas perpendiculares a que pasam por .< T
Para provar a existência, comecemos por mostrar que se podem considerar dois planos e , com " # "#œ <. Para isso tomamos um ponto F  <, definimos como sendo o único plano que contém e , consideramos um" < F ponto G  " (cf. a alínea e) de 1.6) e definimos como sendo o único plano# que contém e ; uma vez que < G "Á# e que < §"#, tem-se efectivamente "#œ < (cf. as alíneas a) e d) de 1.7).
Sejam agora = §" a recta perpendicular a com < T − = e > §# a recta perpendicular a com < T − >. Uma vez que = < œ ÖT × > < œ ÖT × e , vem = > œ ÖT × pelo que podemos considerar o plano que contém e . Vem! = > T −! e, tendo em conta 5.20, e são perpendiculares.< ! 5.22 (Existência e unicidade da recta perpendicular num ponto dum plano) Sejam ! um plano e T −!. Existe então uma, e uma só, recta tal que< T − < < e e sejam perpendiculares.!
Dem: Comecemos por provar a unicidade para o que, supomos que existiam rectas distintas <ß =, com T − < = e tanto como perpendiculares a .< = ! Escolhamos E − <, com E Á T e F − =, com F Á T, em particular e E F não pertencem a e ! Eß Fß T não são colineares (senão < œ =). Seja o" plano que contém Eß Fß T e que é portanto distinto de e contém as rectas ! < e . Uma vez que = T −!", segue-se que !" é uma recta , com > T − >. Por definição e são perpendiculares a todas as rectas de que passam por< = ! T, em particular são perpendiculares a , o que é absurdo, tendo em conta>
4.26, uma vez que se trata de duas rectas de ."
Passemos agora à prova da existência. Sejam e duas rectas contidas em ? @ ! e tais que ? @ œ ÖT × (tomar para uma recta de contendo e para ? ! T @
uma recta que contenha e algum ponto de não pertencente a ). Sejam T ! ? # e os planos que contêm o ponto e são perpendiculares a e a ,$ T ? @ respectivamente (cf. 5.21). Tem-se #Á$, tendo em conta a unicidade de uma recta perpendicular a um plano passando por um dos seus pontos, que demonstrámos no início, e, uma vez que T −#$, concluímos que #$ é uma recta , que contém o ponto (cf. a alínea < T d) de 1.7). Uma vez que é?