7.1 Diz-se que duas rectas <ß = §X são estritamente paralelas se < = œ g e existe um plano !§X tal que < §! e = §!. Diz-se que e são < = paralelas
se < œ = ou e são estritamente paralelas.< =
7.2 (Condição suficiente de paralelismo)Sejam !§X um plano, > §! uma recta e Eß F − >, com E Á F. Sejam ! e ! os dois semiplanos de de!
bordo . Sejam > <ß = §! duas rectas, com < > œ ÖE× = > œ ÖF×, e notemos e as semirrectas de e de , com origens e , que estão< = < = E F contidas em ! e e as semirrectas opostas. Suponhamos que< = .(ÖEFß < × ÐÖFEß = ×Ñ œ #Û ) . Û ou, o que é equivalente, que se tem .(ÖEFß < × œ ÐÖFEß = ×ÑÞÛ ) . Û Tem-se então que as rectas e são< = estritamente paralelas.14 t r s + + A B
a+
Dem: Comecemos por reparar que (.ÖEFß < × ÐÖFEß = ×Ñ œ #Û ) . Û é equi- valente a (.ÖEFß < × ÐÖFEß = ×Ñ œ #Û ) . Û e a (.ÖEFß < × œÛ ) .ÐÖFEß = ×ÑÛ , uma vez que, por termos ângulos adjacentes, tem-se .(ÖEFß < × œ # Û ) .(ÖEFß < ×Û ) e .ÐÖFEß = ×Ñ œ # ÐÖFEß = ×ÑÛ . Û . Suponhamos que e não eram paralelas, e portanto, por serem rectas< = distintas e complanares, que < = œ ÖG×. Vem G  > pelo que, ou G − !, ou pertence ao semiplano oposto G !. Considerando o triângulo ÐEß Fß GÑ tem-se então, no primeiro caso,
.ÐE Ñ ÐF Ñ œw .w .(ÖEFß < × ÐÖFEß = ×Ñ œ #Û ) . Û
14Os ângulos ÖEFß < ×Û e ÖFEß = ×Û são chamados usualmente de
internos do mesmo
e, no segundo caso,
.ÐE Ñ ÐF Ñ œw .w .(ÖEFß < × ÐÖFEß = ×Ñ œ #Û ) . Û
pelo que, em ambos os casos, chegamos a um absurdo, tendo em conta o
corolário .4.20
7.3 (Corolário — Duas rectas perpendiculares a uma terceira)Sejam !§X
um plano, > §! uma recta e Eß F − >. Sejam <ß = §! duas rectas, com < > œ ÖE× = > œ ÖF×, , ambas perpendiculares a . Tem-se então que as> rectas e ão paralelas.< =
Dem: Se E Á F, trata-se de um caso particular do resultado precedente, se recordarmos que a perpendicularidade de duas rectas concorrentes é equivalente ao facto de a medida do ângulo de duas semirrectas ser e que," esse facto não se altera quando se substitui alguma, ou ambas as semirrectas pelas suas opostas. Se E œ F temos o resultado sobre a uniciade de uma perpendicular a uma recta passando por um ponto dado e contida num dado
plano (cf. 4.26).
7.4 (Existência de paralela) Sejam uma recta e < F Â <. Existe então uma recta = estritamente paralela a tal que < F − =.
Dem: Seja o plano que contém e . Seja o pé da perpendicular de ! < F E F para (cf. < 4.28). Sendo > §! a recta EF, podemos considerar uma recta = §! com F − = e perpendicular a (cf. = > 5.22). Tendo em conta 7.3, e < =
são estritamente paralelas.
7.5 (Porquê “paralelogramo”) Seja ÐEß Fß Gß HÑ um paralelogramo. Tem-se então que as rectas EF e GH são paralelas e as rectas HE e FG são paralelas (os lados opostos são paralelos).
Dem: Seja o plano que contém os vértices do paralelogramo e considere-! mos a recta EG, lembrando que, pela alínea b) de 6 4Þ , e estão emF H semiplanos opostos de de bordo ! EG.
A
B
C
D
Tendo em conta o teorema LLL (cf. 4.34), os triângulos ÐEß Fß GÑ e ÐGß Hß EÑ são congruentes, donde, em particular, .ÐÖEGß EF×Ñ œÛ Û .ÐÖGEß GH×ÑÛ Û . Podemos agora aplicar 7.2 para garantir que as rectas EF e GH são paralelas e, aplicando esta conclusão ao paralelogramo ÐFß Gß Hß EÑ, vemos que as rectas FG e HE também são paralelas.
7.6 (Paralelismo de recta com plano) Diz-se que uma recta e um plano < ! são
estritamente paralelos se < !œ g e que e são < ! paralelos se forem estritamente paralelos ou < § !.
7.7 (Condição de paralelismo de uma recta com um plano) Uma recta é< paralela a um plano se, e só se, existe uma recta ! = §! paralela a . Mais< precisamente, se a recta é paralela ao plano , então, para cada < ! T −!, existe = §!, com T − = = e paralela a .!
Dem: 1) Comecemos por supor a existência de uma recta = §! tal que < seja paralela a . Queremos provar que é paralela a , para o que podemos= < ! já afastar o caso em que < §!, deduzindo, em particular, que < Á =. Seja " um plano contendo e . Vem < = "Á! (porque < §/ !) e = §"!, pelo que "!œ = (cf. as alíneas a) e d) de 1.7). Vem então
< !§ < "!œ < = œ g, o que mostra que é paralela a .< !
2) Suponhamos agora que é paralela a e seja < ! T −! e tentemos provar a existência de uma recta paralela a , com = < T − = § !.
Se < §! e T − <, basta tomar = œ <.
Se < §! e T Â <, sabemos, por 7.4, que existe paralela a , com = < T − = e tem que ser = §!, uma vez que é o único plano que contém e , e! < T portanto não pode haver outro que contenha e .< =
Se < §Î !. vem < !œ g, em particular T  <, pelo que podemos considerar o único plano que contém e , plano que é diferente de , pelo que," < T " ! por ser T −!", resulta da alínea d) de 1.7 que !" é uma recta , que= contém e é paralela a , por ser complanar com e verificar T < < < = § < !
œ gÞ
7.8 (Recta e plano perpendiculares a uma recta) Sejam uma recta, uma> < recta perpendicular a , com > < > œ ÖT ×, e ! um plano perpendicular a ,> com ! > œ ÖU×. Tem-se então que a recta é paralela ao plano .< !
Dem: Seja o plano que contém as rectas concorrentes e . Uma vez que" > < U −!" e que !Á", porque > §Î!, segue-se que existe uma recta tal= que !"œ =. Tem-se U − = §! pelo que, por ser perpendicular a , é> ! > perpendicular a . As rectas e são duas rectas do plano , ambas= < = " perpendiculares a pelo que, por > 7.3, e são paralelas o que, por < = 7.7, implica que a recta é paralela ao plano .< !
7.9 (Duas rectas perpendiculares a um plano)Sejam ! um plano e <ß = duas rectas perpendiculares a . Tem-se então que e são rectas paralelas.! < =
Dem: Sejam ! < œ ÖT × e ! = œ ÖU×. Se T œ U, resulta de 5.22 que < œ =, em particular e são paralelas. Suponhamos então que < = T Á U. Sejam e as rectas do plano perpendiculares à recta ? @ ! T U e tais que T − ? e U − @. Notemos o plano que contém as rectas concorrentes e" < T U. A recta , sendo perpendicular a , é perpendicular a e a < ! ? T U pelo que a amplitude do ângulo entre dois semiplanos de e de de bordo ! " T U é igual a (cf. " 4.46 e 4.47, o facto de a amplitude ser faz com que seja"
indiferente quais os semiplanos considerados). Sendo a recta de =w " perpendicular a T U e tal que U − =w, tem-se, por 4.47, que também é=w perpendicular a , e portanto ao plano (cf. @ ! 5.20) donde, pela unicidade da perpendicular a um plano passando por um ponto deste (cf. 5.22), vem = œ =w , e portanto a recta também está contida no plano , que contém .= " < Uma vez que e são ambas perpendiculares à recta < = T U de , deduzimos" de 7.3 que as rectas e são paralelas.< =
Vamos agora introduzir um último axioma, aquele que distingue a Geo- metria Euclidiana da não Euclidiana.
7.10 (Axioma das paralelas) Dada uma recta e um ponto < F Â <, não existe mais do que uma recta paralela a , tal que = < F − =.15
7.11 (Transitividade do paralelismo) A relação de paralelismo entre rectas é uma relação de equivalência.
Dem: A relação é trivialmente reflexiva e simétrica. Seja então uma recta,< simultaneamente paralela às rectas e , e provemos que e são paralelas,= > = > para o que podemos já supor que = Á >. Seja E − =, com E  > e seja o! único plano que contém e . Tendo em conta E > 7.7, a recta é paralela ao< plano e, pelo mesmo resultado, existe uma recta ! = §w ! com E − =w e =w paralela a . Tendo em conta o axioma das paralelas < 7.10, tem-se = œ =w , portanto = §!. As rectas e são assim complanares pelo que, para= > verificarmos que são efectivamente paralelas, basta verificar que = > œ g. Ora, se isso não acontecesse, existia F − = >, e éramos conduzidos a um absurdo pela unicidade da paralela a que passa por garantida pelo< F
axioma das paralelas 7.10.
7.12 (Transitividade recta, recta, plano) Se a recta é paralela ao plano = ! e a recta é paralela a , então a recta é também paralela ao plano .< = < !16
Dem: Tendo em conta 7.7, existe uma recta > §! tal que seja paralela a e= > então também é paralela a , o que, pelo mesmo resultado, implica que é< > <
paralela a .!
7.13 (Recíproco de 7.2) Sejam < Á = duas rectas paralelas e ! o único plano que as contém (único por não haver mais que um que contenha a primeira e um ponto escolhido da segunda). Seja uma recta tal que > > < œ ÖE× > = œ e ÖF×, para a qual se tem assim > §!. Seja ! um dos semiplanos de de! bordo e notemos e as semirectas de e de , de origens e , que> < = < = E F estão contidas em ! e e as semirrectas opostas. Tem-se então< =
15É claro que, se F − <, tembém existe uma única paralela a tal que = < F − =, nomeadamente .= œ <
16É claro que, se duas rectas e são ambas paralelas a um plano , e não têm que< = ! < = ser paralelas.
.(ÖEFß < × ÐÖFEß = ×Ñ œ #Û ) . Û
(os ângulos internos do mesmo lado da secante são suplementares) e .(ÖEFß < × œ ÐÖFEß = ×ÑÛ ) . Û
(os ângulos alternos internos são iguais). t r s + + A B a+
Dem: Tendo em conta o axioma a) em 3.17, podemos considerar uma semir- recta = §w ! de origem tal queF
.(ÖEFß < × ÐÖFEß = ×Ñ œ #Û ) . Û w
e, sendo = §w a recta que contém , resulta de =w que as rectas e são< =w
! 7.2
paralelas. Pelo axioma das paralelas, tem-se = œ =w, e portanto = œ = w, de onde resulta que se tem efectivamente
.(ÖEFß < × ÐÖFEß = ×Ñ œ #Û ) . Û .
Se repararmos que ÖFEß = ×Û e ÖFEß = ×Û são ângulos adjacentes, e portanto que .ÐÖFEß = ×Ñ œ # ÐÖFEß = ×ÑÛ . Û , a igualdade anterior implica que se tem também (. ÖEFß < × œ ÐÖFEß = ×ÑÛ ) . Û . 7.14 (Corolário — recta paralela a uma recta perpendicular a uma recta) Sejam uma recta perpendicular à recta e uma recta paralela a e< > = < concorrente com . Tem-se então que é perpendicular a .> = >
Dem: Se < Á =, trata-se de um caso particular do resultado precedente, se repararmos que o facto de a amplitude do ângulo ser faz com que sejam" indiferentes quais as semirrectas que se consideram. Se < œ = o resultado é
trivial.
7.15 (Recta paralela a uma recta perpendicular a um plano) Sejam uma< recta perpendicular a um plano ! e uma recta paralela a . Tem-se então= < que é perpendicular ao plano .= !
Dem: A recta não é paralela ao plano , senão seria paralela a , por= ! < ! 7.12. Tem-se assim ! = œ ÖT × e podemos considerar a recta =w perpendicular a tal que ! T − =w. Tendo em conta 7.9, tal como é uma=w =
recta paralela a passando por , pelo que < T = œ =w , e portanto é=
perpendicular ao plano .!
7.16 (Recta paralela a um plano perpendicular a uma recta) Sejam ! um
plano perpendicular a uma recta e uma recta paralela ao plano e< = ! concorrente com . Tem-se então a resta é perpendicular à recta .< = <
Dem: Sendo ! < œ ÖT ×, podemos considerar uma recta paralela a , tal> = que T − > §! (cf. 7.7). Como é perpendicular a , vem perpendicular a< ! < > e portanto, como é paralela a e concorrente com , resulta de = > < 7.14 que =
é perpendicular a .<
7.17 (Teorema do ângulo externo e soma dos ângulos internos) Seja
ÐEß Fß GÑ um triângulo. Tem-se então que a amplitude dos ângulos externos de vértice (cf. G 4.18) é igual a .ÐE Ñ ÐF Ñ (a soma das amplitudes dosw .w ângulos internos não adjacentes). Em consequência, tem-se também17
.ÐE Ñ ÐF Ñ ÐG Ñ œ #. w .w .w 18
A
B
C
s
b
b
+
-
+
Dem: Tendo em conta a igualdade da amplitude dos dois ângulos externos de vértice , podemos considerar aquele que é determinado pela semirrecta G GFÛ e pela semirrecta oposta à semirrecta , , œ GE Û. Consideremos o semiplano ! de bordo , œ EG que contém o ponto e, tendo em conta oF axioma a) em 3.17, consideremos a semirrecta de origem contida em= G ! tal que .ÐÖ, ß = ×Ñ œ ÐE Ñ .w . Uma vez que, tendo em conta 4.19, .ÐÖ, ß = ×Ñ œ ÐE Ñ ÐÖ, ß GF×Ñ .w . Û , resulta de 3.18 que = § nÖ, ß GF× Û e portanto, pelo axioma b) em 3.17,
.ÐÖ, ß GF×Ñ œ ÐÖ, ß = ×Ñ ÐÖ= ß GF×Ñ Û . . Û . (#)
Uma vez que os ângulos Ö, ß = × Ö, ß = × e são adjacentes, vem
17Comparar com 4.19 4.24 e .
.ÐÖGEß = ×Ñ œ ÐÖ, ß = ×Ñ œ # ÐÖ, ß = ×Ñ œ # ÐÖEGß EF×ÑÛ . . . Û Û pelo que, por 7.2, a recta EF é paralela à recta que contém . Como o= = ponto , e portanto a semirrecta E FEÛ está no semiplano de de bordo ! FG oposto àquele que contém (porque = = § nÖ, ß GF× Û ), deduzimos de 7.13 que .ÐÖ= ß GF×Ñ œ ÐÖFEß FG×Ñ œ ÐF Ñ Û . Û Û .w . Substituindo na fórmula (#) acima, obtemos finalmente .ÐÖ, ß GF×Ñ œ ÐE Ñ ÐF Ñ Û .w .w . A fórmula .ÐE Ñ ÐF Ñ ÐG Ñ œ #w .w .w resulta agora de que os ângulos Ö, ß GF× Û e Ö, ß GF× œ G Û
w
são adjacentes, e portanto verificam a igualdade
.(wG )œ # ÐÖ, ß GF×Ñ. Û .
7.18 Seja ÐEß Fß Gß HÑ um quadrilátero convexo. Tem-se então que a soma dos seus ângulos é igual a :%
.ÐE Ñ Ð F Ñ Ð G Ñ ÐH Ñ œ %w . w . w .w .
Dem: Seja o plano que contém o quadrilátero. O facto de e estarem! F G no mesmo semiplano de de bordo ! EH e de e estarem no mesmoG H semiplano de de bordo ! EF, diz-nos que H − nÖEFß EH×Û Û , tendo que H não pertence a EF nem a EH, por termos um quadrilátero.
A
B
C D
Podemos assim deduzir do axioma b) em 3.17 que se tem
.ÐE Ñ œ ÐÖEFß EH×Ñ œ ÐÖEFß EG×Ñ ÐÖEGß EH×Ñ.w . Û Û . Û Û . Û Û Aplicando esta conclusão ao quadrilátero convexo ÐGß Hß Eß FÑ, obtemos
.ÐG Ñ œ ÐÖGHß GF×Ñ œ ÐÖGHß GE×Ñ ÐÖGEß GF×Ñ.w . Û Û . Û Û . Û Û Por outro lado, aplicando 7.17 aos triângulos ÐEß Fß GÑ e ÐEß Hß GÑ, vemos que
.w . Û Û . Û Û
.w . Û Û . Û Û
ÐF Ñ ÐÖGEß GF×Ñ ÐÖEFß EG×Ñ œ # ÐH Ñ ÐÖEGß EH×Ñ ÐÖGHß GE×Ñ œ # , .
Podemos assim escrever
.w . w . w .w
. Û Û . Û Û . Û Û
. Û Û . w .w
ÐE Ñ Ð F Ñ Ð G Ñ ÐH Ñ œ
œ ÐÖEFß EG×Ñ ÐÖEGß EH×Ñ ÐÖGHß GE×Ñ ÐÖGEß GF×Ñ Ð F Ñ ÐH Ñ œ
œ # # œ %.
œ
7.19 (Caracterização dos paralelogramos pelo paralelismo) Sejam Eß Fß Gß H quatro pontos distintos tais que as rectas EF e GH sejam estritamente paralelas e as rectas FG e HE sejam estritamente paralelas. Tem-se então que ÐEß Fß Gß HÑ é um paralelogramo.
Dem: O facto de EF e GH serem estritamente paralelas implica a existência de um plano contendo os quatro pontos a o facto de cada terno de pontos! ÐFß Gß HÑ ÐGß Hß EÑ ÐHß Eß FÑ, , e ÐEß Fß GÑ ser não colinear, pelo que ÐEß Fß Gß HÑ é um quadrilátero. Esse mesmo paralelismo implica que e G H estão no mesmo semiplano de de bordo ! EF (se a recta GH tem intersecção vazia com EF, o segmento ÒGß HÓ também não intersecta EF) e que e estão no mesmo semiplano de de bordo E F ! GH. Do mesmo modo, o paralelismo das rectas FG e EH implica que e estão no mesmoE H semiplano de de bordo ! FG e que e estão no mesmo semiplano de F G ! de bordo HE. Concluímos assim que o quadrilátero ÐEß Fß Gß HÑ é convexo.
A
B
C
D
O facto de termos um quadrilátero convexo implica, pela alínea b) de 6.4, que e estão em semiplanos opostos de de bordo F H ! EG pelo que o paralelismo das rectas EF e GH implica, por 7.13, que .ÐÖEGß EF×Ñ œÛ Û .ÐÖGEß GH×ÑÛ Û e o paralelismo das rectas FG e HE implica, pelo mesmo resultado, que .ÐÖEGß EH×Ñ œ ÐÖGEß GF×ÑÛ Û . Û Û . Podemos agora aplicar o teorema ALA (cf. 4.15) para garantir que os triângulos ÐEß Fß GÑ e ÐGß Hß EÑ são congruentes e portanto que lEHl œ lFGl e lEFl œ lGHl, o que mostra que o quadrilátero convexo ÐEß Fß Gß HÑ é um paralelogramo. 7.20 (Outra caracterização dos paralelogramos) Seja ÐEß Fß Gß HÑ um quadrilátero convexo tal que as rectas EF e GH sejam paralelas e que lEFl œ lGHl. Tem-se então que ÐEß Fß Gß HÑ é um paralelogramo.
Dem: O facto de termos um quadrilátero convexo implica, pela alínea b) de 6.4, que e estão em semiplanos opostos de de bordo F H ! EG pelo que o paralelismo das rectas EF e GH implica, por 7.13, que .ÐÖEGß EF×Ñ œÛ Û .ÐÖGEß GH×Ñ.Û Û
A
B
C
D
Tendo em conta o axioma 4.13, os triângulos ÐEß Fß GÑ e ÐGß Hß EÑ são congruentes e portanto tem-se também lEHl œ lFGl, o que nos permite concluir que o quadrilátero convexo ÐEß Fß Gß HÑ é um paralelogramo. 7.21 (Ainda outra) Seja ÐEß Fß Gß HÑ um quadrilátero convexo tal que as rectas EF e GH sejam paralelas e que .ÐH Ñ œ ÐF Ñw .w . Tem-se então que ÐEß Fß Gß HÑ é um paralelogramo.
A
B
C
D
Dem: O facto de termos um quadrilátero convexo implica, pela alínea b) de 6.4, que e estão em semiplanos opostos de de bordo F H ! EG pelo que o paralelismo das rectas EF e GH implica, por 7.13, que .ÐÖEGß EF×Ñ œÛ Û .ÐÖGEß GH×Ñ.Podemos então aplicar o teorema LAA (cf. Û Û 4.35) para garantir que os triângulos ÐEß Fß GÑ e ÐGß Hß EÑ são congruentes e portanto tem-se lEHl œ lFGl e lEFl œ lGHl, o que nos permite concluir que o quadrilátero convexo ÐEß Fß Gß HÑ é um paralelogramo. 7.22 (E mais uma)Seja ÐEß Fß Gß HÑ um quadrilátero convexo tal que os ân- gulos opostos sejam congruentes, isto é, .ÐE Ñ œ ÐG Ñw .w e .ÐH Ñ œ ÐF ÑÞw .w Tem-se então que ÐEß Fß Gß HÑ é um paralelogramo.
A
B
C
D
Dem: Tendo em conta 7.18, .ÐE Ñ ÐF Ñ ÐG Ñ ÐH Ñ œ %w .w .w .w , portanto # ÐE Ñ # ÐH Ñ œ %.w .w , ou seja, .ÐE Ñ ÐH Ñ œ #w .w . Uma vez que, por termos um quadrilátero convexo, e estão no mesmo semiplano do planoF G do quadrilátero com bordo EH, resulta de 7.13 que as rectas EF e GH são paralelas. Aplicando esta conclusão ao quadrilátero convexo ÐFß Gß Hß EÑ,
que verifica as mesmas hipóteses, vemos que as rectas EH e FG também são paralelas pelo que, por 7.19, ÐEß Fß Gß HÑ é um paralelogramo.
Vamos terminar esta secção examinando mais uma noção de paralelismo, agora a de paralelismo de dois planos.
7.23 Diz-se que dois planos ! " e são estritamente paralelos se !"œ g e que eles são paralelos se forem estritamente paralelos ou !œ".
7.24 Sejam ! " e dois planos paralelos. Tem-se então: a) Se < §! é uma recta, então é paralela a ;< "
b) Se é uma recta paralela a e = " = !Á g, então = § Þ!
Dem: Suponhamos 1) !œ". Se < §!, tem-se < §", e portanto é paralela< a . Se é paralela a e " = " = !Á g, então é paralela a , e portanto = ! = §!. 2) Suponhamos que é estritamente paralelo a , portanto que ! " !"œ g. Se < §! é uma recta, tem-se também < "œ g, e portanto é paralela a .< " Seja agora uma recta paralela a tal que exista = " T − = !. Tem-se T Â", portanto = §Î ", o que implica que = "œ g. Fixemos um ponto arbitrário U −" e seja o plano que contém e . Tem-se que é distinto de e de# = U # ! ", uma vez que T Â" e U Â! e tem-se T −#! e U −#", pelo que existem rectas e tais que > ? > œ#! e ? œ#".
Tanto como são rectas complanares com (plano ) e que não= > ? # intersectam , a primeira por ser ? = "œ g e a segunda por ser > §!, e portanto também > "œ g. Uma vez que T − = >, o axioma das paralelas (cf. 7.10) garante que = œ >, donde = § !, como queríamos.
7.25 (Corolário)Sejam ! " e planos paralelos e T −!. Tem-se então que é a! união de todas as rectas paralelas a tais que = " T − =.
Dem: Tendo em conta a alínea b) de 7.24, cada recta paralela a tal que= " T − = está contida em . Se ! U −!, podemos considerar um recta < §! tal que T ß U − < (a recta T U se T Á U e qualquer recta de contendo se! T T œ U) e então, pela alínea a) de 7.24, é paralela a .< "
7.26 Sejam (Condição suficiente de paralelismo de planos) ! e dois planos" tais que existem duas rectas concorrentes <ß = § !, ambas paralelas a ."
Tem-se então que e são planos paralelos.! " Dem: Seja ÖT × œ < =.
Comecemos por examinar o caso em que T −": Uma vez que e < = intersectam em , tem que ser " T < §" e = §" pelo que, tendo em conta a unicidade de um plano contendo duas rectas concorrentes, vem !œ", e portanto e são paralelos.! "
Podemos assim supor, a partir de agora, que T Â". Tem-se assim < §Î " e = §Î ", pelo que < "œ g e = "œ g. Queremos mostrar que se tem ainda ! e paralelos para o que vamos supor, por absurdo que não o eram," portanto que !"œ >, para uma certa recta (cf. a alínea > d) de 1.7). Vinha então < > œ g e = > œ g pelo que e eram duas rectas concorrentes< = ambas paralelas a (estão todas contidas em ). Chegámos assim a um> ! absurdo, tendo em conta o axioma das paralelas (cf. 7.10). 7.27 (Transitividade recta, plano, plano)Sejam ! " e dois planos paralelos. Se
< é uma recta paralela ao plano , então é também paralela ao plano .! < " Dem: Tendo em conta 7.7, existe uma recta = §! tal que seja paralela a .< = Tendo em conta a alínea a) de 7.24, é paralela a e daqui decorre, por= "
7.12, que é paralela a .< "
7.28 (Transitividade do paralelismo de planos) A relação de paralelismo entre planos é uma relação de equivalência.
Dem: A relação é trivialmente reflexiva e simétrica pelo que nos resta verificar a tansitividade. Suponhamos então que é paralelo a e que é! " " paralelo a . Consideremos três pontos não colineares # Eß Fß G em e, a! partir daí, as rectas concorrentes < œ EF §! e = œ EG §!. Tendo em conta a alínea a) de 7.24, e são paralelas a e portanto, tendo em conta< = "
7.27, também são paralelas a . Podemos agora deduzir de # 7.26 que é!
paralelo a .#
7.29 (Existência e unicidade de um plano paralelo passando por um ponto) Sejam " um plano e um ponto. Existe então um, e um só, plano paraleloT ! a e tal que " T −!.
Dem: A unicidade é uma consequência de 7.25: o plano não pode deixar! de ser a união de todas as rectas paralelas a que passam por ." T Consideremos agora três pontos não colineares Eß Fß G em e sejam e as" < = rectas que passam por e são respectivamente paralelas a T EF e a EG, rectas que são distintas, e portanto concorrentes, sem o que EF e EG eram
paralelas a distintas e passando por . Sendo o plano que contém e ,< E ! < = tem-se T − ! ! e é paralelo a , tendo em conta " 7.26.
7.30 (Dois planos perpendiculares a uma recta) Sejam ! e dois planos" perpendiculares a uma recta . Tem-se então que e são paralelos.< ! "
Dem: Seja ! < œ ÖT ×. Sejam T ß T −w ww ! tais que T ß T ß Tw ww seja não coli- neares. Tem-se então que as rectas T Tw e T Tww são rectas de perpendicu-! lares a pelo que, tendo em conta < 7.8, as rectas T Tw e T Tww são ambas paralelas ao plano . Pdemos agora deduzir de " 7.26 que os planos e são! "
paralelos.
7.31 (Plano paralelo a um plano perpendicular a uma recta) Sejam ! um
plano perpendicular a uma recta e um plano paralelo a . Tem-se então< " ! que o plano é perpendicular à recta ." <
Dem: A recta não é paralela ao plano , senão seria também paralela ao< " plano (cf. ! 7.27). Tem-se portanto < "œ ÖT ×, para um certo ponto , e,T tendo em conta 5.21, podemos considerar o plano perpendicular a tal que"w < T −"w. Tem-se então que e são dois planos perpendiculares à recta ! "w < pelo que, por 7.30, e são planos paralelos e daqui decorre, por ! "w 7.28, que os planos e são paralelos. Uma vez que " "w T −""w segue-se que "œ"w, e portanto é perpendicular a ." <