Alguns Exemplos

Exemplo 2.1. Sejam Q = hxi ∼= Z cuja operação binária de Q seja escrita em notação multiplicativa e A = Z[1/2] = z

2n : n ∈ Z+∪ {0}, z ∈ Z



, que é grupo abeliano. Denamos a seguinte ação à direita de Q sobre A:

ax = 2a e ax−1 = a

2, ∀a ∈ A

Pela Proposição 2.1 (p. 83), temos que Hom(Q, R) ∼= R (como grupos abelianos). Conse- quentemente, temos a seguinte bijeção:

{−1, 1} ∼= R\{0}

∼ ↔

Hom(Q, R)\{0}

∼ = S(Q),

onde ∼ é a relação de equivalência dada na Denição 2.2 (p. 82). Pelas Demonstrações da Proposição 2.1 (p. 83) e do Lema 2.3 (p. 82) e sendo θ : x 7→ 1 um isomorsmo de grupos entre Q e Z, a bijeção acima é dada por

1 7→ [v1], onde v1(x) = v1(θ−1(1)) = h1, 1i = 1

e − 1 7→ [v−1], onde v−1(x) = v−1(θ−1(1)) = h1, −1i = −1 = −v1(x).

Logo,

S(Q) = {[v1], [−v1]}.

Observe que A é um ZQ-módulo à direita gerado por 1Z ∈ Z, pois A = 1Z· ZQ. Logo, A

é um ZQ-módulo à direita nitamente gerado. Daí que, pela Observação 2.2 (p. 85), ΣA(Q) = {[v] ∈ S(Q) : A é nitamente gerado como ZQv-módulo à direita}.

Observemos agora que

Q−v1 = {q ∈ Q : −v1(q) ≥ 0} = {q ∈ Q : v1(q) ≤ 0} = {x

−n

∈ Q : n ∈ Z+∪ {0}}.

Concluímos que A = 1Z · ZQ−v1, isto é, A é (ZQ−v1)-módulo à direita gerado por {1Z},

portanto A é (ZQ−v1)-módulo à direita nitamente gerado. De fato, dado a ∈ A, temos que

a = zn 2n, onde n ∈ Z+∪ {0} e zn∈ Z. Logo, a = z 2n = z(1Z) x−n _{= 1} Z(zx−n) ∈ 1Z· ZQ−v1.

Por outro lado, Qv1 = {q ∈ Q : v1(q) ≥ 0} = {x n ∈ Q : n ∈ Z+∪ {0}}. Como, ∀a ∈ A, axn = 2n_{a, com n ∈ Z}

+∪ {0}, concluímos que A não é nitamente gerado

como ZQv1-módulo à direita, do contrário existiria um conjunto nito

X =  a1 = z1 2n1, . . . , as= zs 2ns  ⊆ A,

onde s ∈ Z+, nj ∈ Z+∪ {0}, zj ∈ Z e 2 - zj para 1 ≤ j ≤ s, que geraria A como ZQv1-módulo

à direita. No entanto, sendo

n0 =max{n1, . . . , ns},

temos que 1

2n0+1 não é combinação linear dos elementos de X. Desta forma, temos que

ΣA(Q) = {[−v1]}.

Exemplo 2.2. Sejam Q = hxi ∼= Z cuja operação binária de Q seja escrita em notação multiplicativa e A = Z[1/6] = z

6n : n ∈ Z+∪ {0}, z ∈ Z



, que é grupo abeliano. Denamos a seguinte ação à direita de Q sobre A:

ax = 2a

3 e a

x−1 ₌ 3a

2 Por raciocínio idêntico ao do Exemplo 2.1 (p. 92), segue que

S(Q) = {[v1], [−v1]},

onde v1(x) = 1.

Vamos mostrar que A é um ZQ-módulo à direita gerado por 1Z∈ Z, isto é, A = 1Z· ZQ.

Veja que  2 3 n = 2 n 3n,  3 2 n = 3 n

2n ∈ 1Z· ZQ. Como o máximo divisor comum entre 2 2n e

32n é 1, pelo Teorema de Bezout, concluímos que existem α, β ∈ Z tais que α22n+ β32n = 1. Daí que, 1 6n = α22n_{+ β3}2n 6n = α 2n 3n + β 3n 2n = 1Z(αx n_{) + 1} Z(βx−n) ∈ 1Z· ZQ.

Logo, A ⊆ 1Z· ZQ e, portanto, A = 1Z· ZQ. Assim, A é um ZQ-módulo à direita nitamente

gerado. Consequentemente, pela Observação 2.2 (p. 85),

ΣA(Q) = {[v] ∈ S(Q) : A é nitamente gerado como ZQv-módulo à direita}.

Observemos agora que

Qv1 = {q ∈ Q : v1(q) ≥ 0} = {x n ∈ Q : n ∈ Z+∪ {0}}, Q−v1 = {q ∈ Q : −v1(q) ≥ 0} = {q ∈ Q : v1(q) ≤ 0} = {x −n ∈ Q : n ∈ Z+∪ {0}}.

Suponhamos que A seja nitamente gerado como ZQv1-módulo à direita. Logo, existe um conjunto nito X =  a1 = z1 6n1, . . . , as = zs 6ns  ⊆ A, onde s ∈ Z+, nj ∈ Z+∪ {0}, zj ∈ Z e 6 - zj para 1 ≤ j ≤ s, tal que

A = a1ZQv1 + . . . + asZQv1. Dado xn_{∈ Q} v1 e j ∈ {1, . . . , s}, temos que ax_jn = zj 6nj xn = zj 6nj  2 3 n = zj2 n 3nj+n· 2nj ∈ Z[1/3] · 1 2nj.

Seja n0 = max{n1, . . . , ns}. Então,

Xxn := {ax₁n, . . . , ax_sn} ⊆ Z[1/3] · 1

2n0 ⊆ A,

onde Z[1/3] · 1

2n0 é subgrupo abeliano de A, logo

A = a1ZQv1 + . . . + asZQv1 ⊆ Z[1/3] · 1 2n0, isto é, A = Z[1/3] · 1 2n0. (2.1) Mas, 1 2n0+1 = 3n0+1 6n0+1 ∈ Ae 1 2n0+1 ∈ Z[1/3] ·/ 1 2n0, do contrário 1 2 pertenceria a Z[1/3] =  z 3m : m ∈ Z+∪ {0}, z ∈ Z 

, o que é absurdo. Temos, então, uma contradição com (2.1) (p. 94). Concluímos que A não é nitamente gerado como ZQv1-módulo à direita. De forma análoga,

mostramos que A não é nitamente gerado como (ZQ−v1)-módulo à direita. Desta forma,

temos que

ΣA(Q) = ∅.

Denição 2.14. Sejam Q um grupo abeliano livre nitamente gerado e A um ZQ-módulo nitamente gerado tal que AnnZQ(A) = µZQ, isto é, o anulador de A em ZQ é um ideal

principal gerado por µ ∈ ZQ. Denominamos q ∈ supp(µ) de "corner" de µ se existe v ∈ Hom(Q, R)\{0} tal que v(q) < v(x), ∀x ∈ supp(µ)\{q}.

Denição 2.15. Sejam Q um grupo abeliano livre nitamente gerado e A um ZQ-módulo nitamente gerado tal que AnnZQ(A) = µZQ, isto é, o anulador de A em ZQ é um ideal

principal gerado por µ ∈ ZQ. Cada "corner" q de µ dá origem a um conjunto não-vazio Cq = {[v] ∈ S(Q) : v(q) < v(x), ∀x ∈ supp(µ)\{q}}

= \

x∈supp(µ)\{q}

Hxq−1,

Observe que S(Q) =[

{Cq : q é um "corner" de µ}.

Proposição 2.11. Sejam Q um grupo abeliano livre nitamente gerado e A um ZQ-módulo nitamente gerado tal que AnnZQ(A) = µZQ, isto é, o anulador de A em ZQ é um ideal

principal gerado por µ ∈ ZQ, onde µ =X

x∈Q zxx com zx ∈ Z. a) Se µ = 0, então ΣA(Q) = ∅. b) Se µ 6= 0, então ΣA(Q) = [ {Cq : q é um "corner" de µ e zq ∈ {−1, 1}}.

Demonstração. a) Pela Proposição 2.3 (p. 85), temos que ΣA(Q) = ΣZQ/AnnZQ(A)(Q). Caso

µ = 0, então ZQ/AnnZQ(A) ∼= ZQ. Mas, ΣZQ(Q) = ∅, pois CZQ(ZQ) = 1Q.

b) (Ver [11, Lemma 23 (i), p. 289].)

Exemplo 2.3. Sejam Q o grupo abeliano livre gerado pelo conjunto {s, t}, A um ZQ-módulo nitamente gerado tal que AnnZQ(A) = µZQ, sendo

µ = ms−1t−1+ s−1+ t−1+ n + st ∈ ZQ,

onde m, n ∈ Z e |m| > 1. Temos que os "corners" de µ são s−1_t−1_{, s}−1_{, t}−1 _{e st, pois,}

tomando-se v1, v2, v3, v4 : Q → R tais que

v1(s) = 1 e v1(t) = 1

v2(s) = 1 e v2(t) = −1

v3(s) = −1 e v3(t) = 1

v4(s) = −1 e v4(t) = −1

observamos que v1, v2, v3, v4 ∈ Hom(Q, R)\{0} e

v1(s−1t−1) < v1(s−1), v1(t−1), v1(st), v1(1)

v2(s−1) < v2(s−1t−1), v2(t−1), v2(st), v2(1)

v3(t−1) < v3(s−1t−1), v3(s−1), v3(st), v3(1)

v4(st) < v4(s−1t−1), v4(s−1), v4(t−1), v4(1)

Veja que 1Qnão pode ser "corner" de µ. Por outro lado, somente s−1, t−1 e st tem coecientes

−1ou 1. Assim, pela Proposição 2.11 b) (p. 95), segue que ΣA(Q) = Cs−1 ∪ C_t−1∪ C_st.

Capítulo 3

Propriedades de Grupos de Tipo F P

∞

Neste capítulo R denotará um anel associativo com identidade arbitrário. Neste Capítulo descreveremos propriedades e denições básicas necessárias no desenvol- vimento da teoria de grupos de tipo F P∞, além de apresentar alguns teoremas que foram

ferramentas impotantes na demonstração do resultado principal desta Dissertação. Tais te- oremas ralacionam grupos de tipo F P∞ e o invariante geométrico Σ de Bieri-Strebel.

Denição 3.1. Seja I um conjunto de índices. Um R-módulo à direita F é dito livre se existe um conjunto B = {ai ∈ F : i ∈ I} tal que F ∼=

M

i∈I

aiR, onde aiR ∼= R (como

R-módulos), para todo i ∈ I. Assim, temos que F é uma soma direta de cópias de R. Denominamos B de base de F .

Proposição 3.1. Seja F um R-módulo à direita livre com base X. Então, dados M um R-módulo à direita e f : X → M uma função, existe um único homomorsmo de R-módulos à direita θ : F → M tal que θι = f, onde ι : X ,→ F é a função canônica inclusão, ou seja, o seguinte diagrama é comutativo:

F θ X ι OO f //M

Demonstração. (Ver [18, Proposition 2.34 (Extending by Linearity), p. 57].)

Proposição 3.2. Seja F um R-módulo à direita livre. Então, dados A, A0 _{R-módulos à}

direita, h : F → A0 _{um homomorsmo de R-módulos à direita e p : A  A}0 _{um epimorsmo}

de R-módulos à direita, existe um homomorsmo de R-módulos à direita g : F → A tal que pg = h, isto é, o seguinte diagrama é comutativo:

F

g

~~ h

A _p // //A0 //0 Demonstração. (Ver [18, Theorem 3.1, p.99].)

direita livre. Dito de outra forma, existem um R-módulo à direita livre F e um R-submódulo A de F tal que M ∼= F/A (isomorsmo de R-módulos). Além disso, M é um R-módulo à direita nitamente gerado se, e somente se, pudermos escolher, da forma acima, um R- módulo à direita livre F como sendo nitamente gerado.

(Ver [18, Theorem 2.35, p.58].)

Denição 3.2. Sejam {An}n∈Z uma família de R-módulos à direita e {ϕn: An → An−1}n∈Z

uma família de homomorsmos de R-módulos à direita. Dizemos que o seguinte diagrama é uma sequência de R-módulos à direita:

. . . −→ An+1 ϕn+1 −→ An ϕn −→ An−1 −→ . . . . E, sejam n ∈ Z+∪ {0}, {Ak}k∈Z

k≤n uma família de R-módulos à direita e {ϕk

: Ak → Ak−1}k∈Z k≤n

uma família de homomorsmos de R-módulos à direita. Dizemos que o seguinte diagrama é uma sequência parcial de R-módulos à direita:

An ϕn

−→ An−1 ϕn−1

−→ An−2 −→ . . . .

Denição 3.3. Dizemos que uma sequência de R-módulos à direita . . . −→ An+1

ϕn+1

−→ An ϕn

−→ An−1 −→ . . .

é uma sequência exata de R-módulos à direita se ker(ϕn) = Im(ϕn+1), ∀n ∈ Z. E

dizemos que a mesma é um complexo se ker(ϕn) ⊇ Im(ϕn+1), ∀n ∈ Z. Dizemos também

que uma sequência parcial de R-módulos à direita An

ϕn

−→ An−1 ϕn−1

−→ An−2 −→ . . .

é uma sequência parcial exata de R-módulos à direita se ker(ϕk) = Im(ϕk+1), ∀k < n.

Denição 3.4. Dizemos que uma sequência exata de R-módulos à direita 0 −→ A0 i

−→ A−→ Ap 00 −→0. é uma sequência exata curta de R-módulos à direita.

Denição 3.5. Sejam I, J conjuntos de índices, F um R-módulo à direita livre com base X = {xi ∈ F : i ∈ I} e Y = {

X

i∈I

xirji ∈ F : j ∈ J} um subconjunto de F . Se K é um R-

submódulo de F gerado por Y , dizemos que o R-módulo à direita M ∼= F/K tem geradores X e relações Y . Dizemos também que hX|Y i é uma apresentação de M. Dizemos ainda que M é um R-módulo à direita nitamente apresentável se existir uma sequência parcial exata de R-módulos à direita

Rm → Rn_{→ M →0,}

Observação 3.1. Um R-módulo à direita M é nitamente gerado se existir alguma apresen- tação hX|Y i de M tal que X é um conjunto nito e M é nitamente apresentável se existir alguma apresentação hX0_|Y0_{i de M tal que X}0 _{e Y}0 _{são nitos.}

Denição 3.6. Um R-módulo à direita P é dito projetivo se, para cada A, A0 _{R-módulos à}

direita, f : P → A0 _{um homomorsmo de R-módulos à direita e p : A  A}0 _{um epimorsmo}

de R-módulos à direita, sempre existir um homomorsmo de R-módulos à direita g : P → A tal que pg = f, isto é, o seguinte diagrama seja comutativo:

P

g

~~ f

A _p // //A0 //0

Observação 3.2. Pela Proposição 3.2 (p. 97) e pela Denição 3.6 (p. 99), segue que todo R-módulo à direita livre é R-módulo à direita projetivo.

Denição 3.7. Uma sequência exata curta de R-módulos à direita 0 −→ A0 i

−→ A−→ Ap 00 −→0

cinde se existe um homomorsmo de R-módulos à direita j : A00 _{→ A tal que pj = id} A00.

Proposição 3.3. Um R-módulo à direita P é projetivo se, e somente se, cada sequência exata curta de R-módulos à direita 0 −→ A i

−→ B −→ P −→p 0 cinde. Demonstração. (Ver [18, Proposition 3.3, p. 100].)

Proposição 3.4. Seja P um R-módulo à direita. Então, P é um R-módulo à direita projetivo se, e somente se, P é uma parcela direta de um R-módulo à direita livre, isto é, existe um R-módulo à direita livre F tal que F = P ⊕ A, onde A é algum R-submódulo de F . Além disso, existe epimorsmo de R-módulos ϕ : F  P .

Demonstração. (Ver [18, Theorem 3.5, p. 101].)

Denição 3.8. Seja A um R-módulo à direita. Uma resolução de tipo nito do R- módulo à direita A é uma sequência exata de R-módulos à direita

. . . −→ An dn −→ An−1 −→ . . . −→ A1 d1 −→ A0 d0 −→ A −→0

onde An é um R-módulo à direita nitamente gerado, ∀n ∈ Z+∪ {0}. E,dado n ∈ Z+∪ {0},

uma resolução parcial de tipo nito do R-módulo à direita A é uma sequência parcial exata de R-módulos à direita

An dn −→ An−1 −→ . . . −→ A1 d1 −→ A0 d0 −→ A −→0

à direita A é uma sequência exata de R-módulos à direita . . . −→ Pn dn −→ Pn−1 −→ . . . −→ P1 d1 −→ P0 d0 −→ A −→0

onde Pn é um R-módulo à direita projetivo, ∀n ∈ Z+ ∪ {0}. E,dado n ∈ Z+ ∪ {0}, uma

resolução parcial projetiva do R-módulo à direita A é uma sequência parcial exata de R-módulos à direita Pn dn −→ Pn−1−→ . . . −→ P1 d1 −→ P0 d0 −→ A −→0

onde Pk é um R-módulo à direita projetivo, ∀k ≤ n.

Denição 3.10. Seja A um R-módulo à direita. Uma resolução livre do R-módulo à direita A é uma sequência exata de R-módulos à direita

. . . −→ Fn dn −→ Fn−1 −→ . . . −→ F1 d1 −→ F0 d0 −→ A −→0

onde Fn é um R-módulo à direita livre, ∀n ∈ Z+∪{0}. E,dado n ∈ Z+∪{0}, uma resolução

parcial livre do R-módulo à direita A é uma sequência parcial exata de R-módulos à direita Fn dn −→ Fn−1−→ . . . −→ F1 d1 −→ F0 d0 −→ A −→0

onde Fk é um R-módulo à direita livre, ∀k ≤ n.

Denição 3.11. Dado n ∈ Z+∪ {0}, um R-módulo à direita A é de tipo F Pn se existe

uma resolução parcial projetiva de tipo nito do R-módulo à direita A Pn dn −→ Pn−1 −→ . . . −→ P1 d1 −→ P0 d0 −→ A −→0.

E, um R-módulo à direita A é de tipo F P∞ se existe uma resolução projetiva de tipo

nito do R-módulo à direita A . . . −→ Pn dn −→ Pn−1 −→ . . . −→ P1 d1 −→ P0 d0 −→ A −→0.

Observemos que um R-módulo à direita A de tipo F Pn é de tipo F Pk para todo k ∈

{0, 1, . . . , n}e um R-módulo à direita A de tipo F P∞ é de tipo F Pk para todo k ∈ Z+∪ {0}.

Denição 3.12. Seja G um grupo. Um ZG-módulo à direita A é dito trivial se G age trivialmente à direita sobre A1_.

Denição 3.13. Seja G um grupo. Dado n ∈ Z+∪ {0}, dizemos que G é um grupo de tipo

F Pn se o ZG-módulo à direita trivial Z é de tipo F Pn. E dizemos que G é um grupo de

tipo F P∞ se o ZG-módulo à direita trivial Z é de tipo F P∞.

Denição 3.14. Seja G um grupo. Denominamos a função ε : ZG → Z dada por ε(X g∈G xgg) = X g∈G xg,

onde xg ∈ Z, de augmentação e, denotando ker(ε) por Aug(ZG), denominamo-lo de ideal

augmentado.

Observação 3.3. Seja G um grupo. Observe que, se Z é ZG-módulo à direita trivial, a augmentação ε : ZG → Z é um epimorsmo de ZG-módulos à direita. Observe também que o ideal augmentado Aug(ZG) := ker(ε) é, de fato, um ideal do anel ZG.

Proposição 3.5. Todo grupo G é um grupo de tipo F P0.

Demonstração. Precisamos mostrar que o ZG-módulo à direita trivial Z é de tipo F P0, isto

é, que existe uma resolução parcial projetiva de tipo nito P0

d0

−→ Z −→0.

Como ε : ZG  Z é um epimorsmo de ZG-módulos à direita pela Observação 3.3 (p. 101), obtemos, então, a seguinte sequência parcial exata de ZG-módulos à direita

ZG−→ Z −→ε 0 (3.1)

Como ZG é ZG-módulo à direita livre, segue que ZG é ZG-módulo à direita projetivo pela Observação 3.2 (p. 99). E, obviamente, ZG é ZG-módulo à direita nitamente gerado. Portanto, temos que a sequência parcial exata em (3.1) (p. 101) é, de fato, uma resolução parcial projetiva de tipo nito.

Proposição 3.6. Todo grupo abeliano nitamente gerado Q é de tipo F P∞.

Demonstração. Seja ε : ZQ  Z a augmentação. Pelo Corolário 1.8 (p. 78) e pela Observa- ção 1.7 (p. 46), temos que ZQ é um anel comutativo noetheriano, logo Aug(ZQ) = ker(ε) é nitamente gerado como ZQ-submódulo de ZQ pela Proposição 1.45 (p. 71), daí que, pela Demonstração do Teorema 3.1 (p. 98), existem ZQ-módulo livre nitamente gerado F1 e ϕ1 : F1  ker(ε) epimorsmo de ZQ-módulos à direita. Denamos d1 := ι1ϕ1, onde

ι1 : ker(ε) ,→ ZQ é o homomorsmo de ZQ-módulos inclusão canônica. Segue que

Im(d1) = d1(F1) = ι1ϕ1(F1) = ι1(ker(ε)) = ker(ε).

Temos, então, a seguinte resolução parcial livre de tipo nito de ZQ-módulos F1

d1

−→ ZQ −→ Z −→ε 0.

Como F1 é ZQ-módulo nitamente gerado, segue que F1 é ZQ-módulo noetheriano pela Pro-

posição 1.46 (p. 72), portanto ker(d1)é ZQ-submódulo de F1 nitamente gerado. Podemos,

então, repetir o processo acima para construir um ZQ-módulo livre nitamente gerado F2

tal que a seguinte sequência é uma resolução parcial livre de tipo nito F2

d2

−→ F1 d1

−→ ZQ−→ Z −→ε 0,

onde d2 é denido de modo análogo a d1. Podemos repetir tal processo indenidamente,

obtendo, assim, uma resolução livre de tipo nito para o ZQ-módulo trivial Z. Usando a Observação 3.2 (p. 99) concluímos que Q é um grupo de tipo F P∞.

0 −→ A −→ A−→ A −→0

uma sequência exata curta de R-módulos. Se tal sequência cinde, então A ∼= A0⊕ A00_.

Demonstração. (Ver [18, Proposition 2.28, p. 52].) Lema 3.2 (Lema de Schanuel). Sejam

0 −→ K i

−→ P −→ M −→p 0 e 0 −→ K0 −→ Pi0 0 p

0

−→ M −→0

sequências exatas curtas de R-módulos à direita. Se P e P0 _{são R-módulos à direita projeti-}

vos, então P ⊕ K0 ∼

= P0⊕ K.

Demonstração. Seja Q = {(x, x0_{) ∈ P × P}0 _{: p(x) = p}0_(x0_{)}. Observe que Q é R-submódulo}

de P × P0_{. Observe também que o seguinte diagrama é comutativo e possui linhas e colunas}

exatas 0  0  K0 idK0 // ϕ0  K0 i0  0 //_K ϕ _// idK  Q π0 // π  P0 // p0  0 0 //_K i //P p //  M //  0 0 0

onde ϕ0 _{: K}0 _{→ Q está denida por ϕ}0_(k0_{) = (0, i}0_(k0_{)), ϕ : K → Q está denida por}

ϕ(k) = (i(k), 0), π0 : Q → P0 está denida por π(x, x0) = x0 e π : Q → P está denida por π(x, x0) = x. Como P e P0 são R-módulos à direita projetivos, pela Proposição 3.3 (p. 99), temos que as seguintes sequências exatas curtas

0 −→ K0 _{−→ Q}ϕ0 π

−→ P −→0 e 0 −→ K −→ Qϕ −→ Pπ0 0 −→0 cindem e, portanto, pelo Lema 3.1 (p. 102), P ⊕ K0 _∼

= Q ∼= P0⊕ K.

Proposição 3.7. Seja M um R-módulo à direita. As seguintes armações são equivalentes: i) Existe uma sequência exata Rm _{→ R}n _{→ M →0 para alguns m, n ∈ Z}

+.

ii) Existe uma sequência exata P1 → P0 → M → 0 para alguns R-módulos à direita

projetivos nitamente gerados P0 e P1.

iii) M é R-módulo à direita nitamente gerado e, para cada R-módulo à direita projetivo nitamente gerado P e epimorsmo de R-módulos à direita ϕ : P  M, temos que ker(ϕ) é R-submódulo nitamente gerado.

Demonstração. (Ver [9, (4.1) Proposition, p. 192].) Proposição 3.8. Seja M um R-módulo à direita.

a) M é R-módulo à direita nitamente gerado se, e somente se, M é R-módulo à direita de tipo F P0.

b) M é R-módulo à direita nitamente apresentável se, e somente se, M é R-módulo à direita de tipo F P1.

Demonstração. a) Pelo Teorema 3.1 (p. 98), temos a seguinte sequência parcial exata de R-módulos à direita:

F0 → M →0, (3.2)

onde F0 é R-módulo à direita livre. Da Demonstração do Teorema 3.1 (p. 98), segue

que se M é R-módulo à direita nitamente gerado, então podemos contruir F0 como

sendo um R-módulo à direita livre nitamente gerado. Usando (3.2) (p. 103) temos que M é R-módulo à direita de tipo F P0.

Caso M seja R-módulo à direita de tipo F P0, então temos a sequinte resolução parcial

projetiva de tipo nito

P0 d0

−→ M −→0

Daí que M ∼= P0/ker(d0), sendo este último um R-módulo à direita nitamente gerado,

visto que P0 o é. Portanto, M é R-módulo à direita nitamente gerado.

b) Consequência imediata da Proposição 3.7 (p. 102).

Lema 3.3. Sejam G um grupo e H um subgrupo de G. Então, temos a seguinte igualdade de ZH-módulos à direita:

ZG =M

t∈T

tZH,

onde T é uma transversal à esquerda de H em G, isto é, G =

•

[

t∈T

tH e T ⊆ G. Dito de outra forma, ZG é ZH-módulo à direita livre.

Demonstração. Para todo t ∈ T , temos que tZH ⊆ ZG, logo X

t∈T

tZH ⊆ ZG. Para mostrar- mos a inclusão recíproca, dado λ = X

g∈G

xgg ∈ ZG, com xg ∈ Z, segue que existe n ∈ Z+

tal que λ = n X i=1 xgigi = n X i=1 xgi(tihi) = n X i=1 ti(xgihi), onde gi ∈ G, ti ∈ T e hi ∈ H, pois G = • [ t∈T

tH. Temos que ti(xgihi) ∈ tiZH para 1 ≤ i ≤ n, logo λ ∈

s

X

j=1

tijZH, onde

j=1 j=1 teremos que λ ∈ s M j=1 tijZH ⊆ M t∈T tZH e, portanto, ZG ⊆ M t∈T

tZH. Vamos mostrar, então, que s X j=1 tijZH = s M j=1

tijZH. Para isso basta mostrarmos que, para todo k ∈ {1, . . . , s},

tikZH ∩ ( s X j=1 j6=k tijZH) = 0. Dado k ∈ {1, . . . , s}, seja α ∈ tikZH ∩ ( s X j=1 j6=k tijZH). Então, α = tik X h∈H xk_hh = X h∈H xk_h(tikh) e α = s X j=1 j6=k tij( X h∈H xj_hh) = s X j=1 j6=k X h∈H xj_h(tijh). Segue que s X j=1 j6=k X h∈H xj_h(tijh) + X h∈H (−xk_h)(tikh) = 0ZG. (3.3)

Como G é união disjunta das classes laterais tH, concluímos que ti_j1h 6= ti_j2h0, para todos

j1, j2 ∈ {1, . . . , s} tais que j1 6= j2 e para todo h, h0 ∈ H, daí que por (3.3) (p. 104) xlh = 0,

para todo l ∈ {1, . . . , s} e para todo h ∈ H e, portanto, α = 0ZG.

Lema 3.4. Seja G um grupo. Então, Aug(ZG) é Z-módulo livre com base B = {g − 1 ∈ ZG : g ∈ G e g 6= 1G}.

Demonstração. É fácil ver que B é um conjunto Z-linearmente independente. Basta, então, mostrarmos que B gera Aug(ZG). Dado λ = X

g∈G

xgg ∈ Aug(ZG), segue que

X g∈G xg = 0, daí que λ = X g∈G xgg − X g∈G xg = X g∈G

xg(g − 1). Portanto, B gera Aug(ZG). Assim, Aug(ZG) =

M

g∈G g6=1G

Z(g − 1).

Denição 3.15. Um R-módulo à direita A é dito plano se o funtor A ⊗R− é exato, isto é,

dada uma sequência exata curta de R-módulos à esquerda 0 −→ B0 i −→ B −→ Bp 00−→0, então a sequência 0 −→ A ⊗RB0 id A⊗i −→ A ⊗RB idA⊗p −→ A ⊗RB00−→0

é uma sequência exata curta de grupos abelianos.

E um R-módulo à esquerda B é dito plano se o funtor − ⊗RB é exato, isto é, dada uma

sequência exata curta de R-módulos à direita

então a sequência 0 −→ A0 _⊗ RB i⊗idB −→ A ⊗RB p⊗idB −→ A00_⊗ RB −→0

é uma sequência exata curta de grupos abelianos2_.

Lema 3.5. Seja G um grupo. Então, G é um grupo nitamente gerado se, e somente se, Aug(ZG) é nitamente gerado como ideal à direita do anel de grupo ZG, isto é, Aug(ZG) é nitamente gerado como ZG-submódulo do ZG-módulo à direita ZG.

Demonstração. Primeiramente vamos mostrar que se G é um grupo nitamente gerado, então Aug(ZG) é nitamente gerado como ZG-submódulo do ZG-módulo à direita ZG. Seja G = hXi, onde X é um subconjunto arbitrário de G, vamos demonstrar que o conjunto

X = {x − 1 ∈ ZG : x ∈ X}

gera Aug(ZG) como ZG-submódulo do ZG-módulo à direita ZG. É fácil ver que o ZG- submódulo do ZG-módulo à direita ZG gerado por X está contido em Aug(ZG), ou seja,

X

x∈X

(x − 1)ZG ⊆ Aug(ZG),

uma vez que x − 1 ∈ Aug(ZG), ∀x ∈ X e Aug(ZG) é ideal de ZG. Agora, dado g ∈ G, temos que g = xε1

1 . . . xεnn, onde n ∈ Z+, xj ∈ X, εj ∈ {−1, 1} e 1 ≤ j ≤ n. Vamos mostrar por

indução sobre n que g − 1 ∈X

x∈X

(x − 1)ZG. Para n = 1, temos que x1− 1 ∈ (x1− 1)ZG ⊆

X x∈X (x − 1)ZGe x−1₁ − 1 = (x1− 1)(−x−11 ) ∈ (x1− 1)ZG ⊆ X x∈X (x − 1)ZG.

Para n > 1, segue, pela hipótese de indução, que g−1 = (xε1 1 −1)x ε2 2 x ε3 3 . . . x εn n +(x ε2 2 x ε3 3 . . . x εn n −1) ∈ (x1−1)ZG+ X x∈X (x−1)ZG ⊆X x∈X (x−1)ZG.

Pelo Lema 3.4 (p. 104) e pelo que foi visto acima, concluímos que Aug(ZG) ⊆X

x∈X

(x − 1)ZG. Assim, Aug(ZG) = X

x∈X

(x − 1)ZG. Se G é grupo nitamente gerado, temos que existe um subconjunto nito X de G tal que G = hXi, logo X como acima é também um conjunto nito e, portanto, Aug(ZG) é nitamente gerado como ZG-submódulo do ZG-módulo à direita ZG.

Suponhamos agora que Aug(ZG) seja nitamente gerado como ZG-submódulo do ZG- módulo à direita ZG. Então,

Aug(ZG) =

n

X

i=1

λiZG,

2_{As denições de idA⊗i, idA⊗p, i⊗idB e p⊗idBencontram-se em [18, Proposition 2.46, p. 74 e Theorem}

g − 1 ∈ Aug(ZG), ∀g ∈ G). Podemos escrever, então, λi = g∈G xgig com g∈G xgi = 0, onde xgi ∈ Z. Agora λi = X g∈G xgig − X g∈G xgi = X g∈G xgi(g − 1) = X g∈G (g − 1)xgi, daí que λi ∈ X g∈supp(λi) (g − 1)Z ⊆ X g∈supp(λi) (g − 1)ZG, pois Z ⊆ ZG. Assim, Aug(ZG) = n X i=1 λiZG ⊆ n X i=1 X g∈supp(λi) (g − 1)ZG ⊆ Aug(ZG),

onde esta última continência acontece, pois Aug(ZG) é ideal de ZG. Portanto, Aug(ZG) = n X i=1 g∈supp(λi) (g − 1)ZG. Seja X = {g1, . . . , gm} = n [ i=1 supp(λi). Então, Aug(ZG) = m X j=1 (gj− 1)ZG. (3.4) Denamos S := hXi,

que é subgrupo de G. Pelos parágrafos precedentes, como S é gerado por X, segue que Aug(ZS) é gerado, como ZS-submódulo do ZS-módulo ZS, por {gj− 1 ∈ ZS : 1 ≤ j ≤ m},

isto é, Aug(ZS) = m X j=1 (gj− 1)ZS. Logo, Aug(ZS) · ZG = ( m X j=1 (gj − 1)ZS) · ZG = m X j=1 (gj − 1)ZG = Aug(ZG), ou seja, Aug(ZG) = Aug(ZS) · ZG. (3.5)

Veja que podemos escrever G =

•

[

t∈T

St, onde T é uma transversal à direita de S em G. Logo, por uma variação do Lema 3.3 (p. 103), ZG =M

t∈T

livre, o que implica que ZG é ZS-módulo à esquerda plano por [18, Proposition 3.46 (iii), p. 132] e a Observação 3.2 (p. 99) e, portanto, o funtor − ⊗ZSZG é exato. Considerando,

então, a seguinte sequência exata curta de ZS-módulos à direita 0 −→ Aug(ZS) ι

−→ ZS −→ Z −→ε 0,

onde ι é o homomorsmo de ZS-módulos à direita inclusão canônica, ε é a augmentação e Z é ZS-módulo à direita trivial, temos que a sequência de Z-módulos

0 −→ Aug(ZS) ⊗ZSZG ι∗

−→ ZS ⊗ZSZG ε∗

−→ Z ⊗ZSZG −→ 0 (3.6)

também é exata curta, onde ι∗ = ι ⊗ idZG e ε∗ = ε ⊗ idZG. Observe agora que

ZS ⊗ZSZG ∼= ZG como Z-módulos,

onde o isomorsmo é dado por

ψ : µ ⊗ λ 7→ µλ,

com µ ∈ ZS e λ ∈ ZG. Usando ainda o isomorsmo ψ e (3.5) (p. 106), segue que Aug(ZS) ⊗ZSZG ∼= Aug(ZS) · ZG = Aug(ZG),

onde tal isomorsmo é também de Z-módulos. Agora, por uma variação do Lema 3.3 (p. 103) e por [17, Theorem 2.8, p. 33], concluímos que

Z ⊗ZSZG = Z ⊗ZS( M t∈T ZSt) ∼=M t∈T (Z ⊗ZSZSt) ∼= (Z ⊗ZSZS) ⊕ . . . ⊕ (Z ⊗ZSZS) | {z } |T | _vezes ∼ = ∼_{= Z ⊕ . . . ⊕ Z} | {z } |T | vezes ∼₌M t∈T Zt,

onde tais isomorsmos acima também são de Z-módulos. Sendo assim, da sequência exata curta (3.6) (p. 107) obtemos a seguinte sequência exata curta de Z-módulos:

0 −→ Aug(ZG) α

−→ ZG−→β M

t∈T

Zt −→0,

onde α é induzida por ι∗ e β é induzida por ε∗. Como a augmentação ε : ZG  Z é

epimorsmo de ZG-módulos à esquerda, temos o seguinte isomorsmo de ZG-módulos à esquerda:

ZG/Aug(ZG) ∼= Z.

Por outro lado, temos as seguintes igualdades e isomorsmos de Z-módulos: M

t∈T

Zt = Im(β) ∼= ZG/ker(β) = ZG/Im(α) ∼= ZG/Aug(ZG) ∼= Z. Segue, então, que

Z ∼=M

t∈T

Z ⊗ZQ ∼=Q como Q-espaços vetoriais.

E, por outro lado, pelos resultados em [17, Theorem 2.8, p. 33 e Exercise 2.25, p.34],

(M t∈T Zt) ⊗ZQ ∼= (Z ⊗ZQ) ⊕ . . . ⊕ (Z ⊗ZQ) | {z } |T | vezes ∼ =Q ⊕ . . . ⊕ Q | {z } |T | vezes

como Q-espaços vetoriais. Logo, usando (3.7) (p. 107), segue que

Q ⊕ . . . ⊕ Q

| {z }

|T | _vezes

∼

=Q (isomorsmo de Q-espaços vetoriais). Mas, dimQQ = 1 e dimQ(Q ⊕ . . . ⊕ Q

| {z }

|T | vezes

) = |T |, logo |T | = 1 e, portanto, [G : S] = 1, ou seja, G = S. Daí que G = hXi, onde X = {g1, . . . , gm}, isto é, G é um grupo nitamente

gerado.

Lema 3.6. Seja G um grupo. Então, G é um grupo nitamente gerado se, e somente se, Z é nitamente apresentável como ZG-módulo à direita trivial.

Demonstração. Se G é um grupo nitamente gerado, então, pelo Lema 3.5 (p. 105), Aug(ZG) é nitamente gerado como ideal à direita do anel de grupo ZG, isto é, Aug(ZG) é nitamente gerado como ZG-submódulo do ZG-módulo à direita ZG. Como a augmentação ε : ZG  Z é epimorsmo de ZG-módulos à direita, temos o seguinte isomorsmo de ZG-módulos à direita:

ZG/Aug(ZG) ∼= Z.

Agora, ZG é ZG-módulo à direita livre nitamente gerado, e como Aug(ZG) é ZG-submódulo nitamente gerado, concluímos que Z é nitamente apresentável como ZG-módulo à direita. Suponhamos agora que Z seja nitamente apresentável como ZG-módulo à direita trivial. Então, existe uma sequência exata de ZG-módulos à direita ZGm _{→ ZG}n _{→ Z → 0 para}

alguns m, n ∈ Z+, logo, pela Proposição 3.7 (p. 102), como ε : ZG  Z é epimorsmo

de ZG-módulos à direita e ZG é ZG-módulo à direita livre nitamente gerado, portanto projetivo nitamente gerado, temos que ker(ε) = Aug(ZG) é ZG-submódulo nitamente gerado, ou seja, Aug(ZG) é nitamente gerado como ideal à direita do anel de grupo ZG. Segue do Lema 3.5 (p. 105) que G é um grupo nitamente gerado.

Proposição 3.9. Seja G um grupo. Então, G é um grupo de tipo F P1 se, e somente se, G

é um grupo nitamente gerado.

Demonstração. Pelo Lema 3.6 (p. 108), G é um grupo nitamente gerado se, e somente se, Z é nitamente apresentável como ZG-módulo à direita trivial, o que é equivalente à existência de uma sequência parcial exata de ZG-módulos à direita

ZGm → ZGn→ Z →0

para alguns m, n ∈ Z+. Esta última armação é equivalente ao fato de G ser grupo de tipo

F P1, uma vez que ZGm, ZGn são ZG-módulos à direita projetivos nitamente gerados, já

que são ZG-módulos à direita livres nitamente gerados, onde estamos usando a Proposição 3.7 (p. 102).

Lema 3.7. Sejam

0 → Pn → . . . → P0 → M →0 e 0 → Pn0 → . . . → P 0

0 → M →0

sequências exatas de R-módulos à direita. Se Pi, Pi0 são R-módulos à direita projetivos para

0 ≤ i ≤ n − 1, então

P0⊕ P10 ⊕ P2⊕ P30 ⊕ . . . ∼= P 0

0⊕ P1⊕ P20⊕ P3⊕ . . .

Consequentemente, se Pi, Pi0 são R-módulos à direita nitamente gerados para 0 ≤ i ≤ n − 1,

então Pn é R-módulo à direita nitamente gerado se, e somente se, Pn0 é R-módulo à direita

nitamente gerado.

Demonstração. (Ver [9, (4.4) Lemma, p. 193].)

Proposição 3.10. Sejam M um R-módulo à direita e n ∈ Z+∪{0}. As seguintes armações

são equivalentes:

i) Existe uma resolução parcial Fn−→ . . . −→ F0 −→ M −→ 0 onde cada Fi é R-módulo

à direita livre nitamente gerado para 0 ≤ i ≤ n; ii) M é um R-módulo à direita de tipo F Pn;

iii) M é um R-módulo à direita nitamente gerado e, para toda resolução parcial projetiva de tipo nito Pk

dk

−→ . . . −→ P0 −→ M −→ 0 com k < n, ker(dk) é R-submódulo

nitamente gerado.

Demonstração. Pela Observação 3.2 (p. 99), i) implica ii) trivialmente.

Vamos mostrar que ii) implica iii). Suponhamos que M seja um R-módulo à direita de tipo F Pn. Primeiramente, observemos que M é, pelo menos, um R-módulo à direita

de tipo F P0, logo um R-módulo à direita nitamente gerado pela Proposição 3.8 a) (p.

103). Agora, para todo k < n, existe uma resolução parcial projetiva de tipo nito P0 k

d0_k

−→ . . . −→ P₀0 −→ M −→ 0 do R-módulo à direita M e, portanto, temos que ker(d0

k) é um

R-submódulo de P_k0 nitamente gerado, uma vez que ker(d0_k) = Im(d_k+10 ) = d0_k+1(P_k+10 ), sendo este último um R-submódulo de P0

k nitamente gerado, pois Pk+10 é um R-módulo

nitamente gerado. Pelo Lema 3.7 (p. 109), para qualquer outra resolução parcial projetiva de tipo nito Pk

dk

−→ . . . −→ P0 −→ M −→ 0 do R-módulo à direita M, temos que ker(dk)

é R-submódulo de Pk nitamente gerado e, portanto, temos a validade de iii).

Mostraremos agora que iii) implica i). A demonstração seguirá por indução sobre n ≥ 0.

No documento Pontos fixos por grupos finitos agindo sobre grupos solúveis de tipo FP infinito (páginas 110-142)