Aneis e Módulos Noetherianos

Nesta Subseção R denotará um anel associativo com identidade não necessariamente comutativo e, dado n ∈ Z+, R[X1, . . . , Xn] denotará o anel de polinômios no qual as in-

cógnitas X1, . . . , Xn comutam entre si e com todo elemento de R (no caso em que n = 1,

denotaremos X1 por X, isto é, denotaremos R[X1] por R[X]).

Todas as denições e resultados desta Subseção envolvendo módulos à direita podem ser feitas e obtidos, respectivamente, para módulos à esquerda de forma análoga.

Denição 1.54. Seja X um conjunto. Uma relação de ordem parcial em X é uma relação em X , denotada por , que satisfaz, para todos x, y, z ∈ X , as seguintes propriedades:

i) x  x (isto é,  é reexiva);

ii) se x  y e y  x, então x = y (isto é,  é antissimétrica); iii) se x  y e y  z, então x  z (isto é,  é transitiva).

Quando X é munido de uma tal relação, dizemos que X é um conjunto parcialmente ordenado.

Denição 1.55. Seja X um conjunto parcialmente ordenado munido de uma relação . Dizemos que x0 ∈ X é um elemento maximal em X se não existe x ∈ X tal que x0  x

e x0 6= x. E dizemos que x0 ∈ X é um elemento minimal em X se não existe x ∈ X tal

que x  x0 e x0 6= x.

Denição 1.56. Seja X um conjunto parcialmente ordenado munido de uma relação . Dizemos que uma sequência (xi)i∈Z+ em X é uma cadeia ascendente em X se x1  x2 

. . .e é uma cadeia descendente em X se x1  x2  . . .9.

Denição 1.57. Seja X um conjunto parcialmente ordenado munido de uma relação . Dizemos que uma cadeia ascendente ou descendente (xi)i∈Z+ em X é estacionária se existe

n ∈ Z+ tal que xn = xn+1 = . . ..

Proposição 1.42. Seja X um conjunto parcialmente ordenado munido de uma relação . São equivalentes as seguintes condições:

i) Toda cadeia ascendente (descendente) (xi)i∈Z+ em X é estacionária;

ii) Todo subconjunto não-vazio de X tem elemento maximal (minimal).

Demonstração. Vamos mostrar que i) implica ii) por contrapositiva. Suponhamos que exista um subconjunto Y ⊆ X tal que Y 6= ∅ e Y não possui elemento maximal (minimal). Tomemos y1 ∈ Y. Como Y não possui elemento maximal (minimal), existe y2 ∈ Y tal que y1  y2

(y1  y2) e y1 6= y2, mas y2 também não é elemento maximal (minimal) de Y, logo existe

y3 ∈ Y tal que y1  y2  y3 (y1  y2  y3) e y3 6= y2. Procedendo desta forma, obtemos

uma cadeia ascendente (descendente) (yi)i∈Z+ em Y, com yi 6= yi+1, isto é, não estacionária.

Como tal cadeia ascendente (descendente) também é uma cadeia ascendente (descendente) em X , obtemos a negação da armação i).

Vamos mostrar agora que ii) implica i). Seja (xi)i∈Z+ uma cadeia ascendente (descen-

dente) em X e consideremos Y = {x1, x2, . . .} ⊆ X. Logo, supondo ii), temos que Y possui

elemento maximal (minimal) xn ∈ Y, para algum n ∈ Z+, daí que xn = xn+1 = . . ., ou seja,

a cadeia ascendente (descendente) (xi)i∈Z+ é estacionária.

Denição 1.58. Sejam R um anel, A um R-módulo à direita e X o conjunto de R-submódulos de A parcialmente ordenado munido da relação ⊆. Dizemos que A é noetheriano se X sa- tiszer uma (portanto as duas) condições da Proposição 1.42 (p. 69) e dizemos que A é artiniano se X satiszer uma (portanto as duas) condições entre parênteses da Proposição 1.42 (p. 69).

Denição 1.59. Seja R um anel. R é dito anel noetheriano à direita (artiniano à direita) se R visto como R-módulo à direita é noetheriano (artiniano).

Observação 1.15. Sejam R um anel, X o conjunto de R-submódulos de R (onde R é visto como R-módulo à direita) parcialmente ordenado munido da relação ⊆ e X0 _{o conjunto dos}

ideais à direita de R parcialmente ordenado munido da relação ⊆. Notemos que I ⊆ R é ideal à direita de R se, e somente se, I é R-submódulo de R (onde R é visto como R-módulo à direita), ou seja, X = X0_{. Sendo assim, pela Denição 1.59 (p. 70), temos que R é dito}

anel noetheriano à direita se X0 _{satiszer uma (portanto as duas) condições da Proposição}

1.42 (p. 69) e dizemos que R é artiniano à direita se X0 _{satiszer uma (portanto as duas)}

condições entre parênteses da Proposição 1.42 (p. 69).

Lema 1.40. Sejam R um anel, I um conjunto de índices e {Bi : i ∈ I} uma família de

R-módulos à direita. Temos que \

i∈I

Bi é R-submódulo de Bi, ∀i ∈ I.

Demonstração. Sejam b1, b2 ∈

\

i∈I

Bi e r ∈ R. Temos, então, que b1, b2 ∈ Bi, ∀i ∈ I. Como

Bi é R-módulo à direita, ∀i ∈ I, segue que b1r − b2 ∈ Bi, ∀i ∈ I, logo b1r − b2 ∈

\

i∈I

Bi.

Denição 1.60. Sejam R um anel, I um conjunto de índices, A um R-módulo à direita, X um subconjunto de A e {Bi : i ∈ I} a família de todos os R-submódulos de A que contêm X.

Denimos o R-submódulo de A gerado por X por \

i∈I

Bi. Denotamos tal R-submódulo

por X

x∈X

xR, ou hXi.

Proposição 1.43. Sejam R um anel, A um R-módulo à direita e X um subconjunto de A. a) Se X = ∅, então X x∈X xR =0. b) Se X 6= ∅, então X x∈X xR =n X nita xiri : ri ∈ R, xi ∈ Xo.

Demonstração. (Ver [17, Theorem 2.1, p. 25].)

Denição 1.61. Sejam R um anel e A um R-módulo à direita. Dizemos que A é um R- módulo à direita nitamente gerado se existe um subconjunto nito X = {x1, . . . , xn}

de A, onde n ∈ Z+, tal que

A = x1R + . . . + xnR.

Poderemos também utilizar a notação

A = hx1, . . . , xni,

ao invés de {x1, . . . , xn}

 .

Proposição 1.44. Sejam R um anel, A, B R-módulos à direita e ϕ : A → B um ho- momorsmo de R-módulos à direita. Se A é um R-módulo à direita nitamente gerado com A = x1R + . . . + xnR, então φ(A) é um R-módulo à direita nitamente gerado com

ϕ(A) = ϕ(x1)R + . . . + ϕ(xn)R. Em particular, se B é um R-submódulo de A e A é R-

módulo à direita nitamente gerado com A = x1R + . . . + xnR, então A/B é um R-módulo

à direita nitamente gerado com A/B = (x1+ B)R + . . . + (xn+ B)R.

Demonstração. Como A é R-módulo à direita nitamente gerado, existem n ∈ Z+ e x1, . . . ,

xn ∈ A tais que A = x1R + . . . + xnR. Seja z ∈ ϕ(A), temos que z = ϕ(x), com x ∈ A.

Pela Proposição 1.43 b) (p. 70), segue que x =

n X i=1 xiri, onde ri ∈ R, logo z = ϕ(x) = ϕ( n X i=1 xiri) = n X i=1

ϕ(xi)ri ∈ ϕ(x1)R + . . . + ϕ(xn)R. Como z ∈ ϕ(A) foi tomado arbitrário,

segue que ϕ(A) = ϕ(x1)R + . . . + ϕ(xn)R, isto é, ϕ(A) é R-módulo à direita nitamente

gerado.

Se B é um R-submódulo de A e A é R-módulo à direita nitamente gerado, basta aplicar o resultado acima para o epimorsmo de R-módulos à direita projeção canônica.

Lema 1.41. Sejam R um anel, A um R-módulo à direita, B um R-submódulo de A e X um subconjunto de A. Se A/B = {x + B ∈ A/B : x ∈ X}, então A = hX ∪ Bi.

Demonstração. Seja p : A  A/B o epimorsmo de R-módulos à direita projeção canônica. Dado a ∈ A, pela Proposição 1.43 b) (p. 70), temos que p(a) = X

nita

(x + B)rx, com rx ∈ R e

x ∈ X, logo p(a) = (X

nita

xrx)+B. Por outro lado, p(a) = a+B. Assim, a+B = (

X nita xrx)+B, isto é, a = b0 + X nita

xrx, para algum b0 ∈ B e, portanto, a ∈ hX ∪ Bi. Como a ∈ A foi

tomado arbitrário, segue que A = hX ∪ Bi.

Proposição 1.45. Sejam R um anel e A um R-módulo à direita. A é R-módulo à direita noetheriano se, e somente se, todo R-submódulo de A é nitamente gerado.

Demonstração. Suponhamos que A seja R-módulo à direita noetheriano. Seja B um R- submódulo de A arbitrário e seja X o conjunto de todos os R-submódulos de B nitamente gerados. Observemos que X 6= ∅, pois o R-submódulo 0 pertence a X . Como A é noetheriano, segue que X possui elemento maximal B0 ∈ X. Suponhamos que B 6= B0. Logo, existe b ∈ B

tal que b /∈ B0. Consideremos, então, o R-submódulo B0 + bR. Segue que B0 $ B0 + bR

e B0 + bR é nitamente gerado, o que é contradição com a maximalidade de B0. Assim,

concluímos que B = B0 e, portanto, B é R-submódulo nitamente gerado.

Suponhamos agora que todo R-submódulo de A seja nitamente gerado. Seja B1 ⊆ B2 ⊆

. . .uma cadeia ascendente de R-submódulos de A. Denamos B :=

∞

[

i=1

Bi. Temos, então, que

B é R-submódulo de A, portanto nitamente gerado. Sejam x1, . . . , xs os geradores de B,

onde s ∈ Z+, ou seja, B = x1R+. . .+xsR. Logo, existe n ∈ Z+tal que x1, . . . , xs∈ Bn. Como

x1, . . . , xs geram Bj, com j ∈ Z+ e j ≥ n + 1, segue que Bn = Bn+1 = . . .. Assim, a cadeia

Proposição 1.46. Sejam R um anel e A um R-módulo à direita nitamente gerado. Se R é anel noetheriano à direita, então A é R-módulo à direita noetheriano.

Demonstração. Seja B um R-submódulo arbitrário de A e, como A é R-módulo à direita nitamente gerado, suponhamos que A = x1R + . . . + xnR, onde n ∈ Z+ e xi ∈ A, com

1 ≤ i ≤ n. Vamos mostrar que B é R-submódulo de A nitamente gerado usando indução sobre n ∈ Z+, isto é, sobre o número de geradores de A. Assim, pela Proposição 1.45 (p. 71)

teremos que A é R-módulo à direita noetheriano.

Para o caso n = 1, temos que A = x1R. Considerando R como R-módulo à direita, segue

que ϕ : R → A denida por ϕ(r) = x1r é epimorsmo de R-módulos à direita. Como B

é R-submódulo de A, temos que ϕ−1_{(B) é R-submódulo de R. Visto que R é R-módulo à}

direita noetheriano, pela Proposição 1.45 (p. 71), concluímos que ϕ−1_{(B)é R-submódulo de}

Rnitamente gerado, isto é, ϕ−1(B) = r1R + . . . + rsR, onde s ∈ Z+e ri ∈ R, com 1 ≤ i ≤ s.

Portanto, usando a Proposição 1.44 (p. 71), B = ϕ(ϕ−1_{(B)) = ϕ(r}

1)R + . . . + ϕ(rs)R, ou

seja, B é R-submódulo de A nitamente gerado.

Para o caso n > 1, seja p : A  A/x1R o homomorsmo de R-módulos à direita projeção

canônica. Como A = x1R + . . . + xnR, usando a Proposição 1.44 (p. 71), segue que

A/x1R = (x2+ x1R)R + . . . + (xn+ x1R)R,

isto é, A/x1R é R-módulo à direita nitamente gerado com n − 1 geradores. Pela hipótese

de indução, concluímos que p(B) é R-submódulo de p(A) = A/x1R nitamente gerado.

Suponhamos, então, que p(B) = (y1+ x1R)R + . . . + (ys+ x1R)R, onde s ∈ Z+ e yj ∈ B, com

1 ≤ j ≤ s. Por outro lado, como x1R é R-submódulo de A com apenas um gerador (x1 ∈ A),

novamente pela hipótese de indução, temos que B ∩ x1R, que é R-submódulo de x1R, é

também nitamente gerado, ou seja, B ∩ x1R = z1R + . . . + ztR, onde t ∈ Z+e zk ∈ B ∩ x1R,

com 1 ≤ k ≤ t. Vamos mostrar, então, que B = y1R + . . . + ysR + z1R + . . . + ztR.

Dado b ∈ B, temos que b + x1R = p(b) = s X j=1 (yj+ x1R)rj, onde rj ∈ R. Logo, b + x1R = ( s X j=1 yjrj) + x1R, isto é, b− s X j=1

yjrj ∈ B ∩ x1R. Agora, como B ∩x1R = z1R + . . . + ztR, segue

que b− s X j=1 yjrj = t X k=1 zksk, onde sk ∈ R, e, portanto, b = ( s X j=1 yjrj) + ( t X k=1 zksk). Como b ∈ B

foi tomado arbitrário, concluímos que B = y1R + . . . + ysR + z1R + . . . + ztR e, portanto, B

é R-submódulo de A nitamente gerado.

Proposição 1.47. Sejam R um anel noetheriano à direita, A um R-módulo à direita e B um R-submódulo de A. A é R-módulo à direita nitamente gerado se, e somente se, B e A/B são R-módulos à direita nitamente gerados.

Demonstração. Suponhamos que A seja R-módulo à direita nitamente gerado. Então, pela Proposição 1.44 (p. 71), A/B é R-módulo à direita nitamente gerado.

Agora, como A é R-módulo à direita nitamente gerado e R é anel noetheriano à di- reita, pela Proposição 1.46 (p. 72), temos que A é R-módulo à direita noetheriano e, pela Proposição 1.45 (p. 71), segue que B é R-módulo à direita nitamente gerado.

Suponhamos agora que B e A/B são R-módulos à direita nitamente gerados. Então, pelo Lema 1.41 (p. 71), concluímos que A é R-módulo à direita nitamente gerado.

Observação 1.16. Observemos que na Proposição 1.47 (p. 72) a hipótese de que R é noetheriano à direita foi utilizada apenas para mostrar que B é R-submódulo de A nitamente gerado, quando A é um R-módulo à direita nitamente gerado.

Notação 1.16. Sejam R um anel e I um ideal à direita de R. Denotaremos I = (x1, . . . , xn) = x1R + . . . + xnR

no caso em que I é ideal à direita de R gerado por x1, . . . , xn ∈ I, onde n ∈ Z+.

Lema 1.42. Seja R um anel. Então, R é noetheriano à direita se, e somente se, para toda sequência (xj)j∈Z+ em R, existem n ∈ Z+ e r1, . . . , rn∈ R tais que xn+1 =

n

X

j=1

xjrj.

Demonstração. Suponhamos que R seja noetheriano à direita. Seja (xj)j∈Z+ uma sequência

em R. Denamos, ∀n ∈ Z+, ideais à direita In:= (x1, . . . , xn), isto é, Iné ideal à direita de R

gerado por x1, . . . , xn∈ In. Segue que I1 ⊆ I2 ⊆ . . ., ou seja, (Ij)j∈Z+ é uma cadeia ascendente

de ideais à direita de R, e como R é noetheriano à direita, temos que tal cadeia ascendente é estacionária, logo existe n ∈ Z+ tal que In= In+1= . . ., portanto xn+1 ∈ In+1 = In e, assim,

existem r1, . . . , rn∈ R tais que xn+1 = n

X

j=1

xjrj.

Demonstremos a armação recíproca por contrapositiva. Suponhamos agora que R não seja noetheriano à direita. Logo, existe cadeia ascendente (Ij)j∈Z+ de ideais à direita de R

não-estacionária, isto é, I1 $ I2 $ . . .. Agora, ∀n ∈ Z+, tomemos xn+1 ∈ In+1 tal que

xn+1∈ I/ n, ou seja, (xj)j∈Z+ é uma sequência em R tal que xn+1 6=

n

X

j=1

xjrj, para todo rj ∈ R,

do contrário xn+1∈ In, contradizendo a construção da sequência (xj)j∈Z+.

Teorema 1.20 (Teorema da Base de Hilbert). Seja R um anel. Se R é noetheriano à direita, então R[X] é anel noetheriano à direita (Aqui R[X] denota o anel de polinômios no qual a incógnita X comuta com todo elemento de R).

Demonstração. Pela Observação 1.15 (p. 70) e pela Proposição 1.45 (p. 71) basta mostrarmos que todo ideal à direita de R[X] é nitamente gerado. Façamos a demonstração por absurdo. Sendo assim, suponhamos que exista I ideal à direita de R[X] que não seja nitamente gerado. Notemos que, como I não é nitamente gerado, I 6= (0) (ideal à direita trivial). Seja p1 ∈ I

tal que grau(p1) seja mínimo. Denamos, então, pn+1 ∈ I − (p1, . . . , pn) tal que grau(pn+1)

seja mínimo. Observemos que, ∀n ∈ Z+, podemos tomar um tal pn+1 ∈ I − (p1, . . . , pn), uma

vez que I − (p1, . . . , pn) 6= ∅, ∀n ∈ Z+, do contrário I = (p1, . . . , pm), para algum m ∈ Z+ e,

portanto, I seria nitamente gerado. Reparemos que grau(p1) ≤ grau(p2) ≤ . . . .

Seja a1

n ∈ R o coeciente líder de pn ∈ I (isto é, o coeciente que faz parte do monômio

direita por hipótese e pelo Lema 1.42 (p. 73), segue que existem s ∈ Z+ e r1, . . . , rs ∈ R tais que a1 s+1 = s X j=1 a1_jrj, isto é, a1_s+1− s X j=1 a1_jrj = 0. (1.31) Denamos p := ps+1− s X j=1 pjrjxgrau(ps+1)−grau(pj).

Claramente, temos que p ∈ I e também que p /∈ (p1, . . . , ps), do contrário, pela denição de p,

teríamos que ps+1 ∈ (p1, . . . , ps), contradizendo a construção da sequência (pj)j∈Z+ em R[x].

Daí que p ∈ I − (p1, . . . , ps). Agora, grau(p) < grau(ps+1), o que contradiz novamente a

construção da sequência (pj)j∈Z+ em R[X]. Vamos mostrar que de fato grau(p) < grau(ps+1).

Se pj = a1jxnj+ a2jxnj

−1_{+ . . . + a}nj+1

j , onde grau(pj) = nj, então

p = ps+1− s X j=1 pjrjxns+1−nj = (a1_s+1xns+1_{+ a}2 s+1x ns+1−1_{+ . . . + a}ns+1+1 s+1 ) − s X j=1 (a1_jxnj_{+ a}2 jx nj−1_{+ . . . + a}nj+1 j )rjxns+1−nj = (a1_s+1xns+1_{+ a}2 s+1x ns+1−1_{+ . . . + a}ns+1+1 s+1 ) − s X j=1 (a1_jxns+1_{+ a}2 jx ns+1−1_{+ . . . + a}nj+1 j x ns+1−nj_)r j = (a1_s+1xns+1_{+ a}2 s+1xns+1 −1 + . . . + ans+1+1 s+1 ) − ( s X j=1 a1_jrjxns+1)− s X j=1 (a2_jxns+1−1_{+ . . . + a}nj+1 j x ns+1−nj_)r j (1.31) = (a2_s+1xns+1−1_{+ . . . + a}ns+1+1 s+1 ) − s X j=1 (a2_jxns+1−1_{+ . . . + a}nj+1 j x ns+1−nj_)r j. Assim,

grau(p) ≤ ns+1− 1 = grau(ps+1) − 1 < grau(ps+1),

logo grau(p) < grau(ps+1). Como obtemos tal contradição, concluímos que todo ideal à

direita de R[X] é nitamente gerado.

Corolário 1.7. Seja R um anel. Se R é noetheriano à direita, então, dado n ∈ Z+,

R[X1, . . . , Xn] é anel noetheriano à direita (Aqui R[X1, . . . , Xn] denota o anel de polinômios

no qual as incógnitas X1, . . . , Xn comutam entre si e com todo elemento de R).

Demonstração. Observando que por denição

R[X1, . . . , Xn] := (R[X1, . . . , Xn−1])[Xn]

com R[X1, . . . , Xn−1] := R se n = 1, o resultado segue por indução utilizando para o caso

No documento Pontos fixos por grupos finitos agindo sobre grupos solúveis de tipo FP infinito (páginas 86-93)