Anel de Fração e Localização

Nesta Subseção K denotará um anel associativo comutativo com identidade e, dado n ∈ Z+, K[X1, . . . , Xn] denotará o anel comutativo de polinômios no qual as incógnitas

X1, . . . , Xncomutam entre si e com todo elemento de K (no caso em que n = 1, denotaremos

X1 por X, isto é, denotaremos K[X1]por K[X]).

Observemos que, sendo K um anel comutativo, então os ideais à direita de K e os ideais à esquerda de K coincidem, daí que, pela Observação 1.15 (p. 70), temos que K é um anel noetheriano à direita se, e somente se, K é um anel noetheriano à esquerda. Assim, caso K possua uma dessas propriedades (e, portanto, possua as duas) dizemos simplesmente que K é um anel noetheriano.

Denição 1.62. Seja K um anel comutativo. Um conjunto multiplicativo S ⊆ K é um conjunto tal que 1 ∈ S, 0 /∈ S e que é fechado em relação à multiplicação de K, ou seja, ∀s1, s2 ∈ S, s1s2 ∈ S. Dito de outra forma, S ⊆ K é um monóide não contendo o elemento

0 ∈ K.

Denição 1.63. Sejam K um anel comutativo e S ⊆ K um conjunto multiplicativo. De- namos a seguinte relação ∼ em K × S:

(x1, s1) ∼ (x2, s2) ⇔ ∃t ∈ S tal que (x1s2− x2s1)t = 0.

Lema 1.43. Sejam K um anel comutativo e S ⊆ K um conjunto multiplicativo. A relação ∼ em K × S dada na Denição 1.63 (p. 75) é uma relação de equivalência.

Demonstração. É fácil ver que ∼ é reexiva e simétrica. Para mostrarmos que ∼ é transitiva, sejam (x1, s1), (x2, s2), (x3, s3) ∈ K × S tais que (x1, s1) ∼ (x2, s2)e (x2, s2) ∼ (x3, s3). Então,

existem t1, t2 ∈ S tais que (x1s2− x2s1)t1 = 0 e (x2s3 − x3s2)t2 = 0, daí que desta última

equação x2s3t2 = x3s2t2. Agora, (x1s2 − x2s1)t1t2s3 = 0, logo x1s2t1t2s3 − x2s1t1t2s3 = 0,

substituindo temos que x1s2t1t2s3− x3s2t2s1t1 = 0, isto é, (x1s3− x3s1)s2t1t2 = 0, como S é

fechado pela multiplição de K, temos que s2t1t2 ∈ S e, portanto, (x1, s1) ∼ (x3, s3).

Notação 1.17. Sendo K, S e ∼ como acima, denotaremos o conjunto das classes de equiva- lência com relação a ∼ por S−1_{Ke, dado (x, s) ∈ K ×S, denotaremos a classe de equivalência}

de (x, s) por x/s.

Teorema 1.21. Sejam K um anel comutativo e S ⊆ K um conjunto multiplicativo. Te- mos que S−1_{K é um anel associativo comutativo com identidade, onde, dadas as classes de}

equivalência x1/s1, x2/s2 ∈ S−1K, a soma (denotada por +) é denida por x1/s1+ x2/s2 :=

(x1s2+ x2s1)/s1s2 e a multiplicação (denotada por ·) é denida por x1/s1· x2/s2 = x1x2/s1s2.

S−1K munido de tais operações é denominado anel de frações de K com respeito a S.

Demonstração. Vamos mostrar que as operações + e · estão bem denidas.

Sejam x1/s1, x2/s2, y1/t1, y2/t2 ∈ S−1K tais que x1/s1 = y1/t1 e x2/s2 = y2/t2. Então,

existem u, v ∈ S tais que

Temos, então, por (1.32) que (x1t1− y1s1)uvt2s2 = 0 e (x2t2− y2s2)vut1s1 = 0, logo (x1t1−

y1s1)uvt2s2+ (x2t2− y2s2)vut1s1 = 0, o que implica que (x1t1t2s2− y1s1t2s2)uv + (x2t2t1s1−

y2s2t1s1)uv = 0, resultando que [(x1s2 + x2s1)t1t2 − (y1t2 + y2t1)s1s2]uv = 0. Como S é

conjunto multiplicativo, segue que uv ∈ S e, portanto, (x1s2+ x2s1)/s1s2 = (y1t2+ y2t1)/t1t2,

isto é, x1/s1 + x2/s2 = y1/t1+ y2/t2. Por outro lado, por (1.32) temos também que (x1t1−

y1s1)uvx2t2 = 0e (x2t2− y2s2)vuy1s1 = 0, logo (x1t1− y1s1)uvx2t2+ (x2t2− y2s2)vuy1s1 = 0,

o que acarreta que (x1x2t1t2 − y1s1x2t2 + x2t2y1s1 − y1y2s1s2)uv = 0, isto é, (x1x2t1t2 +

y1y2s1s2)uv = 0, portanto, x1x2/s1s2 = y1y2/t1t2 e, assim, x1/s1· x2/s2 = y1/t1· y2/t2.

É fácil ver que + e · satisfazem os axiomas necessário para tornar S−1_{K um anel associ-}

ativo comutativo com identidade.

Notemos que 0/1 ∈ S−1_{K é o elemento neutro aditivo de S}−1_{K, onde 0/1 = 0/s, ∀s ∈ S,}

e 1/1 ∈ S−1_{K é o elemento identidade de S}−1_{K, onde 1/1 = s/s, ∀s ∈ S.}

Proposição 1.48. Sejam K um anel comutativo e S ⊆ K um conjunto multiplicativo. Então, λ : K → S−1_{K denida por λ(x) = x/1, ∀x ∈ K, é homomorsmo de aneis e λ(s) é}

invertível em S−1_{K, ∀s ∈ S.}

Denominamos λ de homomorsmo de localização.

Demonstração. Temos que λ(1) = 1/1, que é a identidade em S−1_{K. Além disso, dados}

x1, x2 ∈ K, λ(x1+ x2) = (x1+ x2)/1 = x1/1 + x2/1 = λ(x1) + λ(x2) e λ(x1x2) = x1x2/1 =

x1/1 · x2/1 = λ(x1)λ(x2). Logo, λ é homomorsmo de aneis.

Agora, dado s ∈ S, λ(s) = s/1. Mas, s/1 · 1/s = s/s = 1/1, isto é, λ(s) é invertível em S−1K.

Proposição 1.49. Sejam K anel comutativo e S ⊆ K conjunto multiplicativo de K. Se K é anel noetheriano, então o anel de frações S−1K de K com respeito a S é também anel noetheriano.

Demonstração. Seja λ : K → S−1_{K o homomorsmo de localização da Proposição 1.48 (p.}

76) dado por λ(x) = x/1, ∀x ∈ K. Seja também J um ideal arbitrário de S−1_{K, logo λ}−1_{(J )}

é ideal de K. Vamos mostrar que

J = S−1λ−1(J ),

onde S−1_λ−1_{(J ) = {x/s ∈ S}−1_{K : s ∈ S e x ∈ λ}−1_{(J )}. Se x/s ∈ J, com x ∈ K e s ∈ S,}

então s/1·x/s = s/s·x/1 = x/1 = λ(x) ∈ J, pois J é ideal de S−1_{K e, portanto, x ∈ λ}−1_{(J ).}

Isso mostra que J ⊆ S−1

λ−1(J ). Por outro lado, se x ∈ λ−1(J ), então λ(x) = x/1 ∈ J e, portanto, como J é ideal de S−1_{K, dado s ∈ S, 1/s · x/1 = x/s ∈ J, o que mostra que}

S−1λ−1(J ) ⊆ J.

Agora, se K é anel noetheriano, então λ−1

(J ), que é ideal de K, é nitamente gerado pela Proposição 1.45 (p. 71) e pela Observação 1.15 (p. 70), ou seja, λ−1_{(J ) = (x}

1, . . . , xn), onde

n ∈ Z+e xi ∈ K, com 1 ≤ i ≤ n. Assim, dado x/s ∈ S−1λ−1(J ), temos que x = n X i=1 yixi, com yi ∈ K, logo x/s = ( n X i=1 yixi)/s = n X i=1 (yi/s · xi/1), ou seja, S−1λ−1(J ) = (x1/1, . . . , xn/1).

Como J = S−1_λ−1_{(J ), segue que J = (x}

1/1, . . . , xn/1). Portanto, todo ideal J de S−1K é

nitamente gerado, novamente pela Proposição 1.45 (p. 71) e pela Observação 1.15 (p. 70), segue que S−1

Denição 1.64. Sejam K um anel comutativo, K[X1, . . . , Xn] o anel comutativo de polinô- mios com n ∈ Z+ e S = {X j1 1 X j2 2 . . . Xnjn ∈ K[X1, . . . , Xn] : jl ∈ Z+∪ {0} e 1 ≤ l ≤ n},

que é conjunto multiplicativo de K[X1, . . . , Xn]. O anel de frações S−1K[X1, . . . , Xn] de

K[X1, . . . , Xn] com respeito a S é denotado por K[X1, X1−1, . . . , Xn, Xn−1] e é chamado de

anel dos polinômios de Laurent.

Proposição 1.50. Sejam K um anel comutativo, K[X1, . . . , Xn] o anel comutativo de po-

linômios com n ∈ Z+ e S = {Xj1 1 X j2 2 . . . X jn n ∈ K[X1, . . . , Xn] : jl ∈ Z+∪ {0} e 1 ≤ l ≤ n},

que é conjunto multiplicativo de K[X1, . . . , Xn]. Temos o seguinte fato: se K é noetheriano,

então K[X1, X1−1, . . . , Xn, Xn−1] é anel noetheriano.

Demonstração. Pelo Corolário 1.7 (p. 74), segue que K[X1, . . . , Xn]é anel noetheriano, logo,

pela Proposição 1.49 (p. 76), o anel de frações S−1_K[X

1, . . . , Xn] é anel noetheriano, isto é,

K[X1, X1−1, . . . , Xn, Xn−1] é anel noetheriano.

Proposição 1.51. Sejam Q grupo abeliano livre de posto livre de torção n (n ∈ Z+) cuja

operação binária é escrita em notação multiplicativa, o anel de grupo ZQ e o anel comutativo de polinômios de Laurent Z[X1, X1−1, . . . , Xn, Xn−1]. Então,

ZQ ∼= Z[X1, X1−1, . . . , Xn, Xn−1] (como aneis).

Demonstração. Como Q é grupo abeliano livre de posto livre de torção n, pelo Teorema 1.5 (p. 26), segue que Q ∼= Zn. Assim, existem q1, . . . , qn ∈ Q tais que Q = hq1, . . . , qni.

Segue que, dado q ∈ Q, q = qz1

1 . . . qznn, onde zj ∈ Z, com 1 ≤ j ≤ n (lembremos que a

operação binária em Q é escrita em notação multiplicativa). Como Q é grupo abeliano livre, a expressão acima para q ∈ Q é única, isto é, zj são únicos, com 1 ≤ j ≤ n. Seja, então,

ψ : Q → Z[X1, X1−1, . . . , Xn, Xn−1] denida10 _{por ψ(q) = X}z1,q 1 . . . X zn,q n , onde q = qz1,q 1 . . . q zn,q

n . Temos que ψ está bem denida, pois zj,q são únicos, com 1 ≤

j ≤ n. Agora, um elemento arbitrário λ ∈ ZQ tem a forma λ = X

q∈Q

zqq, onde zq ∈ Z.

Desta forma, extendendo ψ por linearidade, temos um isomorsmo de aneis entre ZQ e Z[X1, X1−1, . . . , Xn, Xn−1], ou seja, denindo-se Ψ : ZQ → Z[X1, X1−1, . . . , Xn, Xn−1] por Ψ(λ) =X q∈Q zqψ(q), onde λ = X q∈Q zqq tal que zq ∈ Z e q = q z1,q 1 . . . q zn,q n , com zj,q ∈ Z, para 1 ≤ j ≤ n,

temos que Ψ é isomorsmo de aneis. De fato, sendo 1Q ∈ Q, o elemento neutro de Q que

10_{Observemos que estamos cometendo um abuso de notação na denição de ψ, uma vez que aqui X}zj,q

j = Xzj,q j /1se zj,q> 0e X zj,q j = 1/X −zj,q j se zj,q< 0, onde 1 ≤ j ≤ n.

também é o elemento identidade de ZQ, segue que Ψ(1Q) = X10. . . Xn0 = 1, que é o elemento

identidade em Z[X1, X1−1, . . . , Xn, Xn−1]. Agora, dados λ =

X q∈Q zqq, µ = X q∈Q yqq ∈ ZQ, onde zq, yq ∈ Z, temos que Ψ(λ + µ) = Ψ( X q∈Q (zq+ yq)q) = X q∈Q (zq+ yq)X z1,q 1 . . . Xnzn,q, onde q = qz1,q 1 . . . q zn,q n . E, X q∈Q (zq+ yq)X z1,q 1 . . . X zn,q n = ( X q∈Q zqX z1,q 1 . . . X zn,q n ) + ( X q∈Q yqX z1,q 1 . . . X zn,q n ) =

Ψ(λ) + Ψ(µ). Por outro lado, dados λ =X

q∈Q zqq, µ = X r∈Q yrr ∈ ZQ, onde zq, yr ∈ Z, segue que Ψ(λµ) = Ψ(X q∈Q X r∈Q zqyrqr) = X q∈Q X r∈Q zqyrX z1,q+y1,r 1 . . . X zn,q+yn,r n , onde q = q z1,q 1 . . . q zn,q n e r = qy1,r 1 . . . q yn,r n , isto é, qr = q z1,q+y1,r 1 . . . q zn,q+yn,r n . Daí que, Ψ(λµ) =X q∈Q X r∈Q zqyrX z1,q+y1,r 1 . . . X zn,q+yn,r n = X q∈Q X r∈Q zqX z1,q 1 . . . X zn,q n yrX y1,r 1 . . . X yn,r n = =X q∈Q zqX z1,q 1 . . . X zn,q n · X r∈Q yrX y1,r 1 . . . X yn,r n = Ψ(λ)Ψ(µ).

Por m, é de fácil vericação que ker(Ψ) = 0 e que Ψ é sobrejetiva. Portanto, Ψ é isomorsmo de aneis.

Corolário 1.8. Seja Q um grupo abeliano nitamente gerado. Então, o anel de grupo ZQ é noetheriano.

Demonstração. Pelo Teorema 1.5 (p. 26), Q = F ⊕ T , onde F ∼= Zn = hx1, . . . , xni, para

algum n ∈ Z+∪ {0} e T é um grupo abeliano nito. Observamos que T ∼= s

M

i=1

hyii, para

algum s ∈ Z+, onde yi tem ordem mi ∈ Z+. Assim,

ZT ∼= Z[Y1, . . . , Ys] (Ym1

1 − 1, . . . , Ysms − 1)

.

Juntando com o isomorsmo da Proposição 1.51 (p. 77), temos um isomorsmo de aneis ZQ ∼= Z[X1, X1−1, . . . , Xn, Xn−1, Y1, . . . , Ys]/I,

enviando xj para Xj + I e yi para Yi+ I, com 1 ≤ j ≤ n e 1 ≤ i ≤ s, onde, denindo-se

U = Z[X1, X1−1, . . . , Xn, Xn−1, Y1, . . . , Ys],

I é o ideal do anel U gerado por Ym1

1 −1, . . . , Ysms−1e U é a localização do anel de polinômios

Z[X1, . . . , Xn, Y1, . . . , Ys]com respeito ao conjunto multiplicativo

S = {Xj1 1 X j2 2 . . . X jn n ∈ K[X1, . . . , Xn] : jl ∈ Z+∪ {0} e 1 ≤ l ≤ n}.

Assim, pelo Teorema 1.20 (p. 73), Z[X1, . . . , Xn, Y1, . . . , Ys] é anel noetheriano, logo pela

Proposição 1.49 (p. 76) a sua localização U é anel noetheriano e, portanto, pela Proposição 1.45 (p. 71) e pela Proposição 1.44 (p. 71), U/I é anel noetheriano.

É fácil ver que U é isomorfo como anel ao produto tensorial Z[X1, X1−1, . . . , Xn, Xn−1] ⊗ZZ[Y1, . . . , Ys],

mas não vamos usar esse fato!

Sendo K um anel comutativo e S ⊆ K um conjunto multiplicativo, deniremos abaixo o conceito de localização de K com respeito a S. Veremos a relação existente entre esse conceito e o anel de frações S−1_K.

Denição 1.65. Sejam K um anel comutativo e S ⊆ K um conjunto multiplicativo. Uma localização de K com respeito a S é um par ordenado ( ˜K, ϕ), onde ˜K é um anel comu- tativo e ϕ : K → ˜K é um homomorsmo de aneis tal que ϕ(s) é invertível em ˜K, ∀s ∈ S, sendo esse par solução do seguinte problema universal: para cada anel comutativo K0 e ho-

momorsmo de aneis ψ : K → K0 tal que ψ(s) é invertível em K0, ∀s ∈ S, existe um

único homomorsmo de aneis θ0 _{: ˜K → K}

0 tal que θ0ϕ = ψ, isto é, o seguinte diagrama é

comutativo: K ϕ // ψ  ˜ K θ0 ~~ K0

Teorema 1.22. Sejam K um anel comutativo e S ⊆ K um conjunto multiplicativo. Então, (S−1K, λ) é uma localização de K com respeito a S, onde λ é o homomorsmo de localização da Proposição 1.48 (p. 76).

Demonstração. Precisamos mostrar que, para cada anel comutativo K0 e homomorsmo de

aneis ψ : K → K0 tal que ψ(s) é invertível em K0, ∀s ∈ S, existe um único homomorsmo

de aneis θ : S−1_{K → K}

0 tal que θλ = ψ.

Veriquemos a existência de θ. Denamos θ : S−1_{K → K}

0 por θ(x/s) = ψ(x)ψ(s)−1. θ está bem denido, pois, dados

x1/s1, x2/s2 ∈ S−1K tais que x1/s1 = x2/s2, então existe u ∈ S com (x1s2− x2s1)u = 0,

logo ψ((x1s2− x2s1)u) = ψ(0) = 0, isto é, (ψ(x1)ψ(s2) − ψ(x2)ψ(s1))ψ(u) = 0. Como ψ(u) é

invertível em K0, segue que ψ(x1)ψ(s2) = ψ(x2)ψ(s1), ou seja, ψ(x1)ψ(s1)−1= ψ(x2)ψ(s2)−1

e, portanto, θ(x1/s1) = θ(x2/s2).

Agora, θ é homomorsmo de aneis, uma vez que θ(1/1) = ψ(1)ψ(1)−1 _{= 1 e, dados}

x1/s1, x2/s2 ∈ S−1K, temos que θ(x1/s1 + x2/s2) = θ((x1s2 + x2s1)/s1s2) = ψ(x1s2 +

x2s1)ψ(s1s2)−1 = ψ(x1)ψ(s1)−1 + ψ(x2)ψ(s2)−1 = θ(x1/s1) + θ(x2/s2) e θ(x1/s1· x2/s2) =

θ(x1x2/s1s2) = ψ(x1x2)ψ(s1s2)−1= ψ(x1)ψ(s1)−1ψ(x2)ψ(s2)−1 = θ(x1/s1)θ(x2/s2).

Segue também que ∀x ∈ K, θλ(x) = θ(x/1) = ψ(x)ψ(1)−1 _{= ψ(x), isto é, θλ = ψ.}

Vamos mostrar agora que θ é única.

Seja θ0_{satisfazendo a propriedade universal. Então, dado x ∈ K, θ}0_{(x/1) = θ}0_{λ(x) = ψ(x).}

Agora, dado s ∈ S, θ0_{(1/s) = θ}0_((s/1)−1_{) = θ}0_(s/1)−1 _{= (θ}0_λ(s))−1 _{= ψ(s)}−1_{. Assim, dados}

Teorema 1.23. Sejam K um anel comutativo e S ⊆ K um conjunto multiplicativo. Então, a localização (S−1_{K, λ) de K com respeito a S é única a menos de isomorsmo (onde λ é}

o homomorsmo de localização da Proposição 1.48 (p. 76)), isto é, se ( ˜K, ϕ) é uma outra localização de K com respeito a S, então existe isomorsmo de aneis η entre ˜K e S−1K tal que ηλ = ϕ.

Demonstração. Suponhamos que ( ˜K, ϕ) seja uma outra localização de K com respeito a S. Recordemos que pela Proposição 1.48 (p. 76), ∀s ∈ S, λ(s) é invertível no anel comutativo S−1K. Então, pela propriedade universal temos os seguintes diagramas:

K ϕ // λ  ˜ K θ0 || S−1K K λ // ϕ  S−1K θ || ˜ K ,

isto é, existem únicos homomorsmos de aneis θ0 _{: ˜K → S}−1_{K e θ : S}−1_{K → ˜K tais θ}0_{ϕ = λe}

θλ = ϕ. Logo, (θθ0)ϕ = θ(θ0ϕ) = θλ = ϕ, ou seja, θθ0 torna o seguinte diagrama comutativo: K ϕ // ϕ  ˜ K θθ0  ˜ K

Mas, id_K˜ : ˜K → ˜K é também homomorsmo de aneis que torna esse mesmo diagrama

comutativo, pois id_K˜ϕ = ϕ, isto é:

K ϕ // ϕ  ˜ K idK˜  ˜ K

Pela unicidade na propriedade universal, temos que θθ0 _{= id} ˜

K. E, de forma análoga ao que

foi feito acima, concluímos que θ0_{θ = id}

S−1_K. Assim, denindo-se η := θ, temos que ˜K e

S−1K são isomorfos como aneis comutativos, sendo η = θ o isomorsmo entre eles e temos que ηλ = ϕ.

Sejam K um anel comutativo e S ⊆ K um conjunto multiplicativo. O Teorema 1.23 (p. 80) mostra que uma localização de K com respeito a S pode ser chamada de "a" localização de K com respeito a S.

Capítulo 2

Invariante Geométrico Σ de Bieri-Strebel

Recordemos, conforme Tabela de Símbolos Especiais, que Z denota o conjunto dos núme- ros inteiros, Z+ denota o conjunto dos números inteiros positivos, R denota o conjunto dos

números reais, R+ denota o conjunto dos números reais positivos, Z denota o grupo abeliano

cujo conjunto de elementos é o conjunto dos números inteiros Z e a operação é a soma usual em Z, R denota o grupo abeliano cujo conjunto de elementos é o conjunto dos números reais R e a operação é a soma usual em R, Zndenota o grupo abeliano cujo conjunto de elementos é o conjunto de n-uplas de números inteiros Zn _{e a operação é a soma usual em Z}n _{e R}n

denota o grupo abeliano cujo conjunto de elementos é o conjunto de n-uplas de números reais Rn e a operação é a soma usual em Rn.

Sejam G, H grupos abelianos. Consideraremos neste Capítulo Hom(G, H) como grupo abeliano aditivo, cuja operação é dada por

(ϕ1+ ϕ2)(g) := ϕ1(g) + ϕ2(g), ∀ϕ1, ϕ2 ∈ Hom(G, H)e ∀g ∈ G.

Neste Capítulo, Q denotará um grupo abeliano nitamente gerado e a

operação binária em Q será escrita em notação multiplicativa.

Apesar de considerarmos ZQ-módulos à direita neste Capítulo, as denições e resultados feitas e obtidos, respectivamente, também valem para ZQ-módulos à esquerda.

Aqui vamos introduzir conceitos básicos de Σ-teoria, denida originalmente por Bieri e Strebel, pois ela é usada como ferramenta importante na demonstração do resultado principal da Dissertação.

2.1 Denições e Alguns Resultados

Denição 2.1. Seja Q um grupo abeliano nitamente gerado. Um homomorsmo de grupos v : Q → R é chamado de caráter de Q.

Lema 2.1. Sejam Q um grupo abeliano nitamente gerado, r ∈ R e v : Q → R um caráter. Então, a função rv : Q → R dada por (rv)(q) = rv(q) é um caráter. Aqui a justaposição rv(q)dos elementos r e v(q) é a multiplicação usual em R.

Demonstração. Dados q1, q2 ∈ Q, temos que (rv)(q1q2) = rv(q1q2) = r[v(q1) + v(q2)] =

rv(q1) + rv(q2) = (rv)(q1) + (rv)(q2). Portanto, rv é um caráter.

Denição 2.2. Sejam Q um grupo abeliano nitamente gerado e v1, v2 ∈ Hom(Q, R). Di-

zemos que v1 é equivalente a v2 (o que é denotado por v1 ∼ v2) se existe r ∈ R+ tal que

v1 = rv2.

Lema 2.2. Seja Q um grupo abeliano nitamente gerado. Então, ∼ (da Denição 2.2) é uma relação de equivalência em Hom(Q, R).

Demonstração. Sejam v1, v2, v3 ∈ Hom(Q, R). Precisamos mostrar que

i) v1 ∼ v1;

ii) v1 ∼ v2 ⇒ v2 ∼ v1;

iii) v1 ∼ v2 e v2 ∼ v3 ⇒ v1 ∼ v3.

Vamos, então, a seguir, fazer a demonstração dos itens i), ii) e iii). i) De fato, v1 = 1v1, com 1 ∈ R+.

ii) Temos que v1 ∼ v2 implica que v1 = rv2, com r ∈ R+. Logo, r 6= 0 e 1_r ∈ R+. Segue

que v2 = 1_rv1 e, portanto, v2 ∼ v1.

iii) Primeiramente, temos que, ∀q ∈ Q e ∀r, s ∈ R+, (r(sv3))(q) = r(sv3)(q) = r(sv3(q)) =

(rs)v3(q) = ((rs)v3)(q), isto é, r(sv3) = (rs)v3.

Agora, por hipótese, temos que v1 = rv2 e v2 = sv3, com r, s ∈ R+. Logo, v1 = r(sv3) =

(rs)v3 e rs ∈ R+ e, portanto, v1 ∼ v3.

Notação 2.1. Seja Q um grupo abeliano nitamente gerado. Sendo v ∈ Hom(Q, R), deno- taremos a classe de equivalência de v segundo ∼ por [v], onde

[v] = {v0 ∈ Hom(Q, R) : v0 _{∼ v}.}

Denição 2.3. Seja Q um grupo abeliano nitamente gerado. Denimos a esfera de ca- racteres S(Q) como sendo o conjunto das classes de equivalência dos caracteres não-nulos de Q com respeito à relação de equivalência ∼ da Denição 2.2 (p. 82), ou seja,

S(Q) := Hom(Q, R)\{0} ∼

onde 0 denota o homomorsmo de grupos nulo, isto é, 0 : Q → R é denido por 0(q) = 0R, ∀q ∈ Q.

Lema 2.3. Hom(Zn_{, R) ∼= R}n como grupos abelianos, onde n ∈ Z +.

Demonstração. Consideremos o grupo abeliano aditivo Rncomo um espaço vetorial real com

produto interno usual, este último denotado por h·, ·i, e seja, ∀x ∈ Rn_{, ϕ}

x : Zn→ Rdenida

por ϕx(z) = hz, xi. Então, ϕx é homomorsmo de grupos abelianos. De fato, isso segue

da linearidade de h·, ·i na primeira entrada. Agora, seja ϕ : Rn _{→ Hom(Z}n_{, R)} dada por

ϕ(x) = ϕx. Temos que ϕ é isomorsmo de grupos abelianos. O que mostraremos nos itens

i), ii) e iii) a seguir.

i) ϕ é homomorsmo de grupos abelianos: ∀x, y ∈ Rn _{e ∀z ∈ Z}n_{, ϕ(x + y)(z) = ϕ}

x+y(z) = hz, x + yi = hz, xi + hz, yi = ϕx(z) +

ϕy(z) = (ϕx+ ϕy)(z) = (ϕ(x) + ϕ(y))(z). Logo, ϕ(x + y) = ϕ(x) + ϕ(y).

ii) ϕ é injetiva:

∀x, y ∈ Rn_{, se ϕ(x) = ϕ(y), então ϕ}

x(z) = ϕy(z), ∀z ∈ Zn. Logo, hz, xi = hz, yi o que

implica que hz, x − yi = 0, ∀z ∈ Zn_{. Sendo z = (z}

1, . . . , zn), x = (x1, . . . , xn) e y = (y1, . . . , yn), temos que hz, x − yi = n X j=1 zj(xj − yj) = 0. Em particular, se z = ei,

com i ∈ {1, . . . , n}, onde ei = (0, . . . , 1, . . . , 0)com 1 sendo a i-ésima coordenada de ei,

temos que (xi− yi) = 0, ∀i ∈ {1, . . . , n}, isto é, xi = yi, ∀i ∈ {1, . . . , n}. Assim, x = y.

iii) ϕ é sobrejetiva:

Sejam f ∈ Hom(Zn_{, R) e β = {e}

1, . . . , en}, que é base ortonormal de Rn com res-

peito a h·, ·i. Observe que β ⊆ Zn_{. Denamos x :=} n X j=1 f (ej)ej. Então, x ∈ Rn. Agora, hei, xi = hei, n X j=1 f (ej)eji = n X j=1 f (ej)hei, eji = f (ei). Logo, ∀z ∈ Zn, hz, xi = h n X i=1 ziei, n X j=1 f (ej)eji = n X i,j=1 zif (ej)hei, eji = n X i=1 zif (ei) (1) = f ( n X i=1 ziei) = f (z), onde em

(1) usamos que f é homomorsmo de grupos. Portanto, f = ϕx= ϕ(x).

Proposição 2.1. Seja Q um grupo abeliano nitamente gerado. Então, Hom(Q, R) ∼= Rn,

como grupos abelianos, onde n ∈ Z+∪ {0} é o posto livre de torção de Q (R0 :=0).

Demonstração. Nesta demonstração todos os símbolos de isomorsmo (∼=) são referentes a isomorsmos de grupos abelianos.

Pelo Teorema 1.5 (p. 26), sabemos que, como Q é grupo abeliano nitamente gerado, Q ∼= Zn ⊕ K, onde K = {q ∈ Q : |q| < ∞} é subgupo abeliano nito de Q. Assim, Hom(Q, R) ∼= Hom(Zn⊕ K, R).

Agora, dado ϕ ∈ Hom(Zn _{⊕ K, R), armamos que ϕ(K) = 0. De fato, seja q ∈ K.}

possui divisores de zero, segue que ϕ(q) = 0. Portanto, como q ∈ K foi tomado arbitrário, concluímos que ϕ(K) = 0.

Denamos Ψ : Hom(Zn _{⊕ K, R) → Hom(Z}n_{, R) por Ψ(ϕ) = ϕ|}

Zn. Observe que, cla-

ramente, Ψ está bem denida e é epimorsmo de grupos abelianos. A injetividade de Ψ é devida ao parágrafo precedente.

Assim, pelo Lema 2.3 (p. 82), temos que

Hom(Q, R) ∼= Hom(Zn⊕ K, R) ∼= Hom(Zn, R) ∼= Rn.

A Proposição 2.1 (p. 83) justica a denominação "esfera" para S(Q), uma vez que cada homomorsmo de grupos abelianos de Q em R é visto como um ponto no Rn _{e cada classe}

de equivalência em S(Q) é vista como um raio em Rn partindo de 0 ∈ Rn, mas não o

incluindo. Tomamos, então, para representante de tal classe a intersecção de tal raio com a esfera (n − 1)-dimensional Sn−1_{⊆ R}n_.

Denição 2.4. Seja Q um grupo abeliano nitamente gerado. Dado q ∈ Q, denimos a semiesfera aberta de caracteres relativa a q como sendo o conjunto

Hq=[v] ∈ S(Q) : v(q) > 0 .

Proposição 2.2. Seja Q um grupo abeliano nitamente gerado. Dado q ∈ Q, se |q| < ∞, então Hq= ∅.

Demonstração. Seja q ∈ Q tal que |q| = n com n ∈ Z+. Suponhamos que Hq 6= ∅. Tomemos,

então, [v] ∈ Hq. Logo, v(q) > 0. Mas, 0 = v(1) = v(qn) = nv(q). Como R não possui

divisores de zero, v(q) = 0. O que é contradição, pois v(q) > 0. Segue que Hq = ∅.

Denição 2.5. Seja G um grupo. Considerando o anel de grupo ZG, dado λ = X

g∈G

xgg ∈

ZG, com xg ∈ Z, denimos o suporte de λ, denotado por supp(λ), como sendo o conjunto

supp(λ) = supp(X

g∈G

xgg) := {g ∈ G : xg 6= 0}.

Denição 2.6. Sejam Q um grupo abeliano nitamente gerado e A um ZQ-módulo à direita. Denimos o invariante geométrico Σ de Bieri-Strebel como sendo o conjunto

ΣA(Q) :=

[

λ∈CZQ(A)

{[v] ∈ S(Q) : v(q) > 0, ∀q ∈ supp(λ)}.

Nesta Dissertação, sempre que escrevermos ΣA(Q)cará subentendido que Q é um grupo

abeliano nitamente gerado e A é um ZQ-módulo à direita.

Observação 2.1. Sejam Q um grupo abeliano nitamente gerado e A um ZQ-módulo à direita. O complementar de ΣA(Q)como conjunto, isto é, S(Q)\ΣA(Q), é o seguinte conjunto

Σc_A(Q) = \

λ∈CZQ(A)

Observação 2.2. Sejam Q um grupo abeliano nitamente gerado e A um ZQ-módulo à direita nitamente gerado. Seja também v um caráter de Q. Denimos o monoide relativo ao caráter v de Q como sendo

Qv = {q ∈ Q : v(q) ≥ 0R}.

Observe que Qv é, de fato, um monoide e ZQv é um subanel de ZQ.

Originalmente, a denição do invariante geométrico Σ de Bieri-Strebel é dada em [8, 2.4, p. 444] para apenas ZQ-módulos à direita nitamente gerados como sendo

ΣA(Q) = {[v] ∈ S(Q) : A é nitamente gerado como ZQv-módulo à direita}.

É mostrado em [8, Proposition 2.1, p. 443] a equivalência desta denição com a denição que demos anteriormente para o invariante geométrico Σ de Bieri-Strebel.

Proposição 2.3. Sejam Q um grupo abeliano nitamente gerado e A um ZQ-módulo à direita. Temos que

ΣA(Q) = ΣZQ/AnnZQ(A)(Q).

Demonstração. Pela denição do invariante geométrico Σ de Bieri-Strebel, basta que mos- tremos que CZQ(A) = CZQ(ZQ/AnnZQ(A)).

Vamos mostrar que CZQ(A) ⊆ CZQ(ZQ/AnnZQ(A)). Sejam λ ∈ CZQ(A) e µ = µ +

AnnZQ(A) ∈ ZQ/AnnZQ(A). Segue que, ∀a ∈ A, aλ = a, logo a(λµ − µ) = aλµ − aµ = 0A.

Daí que, λµ − µ ∈ AnnZQ(A), donde λµ + AnnZQ(A) = µ + AnnZQ(A) e, portanto, µλ = µ,

isto é, λ ∈ CZQ(ZQ/AnnZQ(A)).

Para mostrarmos a inclusão recíproca, sejam 1Q = 1Q + AnnZQ(A) ∈ ZQ/AnnZQ(A)

e λ ∈ CZQ(ZQ/AnnZQ(A)). Temos que (1Q + AnnZQ(A))λ = 1Q + AnnZQ(A). Logo,

λ − 1Q ∈ AnnZQ(A), donde a(λ − 1Q) = 0A, ∀a ∈ A e, portanto, aλ = a, ∀a ∈ A, ou seja,

λ ∈ CZQ(A).

Denição 2.7. Seja Q um grupo abeliano nitamente gerado. Um caráter v : Q → R é dito ser discreto se v(Q) ∼= Z.

Denição 2.8. Sejam Q um grupo abeliano nitamente gerado, A um ZQ-módulo à direita e Ω ⊆ Σc

A(Q) um subconjunto. Denimos o seguinte conjunto

disΩ := {[v] ∈ Ω : v é caráter discreto}.

Denição 2.9. Seja G um grupo nilpotente-por-abeliano-por-nito nitamente gerado. Exis- tem, então, N, H C G com N ⊆ H ⊆ G e tais que N é subgrupo nilpotente, H/N é grupo abeliano e G/H é grupo nito. Denimos o seguinte conjunto

σ(G) := Σc_N/N0(H/N )

onde N/N0 _{é a abelianização de N.}

É mostrado em [7, Theorem 2.3, p. 11] que a denição de σ(G) independe da escolha de N e H tais que N ⊆ H ⊆ G e N é subgrupo nilpotente, H/N é grupo abeliano e G/H é grupo nito.

Observação 2.3. Seja G um grupo nilpotente-por-abeliano-por-nito nitamente gerado. Existem, então, N, H C G com N ⊆ H ⊆ G e tais que N é subgrupo nilpotente, H/N é grupo abeliano e G/H é grupo nito. Então, para vermos que σ(G) está bem denido, precisamos mostrar que:

i) H/N é grupo abeliano nitamente gerado; ii) N/N0 _{é um Z(H/N)-módulo à direita.}

Vamos mostrar, então, i) e ii).

i) Por hipótese, estamos considerando G como um grupo nitamente gerado. Como [G : H] < ∞, segue da Proposição 1.27 (p. 36) que H é grupo nitamente gerado. Daí que, pela Proposição 1.18 (p. 24), H/N é grupo nitamente gerado.

ii) Pela Proposição 1.38 (p. 54), como N/N0 _{é grupo abeliano, basta mostrarmos que}

1 −→ N/N0 _{−→ H/N}j 0 _{−→ H/N −→}ρ ₁

é sequência exata curta de grupos, onde j é o homomorsmo de grupos inclusão canônica e ρ é dada por,

ρ(hN0) = hN, para toda classe lateral hN0 ∈ H/N0.

Agora, j é obviamente monomorsmo de grupos e Im(j) = N/N0_{. Por outro lado, pela}

Proposição 1.7 (p 9), ρ é epimorsmo de grupos tal que ker(ρ) = N/N0_.

O conjunto Σc

N/N0(H/N ) frequentemente aparece na literatura com a notação σ(G) e é

por esse motivo que demos a Denição 2.9 (p. 85), no entanto doravante nesta Dissertação, quando formos nos referir ao conjunto σ(G), usaremos a notação mais explícita Σc

N/N0(H/N ).

Denição 2.10. Sejam Q um grupo abeliano nitamente gerado e P um subgrupo de Q. Denamos a subesfera grande de S(Q) com respeito a P como sendo o conjunto

S(Q, P ) := {[v] ∈ S(Q) : v(P ) =0}.

Proposição 2.4. Sejam Q um grupo abeliano nitamente gerado, A um ZQ-módulo à direita e P um subgrupo de Q agindo trivialmente à direita sobre A. Então,

Σc_A(Q) ⊆ S(Q, P ).

Demonstração. Observemos que P ⊆ Q ⊆ ZQ. Como P age trivialmente à direita sobre A, isto é, as = a, ∀a ∈ A e ∀s ∈ P , temos que P ⊆ CZQ(A). Como P é subgrupo,

∀s ∈ P, s−1 _{∈ P ⊆ C}

ZQ(A).

Agora, seja [v] ∈ Σc

A(Q). Então, ∀λ ∈ CZQ(A), existe qλ ∈ supp(λ) tal que v(qλ) ≤ 0.

Em particular, para todo s ∈ P ⊆ CZQ(A), v(s) ≤ 0, pois supp(s) = {s}. Da mesma forma,

v(s−1) ≤ 0. Como v é homomorsmo de grupos, temos que 0 ≥ v(s−1) = −v(s). Logo, v(s) ≥ 0. Portanto, v(s) = 0, ∀s ∈ P . Segue que Σc

Proposição 2.5. Sejam Q1, Q2 grupos abelianos nitamente gerados e ϕ : Q1 → Q2 um

homomorsmo de grupos. Então, ϕ induz uma função ϕ∗ _{: S(Q}

2, Im(ϕ))c→ S(Q1) denida

por

ϕ∗([v]) = [vϕ],

para toda classe lateral [v] ∈ S(Q2, Im(ϕ))c= S(Q2)\S(Q2, Im(φ)).

Demonstração. Precisamos mostrar que ϕ∗ _{está bem denida. Primeiramente, observemos}

que [vϕ] ∈ S(Q1), pois a composição vϕ pertence a Hom(Q1, R) e v(Im(ϕ)) 6= 0, isto é,

vϕ 6= 0. Além disso, dados [v], [v0] ∈ S(Q2, Im(ϕ))c tais que [v] = [v0], temos que v = rv0,

com r ∈ R+, logo, ∀q1 ∈ Q1, vϕ(q1) = v(ϕ(q1)) = (rv0)(ϕ(q1)) = rv0(ϕ(q1)) = r(v0ϕ)(q1) e,

portanto, [vϕ] = [v0_{ϕ]. Assim, concluímos que ϕ}∗ _{está bem denida.}

Observação 2.4. Sejam Q1, Q2 grupos abelianos nitamente gerados e ϕ : Q1  Q2 um

epimorsmo de grupos. Então, S(Q2, Im(ϕ))c = S(Q2, Q2)c = S(Q2). Daí que ϕ∗ ca

denida em todo domínio S(Q2)e, portanto, ϕ∗ está denida em ΣcA(Q2) ⊆ S(Q2).

Os dois Lemas a seguir são naturais, no entanto, ainda assim, enunciaremo-los, pois os usaremos adiante.

Lema 2.4. Sejam Q1, Q2 grupos abelianos nitamente gerados, ψ : Q1 → Q2 um isomorsmo

de grupos, A um ZQ1-módulo à direita e ψ∗ : S(Q2, Im(ψ))c→ S(Q1)dada por ψ∗([v]) = [vψ]

a função induzida por ψ conforme a Proposição 2.5 (p. 87). Temos que ψ∗(Σc_A(Q2)) = ΣcA(Q1) e ψ∗(disΣcA(Q2)) = disΣcA(Q1).

Lema 2.5. Sejam Q1, Q2 grupos abelianos nitamente gerados, ψ : Q1 → Q2 um isomorsmo

de grupos e A um ZQ1-módulo à direita.

a) Σc

A(Q1) ⊆ Hg0, para algum g0 ∈ Q1 se, e somente se, Σ

c

A(Q2) ⊆ Hh0, para algum

h0 ∈ Q2.

b) disΣc

A(Q1) ⊆ Hg0₀, para algum g00 ∈ Q1 se, e somente se, disΣcA(Q2) ⊆ Hh0₀, para algum

h0₀ ∈ Q2.

Sejam G1, G2 grupos abelianos cujas operações sejam escritas em notação multiplicativa

e G = G1× G2 o produto direto de G1 e G2. Identicaremos, então, G1× {1G2}e {1G1} × G2,

que são subgrupos de G, com G1 e G2 respectivamente. Consideraremos, portanto, G1 e G2

como subgrupos de G.

Denição 2.11. Sejam Q1, Q2 grupos cujas operações sejam escritas em notação multiplica-

tiva e Q = Q1× Q2 o produto direto de Q1 e Q2. Suponhamos que Q seja um grupo abeliano

nitamente gerado. Sejam também u1 : Q1 → R, u2 : Q2 → R caracteres. Denamos

(u1, u2) : Q → R por

(u1, u2)(q1, q2) = u1(q1) + u2(q2),

onde q1 ∈ Q1 e q2 ∈ Q2. Observemos que (u1, u2) é um caráter e, ∀r ∈ R, r(u1, u2) =

Observação 2.5. Sejam Q1, Q2 grupos cujas operações sejam escritas em notação multi-

plicativa e Q = Q1× Q2 o produto direto de Q1 e Q2. Suponhamos que Q seja um grupo

abeliano nitamente gerado. Sejam também j1 : Q1 → Q, j2 : Q2 → Qos homomorsmos de

grupos inclusões canônicas e v : Q → R um caráter. Façamos as composições vj1 : Q1 → R

e vj2 : Q2 → Re sejam v1 := vj1 e v2 := vj2. Primeiramente, temos que (v1, v2)é um caráter

e, dado r ∈ R+, r(v1, v2) = (rv1, rv2). Além disso, dado um caráter w : Q → R, podemos

escrever w = (w1, w2), onde w1 = wj1 e w2 = wj2. De fato, ∀q ∈ Q, existem q1 ∈ Q1 e

q2 ∈ Q2 tais que q = (q1, q2). Logo,

w(q) = w((q1, q2)) = w((q1, 1)(1, q2)) = w(q1, 1) + w(1, q2) =

= wj1(q1) + wj2(q2) = w1(q1) + w2(q2) = (w1, w2)((q1, q2)) = (w1, w2)(q).

Lema 2.6. Sejam Q1, Q2 grupos abelianos nitamente gerados, ϕ : Q1 → Q2 um homomor-

smo de grupos e A um ZQ2-módulo à direita (Observe que, pela Proposição 1.34 a) (p. 48),

A é um ZQ1-módulo à direita via homomorsmo de grupos ϕ). Então, sendo

ϕ∗ : S(Q2, Im(ϕ))c→ S(Q1)

dada por ϕ∗_{([v]) = [vϕ], temos que}

ϕ∗(Σc_A(Q2) ∩ S(Q2, Im(ϕ))c) ⊆ ΣcA(Q1)

ϕ∗((disΣc_A(Q2)) ∩ S(Q2, Im(ϕ))c) = disΣcA(Q1).

Demonstração. (Ver [7, Proposition 1.2, p. 6].)

Proposição 2.6. [14, Lemma 3.3, p. 140] Sejam Q1, Q2 grupos cujas operações sejam es-

critas em notação multiplicativa e Q = Q1× Q2 o produto direto de Q1 e Q2. Suponhamos

que Q seja um grupo abeliano nitamente gerado. Sejam também j1 : Q1 → Q, j2 : Q2 → Q

os homomorsmos de grupos inclusões canônicas e A um ZQ-módulo à direita. Conforme a Proposição 1.34 a) (p. 48), A é um ZQ1-módulo à direita via j1 e A é um ZQ2-módulo à

direita via j2.

a) Seja [v] ∈ disΣc

A(Q). Pela Observação (2.5) (p. 88), podemos escrever v = (v1, v2). Se

vi 6= 0, então [vi] ∈ disΣcA(Q1), onde i ∈ {1, 2};

b) Seja [˜v] ∈ disΣc

A(Q1). Então, existe ˜w ∈ Hom(Q2, R) tal que [(˜v, ˜w)] ∈ disΣcA(Q).

Demonstração. a) Seja [v] ∈ disΣc

A(Q). Temos, então, que v = (v1, v2), onde v1 = vj1 e v2 =

vj2. Seja também λ1 ∈ CZQ1(A). Então, como ZQ1 ⊆ ZQ, temos que CZQ1(A) ⊆ CZQ(A).

Daí que λ1 ∈ CZQ(A). Agora, como [v] ∈ disΣcA(Q), existe qλ1 ∈ supp(λ1)tal que v(qλ1) ≤ 0.

Mas, supp(λ1) ⊆ Q1, daí que qλ1 ∈ Q1, isto é, qλ1 = j1(qλ1). Assim, v1(qλ1) = vj1(qλ1) =

v(qλ1) ≤ 0 e, como v1 6= 0, segue que [v1] ∈ Σ

c

A(Q1). Da mesma forma, [v2] ∈ ΣcA(Q2). Além

disso, v é caráter discreto, logo, por um lado, v(Q1 × Q2) = v(Q) ∼= Z e, por outro lado,

v1(Q1) = vj1(Q1) = v(Q1) ≤ v(Q1 × Q2) ∼= Z, o que implica que v1(Q1) ∼= nZ, para algum

n ∈ Z\{0}, por conseguinte v1(Q1) ∼= Z. Analogamente, v2(Q2) ∼= Z. Segue, assim, que

b) Pela Proposição 2.5 (p. 87), a função

j₁∗ : S(Q, Q1)c→ S(Q1)

dada por

j₁∗([w]) = [wj1],

induzida por j1, está bem denida. Seja, então, [˜v] ∈ disΣcA(Q1). Pelo Lema 2.6 (p. 88),

temos que

j₁∗((disΣc_A(Q)) ∩ S(Q, Q1)c) = disΣcA(Q1).

Daí que existe [w] ∈ (disΣc

A(Q)) ∩ S(Q, Q1)c tal que [˜v] = j1∗([w]) = [wj1], o que acarreta

que ˜v = r(wj1), com r ∈ R+. Agora, escrevendo w = (w1, w2) onde w1 = wj1 e w2 = wj2

conforme Observação 2.5 (p. 88), como [w] ∈ (disΣc

A(Q)) ∩ S(Q, Q1)c, isto é, [w] ∈ disΣcA(Q)

e w(Q1) 6= 0, temos que, w1(Q1) = wj1(Q1) = w(Q1) 6= 0, daí que, pelo item a), [w1] ∈

disΣc_A(Q1)e temos também que w2 ∈ Hom(Q2, R). Denamos, então,

˜

w := rw2 ∈ Hom(Q2, R).

Assim, (˜v, ˜w) = (rw1, rw2) = r(w1, w2) = rw. Portanto, [(˜v, ˜w)] = [w] ∈ disΣcA(Q).

Proposição 2.7. Sejam Q um grupo abeliano nitamente gerado e F um grupo agindo à direita sobre Q. Então, existe ação à direita de F sobre a esfera de caracteres S(Q) dada por

[v]f := [vf],

para todo v ∈ Hom(Q, R) e ∀f ∈ F . Onde a ação à direita de F sobre Hom(Q, R) é dada como na Proposição 1.16 (p. 23).

Demonstração. Denindo-se a : S(Q)×F → S(Q) por a([v], f) = [v]f e usando a Proposição

1.13 (p. 20), basta mostrarmos que: i) a está bem denida;

ii) [v]1F _{= [v]}, para toda classe lateral [v] ∈ S(Q);

iii) ([v]f1₎f2 _{= [v]}f1f2, para toda classe lateral [v] ∈ S(Q) e ∀f

1, f2 ∈ F.

Façamos, então, a demonstração de i), ii) e iii) a seguir.

i) Inicialmente, dados [v] ∈ S(Q) e f ∈ F , observemos que [v]f _{∈ S(Q). De fato, como}

[v] ∈ S(Q), então existe q ∈ Q tal que v(q) 6= 0 e, como qf _{∈ Q, temos que v}f_(qf_{) =}

v((qf₎f−1_{) = v(q) 6= 0, daí que v}f _{6= 0. Agora, dados f}

1, f2 ∈ F e [v1], [v2] ∈ S(Q) tais

que f1 = f2 e [v1] = [v2], segue que v1 = rv2, com r ∈ R+. Logo, dado q ∈ Q,

vf1 1 (q) = v1(qf −1 1 ) = (rv 2)(qf −1 2 ) = rv 2(qf −1 2 ) = rvf2 2 (q) = (rv f2 2 )(q) e, portanto, [v1]f1 = [v2]f2.

iii) Dada [v] ∈ S(Q) e dados f1, f2 ∈ F, pela Proposição 1.16 (p. 23), ([v]f1)f2 = [vf1]f2 =

[(vf1₎f2_{] = [v}f1f2_{] = [v]}f1f2_.

Observação 2.6. Sejam Q1, Q2 grupos cujas operações sejam escritas em notação multi-

plicativa e Q = Q1× Q2 o produto direto de Q1 e Q2. Suponhamos que Q seja um grupo

abeliano nitamente gerado. Seja também F um grupo agindo à direita sobre Q tal que Q1

e Q2 sejam F -invariantes, j1 : Q1 → Q, j2 : Q2 → Q os homomorsmos de grupos inclusões

canônicas e v : Q → R um caráter. Façamos as composições vj1 : Q1 → R e vj2 : Q2 → R e

sejam v1 := vj1 e v2 := vj2. Dados f ∈ F e q ∈ Q, onde q = (q1, q2), com q1 ∈ Q1 e q2 ∈ Q2,

como Q1 e Q2 são F -invariantes e usando a Proposição 1.16 (p. 23), temos que

(v1, v2)f(q) = (v1, v2)f((q1, q2)) = (v1, v2)((q1, q2)f −1 ) = (v1, v2)((qf −1 1 , q f−1 2 )) = = v1(qf −1 1 ) + v2(qf −1 2 ) = v f 1(q1) + v2f(q2) = (v1f, v f 2)((q1, q2)) = (v1f, v f 2)(q).

Assim, concluímos que (v1, v2)f = (vf1, v f

2), ∀f ∈ F.

Proposição 2.8. [14, Lemma 3.4, p. 141] Sejam Q um grupo abeliano nitamente gerado, A um ZQ-módulo à direita (Pela Proposição 1.33 (p. 47) Q age à direita sobre A) e F um grupo agindo à direita sobre Q e à direita sobre A cuja ação seja compatível com a ação à direita de Q sobre A. Então, o conjunto Σc

A(Q)é F -invariante.

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