38@SÀXÄX, que sabemos ser uma isometria (cf. 5.12 5.13 e ). Tem-se então: a) Para cada recta < §X, tem-se que = œ 38@ Ð<ÑS é uma recta paralela a ,< tendo-se = œ < se, e só se, S − <.
b) Para cada plano !§X, tem-se que "œ 38@ Ð ÑS ! é um plano paralelo a ,! tendo-se "œ! se, e só se, S −!.
Dem: Seja a) < §X uma recta. Já sabemos que = œ 38@ Ð<ÑS é uma recta (cf. 5.4). No caso em que S − <, podemos considerar T Á S em e então, por< construção 38@ ÐT Ñ − <S pelo que a recta , contendo os pontos distintos= S œ 38@ ÐSÑS e 38@ ÐT ÑS tem que ser igual a , em particular paralela a .< < Resta-nos mostrar que, se S  < <, e são estritamente paralelas. Em= primeiro lugar, sendo e pontos distintos de , podemos considrar oT U < plano que contém ! Sß T ß U e, por construção, vem ainda 38@ ÐT Ñß 38@ ÐUÑ −S S !, o que implica que as rectas e , tendo cada uma< = um par de pontos distintos em , estão contidas em , e portanto são! ! complanares. Note-se que se tem ainda S  =, sem o que, lembrando que 38@ ‰ 38@ œ M.S S X,
S œ 38@ ÐSÑ − 38@ Ð=Ñ œ 38@ Ð38@ Ð<ÑÑ œ <S S S S .
Se e não fossem estritamente paralelas, existia < = V − < = e então, por construção,
38@ ÐVÑ − SV 38@ Ð<Ñ œ SV = œ ÖV×S S ,
o que era absurdo, uma vez que V Á S S e é trivialmente o único ponto fixo de .38@S
b) Seja !§X um plano. Já sabemos que "œ 38@ Ð ÑS ! é um plano (cf. 5.6). No caso em que S −!, podemos considerar T ß U −! tais que Sß T ß U sejam não colineares (dados três pontos não colineares, basta tomar um deles, T, que seja diferente de e depois um segundo, , que não pertença à rectaS U ST) e então, considerando as rectas concorrentes < œ ST e = œ SU, contidas em , tem-se que ! "œ 38@ Ð ÑS ! contém as rectas concorrentes < œ 38@ Ð<Ñ = œ 38@ Ð=ÑS e S , pelo que "œ!, em particular é paralelo a ." ! Resta-nos mostrar que, se S  ! !, e são estritamente paralelos. Note-se" que se tem ainda S Â", sem o que, lembrando que 38@ ‰ 38@ œ M.S S X,
S œ 38@ ÐSÑ − 38@ Ð Ñ œ 38@ Ð38@ Ð ÑÑ œS S " S S ! !.
Se e não fossem estritamente paralelos, existia ! " V −!" e então, por construção,
38@ ÐVÑ − SV 38@ Ð Ñ œ SV S S ! "œ ÖV×,
o que era absurdo, uma vez que V Á S S e é o único ponto fixo de 38@S.
9.2 (Isometrias de uma recta com um ponto fixo)Sejam < § X uma recta e FÀ < ÄX uma aplicação isométrica tal que FÐ<Ñ § < e que, para um certo
S − <, FÐSÑ œ S. Tem-se então que, ou Fœ M.<, ou é a restrição a daF < inversão .38@S
Em particular, se existir T − <, com T Á S, tal que FÐT Ñ œ T (se existirem dois pontos fixos), tem-se F œ M.<.
Dem: Tendo em conta 5.4, FÐ<Ñ é uma recta, e portanto FÐ<Ñ œ <. Tendo em conta 5.5, sendo e as duas semirrectas de de origem , < < < S FÐ< Ñ e FÐ< Ñ são semirrectas de < œFÐ<Ñ de origem S œFÐSÑ, pelo que duas coisas podem acontecer: Ou FÐ< Ñ œ < e FÐ< Ñ œ < , ou FÐ< Ñ œ < e FÐ< Ñ œ < . Em qualquer dos casos, para cada \ − <, tem-se
l Ð\ÑSl œ l Ð\Ñ ÐSÑl œ l\SlF F F .
Vejamos o que sucede no caso em que FÐ< Ñ œ < e FÐ< Ñ œ < . Nesse caso, para cada \ Á S em , < FÐ\Ñ pertence à mesma semirrecta de origem S que , pelo que, por ser \ l Ð\ÑSl œ l\SlF , tem-se FÐ\Ñ œ \, o que mostra que F œ M.<.
Vejamos o que sucede no caso em que FÐ< Ñ œ < e FÐ< Ñ œ < . Nesse caso, para cada \ Á S em , < FÐ\Ñ pertence à semirrecta de origem S oposta à que contém , pelo que, por ser \ l Ð\ÑSl œ l\SlF , tem-se FÐ\Ñ œ 38@ Ð\ÑS , o que mostra que é a restrição de F 38@S a .<
No caso em que existe T Á S em tal que < FÐT Ñ œ T, tem-se FÐT Ñ Á 38@ ÐT ÑS , pelo que não é a restrição a de F < 38@S, e portanto
9.3 (Corolário) Sejam < §X uma recta e F Gß À < ÄX duas aplicações isométricas tais que existam S Á T em com < FÐSÑ œGÐSÑ e FÐT Ñ œGÐT Ñ. Tem-se então FœG.
Dem: Tendo em conta 5.2 5.4 e , = œFÐ<Ñ > œ e GÐ<Ñ são rectas e e sãoF G bijecções de sobre estas rectas. Uma vez que e contêm os pontos< = > distintos FÐSÑ œGÐSÑ e FÐT Ñ œGÐT Ñ, tem-se = œ >. Podemos assim considerar a aplicação isométrica G"‰ À < Ä <F , para a qual se tem
G" F G" F G" F
<
‰ ÐSÑ œ S e ‰ ÐT Ñ œ T, pelo que ‰ œ M. , o que
implica que GœF.
9.4 (Isometrias dum plano com dois pontos fixos distintos)Sejam !§ umX plano e F !À ÄX uma aplicação isométrica tal que F !Ð Ñ §! e que existam
E Á F em com ! FÐEÑ œ E e FÐFÑ œ F. Tem-se então que, ou Fœ M.!, ou, notando < œ EF, é a restrição a da inversão F ! 38@< (cf. 5.14).
Em particular, se existir G −!, com G  < tal que FÐGÑ œ G (se existirem três pontos fixos não colineares), tem-se F œ M.!.
Dem: Tendo em conta 5.6, F !Ð Ñ é um plano, e portanto F !Ð Ñ œ!. Sendo < œ EF, resulta de 5.4 que FÐ<Ñ é uma recta, a qual vai conter os pontos FÐEÑ œ E e FÐFÑ œ F, o que implica que FÐ<Ñ œ < e, tendo em conta 9.2, que a restrição de a é a aplicação identidade de . Tendo em conta F < < 5.7, sendo ! e ! os dois semiplanos de de bordo , tem-se que ! < F !Ð Ñ e F !Ð Ñ são os dois semiplanos de F !Ð Ñ œ! de bordo FÐ<Ñ œ <, pelo que duas coisas podem acontecer: Ou F !Ð Ñ œ! e F !Ð Ñ œ!, ou F !Ð Ñ œ! e F !Ð Ñ œ!. Em qualquer dos casos, para cada \ −!Ï <, podemos considerar o pé da perpendicular de sobre (cf. E \ < 4.28) e então o facto de a recta E\ ser perpendicular a implica, por < 5.8, que a recta FÐEÑ Ð\ÑF , igual a E Ð\ÑF , é perpendicular a FÐ<Ñ œ < (em particular E\ œ E Ð\ÑF ) e portanto é também o pé da perpendicular de E FÐ\Ñ sobre <, tendo-se além disso
l Ð\ÑEl œ l Ð\Ñ ÐEÑl œ l\ElF F F .
Vejamos o que sucede no caso em que F !Ð Ñ œ! e F !Ð Ñ œ!. Nesse caso, para cada \ −!Ï < \, e FÐ\Ñ estão no mesmo semiplano de de! bordo , e portanto estão na mesma semirrecta de < E\ œ E Ð\ÑF de origem E (cf. a alínea b) de 2.12), o que, por ser l Ð\ÑEl œ l\ElF , implica que FÐ\Ñ œ \. Tem-se assim Fœ M.!.
Vejamos o que sucede no caso em que F !Ð Ñ œ! e F !Ð Ñ œ!. Nesse caso, para cada \ −!Ï < \, e FÐ\Ñ estão em semiplanos opostos de de! bordo , e portanto estão em semirrectas opostas de < E\ œ E Ð\ÑF de origem (cf. a alínea E b) de 2.12), o que, por ser l Ð\ÑEl œ l\ElF , implica que FÐ\Ñ œ 38@ Ð\Ñ œ 38@ Ð\ÑE < . Tem-se assim que é a restrição a deF ! 38@<.
No caso em que existe G −!Ï < tal que FÐGÑ œ G, tem-se trivialmente FÐGÑ Á 38@ ÐGÑ< , pelo que não é a restrição de F 38@< a , e portanto!
9.5 (Corolário) Sejam !§X um plano e F G !ß À ÄX duas aplicações isométricas tais que existam Eß Fß G em , não colineares, com! FÐEÑ œGÐEÑ, FÐFÑ œGÐFÑ e FÐGÑ œGÐGÑ. Tem-se então FœG. Dem: Tendo em conta 5.2 5 6 e Þ , "œF !Ð Ñ e #œG !Ð Ñ são planos e e F G são bijecções de sobre estes planos. Uma vez que e contêm os pontos! " # não colineares FÐEÑ œGÐEÑ, FÐFÑ œGÐFÑ e FÐGÑ œGÐGÑ, tem-se "œ#. Podemos assim considerar a aplicação isométrica G"‰ ÀF !Ä!, para a qual se tem G"‰ ÐEÑ œ EF , G"‰ ÐFÑ œ FF e G"‰ ÐGÑ œ GF , pelo que G"‰Fœ M.!, o que implica que GœF.
9.6 (Isometrias do espaço com três pontos fixos não colineares) Seja
F XÀ ÄX uma isometria tal que existam Eß Fß G −X não colineares tais que FÐEÑ œ E, FÐFÑ œ F e FÐGÑ œ G. Tem-se então que, ou Fœ M.X, ou, notando o plano que contém ! Eß Fß G, Fœ 38@! (cf. 5.24).
Em particular, se existir H Â! tal que FÐHÑ Á H (se existirem quatro pontos fixos não complanares), tem-se F œ M.X.
Dem: Tendo em conta 5.9, tem-se F XÐ Ñ œX. Sendo o plano que contém os! pontos Eß Fß G, resulta de 5.6 que F !Ð Ñ é um plano, o qual vai conter os pontos FÐEÑ œ E, FÐFÑ œ F e FÐGÑ œ G, o que implica que F !Ð Ñ œ! e, tendo em conta 9.4, que a restrição de a é a aplicação identidade de .F ! ! Tendo em conta 5.10, sendo X e X os dois semiespaços de bordo (cf.!
2.11), tem-se que F XÐ Ñ e F XÐ Ñ são os dois semiespaços de de bordoX F !Ð Ñ œ!, pelo que duas coisas podem acontecer: Ou F XÐ Ñ œX e F XÐ Ñ œX, ou F XÐ Ñ œX e F XÐ Ñ œX.
Em qualquer dos casos, para cada \ −XÏ!, podemos considerar o pé da perpendicular de sobre (cf. E \ ! 5.23). O facto de a recta \E ser perpendicular ao plano , implica que, escolhando duas rectas distintas! <ß = §! com \ − < = \E, é perpendicular a e a , e portanto, tendo em< = conta 5.8, a recta FÐ\ÑE œFÐ\Ñ ÐEÑF é perpendicular às rectas FÐ<Ñ œ < e FÐ=Ñ œ =, o que implica, por 5.20, que a recta FÐ\ÑE é também perpendi- cular ao plano (em particular, por ! 5.22, FÐ\ÑE œ \E) e portanto éE também o pé da perpendicular de FÐ\Ñ sobre , tendo-se, além disso!
l Ð\ÑEl œ l Ð\Ñ ÐEÑl œ l\ElF F F .
Vejamos o que sucede no caso em que F XÐ Ñ œX e F XÐ Ñ œX. Nesse caso, para cada \ −XÏ!, e \ FÐ\Ñ estão no mesmo semiespaço de deX bordo , e portanto estão na mesma semirrecta de ! E\ œ E Ð\ÑF de origem E (o segmento Ò\ß Ð\ÑÓF não intersecta , e portanto não contém ), o que,! E por ser l Ð\ÑEl œ l\ElF , implica que FÐ\Ñ œ \. Tem-se assim Fœ M.!. Vejamos o que sucede no caso em que F XÐ Ñ œX e F XÐ Ñ œX. Nesse caso, para cada \ −XÏ!, e \ FÐ\Ñ estão em semiespaços opostos de deX bordo , e portanto estão em semirrectas opostas de ! E\ œ E Ð\ÑF de origem (o segmento E Ò\ß Ð\ÑÓF intersecta , necessariamente no ponto ),! E o que, por ser l Ð\ÑEl œ l\ElF , implica que FÐ\Ñ œ 38@ Ð\Ñ œ 38@ Ð\ÑE ! . Tem-se assim F œ M.!.
No caso em que existe H −XÏ! tal que FÐHÑ œ H, tem-se trivialmente FÐHÑ Á 38@ ÐHÑ! , pelo que não é igual a F 38@!, e portanto Fœ M. ÞX 9.7 (Corolário)SejamF G Xß À ÄX duas isometrias tais que existam Eß Fß Gß H não complanares, com FÐEÑ œGÐEÑ, FÐFÑ œGÐFÑ, FÐGÑ œGÐGÑ e FÐHÑ œGÐHÑ. Tem-se então FœG.
Dem: Tendo em conta 5.2 e 5.9, F XÐ Ñ œG XÐ Ñ œX. Podemos assim considerar a aplicação isométrica G"‰ ÀF X ÄX, para a qual se tem G"‰ ÐEÑ œ EF , , G"‰ ÐFÑ œ FF G"‰ ÐGÑ œ GF e ,G"‰ ÐHÑ œ HF pelo que G"‰Fœ M. , o que implica que GœF.
X
Vamos agora definir outras isometrias do espaço, as translações, por um processo que, embora pareça talvez artificial, tem a vantagem de não exigir definições diferenciadas para as imagens dos diferentes tipos de pontos. Estudaremos a seguir como propriedades, outras caracterizações alternativas, mais intuitivas mas que necessitam de separar os diferentes tipos de pontos.
9.8 Sejam Eß F −X e notemos o ponto médio do par Q ÐEß FÑ (cf. 1.26). Definimos então a translação associada ao par ÐEß FÑ, 7FßEÀXÄX como sendo a isometria 7FßEœ 38@Q ‰ 38@E (composta de duas isometrias). 9.9 Nas condições anteriores, para cada recta < §X, = œ7FßEÐ<Ñ é uma recta
paralela a e, para cada plano < !§X ", œ7FßEÐ Ñ! é um plano paralelo a .! Dem: Trata-se de uma consequência de 9.1 e da transitividade da relação de paralelismo entre rectas e entre planos (cf. 7.11 7.28 e ). 9.10 Para E œ F, a isometria 7EßEÀXÄ é a aplicação identidade Id .X X
Dem: Uma vez que o ponto médio de ÐEß EÑ é e que E 38@ ÀE XÄX é uma involução, obtemos 7EßEœ 38@ ‰ 38@ œ M.E E X. 9.11 Tem-se 7FßEÐEÑ œ F.
Dem: O resultado é trivial se E œ F e, caso contrário, basta reparar que, sendo o ponto médio de Q ÐEß FÑ, tem-se 38@ ÐEÑ œ FQ , donde 7FßEÐEÑ œ 38@ Ð38@ ÐEÑÑ œ 38@ ÐEÑ œ F.Q E Q 9.12 (Teorema do paralelogramo) Sejam E Á F em . Para cada X Ew EF, tem-se então que 7FßEÐE Ñ œ Fw w, onde é o único ponto de tal queFw X ÐEß Fß F ß E Ñw w seja um paralelogramo.
A B
A' B'
Comecemos por mostrar que, sendo 7FßEÐE Ñ œ Fw w, ÐEß Fß F ß E Ñw w é um paralelogramo. Em primeiro lugar, lembrando que 7FßEÀXÄX é uma isometria, em particular injectiva, e que 7FßEÐEÑ œ F, concluímos que
F Á Fw FF œw ÐEE Ñw
FßE
e, tendo em conta 9.9, que 7 é uma recta paralela a EEw, em particular está contida em , sendo mesmo estritamente paralela,! uma vez que F Â EEw, já que E Â EFw . Em particular, podemos já21
concluir que os pontos Eß Fß F ß Ew w são todos distintos. Notemos \ œ 38@ ÐE Ñ −E w ! e reparemos que F  EE œ \Ew w w, pelo que E ß F ß \w w são não colineares. Notemos o ponto médio de Q ÐEß FÑ, tendo-se portanto F œ 38@w Ð\Ñ Q .
B
A'
B'
M
A
X
Tem-se assim que é o ponto médio de E Ð\ß E Ñw e é o ponto médio deQ Ð\ß F Ñw E − Ò\ß E Ó Q − Ò\ß F Ó l\El œ l\ß E lw w " w l\Q l œ
#
, e portanto , , e
"
#l\F l. Tendo em conta o recíproco do teorema de Thales em w 8.4, concluí- mos que a recta EQ œ EF é paralela a E Fw w, sendo mesmo estritamente paralela, por ser E  EFw . Podemos agora aplicar 7.19 para concluir que ÐEß Fß F ß E Ñw w é efectivamente um paralelogramo.
Resta-nos provar a unicidade de nas condições do enunciado, para o queFw supomos que F −ww X é tal que ÐEß Fß F ß E Ñww w seja um paralelogramo. Uma vez que, tendo em conta 7.5, E Fw ww, tal como E Fw w é paralela a EF e contém Ew, o axioma das paralelas implica que E F œ E Fw w w ww. O facto de termos paralelogramos implica que lE F l œ lEFl œ lE F lw w w ww e que e Fw Fww estão ambos no semiplano de de bordo ! EEw que contém e portanto estãoF ambos na mesma semirrecta de E F œ E Fw w w ww de origem . ConcluímosEw daqui finalmente que F œ Fww w, o que prova a unicidade pretendida.
O resultado precedente não caracteriza completamente a translação 7FßEÀXÄ uma vez que apenas nos diz o que é a imagem por estaX isometria dos pontos que não pertencem a Ew < œ EF. O próximo resultado dá uma caracterização da imagem por 7FßE dos pontos que estão 21Também podíamos concluir que lFF l œ lEE lw w, mas não utilizamos esse facto para
em < œ EF, que infelizmente tem um espírito completamente diferente do anterior.
9.13 Sejam E Á F em e consideremos na recta X < œ EF a ordem linear Ÿ para a qual E F (cf. 1.16). Para cada Ew− <, tem-se então que 7FßEÐE Ñ œ Fw w, onde é o único ponto de tal que Fw < E Fw w e lE F l œ lEFlw w . Se 0 À < Ä‘ é um sistema de coordenadas e se + œ 0 ÐEÑ, , œ 0 ÐFÑ + œ 0 ÐE Ñ e w w , tem-se 0 ÐF Ñ œ + Ð, +ÑÞw w
Dem: Seja 0 À < Ä ‘ um sistema de coordenadas. Lembrando a caracteri- zação de 38@ ÐHÑG como o único ponto tal que seja o ponto médio deG ÐHß 38@ ÐHÑÑG (cf. 5.12), assim como a caracterização do ponto médio em termos dum sistema de coordenadas em 1.26, vemos que, sendo + œ 0 ÐEÑ, , œ 0 ÐFÑ + œ 0 ÐE Ñ e w w , tem-se 0 ÐQ Ñ œ +,,
#
0 Ð38@ ÐE ÑÑ œ + Ð+ +Ñ œ #+ +E w w w (uma vez que Ð#++ Ñ+ ), e portanto
# w w œ + 0 Ð ÐE ÑÑ œ 0 Ð38@ Ð38@ ÐE ÑÑÑ œ œ + , Ð#+ + + ,Ñ œ + Ð, +Ñ # # 7FßE w Q E w w w
(reparar que " +,). Escolhendo agora o #ÐÐ#+ + Ñ Ð+ Ð, +ÑÑÑ œw w #
sistema de coordenadas de forma a definir a ordem linear Ÿ (cf. 1.16), tem-se , + , donde
0 Ð7FßEÐE ÑÑ œ + Ð, +Ñ + œ 0 ÐE Ñw w w w , portanto E w ÐE Ñw , e, por outro lado
EßF 7
lEw7FßEÐE Ñl œ l0 Ðw 7FßEÐE ÑÑ 0 ÐE Ñl œ , + œ lEFlw w .
Quanto à unicidade de um ponto nas condições de Fw ÐE Ñw , basta reparar FßE
7
que a condição de se ter E Fw w implica que está numa certa semirrectaFw de de origem e que, numa tal semirrecta, existe um único ponto a uma< Ew
distância dada de .Ew
As duas propriedades precedentes, apesar de terem um espírito distinto, permitem apresentar uma propriedade do valor da translação 7FßEÐE Ñw
(onde E Á F) que, embora não o defina univocamente, é válida tanto no caso em que E − EFw como naquele em que E Â EFw .
9.14 Sejam Eß F −X, com E Á F, e Ew w w
FßE −X. Notando então F œ7 ÐE Ñ, tem-se lE F l œ lEFlw w e as rectas EF e E Fw w são paralelas. Em particular, para cada E −w X 7, FßEÐE Ñ Á Ew w (a translação não tem pontos fixos). Dem: No caso em que E  EFw , a caracterização de F œw ÐE Ñw em
FßE
diz-nos que EFF Ew w é um paralelogramo e portanto, por definição, lE F l œ lEFlw w e, tendo em conta 7.5, as rectas EF e E Fw w são paralelas. No caso em que E − EFw , a caracterização de F œw ÐE Ñw em diz-nos
FßE
7 9.13
que lE F l œ lEFl !w w , em particular F Á Ew w, e que F − EFw , portanto E F œ EFw w , em particular EF E F e w w são rectas paralelas. 9.15 (Norma de uma translação) Suponhamos fixada uma função distância . − Y. Dada uma translação , definimos a 7 .-norma de (ou simplesmente7
norma de , se estiver implícito) como sendo o número real 7 . .ÐE ß ÐE ÑÑw 7 w , com ponto arbitrário de , número real que não depende de , tendo emEw X Ew conta 9.14 e o facto de 7EßE ser a aplicação identidade. A norma referida será notada m m7 ., ou simplesmente m m7 se estiver implícito..
9.16 Dadas duas funções distância .ß . −w Y, tais que . œ -.w , para um certo - !, tem-se, para cada translação , 7 m m œ -m m7 .w 7 ..
9.17 (Propriedades da norma) Suponhamos fixada uma função distância . − Y . Tem-se então:
a) m7FßEm œ .ÐEß FÑ.
b) m m !7 , sendo m m œ !7 se, e só se, 7œ M.X.
Dem: A alínea a) resulta da definição e do facto de se ter 7FßEÐEÑ œ F. A alínea b) resulta de a) e de se ter M. œX 7EßE. 9.18 (Um lema elementar mas útil) Seja !§ um plano. Existem entãoX
pontos Eß Fß Gß H não complanares, nenhum deles pertencente a .!
Dem: Seja E  ! (se não existisse, todo o conjunto seria complanar). Seja " o plano paralelo a tal que ! E −" (cf. 7.29), plano esse que é mesmo estritamente paralelo por ser E  !. Consideremos sucessivamente um ponto F −" tal que F Á E e um ponto G −" tal que G  EF (se não existisse, todo o subconjunto de seria colinear). Tem-se assim que " Eß Fß G −" são não colineares e Eß Fß G  !, por e serem estritamente paralelos.! " Escolhamos um ponto arbitrário \ −! e escolhamos enfim H − \E, distinto de e (por exemplo o ponto médio do par \ E Ð\ß EÑ). Tem-se que \E não está contida em nem em , donde ! " \E !œ Ö\× e \E "œ ÖE× e daqui resulta que H Â! e H Â", portanto Eß Fß Gß H são
não complanares.
9.19 (Lema)Sejam , Eß F −X com , E Á F Ew−X e F œw 7FßEÐE Ñw . Dado Eww  E Fw w ÐE Ñ œww ÐE Ñww
FßE F ßE
, tem-se então 7 7 w w .
A' B'
A" B"
Dem: Notemos F œww ÐE Ñww . Tendo em conta , Tem-se F Á Ew w, FßE
F Á Eww ww e as rectas E Fw w e E Fww ww são ambas paralelas à recta EF, logo paralelas entre si (cf. 7.11), sendo mesmo estritamente paralelas, uma vez que Eww  E Fw w. Em particular, os pontos E ß F ß E ß Fw w ww ww são todos distintos. Por outro lado, tendo em conta 9.9, a recta F F œw ww ÐE E Ñw ww é paralela à
FßE 7
recta E Ew ww, portanto estritamente paralela, uma vez que F Â E Ew w ww, já que E Â E Fww w w. Podemos assim aplicar 7.19 para garantir que ÐE ß F ß F ß E Ñw w ww ww é um paralelogramo o que, por 9.12, implica que F œww ÐE Ñww .
F ßE
7 w w
9.20 (Teorema Fundamental das Translações) Sejam Eß Fß Ew−X e F œw 7FßEÐE Ñw . Tem-se então 7FßEœ7F ßEw w.
Dem: No caso em que E œ F, tem-se 7FßE œ M.X, portanto F œ Ew w, donde 7F ßEw wœ M. œX 7FßE. Suponhamos agora que E Á F. Tendo em conta o lema 9.19, as isometrias 7FßEß7F ßEw wÀXÄX coincidem no complementar de E Fw w em . Uma vez que esse complementar contém quatro pontos nãoX colineares (aplicar o lema 9.18, depois de considerar um plano arbitrário ! contendo E Fw w), deduzimos de que œ .
FßE F ßE
9.7 7 7 w w
9.21 (Corolário) Dados pontos Ewß F − X, existe uma, e uma só, translaçãow 7 XÀ ÄX tal que 7ÐE Ñ œ Fw w, a saber a translação 7 .
F ßEw w
Dem: Já sabemos que a translação 7F ßEw w aplica em (cf. Ew Fw 9.11) e o resultado precedente diz-nos que qualquer translação 7FßE que verifique essa
propriedade é igual a 7F ßEw w.
9.22 (A inversa duma translação) Dados Eß F − X, tem-se que a isometria inversa da translação 7FßEÀXÄX é a translação 7EßFÀXÄX.
Dem: No caso em que E œ F, o resultado é trivial, uma vez que 7EßE é a identidade, e portanto inversa de si mesmo. Suponhamos assim que E Á F. Tudo o que temos que mostrar é que a isometria 7EßF‰7FßEÀXÄX é a identidade. Comecemos por considerar E  EFw . Tendo em conta 9.12, tem-se 7FßEÐE Ñ œ Fw w, onde é o único ponto de tal que Fw X ÐEß Fß F ß E Ñw w seja um paralelogramo.
A B
A' B'
Mas então ÐFß Eß E ß F Ñw w também é um paralelogramo (cf. 6.12, passando pelo paralelogramo ÐE ß F ß Fß EÑw w ), pelo que, mais uma vez pelo esmo resultado, tem-se E œw ÐF Ñw , portanto ‰ ÐE Ñ œ Ew w.
EßF EßF FßE
7 7 7
Considerando agora quatro pontos não complanares E ß E ß E ß Ew w w w não " # $ % pertencentes a EF (aplicar 9.18, depois de considerar um plano arbitrário !
contendo EF), verificamos que a isometria 7EßF‰7FßE tem quatro pontos fixos não complanares e portanto, por 9.6, 7EßF‰7FßEœ M.X.22 9.23 (Outra caracterização da inversa duma translação) Sejam uma recta e< 0 À < Ä‘ um sistema de coordenadas. Dados Eß F − <, tem-se que a inversa da translação 7FßEÀXÄX é a translação 7F ßEw ÀXÄX, onde F œ 38@ ÐFÑw E , e portanto também pode ser caracterizado pela condição de ser o pontoFw E médio do par ÐFß F Ñw ou pela de se ter
0 ÐF Ñ œ 0 ÐEÑ Ð0 ÐFÑ 0 ÐEÑÑ œ #0 ÐEÑ 0 ÐFÑw .
Dem: Tendo em conta 9.22, tem-se 7FßE" 7 . Tendo em conta 9.20 e EßF
œ
9.13, vem também 7FßE" 7 , donde w 7 , portanto
F ßE EßF
œ w F œ ÐEÑ
0 ÐF Ñ œ 0 ÐEÑ Ð0 ÐEÑ 0 ÐFÑÑ œ #0 ÐEÑ 0 ÐFÑw .
Desta igualdade sai que 0 ÐEÑ œ 0 ÐFÑ0 ÐF Ñ# w o que, por 1.26, implica que éE o ponto médio de ÐFß F Ñw , ou seja, que F œ 38@ ÐFÑw .
E
9.24 (Lema) Sejam Eß F −X e o ponto médio do par Q ÐEß FÑ. Tem-se então 38@Q ‰ 38@ œE 7FßE œ 38@ ‰ 38@F Q.
Dem: Sabemos que 7FßEœ38@Q ‰ 38@E e que 7EßFœ38@Q ‰ 38@F. Podemos então aplicar 9.22 para garantir que
M. œX 7EßF‰7FßEœ38@Q‰ 38@ ‰F 38@Q ‰ 38@E,
donde, lembrando que as inversões relativamente a um ponto são involutivas, 38@ ‰ 38@ œ 38@ ‰ 38@ ‰ M. œ œ 38@ ‰ 38@ ‰ ‰ 38@ ‰ ‰ 38@ œ œ ‰ 38@ F Q F Q F Q F E E X 38@ 38@ 38@ Q Q Q .
9.25 (A composta de duas translações) Sejam 7 5 Xß À ÄX duas translações. Tem-se então que 5 7 X‰ À ÄX é uma translação. Em consequência, se 7œ 7FßE e 5œ7GßF, tem-se 5 7‰ œ7GßE.
Dem: Sejam Eß F −X tais que 7 œ7FßE. Tendo em conta 9.20, existe G −X tal que 5œ7GßF, nomeadamente G œ ÐFÑ5 . Sejam o ponto médio do parQ ÐEß FÑ Q e w o ponto médio do par ÐFß GÑ. Tendo em conta 9.24 e o facto de as inversões relativamente a um ponto serem involutivas, tem-se
5 7‰ œ 38@Qw‰ 38@ ‰ 38@ ‰ 38@F F Q œ 38@Qw‰ 38@Q,
o que mostra que 5 7‰ é uma translação, nomeadamente a translação 7Q ßQww ,
22Esta parte do argumento também podia ser substituída pela verificação directa, utilizando 9.13 depois de fixar um sistema de coordenadas da rcta EF, de que, para
E − EFw ‰ ÐE Ñ œ Ew w
EßF FßE
onde Q œ 38@ ÐQ Ñww (uma vez que Qw é então o ponto médio do par Qw
ÐQ ß Q Ñww ‰ œ
GßE
). O facto de se ter também 5 7 7 resulta mais uma vez de
9.20, uma vez que 5 7‰ ÐEÑ œ ÐFÑ œ G5 . 9.26 (Corolário) O conjunto das translações 7 XÀ ÄX é um subgrupo do grupo
das isometrias XÄX. Esse subgrupo será notado ÄXÞ
Dem: Trata-se de uma consequência de 9.10 9.22 9.25, e . 9.27 (Outras propriedades da norma) Suponhamos fixada uma função distância . − Y. A norma das translações tem então, além das propriedades
a) e b) em 9.17, ainda as propriedades: c) m7"m œ m m7 .
d) m ‰ m Ÿ m m m mÞ5 7 5 7 Dem: A alínea c) vem de que tem
m7"m œ .Ð ÐE Ñß7 w 7"Ð ÐE ÑÑÑ œ .Ð ÐE Ñß E Ñ œ m m7 w 7 w w 7 . Quanto a d), temos, pela desigualdade triangular em 4.41,
m ‰ m œ .Ð Ð ÐE ÑÑß E Ñ Ÿ .Ð Ð ÐE ÑÑß ÐE ÑÑ .Ð ÐE Ñß E Ñ œ m m m m5 7 5 7 w w 5 7 w 7 w 7 w w 5 7 . 9.28 (Precomutatividade)Sejam Eß Fß Ew w
FßE E ßE
−X. Então 7 ÐE Ñ œ7 w ÐFÑ. Dem: No caso em que E œ F, tem-se 7FßEÐE Ñ œ E œw w 7E ßEw ÐFÑ e, naquele em que E œ Ew, tem-se ÐE Ñ œ F œw ÐFÑ.
FßE E ßE
7 7 w
Tratemos agora o caso em que E Á F e E Á Ew. Há duas situações possíveis:
1) Suponhamos que E − < œ EFw , e portanto também F − EE œ <w . Tendo em conta 9.13, tem-se então 7FßEÐE Ñ − <w e 7E ßEw ÐFÑ − < e, tomando um sistema de coordenadas 0 À < Ä‘ e pondo + œ 0 ÐEÑ , œ 0 ÐFÑ - œ 0 ÐGÑ, e , vem
0 Ð7FßEÐE ÑÑ œ + Ð, +Ñ œ , Ð+ +Ñ œ 0 Ðw w w 7E ßEw ÐFÑÑ, donde .7FßEÐE Ñ œw 7E ßEw ÐFÑ
2) Suponhamos que E Â EFw , portanto também F Â EEw. Tendo em conta
9.12, tem-se 7FßEÐE Ñ œ Fw w, onde é o único ponto de tal queFw X ÐEß Fß F ß E Ñw w seja um paralelogramo.
A B
A' B'
Mas então ÐEß E ß F ß FÑw w também é um paralelogramo (cf. 6.12, passando pelo paralelogramo ÐE ß F ß Fß EÑw w ) o que, pelo mesmo resultado, garante que
9.29 (Comutatividade do grupo das translações)ÄX Quaisquer que sejam as translações , 5 7 Xß À ÄX tem-se .5 7‰ œ7‰5
Dem: Sejam Eß F −X tais que 7œ7FßE e seja E −w X tal que 5œ7E ßEw , nomeadamente E œ ÐEÑw 5 (cf. 9.20). A B A' B' t t s s
Sendo F œw ÐE Ñw , vem, por , œ e, tendo em conta ,
FßE F ßE
7 9.20 7 7 w w 9.28
tem-se também F œw ÐFÑ, donde œ . Podemos agora aplicar
E ßE F ßF
7 w 5 7 w 9.25
para garantir que
5 7‰ œ7F ßFw ‰7FßEœ7F ßEw œ7F ßEw w‰7E ßEw œ7‰5. 9.30 (Translações duma recta e dum plano) Seja 7 XÀ ÄX uma translação. Dada uma recta (respectivamente um plano ), diz-se que < ! 7 é uma
translação da recta (respectivamente < translação do plano ) se se tem! 7Ð<Ñ § < (respectivamente 7 !Ð Ñ §!).
Repare-se que M.X é trivialmente uma translação de qualquer recta e de qualquer plano.
9.31 (Notações alternativas) 1) Às translações XÄX daremos também o nome de vectores livres, ou simplesmente vectores. Quando usamos este ponto de vista (notação vectorial), é costume usar, para notar um vector, uma letra encimada de uma seta, como, por exemplo ? ÞÄ
2) Dados Eß F −X a translação 7FßE, que aplica em , será notada E F EFÄ. A uma translação de uma recta (respectivamente de um plano ) dá-se< ! também o nome de vector da recta (respectivamente < vector do plano ).! 3) Sendo 7œ ?Ä e 5œ @Ä duas translações (vectores), a translação 5 7‰ œ 7‰5 será notada Ä Ä? @. A propriedade em 9.25 pode assim ser escrita na forma .EF FG œ EGÄ Ä Ä