Anel de Grupo e Ações de Grupos sobre Aneis e Módulos

Seja M um R-módulo à direita e G um grupo. Nesta Dissertação, quando estivermos considerando uma ação à direita de G sobre M, na verdade, estaremos considerando ação à direita de G sobre o grupo abeliano subjacente M.

Denição 1.41. Sejam G um grupo e K um anel comutativo. O anel de grupo com coecientes em K, denotado por KG, é o K-módulo livre com base G (a denição de módulos livre se encontra na Denição 3.1 (p. 97). Assim,

KG :=M

g∈G

Kg = {X

g∈G

xgg : xg ∈ K},

onde xg = 0 exceto para um número nito de xg ∈ K, com as operações soma (denotada por

+) e multiplicação (denotada por ·) dadas a seguir, para todosX

g∈G xgg, X g∈G ygg, X h∈G xhh ∈ KG: (X g∈G xgg) + ( X g∈G ygg) := X g∈G (xg+ yg)g, (X g∈G xgg) · ( X h∈G xhh) := X g∈G X h∈G (xgxh)gh.

A igualdade de elementos de KG é dada por X g∈G xgg = X g∈G ygg ⇔ xg = yg, ∀g ∈ G, para todos X g∈G xgg, X g∈G ygg ∈ KG.

Com as operações denidas acima, segue que KG é de fato um anel.

Observação 1.7. Observe que KG é um anel comutativo se, e somente se, G é um grupo abeliano.

Notação 1.11. Seja R um anel associativo com identidade. Denotaremos por Aut(R) o grupo de automorsmos de R.

Denição 1.42. Sejam R um anel e G um grupo. Dizemos que G age à direita sobre R se existe um anti-homomorsmo de grupos α : G → Aut(R), denominado ação à direita de G sobre R (observe que α(g) é automorsmo de R). Denotaremos α(g)(r) por rg, ∀g ∈ G e ∀r ∈ R.

Observação 1.8. Sejam R um anel e G um grupo agindo à direita sobre R. Temos, então, as seguintes regras: r1G _{= r, (r}g1₎g2 _{= r}g1g2_{, (r} 1 + r2)g = r g 1+ r g 2, (r1r2)g = r g 1r g 2 1g_R = 1R, (rg)g −1 = (rg−1)g = r, e (r−1)g = (rg)−1, para todos g1, g2, g ∈ G, r, r1, r2 ∈ R.

Sejam R um anel e G um grupo. Dizemos também que G age à esquerda sobre R se existe um homomorsmo de grupos β : G → Aut(R), denominado ação à esquerda de G sobre R. Denotamos β(g)(r) porg_{r, ∀g ∈ G e ∀r ∈ R.}

Neste caso, com relação às regras descritas na Observação 1.8 (p. 46), dados g1, g2 ∈ G

e r ∈ R, temos que g1g2_{r =} g1₍g2_r). As demais regras na Observação 1.8 (p. 46) valem de

forma idêntica para a ação à esquerda de G sobre R.

Outro fato a se observar é que, sendo β : G → Aut(R) uma ação à esquerda de G sobre R, podemos obter α : G → Aut(R), que é uma ação à direita de G sobre R, bastando para isso que denamos

α(g)(r) := β(g−1)(r), isto é, rg :=g−1r.

Analogamente, obtemos de uma ação à direita uma outra ação à esquerda. Nesta Dissertação,

toda ação de um grupo sobre um anel será à direita.

Denição 1.43. Sejam R um anel e G um grupo agindo à direita sobre R. Dizemos que G age trivialmente à direita sobre R se rg _{= r, ∀r ∈ R e ∀g ∈ G.}

Proposição 1.32. Sejam R um anel e G um grupo. Então, G age à direita sobre R se, e somente se, existe uma função a : R × G → R tal que, ∀r, r1, r2 ∈ R e g, g1, g2 ∈ G,

i) a(r, 1G) = r;

ii) a(r, g1g2) =a(a(r, g1), g2);

iii) a(r1+ r2, g) = a(r1, g) +a(r2, g);

iv) a(r1r2, g) =a(r1, g)a(r2, g);

v) a(1R, g) = 1R.

Demonstração. Análoga à Demonstração da Proposição 1.15 (p. 22).

Proposição 1.33. Sejam G um grupo e M um grupo abeliano. Se M é um ZG-módulo à direita, então existe uma ação à direita de G sobre o grupo abeliano M dada por, ∀g ∈ G e ∀m ∈ M,

mg := m(1g) ∈ ZG.

Reciprocamente, se existe ação à direita de G sobre o grupo abeliano M, então M é um ZG-módulo à direita, onde o produto do anel ZG sobre M é dado por, ∀m ∈ M e para todo X g∈G xgg ∈ ZG, com xg ∈ Z, m(X g∈G xgg) := X g∈G xgmg,

onde a soma e a multiplicação em ZG são dadas como na Denição 1.41 (p. 46).

Demonstração. Basta usar as denições de módulo, anel de grupo e ação de grupos sobre grupo (abeliano).

A Proposição 1.33 (p. 47) justica o fato de um ZG-módulo à direita M ser chamado de G-módulo M, onde G é um grupo qualquer, uma vez que temos ação do grupo G sobre o grupo abeliano M.

Proposição 1.34. Sejam G, H grupos quaisquer, A um grupo abeliano e ϕ : G → H um homomorsmo de grupos. Então,

a) Se A é um ZH-módulo à direita, então A é um ZG-módulo à direita, onde a ação de G sobre A é dada, ∀a ∈ A e ∀g ∈ G, por

ag := aϕ(g).

b) Se A é um ZG-módulo à direita, ϕ é epimorsmo de grupos e o subgrupo ker(ϕ) age trivialmente à direita sobre o grupo abeliano A, então A é um ZH-módulo à direita, onde a ação de H sobre A é dada, ∀a ∈ A, ∀h ∈ H e para algum g ∈ ϕ−1_{({h}), por}

ah := ag.

Demonstração. a) Usando a Proposição 1.33 (p. 47), denamos a ação à direita do grupo G sobre o ZH-módulo à direita A por

ag := aϕ(g), (1.14)

∀g ∈ G e ∀a ∈ A. Precisamos mostrar, pela Proposição 1.15 (p. 22), que: i) em (1.14) (p. 48) temos de fato uma ação bem denida;

ii) a1G _{= a, ∀a ∈ A}; iii) ag1g2 _{= (a}g1₎g2, ∀g 1, g2 ∈ Ge ∀a ∈ A; iv) (a1+ a2)g = a g 1+ a g

2, ∀g ∈ G e ∀a1, a2 ∈ A, onde + é a operação do grupo abeliano A.

Façamos a seguir a demonstração de i), ii), iii) e iv).

i) Sejam g1, g2 ∈ G tais que g1 = g2. Então, ϕ(g1) = ϕ(g2), logo, ∀a ∈ A, aϕ(g1) = aϕ(g2),

pois H age sobre o grupo abeliano A e, portanto, ag1 _{= a}g2.

ii) ∀a ∈ A, a1G _{= a}ϕ(1G) _{= a}1H _{= a}. iii) ∀g1, g2 ∈ Ge ∀a ∈ A, ag1g2 = aϕ(g1g2) = aϕ(g1)ϕ(g2)= (aϕ(g1))ϕ(g2)= (ag1)g2. iv) ∀g ∈ G e ∀a1, a2 ∈ A, (a1+ a2)g = (a1 + a2)ϕ(g) = aϕ(g)1 + a ϕ(g) 2 = a g 1+ a g 2.

b) Como neste item estamos considerando ϕ sobrejetivo, temos que, ∀h ∈ H, existe g ∈ G tal que h = ϕ(g), isto é, ϕ−1_{({h}) 6= ∅. Usando a Proposição 1.33 (p. 47), denamos, então,}

a ação à direita do grupo H sobre o grupo abeliano A por

ah := ag, (1.15)

∀a ∈ A, ∀h ∈ H e para algum g ∈ ϕ−1_{({h}). Precisamos mostrar, pela Proposição 1.15 (p.}

i) em (1.15) (p. 48) temos de fato uma ação bem denida; ii) a1H _{= a, ∀a ∈ A};

iii) ah1h2 _{= (a}h1₎h2, ∀h

1, h2 ∈ H e ∀a ∈ A;

iv) (a1+ a2)h = ah1 + ah2, ∀h ∈ H e ∀a1, a2 ∈ A, onde + é a operação do grupo abeliano A.

Façamos a seguir a demonstração de i), ii), iii) e iv).

i) Sejam h1, h2 ∈ H tais que h1 = h2. Como ϕ é sobrejetivo, h1 = ϕ(g1)e h2 = ϕ(g2)para

alguns g1, g2 ∈ G, logo ϕ(g1) = ϕ(g2), o que implica que g1g2−1 ∈ ker(ϕ) e, portanto,

∀a ∈ A, ag1g−12 = a, pois ker(ϕ) age trivialmente à direita sobre o grupo abeliano A.

Daí que ag2 _{= (a}g1g−12 )g2 _{= a}(g1g−12 )g2 _{= a}g1(g2−1g2)_{= a}g11G _{= a}g1. Desta forma, temos que

ag1 _{= a}g2, isto é, ah1 _{= a}h2.

ii) ∀a ∈ A, a1H _{= a}1G _{= a}.

iii) ∀h1, h2 ∈ H, como ϕ é sobrejetivo, temos que h1 = ϕ(g1) e h2 = ϕ(g2) para alguns

g1, g2 ∈ G. Assim, ∀a ∈ A, ah1h2 = ag1g2 = (ag1)g2 = (ah1)h2.

iv) ∀h ∈ H, da sobrejetividade de ϕ, temos que h = ϕ(g) para algum g ∈ G. Assim, ∀a1, a2 ∈ A, (a1+ a2)h = (a1+ a2)g = ag1 + a

g

2 = ah1 + ah2.

Corolário 1.5. Sejam G um grupo, A um ZG-módulo à direita e H C G agindo trivialmente à direita sobre A. Então, o grupo quociente G/H age à direita sobre A através da seguinte ação:

agH := ag, para toda classe lateral gH ∈ G/H e ∀a ∈ A.

Demonstração. Seja π : G  G/H o epimorsmo de grupos projeção canônica. Temos que ker(π) = H, o qual age trivialmente à direita sobre o grupo abeliano A. Pela Proposição 1.34 b) (p 48), temos a armação do Corolário.

A Proposição 1.34 (p. 48) garante a seguinte Denição:

Denição 1.44. Sejam G, H grupos, ϕ : G → H um homomorsmo de grupos e A um grupo abeliano.

a) Se A é um ZH-módulo à direita, então dizemos que A é um ZG-módulo à direita via homomorsmo de grupos ϕ quando a ação de G sobre A é dada por

ag := aϕ(g), ∀g ∈ G e ∀a ∈ A;

b) Se A é um ZG-módulo à direita, ϕ é um epimorsmo de grupos e ker(ϕ) age trivi- almente à direita sobre A, então dizemos que A é um ZH-módulo à direita via homomorsmo de grupos ϕ quando a ação de H sobre A é dada por

ah := ag, ∀a ∈ A, ∀h ∈ H e para algum g ∈ ϕ−1_({h}).

Nesta Dissertação, sendo G um grupo, A um ZG-módulo à direita, H C G agindo trivial- mente à direita sobre o grupo abeliano A e π : G  G/H o epimorsmo de grupos projeção canônica, a ação à direita de G/H sobre A será a ação via homomorsmo de grupos π, isto é, para toda classe lateral gH ∈ G/H e ∀a ∈ A,

agH = ag.

Denição 1.45. Sejam R um anel associativo com identidade e M um R-módulo à direita. Denimos o centralizador de M em R como sendo o conjunto

CR(M ) := {r ∈ R : mr = m, ∀m ∈ M }.

Observemos que, caso M 6= 0, então CR(M ) não é subanel de R, já que CR(M ) não é

fechado com relação à adição em R.

Denição 1.46. Sejam R um anel associativo com identidade e M um R-módulo à direita. Denimos o anulador de M em R como sendo o conjunto

AnnR(M ) := {r ∈ R : mr = 0, ∀m ∈ M }.

Observemos que AnnR(M ) é ideal bilateral em R.

Observação 1.9. Sejam R um anel associativo com identidade e M um R-módulo à direita. Temos, então, a seguinte relação entre CR(M )e AnnR(M ).

Para todo m ∈ M, dado r ∈ R,

r ∈ CR(M ) ⇔ mr = m ⇔ m(r − 1R) = 0M ⇔ r − 1R∈ AnnR(M ) ⇔ r ∈ 1R+ AnnR(M ).

Como m ∈ M e r ∈ R foram tomados arbitrários, isso mostra que CR(M ) = 1R+ AnnR(M ).

Proposição 1.35. Sejam G um grupo e F um grupo agindo à direita sobre G. Então, existe ação à direita de F sobre o anel de grupo ZG dada, ∀f ∈ F , por

λf :=X g∈G xggf, para todo λ =X g∈G xgg ∈ ZG, com xg ∈ Z.

Demonstração. Dados f ∈ F e λ =X

g∈G

xgg ∈ ZG, com xg ∈ Z, denindo-se a : ZG × F →

ZGpor a(λ, f) := λf ₌X g∈G

xggf, temos que claramente a está bem denida. Agora, usando

a Proposição 1.32 (p. 47), basta mostrarmos os seguintes itens: i) λ1F _{= λ, ∀λ ∈ ZG}; ii) λf1f2 _{= (λ}f1₎f2_{, ∀f} 1, f2 ∈ F, λ ∈ ZG; iii) (λ1+ λ2)f = λf1 + λ f 2, ∀f ∈ F, λ1, λ2 ∈ ZG; iv) (λ1λ2)f = λf1λ f 2, ∀f ∈ F, λ1, λ2 ∈ ZG; v) 1f ZG = 1ZG, ∀f ∈ F.

A demonstração dos itens acima é feita através dos cálculos de rotina.

Lema 1.37. Sejam G um grupo, A um ZG-módulo à direita (Pela Proposição 1.33 (p. 47) Gage à direita sobre A) e F um grupo agindo à direita sobre G e à direita sobre A cuja ação seja compatível com a ação à direita de G sobre A. Dados a ∈ A e λ =X

g∈G

xgg ∈ ZG, com

xg ∈ G, temos que, ∀f ∈ F ,

(aλ)f = afλf.

Demonstração. Usando as Proposições 1.33 (p. 47) e 1.35 (p. 50), temos que (aλ)f = (a(X g∈G xgg))f = ( X g∈G xg(ag))f = X g∈G xg(ag)f = X g∈G xg(af)g f = af(X g∈G xggf) = afλf.

Lema 1.38. Sejam G um grupo, A um ZG-módulo à direita (Pela Proposição 1.33 (p. 47) G age à direita sobre A) e F um grupo agindo à direita sobre G e à direita sobre A cuja ação seja compatível com a ação à direita de G sobre A. Então, o subconjunto CZG(A) é

F-invariante.

Demonstração. Seja λ ∈ CZG(A). Então, aλ = a, ∀a ∈ A. Daí que, ∀a ∈ A e ∀f ∈ F, af

−1

λ = af−1 e, portanto, usando o Lema 1.37 (p. 51), a = (af−1)f = (af−1λ)f = aλf. Deduzimos, assim, que CZG(A) é F -invariante.

Proposição 1.36. Sejam G, H grupos e ϕ : G → H um homomorsmo de grupos. Então, ϕinduz uma função ϕ#: ZG → ZH denida por

ϕ#( X g∈G xgg) = X g∈G xgϕ(g), para todoX g∈G xgg ∈ ZG, onde xg ∈ Z.

Demonstração. Por vericação imediata, temos que ϕ# é uma função bem denida.

Observação 1.10. Sejam G, H grupos, ϕ : G → H um homomorsmo de grupos e ϕ# :

ZG → ZH denida como na Proposição 1.36 (p. 51). Observe que ϕ#( X g∈G xgg) = X g∈G xgϕ(g) = X ϕ(g)∈H xϕ(g)ϕ(g),

onde xg, xϕ(g) ∈ Z. Neste último somatório, o que zemos foi agrupar as parcelas em que os

ϕ(g) são iguais. Daí que,

xϕ(g)=

X

g0_∈ϕ−1_({ϕ(g)})

x0_g.

Observe que, se ϕ é um monomorsmo de grupos, então xϕ(g) = xg e, portanto, não

fazemos nenhum agrupamento no somatório X

g∈G

xgϕ(g).

Proposição 1.37. Sejam G, H grupos, ϕ : G → H um homomorsmo de grupos e ϕ# :

ZG → ZH a função da Proposição 1.36 (p. 51). a) ϕ# é homomorsmo de aneis;

b) Se ϕ é epimorsmo de grupos, então ϕ# é epimorsmo de aneis;

c) Seja A um ZH-módulo à direita. Então, ϕ#(CZG(A)) ⊆ CZH(A);

d) Seja A um ZG-módulo à direita. Se ϕ é epimorsmo de grupos e ker(ϕ) age trivial- mente à direita sobre A, então ϕ#(CZG(A)) = CZH(A).

Demonstração. a) i) Dados X g∈G xgg, X g∈G x0_gg ∈ ZG, ϕ#(( X g∈G xgg) + ( X g∈G x0_gg)) = ϕ#( X g∈G (xg + x0g)g) = X g∈G (xg+ x0g)ϕ(g) = = (X g∈G xgϕ(g)) + ( X g∈G x0_gϕ(g)) = ϕ#( X g∈G xgg) + ϕ#( X g∈G x0_gg). ii) Dados X g∈G xgg, X g0_∈G yg0g0 ∈ ZG, ϕ#(( X g∈G xgg) · ( X g0_∈G yg0g0)) = ϕ_#( X g,g0_∈G (xgyg0)gg0) = = X g,g0_∈G (xgyg0)ϕ(gg0) = X g,g0_∈G (xgyg0)ϕ(g)ϕ(g0) = = (X g∈G xgϕ(g)) · ( X g0_∈G yg0ϕ(g0)) = ϕ_#( X g∈G xgg) · ϕ#( X g0_∈G yg0g0).

iii) ϕ#(1ZG) = ϕ#(1Z1G) = 1Zϕ(1G) = 1Z1H = 1ZH.

b) Pelo item a) sabemos que ϕ#é homomorsmo de aneis. Basta, então, mostrarmos que

ϕ# é sobrejetivo.

Seja µ = X

h∈H

xhh ∈ ZH, com xh ∈ Z. Como ϕ é sobrejetivo, dado h ∈ H, temos

que ϕ−1_{({h}) 6= ∅. Podemos, então, escrever µ =} X

g∈G

xgϕ(g), bastando para isso que

escolhamos, para cada h ∈ H, um elemento gh ∈ ϕ−1({h}), isto é, ϕ(gh) = h, e

denamos xg := xh, se g = gh e xg := 0, se g ∈ ϕ−1({h})\{gh}. Segue, então, que

µ = X g∈G xgϕ(g) = ϕ#( X g∈G xgg), onde X g∈G

xgg ∈ ZG. Como µ foi tomado arbitrário em

ZH, concluímos que ϕ# é sobrejetivo.

c) Como A é um ZH-módulo à direita, pela Proposição 1.34 a) (p 48), A é um ZG-módulo à direita via homomorsmo ϕ.

Seja λ = X

g∈G

xgg ∈ CZG(A), isto é, aλ = a(

X

g∈G

xgg) = a, ∀a ∈ A. Temos, então, pela

Proposição 1.33 (p. 47) e pela Proposição 1.34 a) (p. 48) que, ∀a ∈ A, aϕ#(λ) = aϕ#( X g∈G xgg) = a( X g∈G xgϕ(g)) = =X g∈G xgaϕ(g)= X g∈G xgag = a( X g∈G xgg) = a.

Segue que ϕ#(λ) ∈ CZH(A). Como λ foi tomado arbitrário em CZG(A), concluímos

que ϕ#(CZG(A)) ⊆ CZH(A).

d) Como ϕ é sobrejetivo e ker(ϕ) age trivialmente à direita sobre A, pela Proposição 1.34 b) (p. 48), segue que A é ZH-módulo à direita via homomorsmo ϕ, portanto, do item c), concluímos que ϕ#(CZG(A)) ⊆ CZH(A). Basta, então, mostrarmos a inclusão

inversa.

Seja µ ∈ CZH(A) ⊆ ZH. Como ϕ é sobrejetivo, do item b), temos que ϕ# também

é sobrejetivo, daí que µ = ϕ#(λ), com λ =

X

g∈G

xgg ∈ ZG. Vamos mostrar que λ ∈

CZG(A). Pela Proposição 1.33 (p. 47) e pela Proposição 1.34 b) (p. 48), temos que,

∀a ∈ A,

a = aµ = aϕ#(λ) = aϕ#(

X g∈G xgg) = a( X g∈G xgϕ(g)) = =X g∈G xgaϕ(g)= X g∈G xgag = a( X g∈G xgg) = aλ. Logo, λ ∈ CZG(A).

Como µ foi tomado arbitrário em CZH(A), segue que CZH(A) ⊆ ϕ#(CZG(A)), o que

Denição 1.47. Sejam {Gn}n∈Z uma família de grupos e {ϕn : Gn → Gn−1}n∈Z uma fa-

mília de homomorsmos de grupos. Dizemos que o seguinte diagrama é uma sequência de grupos: . . . −→ Gn+1 ϕn+1 −→ Gn ϕn −→ Gn−1 −→ . . . .

Denição 1.48. Dizemos que uma sequência de grupos . . . −→ Gn+1

ϕn+1

−→ Gn ϕn

−→ Gn−1 −→ . . .

é uma sequência exata de grupos se ker(ϕn) = Im(ϕn+1), ∀n ∈ Z.

Denição 1.49. Dizemos que que uma sequência exata de grupos da seguinte forma 1 −→ A i

−→ B −→ C −→p 1. é uma sequência exata curta de grupos.

Observação 1.11. Numa sequência exata curta de grupos 1 −→ A i

−→ B −→ C −→p 1

os homomorsmos 1 → A e C → 1 são respectivamente 1 7→ 1A e c 7→ 1, ∀c ∈ C. Como tal

sequência é exata, concluímos que ker(i) = {1A} e Im(p) = C, ou seja, i é monomorsmo

de grupos e p é epimorsmo de grupos. Desta forma, A ∼= i(A) = ker(p)_{C B, logo podemos} enxergar A como um subgrupo normal de B. Além disso, pelo Teorema 1.1 (p. 3) (1o

Teorema de Isomorsmo para Grupos), B/ker(p) ∼= Im(p) = C, daí que B/A ∼= C.

Proposição 1.38. Seja

1 −→ A i

−→ B −→ C −→p 1

uma sequência exata curta de grupos. Se A é um grupo abeliano, então A é um ZC-módulo à direita (equivalentemente, pela Proposição 1.33 (p. 47), existe ação à direita de C sobre A).

Demonstração. Mostraremos que o grupo abeliano A é um ZC-módulo à direita com a ope- ração adição (denotada por +) sendo a restrição da operação do grupo B sobre o grupo abeliano A e a ação à direita de C sobre o grupo abeliano A sendo, ∀a ∈ A, c ∈ C,

ac:= b−1ab, para algum b ∈ B tal que p(b) = c. (1.16) Basta, então, mostrarmos que a expressão em (1.16) (p. 54) de fato é uma ação à direita do grupo C sobre o grupo abeliano A.

Primeiramente, vamos mostrar que a ação à direita de C sobre A dada em (1.16) (p. 54) está bem denida. Inicialmente, dados a ∈ A e c ∈ C, temos que ac_{∈ A, pois a}c _{= b}−1_{ab ∈ A,}

já que A C B, conforme a Observação 1.11 (p. 54). Precisamos mostrar agora que, dados a ∈ A e c ∈ C, se ac = b−1ab, para algum b ∈ B tal que p(b) = c, e ac = b−1₁ ab1, para algum

o que implica que bb−1

1 ∈ ker(p) = Im(i) = A. Como A é grupo abeliano, temos que

a(bb−1₁ ) = (bb−1₁ )a, logo a = (bb−1₁ )a(bb−1₁ )−1, o que acarreta que a = bb−1₁ ab1b−1 e, portanto,

b−1ab = b−1₁ ab1.

Agora para mostrarmos que a expressão denida em (1.16) (p. 54) dene de fato uma ação à direita do grupo C sobre o grupo abeliano A, pela Proposição 1.15 (p. 22), se denirmos f : A × C → A por f(a, c) := ac, ∀a ∈ A, c ∈ C, basta mostrarmos que:

i) ∀a ∈ A, a1C _{= a};

ii) ∀a ∈ A, c1, c2 ∈ C, ac1c2 = (ac1)c2;

iii) ∀a1, a2 ∈ A, c ∈ C, (a1+ a2)c= ac1+ ac2.

Mostraremos, então, i), ii) e iii) a seguir. i) Seja a ∈ A. Temos que a1C _{= 1}−1

B a1B = a.

ii) Sejam a ∈ A e c1, c2 ∈ C. Como p é sobrejetivo, existem b1, b2 ∈ B tais que p(b1) = c1

e p(b2) = c2. Então, c1c2 = p(b1)p(b2) = p(b1b2). Logo,

ac1c2 _{= (b}

1b2)−1a(b1b2).

Por outro lado, ac1 _{= b}−1

1 ab1 e a0c2 = b−12 a 0

b2, ∀a0 ∈ A, o que implica que

(ac1₎c2 _{= (b}−1

1 ab1)c2 = b−12 (b −1

1 ab1)b2 = (b1b2)−1a(b1b2).

Assim, ac1c2 _{= (a}c1₎c2.

iii) Sejam a1, a2 ∈ A e c ∈ C. Como p é sobrejetivo, existe b ∈ B tal que p(b) = c. Então,

(a1+ a2)c = b−1(a1+ a2)b =7 b−1(a1a1)b = b−1a1bb−1a2b = ac1a c 2 = a c 1+ a c 2.

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