1.1 Propriedades Básicas de Grupos e De nições Preliminares
1.1.6 Alguns Resultados sobre Grupos Finitamente Apresentáveis
Grupos Livres
A noção de Grupo Livre é importante neste trabalho, pois é a base para explicar o conceito de Extensão HNN, que, por sua vez, faz parte da de nição de Grupo Construtível. Adiante nesta Dissertação apresentaremos um resultado que relaciona grupos construtíveis e o invariante geométrico Σ de Bieri-Strebel. Tal resultado é uma ferramenta muito importante para obtenção do resultado principal desta Dissertação, obtido do artigo [14].
De nição 1.20. Seja X um conjunto. Um grupo livre com base X é um par ordenado (G, i), onde G é um grupo e i : X → G é uma função, sendo esse par solução do seguinte problema universal: para cada grupo H e função f : X → H, existe um único homomor smo de grupos θ : G → H tal que θi(x) = f(x), ∀x ∈ X, isto é, o seguinte diagrama é comutativo:
X i // f G θ ~~ H
Teorema 1.6. Sejam X um conjunto e (G1, i1), (G2, i2) dois grupos livres com a mesma
base X. Então, existe um único isomor smo de grupos η entre G1 e G2 tal que ηi1 = i2.
Reciprocamente, sendo ainda X um conjunto, sejam (G, i) grupo livre com base X e H um grupo. Se η : G → H é um isomor smo de grupos, então (H, ηi) é grupo livre com base X. Demonstração. Pela propriedade universal da de nição de grupo livre temos os seguintes diagramas comutativos: X i1 // i2 G1 θ1 ~~ G2 X i2 // i1 G2 θ2 ~~ G1
isto é, existem únicos homomor smos de grupos θ1 : G1 → G2 e θ2 : G2 → G1 tais que
θ1i1 = i2 e θ2i2 = i1. Logo, (θ2θ1)i1 = θ2(θ1i1) = θ2i2 = i1, ou seja, θ2θ1 torna o seguinte
diagrama comutativo: X i1 // i1 G1 θ2θ1 ~~ G1
Mas, idG1 : G1 → G1 é também homomor smo de grupos que torna esse mesmo diagrama
comutativo, pois idG1i1 = i1, isto é,
X i1 // i1 G1 idG1 ~~ G1
Pela unicidade na propriedade universal do grupo livre (G1, i1) temos que θ2θ1 = idG1. E,
resulta que G1 e G2 são isomorfos como grupos, sendo η = θ1 o isomor smo entre eles, e
ηi1 = i2. Concluímos, portanto, que os grupos livres (G1, i1) e (G2, i2) são isomorfos.
Para demonstrar a a rmação recíproca, precisamos mostrar que, para cada grupo ˜H e uma função f : X → ˜H, existe um único homomor smo de grupos µ : H → ˜H tal que µ(ηi) = f, isto é, o seguinte diagrama é comutativo:
X ηi // f H µ ˜ H
Como (G, i) é grupo livre com base X, temos que existe um único homomor smo de grupos θ : G → ˜H tal que θi = f, ou seja, o subsequente diagrama comuta:
X i // f G θ ˜ H
Agora, tomando-se µ := θη−1, temos que θη−1 : H → ˜H é um homomor smo de grupos tal
que (θη−1
)(ηi) = θi = f, isto é, θη−1 satisfaz a propriedade universal requerida. Precisamos mostrar, então, a unicidade de um tal homomor smo satisfazendo tal propriedade universal. Seja, então, µ0 : H → ˜H homomor smo de grupos tal que µ0(ηi) = (µ0η)i = f, segue, pela
unicidade de θ satisfazendo a propriedade universal, que µ0
η = θ e, portanto, µ0 = (µ0η)η−1 = θη−1 = µ.
Proposição 1.22. Sejam X um conjunto e (G, i) um grupo livre com base X. Então, i é uma função injetiva.
Demonstração. Seja G = {f : X → Z | f é uma função}. Munindo G com a operação + onde, dados f, g ∈ G, de nimos (f + g)(x) := f(x) + g(x), temos, claramente, que G é grupo. De namos, ∀x ∈ X, fx ∈ G por fx(y) = 0, se y 6= x e fx(y) = 1, se y = x, ∀y ∈ X.
Agora, seja f : X → G de nida por f(x) = fx. Observemos que f é função injetiva, pois,
dados x1, x2 ∈ X, se f(x1) = f (x2), então fx1 = fx2, o que implica que x1 = x2. Pela
propriedade universal para o grupo livre (G, i) temos que existe um único homomor smo de grupos θ : G → G tal que θi = f, ou seja, o seguinte diagrama é comutativo:
X i // f G θ G
Como f é função injetiva e θi = f, segue que i é também função injetiva.
Sendo X um conjunto, faremos adiante a construção de um grupo livre com base X. Mostrando, assim, a existência de grupos livres.
De nição 1.21. Seja X um conjunto. De nimos um conjunto inverso3 de X como sendo
um conjunto X−1 tal que X−1∩ X = ∅ e tal que exista uma bijeção X → X−1 denotada por
x 7→ x−1.
De nição 1.22. Sejam X um conjunto, X−1 um conjunto inverso de X e {1} um conjunto
unitário disjunto de X e de X−1. Chamamos de alfabeto o par ordenado (X ∪X−1, 1), onde
X ∪ X−1 representa a união disjunta dos conjuntos X e X−1.
De nição 1.23. Seja (X ∪ X−1, 1) um alfabeto. Chamamos de letras os elementos y ∈
X ∪ X−1 e o elemento 1 pertencente ao conjunto unitário {1}. De nição 1.24. Seja (X ∪ X−1, 1) um alfabeto e n ∈ Z
+∪ {0}. Uma palavra não-vazia
wem (X ∪ X−1, 1) de comprimento n é uma n-upla w = (x1, . . . , xn) ∈ (X ∪ X−1)n, nesse
caso n ∈ Z+; a palavra vazia em (X ∪ X−1, 1) é a letra 1, cujo comprimento é de nido
como sendo 0, e uma palavra w em (X ∪X−1, 1) de comprimento n é uma palavra não-vazia,
nesse caso n ∈ Z+, ou é a palavra vazia, neste caso n = 0. Em particular, se y ∈ X ∪ X−1 é
uma letra, então y é uma palavra não-vazia em X ∪ X−1.
Notação 1.8. Sejam (X ∪ X−1, 1) um alfabeto e n ∈ Z +.
• Denotaremos o fato de uma palavra w em (X ∪ X−1, 1) ter comprimento n por |w| = n
e denotaremos o comprimento 0 da palavra vazia por |1| = 0; • Uma palavra não-vazia w em (X ∪ X−1, 1), onde w = (x
1, . . . , xn) ∈ (X ∪ X−1)n, será
denotada pela concatenação de elementos de X ∪ X−1, isto é, w = x
1x2. . . xn;
• ∀x ∈ X, de niremos x1 := x e x0 := 1.
De nição 1.25. Seja (X ∪ X−1, 1) um alfabeto. Denotamos por M(X) o conjunto de todas
as palavras (não-vazias e vazia) em (X ∪ X−1, 1). Em particular, X, X−1, {1} ⊆ M (X).
Observação 1.3. Sejam (X ∪ X−1, 1) um alfabeto e n, m ∈ Z +.
• Dadas w1 = x1x2. . . xn e w2 = y1y2. . . ym duas palavras não-vazias em (X ∪ X−1, 1),
a concatenação w1w2 forma uma nova palavra em (X ∪ X−1, 1) cuja forma é w1w2 =
x1x2. . . xny1y2. . . ym, onde, então, |w1w2| = |w1| + |w2|. De nimos a concatenação da
palavra vazia 1 com qualquer outra palavra w em (X ∪ X−1, 1) por w1 = w e 1w = w.
Em particular, se w = 1, então 11 = 1. De nindo-se dessa forma, temos que, de fato, |w1| = |w| + |1| = |w| + 0 = |w| e, analogamente, |1w| = |w|;
• Uma palavra w em (X ∪ X−1, 1) pode ser denotada por uma concatenação de letras
do alfabeto (X ∪ X−1, 1), isto é, w = xε1
1 x ε2
2 . . . xεnn, onde εj ∈ {−1, 0, 1}, xj ∈ X e
1 ≤ j ≤ n. Em particular, a palavra vazia 1 também pode ser denotada dessa forma, sendo 1 = x0
1x02. . . x0n, para quaisquer xj ∈ X e n ∈ Z+, onde 1 ≤ j ≤ n;
Doravante, usaremos essa notação para uma palavra w em (X ∪ X−1, 1).
• Dadas w1 = xε11x ε2 2 . . . xεnn e w2 = yδ11y δ2 2 . . . yδmm duas palavras em (X ∪ X −1, 1), onde
εj, δk ∈ {−1, 0, 1}, xj, yk ∈ X, 1 ≤ j ≤ n e 1 ≤ k ≤ m, então w1 = w2 se, e somente se,
n = m, xj = yj e εj = δj, com 1 ≤ j ≤ n.
De nição 1.26. Sejam (X ∪ X−1, 1) um alfabeto e n ∈ Z
+. A inversa de uma palavra
w = xε1 1 x ε2 2 . . . xεnn ∈ M (X), onde εj ∈ {−1, 0, 1}, xj ∈ X e 1 ≤ j ≤ n, é a palavra w−1 = x−εn n . . . x −ε2 2 x −ε1 1 .
Observação 1.4. Seja (X ∪ X−1, 1) um alfabeto.
• Dada uma palavra w ∈ M(X), (w−1)−1 = w;
• A inversa da palavra vazia 1 é ela mesma, em símbolos, 1−1 = 1, pois, dado x ∈ X,
1−1 = (x0)−1 = x−0 = x0 = 1.
De nição 1.27. Sejam (X ∪ X−1, 1) um alfabeto e n ∈ Z
+. Uma subpalavra de uma
palavra w = xε1
1 x ε2
2 . . . xεnn ∈ M (X), onde εj ∈ {−1, 0, 1}, xj ∈ X e 1 ≤ j ≤ n, é a palavra
vazia 1, ou é uma palavra u = xεr
r . . . xεss, onde 1 ≤ r ≤ s ≤ n. Observe que uma subpalavra
da palavra vazia 1 é a própria palavra vazia 1.
De nição 1.28. Seja (X ∪ X−1, 1) um alfabeto. Dadas w
1, w2 ∈ M (X), dizemos que w1 é
elementarmente equivalente a w2 (o que denotamos por w1 ∼0 w2) se
w1 = αβ e w2 = αxx−1β ou w1 = αβ e w2 = αx−1xβ
ou
w2 = αβ e w1 = αxx−1β ou w2 = αβ e w1 = αx−1xβ,
onde α, β ∈ M(X) (podendo ser a palavra vazia) e x ∈ X.
A relação ∼0 é chamada de equivalência elementar, a qual não é uma relação de
equivalência.
Observação 1.5. Seja (X ∪ X−1, 1) um alfabeto.
• Dadas w1, w2 ∈ M (X), pela De nição 1.28 (p. 30) w1 ∼0 w2 se, e somente se, w2 ∼0 w1.
• Dadas w1, w2, w ∈ M (X), pela De nição 1.28 (p. 30), se w1 ∼0 w2, então ww1 ∼0 ww2
e w1w ∼0 w2w.
Exemplo 1.3. Seja (X ∪ X−1, 1) um alfabeto. Dados x
1, x2 ∈ X, temos que
x1x2x−12 x −1
1 ∼0 x1x−11 = 1x1x−11 ∼0 1.
De nição 1.29. Seja (X ∪ X−1, 1) um alfabeto. Dadas w
1, w2 ∈ M (X), dizemos que w1
é equivalente a w2 (o que denotamos por w1 ∼ w2) se, dado n ∈ Z+, existirem palavras
α1, . . . , αn∈ M (X) tais que
w1 ∼0 α1 ∼0 . . . ∼0 αn ∼0 w2.
Lema 1.32. Seja (X ∪ X−1, 1) um alfabeto. A relação ∼ da De nição 1.29 (p. 30) é uma
Demonstração. Dados w1, w2, w3 ∈ M (X) e x ∈ X, temos que:
i) w1 ∼ w1, pois w1 = 1w1 ∼0 1xx−1w1 ∼0 1w1 = w1.
ii) Se w1 ∼ w2, então w2 ∼ w1. De fato, como w1 ∼ w2, segue que existem α1, . . . , αn ∈
M (X), onde n ∈ Z+, tais que w1 ∼0 α1 ∼0 . . . ∼0 αn ∼0 w2. Pela Observação 1.5 (p.
30), temos que w2 ∼0 αn∼0 . . . ∼0 α1 ∼0 w1.
iii) Se w1 ∼ w2 e w2 ∼ w3, então w1 ∼ w3. De fato, como w1 ∼ w2 e w2 ∼ w3, segue que
existem α1, . . . , αn, β1, . . . , βm ∈ M (X), onde n, m ∈ Z+, tais que
w1 ∼0 α1 ∼0 . . . ∼0 αn∼0 w2 e w2 ∼0 β1 ∼0 . . . ∼0 βm ∼0 w3,
logo w1 ∼0 α1 ∼0 . . . ∼0 αn ∼0 w2 ∼0 β1 ∼0 . . . ∼0 βm ∼0 w3 e, portanto, w1 ∼ w3.
De nição 1.30. Seja (X ∪ X−1, 1) um alfabeto. Dizemos que w ∈ M(X) é uma palavra
reduzida se w não possui subpalavra dos tipos xx−1, ou x−1x, onde x ∈ X.
Teorema 1.7 (Forma Normal para Grupos Livres). Seja (X ∪ X−1
, 1) um alfabeto. Então, ∀w ∈ M (X), existe uma única palavra reduzida w0 ∈ M (X) tal que w ∼ w0.
Demonstração. (Ver [10, Theorem 4 (Normal form theorem for free groups), p. 5] e [16, Lemma 4.74, p. 274].)
De nição 1.31. Seja (X ∪ X−1, 1) um alfabeto. De nimos F (X) como sendo o conjunto
das classes de equivalência segundo a relação de equivalência ∼ dada na De nição 1.29 (p. 30), isto é, F (X) = M(X)/ ∼. Denotaremos os elementos de F (X) por [w] = {v ∈ M(X) : w ∼ v}.
Notação 1.9. Seja (X ∪ X−1, 1) um alfabeto.
• Dada [w] ∈ F (X), de nimos [w]1 := [w] e [w]0 := [1].
Proposição 1.23. Seja (X ∪ X−1, 1) um alfabeto. Então, de nindo-se a seguinte operação:
∀[w1], [w2] ∈ F (X), [w1][w2] := [w1w2], temos que F (X) munido de tal operação é um grupo.
Demonstração. Primeiramente, observemos que, dadas w1, w2 ∈ M (X), temos que a conca-
tenação w1w2 é também uma palavra em X, isto é, w1w2 ∈ M (X).
Vamos mostrar que a operação considerada está bem de nida. Sejam [w1], [v1], [w2], [v2] ∈
F (X)tais que [w1] = [v1]e [w2] = [v2]. Temos, então, que w1 ∼ v1e w2 ∼ v2, ou seja, existem
α1, . . . , αn, β1, . . . , βm ∈ M (X), onde n, m ∈ Z+, tais que
w1 ∼0 α1 ∼0 . . . ∼0 αn ∼0 v1 e w2 ∼0 β1 ∼0 . . . ∼0 βm ∼0 v2.
Pela Observação 1.5 (p. 30) segue que
logo w1w2 ∼ w1v2 e w1v2 ∼ v1v2, daí que w1w2 ∼ v1v2 e, portanto, [w1w2] = [v1v2], isto é,
[w1][w2] = [v1][v2].
Dadas [w1], [w2], [w3] ∈ F (X), temos que [w1] [w2][w3]= [w1][w2w3] = [w1(w2w3)] =
[(w1w2)w3] = [w1w2][w3] = [w1][w2][w3]. Logo, a operação considerada é associativa.
Dada [w] ∈ F (X), temos que [w][1] = [w1] = [w] e [1][w] = [1w] = [w]. Portanto, [1] é o elemento neutro em relação à operação considerada.
Dada [w] ∈ F (X), temos que w = xε1
1 x ε2 2 . . . xεnn, onde εj ∈ {−1, 0, 1}, xj ∈ X e 1 ≤ j ≤ n, segue que [w][w−1] = [ww−1] = [xε1 1 x ε2 2 . . . x εn n x −εn n . . . x −ε2 2 x −ε1 1 ] = [1] e [w−1][w] = [w−1w] = [x−εn n . . . x −ε2 2 x −ε1 1 x ε1 1 x ε2 2 . . . xεnn] = [1]. De namos, então, [w]−1 := [w−1].
Teorema 1.8 (Existência de Grupo Livre). Sejam (X ∪X−1, 1)um alfabeto e i : X → F (X)
uma função de nida por i(x) = [x]. Então, (F (X), i) é um grupo livre com base X.
Demonstração. Sejam H um grupo e f : X → H uma função. Precisamos mostrar que existe um único homomor smo de grupos θ : F (X) → H tal que θi = f, ou seja, o seguinte diagrama é comutativo: X i // f F (X) θ || H
Mostraremos primeiramente a unicidade de um tal homomor smo de grupos θ. Supo- nhamos, então, que θ satisfaça a propriedade universal supracitada e seja ψ : F (X) → H um homomor smo de grupos que também satisfaça a mesma propriedade universal, isto é, ψi = f. Seja [w] ∈ F (X). Então, w = xε1
1 x ε2
2 . . . xεnn, onde n ∈ Z+, xj ∈ X, εj ∈ {−1, 0, 1},
com 1 ≤ j ≤ n. Temos que
ψ([w]) = ψ([xε1
1 x ε2
2 . . . xεnn]) = ψ([x1]ε1[x2]ε2. . . [xn]εn) =
= ψ([x1]ε1)ψ([x2]ε2) . . . ψ([xn]εn) = ψ([x1])ε1ψ([x2])ε2. . . ψ([xn])εn =
= ψ(i(x1))ε1ψ(i(x2))ε2. . . ψ(i(xn))εn = f (x1)ε1f (x2)ε2. . . f (xn)εn.
E, por outro lado,
θ([w]) = θ([xε1 1 x ε2 2 . . . x εn n ]) = θ([x1]ε1[x2]ε2. . . [xn]εn) = = θ([x1]ε1)θ([x2]ε2) . . . θ([xn]εn) = θ([x1])ε1θ([x2])ε2. . . θ([xn])εn =
= θ(i(x1))ε1θ(i(x2))ε2. . . θ(i(xn))εn = f (x1)ε1f (x2)ε2. . . f (xn)εn.
Daí que ψ = θ.
Vamos mostrar agora a existência de um tal homomor smo de grupos θ : F (X) → H. Seja [w] ∈ F (X) tal que w = xε1
1 x ε2 2 . . . xεnn, onde n ∈ Z+, xj ∈ X, εj ∈ {−1, 0, 1}, com 1 ≤ j ≤ n. De namos θ([w]) := θ([xε1 1 ])θ([x ε2 2 ]) . . . θ([x εn n ]) e θ([x εj j ]) := f (xj)εj.
Vamos nos certi car de que θ está bem de nida. Primeiramente, observemos que, dadas w, v ∈ M (X), se w ∼0 v, então θ([w]) = θ([v]). De fato, como w ∼0 v, segue que
w = αβ e v = αxx−1β, (1.5) ou w = αβ e v = αx−1 xβ, (1.6) ou v = αβ e w = αxx−1 β, (1.7) ou v = αβ e w = αx−1 xβ (1.8) onde x ∈ X e α, β ∈ M(X), com α = yδ1 1 y δ2 2 . . . ymδm e β = z γ1 1 z γ2 2 . . . zsγs, onde m, s ∈
Z+, yk, zl ∈ X e δk, γl ∈ {−1, 0, 1}, com 1 ≤ k ≤ m e 1 ≤ l ≤ s. Caso tenhamos (1.5) (p.
33), segue por de nição de θ que θ([v]) = θ([yδ1 1 ]) . . . θ([y δm m ])θ([x])θ([x −1 ])θ([zγ1 1 ]) . . . θ([z γs s ]) = = θ([yδ1 1 ]) . . . θ([y δm m ])f (x)f (x) −1 θ([zγ1 1 ]) . . . θ([z γs s ]) = = θ([yδ1 1 ]) . . . θ([y δm m ])θ([z γ1 1 ]) . . . θ([z γs s ]) = θ([αβ]) = θ([w]).
Analogamente, teremos a igualdade θ([v]) = θ([w]), caso tenhamos (1.6), (1.7), ou (1.8) (p .33). Agora, dados [w], [v] ∈ F (X), se [w] = [v], então w ∼ v, logo existem α1, . . . , αr ∈
M (X), onde r ∈ Z+, tais que w ∼0 α1 ∼0 . . . ∼0 αr ∼0 v, daí que
θ([w]) = θ([α1]) = . . . = θ([αr]) = θ([v])
e, portanto, θ está bem de nida.
θ é homomor smo de grupos, pois, dados [w], [v] ∈ F (X) tais que w = xε1
1 x ε2 2 . . . xεnn e v = yδ1 1 y δ2 2 . . . ymδm, onde n, m ∈ Z+, xj, yk ∈ X e εj, δk ∈ {−1, 0, 1}, com 1 ≤ j ≤ n e 1 ≤ k ≤ m, temos que θ([w][v]) = θ([wv]) = θ([xε1 1 ]) . . . θ([x εn n ])θ([y δ1 1 ]) . . . θ([y δm m ]) = θ([w])θ([v]).
Observação 1.6. Pela Proposição 1.22 (p. 28), temos que i : X → F (X) do Teorema 1.8 (p. 32) é injetiva, logo, sendo [X] = {[x] ∈ F (X) : x ∈ X}, temos uma bijeção X → [X], de nida por x ↔ [x]. Identi camos, portanto, X como um subconjunto de F (X). Pela construção de F (X) vemos que F (X) é gerado pelo conjunto [X] ⊆ F (X), isto é, F (X) = [X] . Assim, com tal identi cação feita pela bijeção acima, temos que F (X) é gerado pelo conjunto X. Desta forma, uma palavra [w] ∈ F (X) será escrita sem os colchetes, isto é, escreveremos w ∈ F (X), onde w = xε1
1 x ε2
2 . . . xεnn, com εj ∈ {−1, 0, 1}, xj ∈ X e 1 ≤ j ≤ n. Cada elemento
w ∈ F (X) tem única forma w = xε1
1 x ε2
2 . . . xεnn como palavra reduzida.
Notação 1.10. Seja (X ∪ X−1, 1) um alfabeto. Denotaremos por F (X) simplesmente o
grupo livre (F (X), i) com base X, onde i : X → F (X) é dada por i(x) = [x], conforme no Teorema 1.8 (p. 32).
De nição 1.32. Seja F (X) um grupo livre com base X. A cardinalidade de X é chamada de posto do grupo F (X).
Proposição 1.24. Sejam F (X), F (Y ) grupos livres com bases X e Y respectivamente. Se existe uma bijeção ϕ : X → Y , então existe um isomor smo de grupos θ : F (X) → F (Y ) tal que θ|X = ϕ.
Demonstração. (Ver [16, Proposition 4.77, p. 277].)
Teorema 1.9. Seja G um grupo. Então, G é quociente de algum grupo livre. Dito de outra forma, existem um grupo livre F (X) com base X, onde X é um conjunto, e H um subgrupo normal de F (X) tal que G ∼= F (X)/H (isomor smo de grupos).
Demonstração. Sejam S um subconjunto de G tal que G = hSi e f : S → G a função inclusão canônica4. Então, pela propriedade universal para grupos livres, temos o seguinte diagrama:
S i // f F (S) θ || G
onde i : S → F (S) é a função canônica na construção de grupo livre e θ é o único homo- mor smo de grupos tal que θi(s) = f(s) = s, ∀s ∈ S. Daí que θ : F (S) → G é sobrejetivo, pois, dado g ∈ G, temos que g = sε1
1 . . . sεnn, onde n ∈ Z+, sj ∈ S e εj ∈ {−1, 0, 1}, com
1 ≤ j ≤ n. Daí que g = sε1
1 . . . sεnn = (f (s1))ε1. . . (f (sn))εn = (θi(s1))ε1. . . (θi(sn))εn =
(θ([s1]))ε1. . . (θ([sn]))εn = θ([sε11. . . sεnn]) = θ([g]), onde [g] ∈ F (S). Pelo Teorema 1.1 (p.
3) (1o Teorema de Isomor smo para Grupos), segue que F (S)/ker(θ) ∼= Im(θ) = G, onde
ker(θ) C F (S). De namos, então, H := ker(θ). Grupos Finitamente Apresentáveis
De nição 1.33. Sejam G um grupo e R um subconjunto de G. Sendo RG = {g−1rg ∈ G :
r ∈ R, g ∈ G}, de nimos o fecho normal de R em G (ou o subgrupo normal de G gerado por R) como sendo o subgrupo de G gerado por RG, isto é, hRGi. Denotamos o
fecho normal de R em G por hRiG.
Lema 1.33. Sejam G um grupo e R um subconjunto de G. Então, o fecho normal de R em G é o menor subgrupo normal em G que contém R.
Demonstração. Observe primeiramente que R ⊆ hRiG, pois, ∀r ∈ R, r = 1−1
G r1G ∈ RG ⊆
hRGi = hRiG.
Vamos mostrar que hRiGC G. Para isso, basta mostrar que, ∀g ∈ G, ghRiGg−1 ⊆ hRiG.
Dado g ∈ G, seja x ∈ gRGg−1. Logo, x = g(h−1rh)g−1, onde r ∈ R e h ∈ G. Daí que
x = (hg−1)−1r(hg−1) ∈ RG. Como g ∈ gRGg−1 foi tomado arbitrário, segue que gRGg−1 ⊆
RG, logo hgRGg−1i ⊆ hRGi, ∀g ∈ G. Mas, hgRGg−1i = ghRGig−1, para todo g ∈ G xado.
Portanto, ghRiGg−1= ghRGig−1 ⊆ hRGi = hRiG, ∀g ∈ G.
Por m, vamos mostrar que hRiG é o menor subgrupo normal em G que contém R. Seja
B C G tal que R ⊆ B e B ⊆ hRiG. Seja x ∈ RG. Logo, x = g−1rg, onde g ∈ G e r ∈ R.
4Todo grupo G pode ser escrito de tal forma, pois podemos, em particular, tomar o subconjunto S como
o conjunto de todos os elementos do grupo G. Caso o subconjunto S seja o conjunto de todos os elementos de G, f = idS.
Daí que x = (g−1)r(g−1)−1 ∈ (g−1)R(g−1)−1 ⊆ g−1B(g−1)−1 = B, pois B C G. Como x ∈ RG
foi tomado arbitrário, segue que RG ⊆ B e, portanto, hRiG = hRGi ⊆ hBi = B. Assim,
B = hRiG.
Lema 1.34. Sejam G um grupo e R um subconjunto de G. Seja também F = {Hi C G :
R ⊆ Hi, i ∈ I} a família de todos os subgrupos normais de G que contêm R (onde I é um
conjunto de índices). Então,\
i∈I
Hi = hRiG.
Demonstração. Como hRiG
C G e R ⊆ hRiG, segue que hRiG ∈ F, logo \
i∈I Hi ⊆ hRiG. Agora,\ i∈I HiC G pelo Lema 1.2 (p. 4) e R ⊆ \ i∈I
Hi, portanto, pelo Lema 1.33 (p. 34), segue
que hRiG⊆\ i∈I Hi. Assim, hRiG = \ i∈I Hi.
De nição 1.34. Sejam G um grupo, (X ∪ X−1, 1) um alfabeto, F (X) o grupo livre com
base X e R um subconjunto de F (X), isto é, um subconjunto de palavras reduzidas em (X ∪ X−1, 1). Dizemos que G é um grupo apresentável se G ∼= F (X)/hRiF (X). Neste caso, dizemos que G tem uma apresentação hX|Ri e escrevemos G = hX|Ri.
Denominamos o conjunto X de conjunto de geradores5 (ou gerador) de G e o con-
junto R de relações em G.
Teorema 1.10. Todo grupo G possui uma apresentação.
Demonstração. Pela Demonstração do Teorema 1.9 (p. 34), temos que G ∼= F (S)/ker(θ), onde S é um subconjunto de G tal que G = hSi, F (S) é o grupo livre com base S e θ : F (S) → Gé o único homomor smo de grupos que faz o seguinte diagrama comutar:
S i // f F (S) θ || G
onde i : S → F (S) é a função canônica na construção de grupo livre e f : S → G é a função inclusão canônica. Da referida Demonstração segue que θ é epimor smo de grupos. Agora, hker(θ)iF (S) = hker(θ)F (S)i = ker(θ), pois ker(θ) C F (S), daí que
G ∼= F (S)/hker(θ)iF (S)
e, pela De nição 1.34 (p. 35), temos que G = hS| ker(θ)i é uma apresentação de G.
Lema 1.35. Seja G um grupo. Então, G é um grupo nitamente gerado se, e somente se, existe uma apresentação hX|Ri de G tal que X é nito.
5O termo "conjunto de geradores", a princípio, não coincide com o termo da De nição 1.15 (p. 24). No
Demonstração. Suponhamos que G seja um grupo nitamente gerado. Logo, existe um subconjunto nito S de G tal que G = hSi. Pela Demonstração do Teorema 1.10 (p. 35) segue que hS|ker(θ)i é uma apresentação de G tal que S é nito, onde θ é o mesmo da referida Demonstração.
Suponhamos agora que exista uma apresentação hX|Ri de G tal que X seja um conjunto nito. Por construção e pela Observação 1.6 (p. 33), F (X) é gerado pelo conjunto X, temos, então, que F (X) é grupo nitamente gerado, logo F (X)/hRiF (X) é grupo nitamente gerado
pela Proposição 1.18 (p. 24). Como G = hX|Ri, segue que G ∼= F (X)/hRiF (X) e, portanto, G é grupo nitamente gerado.
De nição 1.35. Seja G um grupo. Dizemos que G é um grupo nitamente apresentável se existe uma apresentação hX|Ri de G tal que tanto X, quanto R são conjuntos nitos.
O seguinte resultado é óbvio pelo que foi visto até então, no entanto vamos enunciá-lo meramente por registro.
Proposição 1.25. Seja G um grupo. Se G é um grupo nitamente apresentável, então G é um grupo nitamente gerado.
Demonstração. Como G é nitamente apresentável, existe uma apresentação hX|Ri de G tal que X e R são conjuntos nitos. Pelo Lema 1.35 (p. 35), temos que G é um grupo nitamente gerado.
Proposição 1.26. Sejam G um grupo e hX|Si uma apresentação de G tal que X é um conjunto nito. Se G é nitamente apresentável, então existe um subconjunto nito S1 ⊆ S
tal que G = hX|S1i.
Demonstração. (Ver [10, Proposition 17, p. 23].)
Proposição 1.27. Sejam G um grupo e H um subgrupo de G tal que [G : H] < ∞. Então, G é um grupo nitamente gerado se, e somente se, H é um grupo nitamente gerado. Demonstração. Suponhamos que H seja um subgrupo de G nitamente gerado. Então, pela Proposição 1.19 (p. 25), segue que G é um grupo nitamente gerado.
Suponhamos agora que G seja um grupo nitamente gerado. Então, pelo Lema 1.35 (p. 35), existe uma apresentação hX|Ri de G tal que X é um conjunto nito, isto é, G ∼= F (X)/hRiF (X), onde F (X) é o grupo livre com base X, e visto que X é um conjunto nito,
F (X) é grupo livre nitamente gerado. Sejam π : F (X) F (X)/hRiF (X) o homomor smo
de grupos projeção canônica e ϕ : F (X)/hRiF (X) → Gum isomor smo de grupos. De namos,
então, ψ : F (X) G por ψ := ϕπ, a qual é um epimor smo de grupos, pois π e ϕ o são. Daí que ψ−1(H) = π−1ϕ−1(H)é subgrupo de F (X) e, portanto, como ψ é epimor smo de grupos,
pela Proposição 1.2 a) (p. 6), [F (X) : ψ−1(H)] = [G : H] < ∞. Pelo Teorema (Forma Fraca
do Teorema de Schreier)6 em [10, Theorem 1 (weak form of Schreier's Theorem), p. 167],
segue que ψ−1(H) é subgrupo nitamente gerado de F (X). Como ψ(ψ−1(H)) = H, pela
Proposição 1.18 (p. 24), segue que H é subgrupo nitamente gerado de G.
6A Demonstração desse Teorema usa as noções de recobrimentos de grafos de grupos e grupos fundamen-
Proposição 1.28. Sejam G um grupo e H um subgrupo de G. Se G é um grupo abeliano- por- nito nitamente gerado, então H também o é.
Demonstração. Como G é um grupo abeliano-por- nito, existe A C G tal que A é grupo abeliano e G/A é grupo nito. Também, pela Proposição 1.9 (p. 11), temos que H é grupo abeliano-por- nito. Por hipótese, G é um grupo nitamente gerado e, como [G : A] = |G/A| < ∞, pela Proposição 1.27 (p. 36), segue que A é grupo nitamente gerado.
Considerando A ∩ H como um subgrupo de A, como A é grupo abeliano nitamente gerado, temos que A ∩ H também é grupo abeliano nitamente gerado pela Proposição 1.20 (p. 26). Agora, como A C G, segue que A ∩ H C H pelo Lema 1.3 (p. 4), logo H/(A ∩ H) é grupo quociente. Além disso, H/(A ∩ H) é grupo nito, já que, pelo Teorema 1.2 (p. 3) (2o Teorema de Isormor smo para Grupos), H/(A ∩ H) ∼= HA/A ≤ G/A, sendo este último
grupo nito. Assim, A ∩ H é grupo nitamente gerado e [H : A ∩ H] < ∞, portanto, pela Proposição 1.27 (p. 36), H é grupo nitamente gerado.
Proposição 1.29. Todo grupo nito G é um grupo nitamente apresentável.
Demonstração. Como G é um grupo nito, temos que G é grupo nitamente gerado, pois G = hGi. Daí que, pelo Lema 1.35 (p. 35), existe uma apresentação hX|Ri de G tal que X é conjunto nito, logo G ∼= F (X)/ker(θ) (onde F (X) é grupo livre com base X e o epimor smo de grupos θ : F (X) G é como na Demonstração do Teorema 1.10 (p. 35)) e F (X) é grupo nitamente gerado. Assim, como G é grupo nito, segue que F (X)/ker(θ) é grupo nito, isto é, [F (X) : ker(θ)] < ∞, o que implica que ker(θ) é grupo nitamente gerado pela Proposição 1.27 (p. 36), ou seja, existe subconjunto nito Y ⊆ ker(θ) tal que ker(θ) = hY i. Assim, como Y ⊆ hY iF (X) pelo Lema 1.33 (p. 34), segue que ker(θ) ⊆ hY i ⊆ hY iF (X) = ker(θ)F (X) = ker(θ), isto é, ker(θ) = hY iF (X). Portanto, G ∼= F (X)/hY iF (X) e,
assim, hX|Y i é uma apresentação de G onde X e Y são conjuntos nitos, daí que G é um grupo nitamente apresentável.
Teorema 1.11. Sejam G um grupo e H C G. Se H e G/H são grupos nitamente apresen- táveis, então G é um grupo nitamente apresentável.
Demonstração. Como H e G/H são grupos nitamente apresentáveis, temos que existem hX|Ri e hY |Si apresentações de H e G/H, respectivamente, tais que X, R, Y e S são con- juntos nitos. Temos, então, que existem epimor smos de grupos
π1 : F (X) H, onde ker(π1) = hRiF (X)
π2 : F (Y ) G/H, onde ker(π2) = hSiF (Y )
Além disso, podemos supor, conforme a Demonstração do Teorema 1.10 (p. 35), que X ⊆ H e Y ⊆ G/H. Assim,
π1|X = id|X e π2|Y = id|Y.
Podemos supor também que 1G/H ∈ Y/ e 1H ∈ X/ .
Seja
ρ : G G/H
o epimor smo de grupos projeção canônica. Para todo y ∈ Y ⊆ G/H, podemos escolher um y0 ∈ Gtal que ρ(y0) = y. Seja, então, Y0 ⊆ Go conjunto formado por tais elementos y0 ∈ G.
Observe que Y0 é um conjunto nito. Agora, podemos supor ainda que Y0 ∩ X = ∅, pois,
como 1G/H ∈ Y/ , segue que ρ(y0) 6= 1G/H, ∀y0 ∈ Y0 e, por outro lado, ρ(X) ⊆ ρ(H) = 1G/H.
Consideremos o seguinte diagrama X ∪ Y0 i1 // ι F (X ∪ Y0) π xx G
onde i1 é a função canônica da de nição de grupo livre, ι é a função inclusão canônica e π
é o único homomor smo de grupos que faz tal diagrama comutar, cuja existência se deve à propriedade universal do grupo livre F (X ∪ Y0). Temos, assim, que
π|X = id|X = π1|X e π|Y0 = id|Y0.
Temos ainda que π é sobrejetivo. De fato, Im(π) ⊇ hπ(X)i = hXi = H e, pelo Corolário 1.4 (p. 25), o fato de que G/H = hY i = hρ(Y0)iimplica que G = hY0iH. Como H, hY0i ⊆ Im(π),
segue que G ⊆ Im(π) e, portanto, G = Im(π).
Dado s ∈ S ⊆ F (Y ), de namos ˜s ∈ F (Y0) ⊆ F (X ∪ Y0) como sendo a palavra obtida de
s substituindo y ∈ Y por y0 ∈ Y0 e y−1 ∈ Y−1 (conjunto inverso) por y−10 ∈ Y −1
0 . Temos,
então, que ρ(π(˜s)) = s = 1G/H, logo π(˜s) ∈ ker(ρ) = H = hXi = hπ(X)i = π(hXi) e, daí
que, existe ws ∈ F (X) tal que π(˜s) = π(ws). Assim,
˜
sw−1s ∈ ker(π). (1.9)
Agora, hXi = H C G. Assim, ∀x ∈ X e ∀z ∈ X ∪ Y0, π(zxz−1) ∈ π(z)Hπ(z)−1 =
H = hXi = hπ(X)i = π(hXi), logo existe α(x, z) ∈ F (X) tal que π(zxz−1) = π(α(x, z)). Analogamente, temos que existe β(x, z) ∈ F (X) tal que π(z−1xz) = π(β(x, z)). Assim,
zxz−1α(x, z)−1 ∈ ker(π) e z−1xzβ(x, z)−1 ∈ ker(π). (1.10) De namos,
T := R ∪ ∆ ∪ Ω. Onde
∆ := {˜sw−1s }s∈S e Ω := {zxz−1α(x, z)−1, z−1xzβ(x, z)−1}x∈X, z∈X∪Y0
Veja que T é um conjunto nito. Seja G0 :=
F (X ∪ Y0)
hT iF (X∪Y0). Queremos mostrar que
G0 ∼= G.
Se assim o zermos, G terá apresentação hX ∪ Y0|T i. Como X, Y0 e T são conjuntos nitos,
concluíremos que G é um grupo nitamente apresentável.
Primeiramente, observemos que R ⊆ F (X) ⊆ F (X ∪ Y0), logo π(R) = π1(R) = 1H = 1G,
ou seja, R ⊆ ker(π). Esse último fato juntamente com (1.9) (p. 38) e (1.10) (p. 38) mostram que T ⊆ ker(π), logo hT iF (X∪Y0) ⊆ hker(π)iF (X∪Y0) = ker(π)e, portanto, pelo Lema 1.13 (p.
11), existe um homomor smo de grupos ψ : G0 → G dado por ψ(zhT iF (X∪Y0)) = π(z), para
toda classe lateral zhT iF (X∪Y0) ∈ G
0.
A m de que mostremos que G0 ∼= G, basta que mostremos que ψ é isomor smo de
grupos. Para isso usaremos o Lema 1.17 (p. 12). A seguir faremos as construções necessárias para aplicação de tal Lema.
Seja ρ1 : F (X ∪ Y0) G0 o epimor smo de grupos projeção canônica. Pela de nição de
ψ, segue que o seguinte diagrama é comutativo: F (X ∪ Y0) π // // ρ1 G G0 ψ ::
Como π é epimor smo de grupos e tal diagrama é comutativo, temos que ψ é também epimor smo de grupos.
De namos
H0 := hρ1(X)i.
Temos que ψ(H0) = ψ(hρ1(X)i) = hψρ1(X)i = hπ(X)i = hXi = H. Desta forma, a restrição
ψ|H0 : H0 → H é um epimor smo de grupos. Vamos mostrar agora que ψ|H0 é também
monomor smo de grupos. Para isso basta mostrarmos que ker(ψ|H0) = {1G0}. Seja, então,
h0 ∈ ker(ψ|H0) = ker(ψ) ∩ H0. Por um lado, h0 = ρ1(f ), onde f ∈ F (X). Por outro lado,
1G = ψ(h0) = ψρ1(f ) = π(f ) = π1(f ). Logo, f ∈ hRiF (X). Mas, como R ⊆ T , temos que
hRiF (X) ⊆ hT iF (X∪Y0)= ker(ρ
1). Assim, h0 = ρ1(f ) = 1G0. Como h0 ∈ ker(ψ|H0)foi tomado
arbitrário, segue que ker(ψ|H0) = {1G0}. Concluímos que
ψ|H0 é isomor smo de grupos.
Queremos mostrar agora que H0C G0. Isto é equivalente a
ρ1(z)H0ρ1(z)−1 ⊆ H0 e ρ1(z)−1H0ρ1(z) ⊆ H0, para todo z ∈ F (X ∪ Y0).
Como H0 é gerado por ρ1(X)e F (X ∪ Y0)é gerado por X ∪ Y0, basta mostrarmos que
ρ1(z)ρ1(x)ρ1(z)−1 ∈ H0 e ρ1(z)−1ρ1(x)ρ1(z) ∈ H0, para todos z ∈ X ∪ Y0 e x ∈ X.
Como Ω ⊆ T , temos que, para todos z ∈ X ∪ Y0 e x ∈ X,
ρ1(z)ρ1(x)ρ1(z)−1 = ρ1(zxz−1) = ρ1(zxz−1α(x, z)−1α(x, z)) =
= ρ1(zxz−1α(x, z)−1)ρ1(α(x, z)) = 1G0ρ1(α(x, z)) = ρ1(α(x, z)) ∈ H0.
Analogamente,
ρ1(z)−1ρ1(x)ρ1(z) = ρ1(β(x, z)) ∈ H0.
Como H0C G0, ψ : G0 G é epimor smo de grupos e ψ(H0) = H, pelo Lema 1.17 a) (p.
12), segue que ψ∗ : G0/H0 → G/H de nida por ψ∗(ξH0) = ψ(ξ)H, para toda classe lateral
ξ ∈ G0, é epimor smo de grupos. Pelo pelo Lema 1.17 b) (p. 12), inferimos que, se ψ|H0
e ψ∗ são isomor smos de grupos, então ψ é também isomor smo de grupos. Sendo assim,
Seja ˜π1 : F (Y0) → G/H um homomor smo de grupos de nido por
˜
π1 := ρπι1,
onde ι1 : F (Y0) ,→ F (X ∪ Y0) é o homomor smo de grupos inclusão canônica. Observe que
˜
π1(y0) = y0H = y ∈ Y, ∀y0 ∈ F (Y0).
Além disso, ˜π1 é sobrejetivo, pois G/H = hY i.
Como |Y0| = |Y |, existe uma bijeção ϕ : Y → Y0 dada por ϕ(y) = y0. Logo, pela
Proposição 1.24 (p. 34), existe isomor smo de grupos θ : F (Y ) → F (Y0) tal que θ(y) =
y0, ∀y ∈ Y. Temos, então, o seguinte diagrama comutativo, pois ˜π1 = pπι1:
F (Y ) π2 // θ G/H F (Y0) ˜ π1 ;; isto é, π2 = ˜π1θ.
Assim, pelo Lema 1.14 (p. 12),
θ(ker(π2)) = ker(˜π1).
De nindo-se ˜S := θ(S), como ker(π2) = hSiF (Y ), temos que
ker(˜π1) = θ(hSiF (Y )) = hθ(S)iθ(F (Y )) = h ˜SiF (Y0). (1.11)
Seja agora f : X ∪ Y0 → F (Y0) uma função de nida por
f (x) = 1F (Y0), ∀x ∈ X e f (y0) = y0, ∀y0 ∈ Y0.
Pela propriedade universal do grupo livre F (X ∪ Y0), existe um único homomor smo de
grupos p : F (X ∪ Y0) → F (Y0) tal que
p(x) = 1F (Y0), ∀x ∈ X e p(y0) = y0, ∀y0 ∈ Y0.
Observemos que p é sobrejetivo.
Seja ρ0 : G0 G0/H0 o epimor smo de grupos projeção canônica. De namos δ :
F (X ∪ Y0) → G0/H0 por
δ := ρ0ρ1.
Pela propriedade universal do grupo livre F (Y0), existe um único homomor smo de grupos
˜
π2 : F (Y0) → G0/H0 tal que o seguinte diagrama é comutativo:
Y0 i2 // δ|Y0 F (Y0) ˜ π2 zz G0/H0
onde i2 é a função canônica na de nição do grupo livre F (Y0) e δ|Y0 é a restrição de δ sobre Y0. Veja que ˜ π2p = δ, pois ˜ π2p(X ∪ Y0) = ˜π2(p(X) ∪ p(Y0)) = ˜π2({1F (Y0)} ∪ Y0) = ˜π2(Y0) = δ|Y0(Y0) = δ(Y0)
e, recordando que H0 = hρ1(X)i, temos que
δ(X ∪ Y0) = ρ0ρ1(X ∪ Y0) = ρ0(ρ1(X) ∪ ρ1(Y0)) =
ρ0ρ1(X) ∪ ρ0ρ1(Y0) = {1G0/H0} ∪ ρ0ρ1(Y0) = δ(Y0).
Além disso, observe que ˜π2 é sobrejetivo, pois ˜π2p = δ é sobrejetivo. Vamos mostrar agora
que o seguinte diagrama é comutativo F (Y0) ˜ π1 // // ˜ π2 G/H G0/H0 ψ∗ ::
Por um lado, ˜π1(y0) = y0H, ∀y0 ∈ Y0. Por outro lado, ∀y0 ∈ Y0,
ψ∗π˜2(y0) = ψ∗π˜2p(y0) = ψ∗δ(y0) =
= ψ∗ρ0ρ1(y0) = ψ∗(ρ1(y0)H0) = ψ(ρ1(y0))H = π(y0)H = y0H.
Assim, pela unicidade de ˜π1 na propriedade universal do grupo livre F (Y0), seque que
˜
π1 = ψ∗π˜2. (1.12)
Pelo Lema 1.15 (p. 12),
ψ∗ é isomor smo de grupos ⇔ ker(˜π1) = ker(˜π2). (1.13)
Como H0 = hρ1(X)i C G0, pelo Lema 1.16 (p. 12), temos que
ker(δ) = ker(ρ0ρ1) = ρ−11 (ker(ρ0)) = ρ−11 (H0) = ρ−11 ρ1(hXi)
e, como ker(ρ1) = hT iF (X∪Y0), pela Proposição 1.1 a) (p. 5),
ρ−11 ρ1(hXi) = hXiker(ρ1) = hXihT iF (X∪Y0) = hX ∪ TF (X∪Y0)i.
Logo,
ker(δ) = hX ∪ TF (X∪Y0)i
e, portanto,
Temos também o seguinte diagrama comutativo, onde os três homomor smos de grupos envolvidos são epimor smos de grupos:
F (X ∪ Y0) δ // // p G0/H0 F (Y0) ˜ π2 88 88
Daí que, pelo Lema 1.14 (p. 12),
ker(˜π2) = p(ker(δ)) = p(hT ∪ XiF (X∪Y0)) = hp(T ∪ X)iF (Y0).
Como p(X) = {1F (Y0)}, concluímos que
p(T ) = p(R) ∪ p(∆) ∪ p(Ω) = {1F (Y0)} ∪ {˜s}s∈S∪ {1F (Y0)}.
Observando que {˜s}s∈S = θ(S) = ˜S, concluímos que
ker(˜π2) = h ˜SiF (Y0).
Por (1.11) (p. 40), segue que ker(˜π1) = ker(˜π2). E, portanto, por (1.13) (p. 41), ψ∗ é
isomor smo de grupos.
Proposição 1.30. Todo grupo Q abeliano nitamente gerado é um grupo nitamente apre- sentável.
Demonstração. Como Q é um grupo abeliano nitamente gerado, pelo Teorema 1.5 (p. 26) temos que Q = F ⊕ K, onde F é um grupo abeliano livre e K = {q ∈ Q : |q| < ∞} é um grupo nito. Sendo assim, segue que F ∼= Q/K pelo Teorema 1.2 (p. 3) (2o Teorema de Isomor smo para Grupos), logo Q/K é grupo abeliano livre e também, pela Proposição 1.18 (p. 24), nitamente gerado e, portanto, nitamente apresentável, pois Q/K ∼= Zn, que é nitamente apresentável. Por outro lado, como K é grupo nito, concluímos também que K é grupo nitamente apresentável pela Proposição 1.29 (p. 37). Assim, pelo Teorema 1.11 (p. 37), concluímos que Q é grupo nitamente apresentável.
Proposição 1.31. Sejam H um grupo nitamente gerado, M um grupo nitamente apresen- tável e ρ : H M um epimor smo de grupos. Então, existem s ∈ Z+ e h1, · · · , hs ∈ ker(ρ)
tais que
ker(ρ) = hhH1 , · · · , hHs i, onde hH
j = {h−1hjh ∈ H : h ∈ H} para 1 ≤ j ≤ s.
Demonstração. Como H é nitamente gerado, pelo Lema 1.35 (p. 35), temos que existe apresentação hX|Ri de H tal que X é um conjunto nito, isto é, H ∼= F (X)/hRiF (X). Temos, então, os seguintes homomor smos de grupos:
X ,→ F (X)i π F (X) hRiF (X)
ϕ
onde i é a função canônica na construção do grupo livre F (X), π é o epimor smo de grupos projeção canônica e ϕ é um isomor smo de grupos. De namos τ : F (X) → M por τ := ρϕπ. Segue que τ é epimor smo de grupos, pois ρ, ϕ, π o são. Pelo Teorema 1.1 (p. 3) (1o Teorema de Isomor smo para Grupos), concluímos que M ∼= F (X)/ker(τ ), logo M ∼=
F (X)/hker(τ )iF (X), portanto hX|ker(τ)i é uma apresentação de M, onde X é conjunto nito. Pela Proposição 1.26 (p. 36), existe subconjunto nito S ⊆ ker(τ) tal que M = hX|Si com ker(τ ) = hSiF (X).
Observe agora que ker(ρ) = ϕπ(ker(τ)). De fato, se h ∈ ker(ρ), como ϕπ : F (X) H é epimor smo de grupos, existe w ∈ F (X) tal que h = ϕπ(w). Agora, τ(w) = ρϕπ(w) = ρ(h) = 1. Daí que w ∈ ker(τ) e, portanto, h ∈ ϕπ(ker(τ)). Por outro lado, dado h ∈ ϕπ(ker(τ )) ⊆ H, temos que h = ϕπ(w) tal que w ∈ ker(τ), logo ρ(h) = ρϕπ(w) = τ(w) = 1, isto é, h ∈ ker(ρ).
Desta forma, ker(ρ) = ϕπ(ker(τ)) = ϕπ(hSiF (X)) = ϕπ(hSF (X)i) = hϕπ(SF (X))i =
hϕπ(S)ϕπ(F (X))i = hϕπ(S)Hi = hϕπ(S)iH. Como S ⊆ ker(τ), então τ(S) = 1, o que