Ações de Grupos sobre Conjuntos e sobre Grupos

Ações de Grupos sobre Conjuntos

Notação 1.5. Seja X um conjunto não-vazio. Denotaremos por P erm(X) o grupo de permutações2 _{de X.}

Denição 1.8. Sejam G, H grupos. Um anti-homomorsmo de G em H é uma função ϕ : G → H tal que ϕ(g1g2) = ϕ(g2)ϕ(g1), para todos g1, g2 ∈ G.

Denição 1.9. Sejam X um conjunto não-vazio e F um grupo. Dizemos que F age à direita sobre X se existe um anti-homomorsmo de grupos α : F → P erm(X), denominado ação à direita de F sobre X (observe que α(f) é uma bijeção de X). Denotaremos α(f)(x) por xf_{, ∀f ∈ F e ∀x ∈ X.}

Observação 1.1. Sejam X um conjunto não-vazio e F um grupo agindo à direita sobre X. Temos, então, as seguintes regras:

x1F _{= x, (x}f1₎f2 _{= x}f1f2 e (xf₎f−1 _{= (x}f−1₎f _{= x,}

para todos f1, f2, f ∈ F, x ∈ X.

Sejam X um conjunto não-vazio e F um grupo. Dizemos também que F age à esquerda sobre X se existe um homomorsmo de grupos β : F → P erm(X), denominado ação à esquerda de F sobre X. Denotamos β(f)(x) por f_{x, ∀f ∈ F e ∀x ∈ X.}

Neste caso, com relação às regras descritas na Observação 1.1 (p. 20), dados f1, f2 ∈ F

e x ∈ X, temos que f1f2_{x =} f1₍f2_x). As demais regras na Observação 1.1 (p. 20) valem de

forma idêntica para a ação à esquerda.

Outro fato a se observar é que, sendo β : F → P erm(X) uma ação à esquerda de F sobre X, podemos obter α : F → P erm(X), que é uma ação à direita de F sobre X, bastando para isso que denamos

α(f )(x) := β(f−1)(x), isto é, xf :=f−1x.

Analogamente, obtemos de uma ação à direita uma outra ação à esquerda. Nesta Dissertação,

toda ação de um grupo sobre um conjunto não-vazio será à direita.

Proposição 1.13. Sejam X um conjunto não-vazio e F um grupo. Então, F age à direita sobre X se, e somente se, existe uma função a : X × F → X tal que, ∀x ∈ X e f, f1, f2 ∈ F,

i) a(x, 1F) = x;

ii) a(x, f1f2) = a(a(x, f1), f2).

Demonstração. Caso F aja à direita sobre X, denamos a : X × F → X por a(x, f) := xf.

Pela Observação 1.1 (p. 20), temos que a satisfaz i) e ii) do enunciado. Reciprocamente, caso exista uma função a : X × F → X satisfazendo i) e ii) do enunciado, denamos α : F → P erm(X) por α(f)(x) := a(x, f). Vamos mostrar primeiramente que α(f) ∈ P erm(X), ∀f ∈ F. O que equivale a mostrar que α(f) é uma bijeção de X, ∀f ∈ F . Dado x ∈ X,

α(f−1)α(f )(x) = α(f−1)(a(x, f)) = a(a(x, f), f−1) =a(x, ff−1) =a(x, 1F) = x =

=a(x, 1F) = a(x, f−1f ) =a(a(x, f−1), f ) = α(f )(a(x, f−1)) = α(f )α(f−1)(x),

logo α(f−1_{)é a inversa de α(f), isto é, α(f)}−1 _{= α(f}−1_{). Agora, precisamos mostrar que α}

é anti-homomorsmo de grupos. Dados f1, f2 ∈ F e x ∈ X, segue que

α(f1f2)(x) =a(x, f1f2) = a(a(x, f1), f2) = α(f2)(a(x, f1)) = α(f2)α(f1)(x).

Assim, α, de fato, é anti-homomorsmo de grupos e, por denição, F age sobre X.

Denição 1.10. Sejam X um conjunto não-vazio e F um grupo agindo à direita sobre X. Dizemos que F age trivialmente à direita sobre X se xf _{= x, ∀x ∈ X, f ∈ F.}

Notação 1.6. Sejam X um conjunto não-vazio, Y um subconjunto de X e F um grupo agindo à direita sobre X. Então, dado f ∈ F ,

Yf := {yf ∈ X : y ∈ Y }.

Denição 1.11. Sejam X um subconjunto não-vazio, Y um subconjunto de X e F um grupo agindo à direita sobre X. Dizemos que o subconjunto Y é F -invariante se Y for invariante pela ação à direita de F sobre X, isto é, Yf _{⊆ Y}, para todo f ∈ F .

Proposição 1.14. Sejam X um conjunto não-vazio, Y um subconjunto de X e F um grupo agindo à direita sobre X. Se o subconjunto Y é F -invariante, então Y = Yf, para todo

f ∈ F.

Demonstração. Como Y é F -invariante, temos que Yf _{⊆ Y, ∀f ∈ F, logo Y}f−1

⊆ Y, o que implica que Y = Yf−1_f

= (Yf−1)f ⊆ Yf_{, ou seja, Y = Y}f_{, ∀f ∈ F.}

Ações de Grupos sobre Grupos

Notação 1.7. Seja G um grupo. Denotaremos por Aut(G) o grupo de automorsmos de G. Denição 1.12. Sejam G, F grupos. Dizemos que F age à direita sobre G se existe um anti-homomorsmo de grupos α : F → Aut(G), denominado ação à direita de F sobre G (observe que α(f) é automorsmo de G). Denotaremos α(f)(g) por gf_{, ∀f ∈ F e ∀g ∈ G.}

Observação 1.2. Sejam G um grupo e F um grupo agindo à direita sobre G. Temos, então, as seguintes regras: g1F _{= g, (g}f1₎f2 _{= g}f1f2_{, (g} 1g2)f = (gf1)(g f 2), (g f )f−1 = (gf−1)f = g, e (g−1)f = (gf)−1, para todos f1, f2, f ∈ F, g, g1, g2 ∈ G.

Sejam G, F grupos. Dizemos também que F age à esquerda sobre G se existe um homo- morsmo de grupos β : F → Aut(G), denominado ação à esquerda de F sobre G. Denotamos β(f )(g) porf_{g, ∀f ∈ F e ∀g ∈ G.}

Neste caso, com relação às regras descritas na Observação 1.2 (p. 21), dados f1, f2 ∈ F

e g ∈ G, temos que f1f2_{g =} f1₍f2_g). As demais regras na Observação 1.2 (p. 21) valem de

forma idêntica para a ação à esquerda.

Outro fato a se observar é que, sendo β : F → Aut(G) uma ação à esquerda de F sobre G, podemos obter α : F → Aut(G), que é uma ação à direita de F sobre G, bastando para isso que denamos

α(f )(g) := β(f−1)(g), isto é, gf :=f−1g.

Analogamente, obtemos de uma ação à direita uma outra ação à esquerda. Nesta Dissertação,

toda ação de um grupo sobre outro grupo será à direita.

Exemplo 1.1. Sejam G um grupo e F um subgrupo de G. A conjugação à direita de elementos de G por elementos de F , isto é, gf _{:= f}−1_{gf, ∀f ∈ F, g ∈ Gé uma ação à direita}

de F sobre G. Dizemos que F age à direita sobre G via conjugação à direita.

Proposição 1.15. Sejam G, F grupos. Então, F age à direita sobre G se, e somente se, existe uma função a : G × F → G tal que, ∀g, g1, g2 ∈ G e f, f1, f2 ∈ F,

i) a(g, 1F) = g

ii) a(g, f1f2) =a(a(g, f1), f2);

iii) a(g1g2, f ) =a(g1, f )a(g2, f );

Demonstração. Caso F aja à direita sobre G, denamos a : G × F → G por a(g, f) := gf_.

Pela Observação 1.2 (p. 21), temos que a satisfaz i), ii) e iii) do enunciado. Reciprocamente, caso exista uma função a : G × F → G satisfazendo i), ii) e iii) do enunciado, denamos α : F → Aut(G) por α(f)(g) = a(g, f). Para mostrarmos que α é um anti-homomorsmo de grupos, pela Demonstração da Proposição 1.13 (p. 20), basta mostrarmos que, ∀f ∈ F , α(f )é homomorsmo de grupos. Sendo assim, dados f1, f2 ∈ F e g ∈ G, segue que

α(f1f2)(g) =a(g, f1f2) = a(a(g, f1), f2) = α(f2)(a(g, f1)) = α(f2)α(f1)(g).

Portanto, α, de fato, é anti-homomorsmo de grupos e, por denição, F age sobre G. Denição 1.13. Sejam G um grupo e F um grupo agindo à direita sobre G. Dizemos que F age trivialmente à direita sobre G se gf = g, ∀g ∈ G, f ∈ F.

Denição 1.14. Sejam G um grupo, F1 um grupo agindo à direita sobre G e F2 um grupo

agindo à direita sobre F1 e sobre G. Dizemos que a ação à direita de F2 é compatível

com a ação à direita de F1 sobre G se, dados g ∈ G, f1 ∈ F1 e f2 ∈ F2,

Exemplo 1.2. Sejam G um grupo, F1 um grupo agindo à direita sobre G via conjugação à

direita e F2 um grupo agindo à direita sobre F1 e sobre G via conjugação à direita. Temos,

então, que a ação à direita de F2 é compatível com a ação à direita de F1 sobre G.

Proposição 1.16. Sejam G um grupo, Hom(G, R) visto como grupo munido da operação (v1+ v2)(g) = v1(g) + v2(g), ∀g ∈ G, v1, v2 ∈ Hom(G, R)e F um grupo agindo à direita sobre

G. Então, F age à direita sobre Hom(G, R) através da seguinte ação: vf(g) = v(gf−1),

para todo g ∈ G, f ∈ F, v ∈ Hom(G, R).

Demonstração. Denindo-se a : Hom(G, R) × F → Hom(G, R) por a(v, f)(g) = vf_{(g) =}

v(gf−1), pela Proposição 1.15 (p. 22), basta mostrar os seguintes itens: i) v1F _{= v, ∀v ∈ Hom(G, R)}; ii) (vf1₎f2 _{= v}f1f2_{, ∀f} 1, f2 ∈ F, v ∈ Hom(G, R); iii) (v1+ v2)f = v1f + v f 2, ∀f ∈ F, v1, v2 ∈ Hom(G, R).

Façamos, então, a demonstração de i), ii) e iii) a seguir.

i) Dados v ∈ Hom(G, R) e g ∈ G, v1F_{(g) = v(g}1−1F ) = v(g). Logo, v1F _{= v}.

ii) Dados v ∈ Hom(G, R), f1, f2 ∈ F e g ∈ G, temos que (vf1)f2(g) = (vf1)(gf

−1

2 ) =

v((gf₂−1₎f₁−1_{) = v(g}f₂−1f₁−1_{) = v(g}(f1f2)−1_{) = v}f1f2_(g). Logo, (vf1₎f2 _{= v}f1f2.

iii) Dados v1, v2 ∈ Hom(G, R), f ∈ F e g ∈ G, segue que (v1+ v2)f(g) = (v1+ v2)(gf

−1 ) = v1(gf −1 ) + v2(gf −1 ) = vf₁(g) + v₂f(g) = (v₁f + v₂f)(g). Portanto, (v1 + v2)f = v1f + v f 2.

Lema 1.28. Sejam G um grupo, H C G e F um grupo agindo à direita sobre G. Então, Hf _{C G, ∀f ∈ F .}

Demonstração. O resultado segue do fato de que, para todo f ∈ F , a ação de f sobre G é isomorsmo de grupos.

Lema 1.29. Sejam G um grupo, H um subgrupo de G e F um grupo agindo à direita sobre G. Se [G : H] < ∞, então [G : Hf_{] < ∞, ∀f ∈ F.}

Demonstração. Seja α : F → Aut(G) a ação à direita de F sobre G. Temos, então, que, dado f ∈ F , α(f)(G) = G, isto é, Gf _{= G, ∀f ∈ F. Por hipótese, [G : H] < ∞, logo, pela}

Proposição 1.4 (p. 8), temos que [α(f)(G) : α(f)(H)] < ∞, ∀f ∈ F , isto é, [G : Hf_{] <}

∞, ∀f ∈ F.

Lema 1.30. Sejam G um grupo, H um subgrupo de G e F um grupo agindo à direita sobre G. Então, H0 :=

\

f ∈F

Demonstração. Dado f0 ∈ F, H0f0 = ( \ f ∈F Hf)f0 ₌ \ f ∈F Hf f0 ₌ \ f f0∈F Hf f0 ₌ \ γ∈F Hγ = H0,

onde γ = ff0. Portanto, H0 é F -invariante.

Proposição 1.17. Sejam G um grupo, H C G e F um grupo agindo à direita sobre G. Se H é F -invariante, então existe ação à direita de F sobre G/H, denida por

(gH)f := gfH, (1.4)

para todo f ∈ F e para toda classe lateral gH ∈ G/H.

Demonstração. Vamos mostrar que a ação denida em (1.4) (p. 24) está bem denida. Primeiramente, temos que gf_{H ∈ G/H, uma vez que que g}f _{∈ G, pois F age à direita}

sobre G. Agora, dados g1H, g2H ∈ G/H, se g1H = g2H, então g2−1g1 ∈ H e, como H é

F-invariante, (g₂−1g1)f ∈ H, ∀f ∈ F, portanto (g2−1g1)f = (g−12 )fg f 1 = (g f 2)−1g f 1 ∈ H e, assim,

g₁fH = g₂fH. Resta mostrar que em (1.4) (p. 24) temos de fato uma ação. Denamos a : G/H × F → G/H por a(gH, f) = (gH)f_{, para toda classe lateral gH ∈ G/H. Pela}

Proposiçao 1.15 (p. 22) basta mostrarmos que a satisfaz i), ii) e iii) dessa mesma Proposição. É o que faremos a seguir, dados f1, f2, f ∈ F e g1, g2, g ∈ G.

i) a(gH, 1F) = (gH)1F = g1FH = gH.

ii) a(gH, f1f2) = (gH)f1f2 = gf1f2H = (gf1)f2H = (gf1H)f2 = ((gH)f1)f2 =

a((gH)f1_{, f}

2) = a(a(gH, f1), f2).

iii) a(g1H · g2H, f ) = a(g1g2H, f ) = (g1g2H)f = (g1g2)fH = g1fg f 2H = g f 1H · g f 2H = a(g1H, f )a(g2H, f ).