PONTOS FIXOS POR GRUPOS FINITOS AGINDO
SOBRE GRUPOS SOLÚVEIS DE TIPO F P infinito
CAMPINAS 2013
Biblioteca do Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Ana Regina Machado - CRB 8/5467
Lima, Francismar Ferreira,
L628p LimPontos fixos por grupos finitos agindo sobre grupos solúveis de tipo FP infinito / Francismar Ferreira Lima. – Campinas, SP : [s.n.], 2013.
LimOrientador: Dessislava Hristova Kochloukova.
LimDissertação (mestrado) – Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica.
Lim1. Teoria dos grupos. 2. Invariantes geométricos. 3. Grupos solúveis. I.
Kochloukova, Dessislava Hristova,1970-. II. Universidade Estadual de Campinas. Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica. III. Título.
Informações para Biblioteca Digital
Título em outro idioma: Fixed points by finite groups acting on soluble groups of type FP
infinity
Palavras-chave em inglês:
Group theory
Geometric invariants Soluble groups
Área de concentração: Matemática Titulação: Mestre em Matemática Banca examinadora:
Dessislava Hristova Kochloukova [Orientador] Adriano Adrega de Moura
Aline Gomes da Silva Pinto
Data de defesa: 13-09-2013
Programa de Pós-Graduação: Matemática
ABSTRACT
This work discusses the Theory of Groups and it speci cally discusses a especial class of groups, that is, groups of type F P∞. A group G is of type F P∞ if it is of type F Pm for all
m ∈ Z+∪ {0} and it is of type F Pm if there is a partial projective resolution of the trivial
ZG-module Z where each projective in dimension less than or equal to m is nitely generated. The main aim of this work is to show that the xed points by nite groups acting on soluble groups of type F P∞ form a subgroup of type F P∞ as well as proved in C. Martinez-Perez,
B. E. A. Nucinkis. Virtually soluble groups of type F P∞. Comment. Math. Helv., 2010. no
1 v. 85. p. 135-150. One of the essentials tools that was used to demonstrate this fact was the Bieri-Strebel geometric invariant Σ as well as some results about soluble groups of type F P∞.
Keywords: niteness conditions, soluble groups of type F P∞, Bieri-Strebel geometric
invariant Σ, nilpotent-by-abelian-by- nite groups, constructible groups
RESUMO
Este trabalho aborda a Teoria de Grupos e, especi camente, uma classe especial de grupos: grupos de tipo F P∞. Um grupo G é de tipo F P∞ se é de tipo F Pm para cada m ∈ Z+∪ {0}
e é de tipo F Pm se existe uma resolução parcial projetiva do ZG-módulo trivial Z onde cada
projetivo em dimensão menor ou igual a m é nitamente gerado. O objetivo principal deste trabalho é mostrar que os pontos xos por grupos nitos agindo sobre grupos solúveis de tipo F P∞ formam subgrupo também de tipo F P∞ como mostrado em C. Martinez-Perez,
B. E. A. Nucinkis. Virtually soluble groups of type F P∞. Comment. Math. Helv., 2010.
no 1 v. 85. p. 135-150. Para a demonstração desse fato, uma das ferramentas essenciais
utilizadas foi o invariante geométrico Σ de Bieri-Strebel, bem como alguns resultados sobre grupos solúveis de tipo F P∞.
Palavras-chaves: condições de nitude, grupos solúveis de tipo F P∞, invariante
SUMÁRIO
Epígrafe xi
Agradecimentos xiii
Tabela de Símbolos Especiais xv
Prefácio xvii
Introdução 1
1 Propriedades Básicas de Grupos e Módulos e De nições Preliminares 3
1.1 Propriedades Básicas de Grupos e De nições Preliminares . . . 3
1.1.1 Alguns Resultados sobre Grupos Arbitrários . . . 3
1.1.2 Cálculos com Comutadores, Série Central Descendente e Grupos Nil-potentes . . . 13
1.1.3 Ações de Grupos sobre Conjuntos e sobre Grupos . . . 20
1.1.4 Alguns Resultados sobre Grupos Finitamente Gerados . . . 24
1.1.5 Alguns Resultados sobre Grupos Abelianos Finitamente Gerados . . . 25
1.1.6 Alguns Resultados sobre Grupos Finitamente Apresentáveis . . . 27
1.1.7 Extensões HNN e Grupos Solúveis Construtíveis . . . 43
1.2 Propriedades Básicas de Módulos e De nições Preliminares . . . 44
1.2.1 Alguns Resultados sobre Módulos Arbitrários . . . 44
1.2.2 Anel de Grupo e Ações de Grupos sobre Aneis e Módulos . . . 46
1.2.3 Produto Tensorial de Módulos . . . 55
1.2.4 Aneis e Módulos Noetherianos . . . 68
1.2.5 Anel de Fração e Localização . . . 75
2 Invariante Geométrico Σ de Bieri-Strebel 81 2.1 De nições e Alguns Resultados . . . 81
2.2 Alguns Exemplos . . . 92
3 Propriedades de Grupos de Tipo F P∞ 97 4 Centralizadores de Grupos Finitos em Grupos Solúveis de Tipo F P∞ 117 4.1 De nições e Resultados Preliminares . . . 117
Chora de manso e no íntimo... procura Tentar curtir sem queixa o mal que te crucia: O mundo é sem piedade e até riria Da tua inconsolável amargura. Só a dor enobrece e é grande e é pura. Aprende a amá-la que a amarás um dia. Então ela será tua alegria, E será ela só tua ventura... A vida é vã como a sombra que passa Sofre sereno e de alma sombranceira Sem um grito sequer tua desgraça. Encerra em ti tua tristeza inteira E pede humildemente a Deus que a faça Tua doce e constante companheira... Manuel Bandeira
AGRADECIMENTOS
Aqui cometerei injustiças, uma vez que foram tantas pessoas, momentos, situações, ex-periências que, de uma forma ou outra, direta ou indiretamente, contribuíram e ajudaram para que este trabalho existisse que ca difícil mencionar todos, do contrário, eu precisaria de capítulos e não só de duas páginas. Cometerei a injustiça, então, de mencionar somente alguns.
Gostaria de agradecer, e muito, à minha orientadora, professora Dessislava, pela atenção aguçada, a prestatividade, as inúmeras dicas e conselhos valiosos, o compromisso, a serie-dade, a paciência enorme e a dedicação incansável. Posso dizer que com ela aprendi bastante Matemática. Além disso, a professora Dessislava teve uma participação decisiva nesta Dis-sertação. Sua paciência para abrir inúmeras contas no papel e sua dedicação em me mostrar os caminhos foram inestimáveis para este trabalho. Por isso tudo a ela sou realmente muito grato.
Agradeço à CAPES (Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior) e ao CNPq (Conselho Nacional de Desenvolvimento Cientí co e Tecnológico) que possibilitaram a minha dedicação a este trabalho por meio do apoio nanceiro, à UNICAMP (Universidade Estadual de Campinas) e ao IMECC (Instituto de Matemática, Estatística e Computação Cientí ca) pela oportunidade de estar aqui, ao SAE (Serviço de Apoio ao Estudante) e ao PME (Programa de Moradia Estudantil) pela ajuda incomensurável.
Agradeço aos professores (ou ex-professores) do IMECC pela dedicação e pela minha formação. Muitos deles ajudaram muito a amainar a aspereza das tecnicidades matemáticas e conseguiram me fazer ver a beleza sutil da Matemática. Em especial, agradeço aos professores Adriano, Christina, Daniela, Dessislava, Plamen, Sérgio pela caminhada de anos e pelos ensinamentos de vida.
Agradeço aos colegas de Mestrado e de Doutorado do IMECC por uma ou outra ajuda com materiais, informações, alguma continha ou exercício, ou mesmo a companhia em algum almoço ou jantar. Em especial, ao Nuno por contribuições signi cativas em meu aprendizado em Matemática ao longo destes anos.
Agradeço aos amigos em Minas Gerais e em São Paulo pelos momentos de conversa (que com alguns duravam horas a o...), de re exão, de acolhida, ou de puro extravasamento que, mesmo indiretamente, ajudaram na conclusão deste trabalho. Em especial, à Iza e ao Márcio pelas acolhidas carinhosas em São Paulo (e pelo computador, que me ajudou muito com parte da digitação deste trabalho) e, em especial também, aos amigos de escalada por me propiciarem momentos ímpares em cada rocha, ou em cada bandejão...
Agradeço à minha mãe pelo amor incondicional, pela força hercúlea, pelo exemplo de postura perante a vida, pela alegria e o bom humor sempre, sempre presentes, pelo carinho,
situações hostis. Agradeço ao meu pai pela sabedoria, pela calmaria, pela doçura no trato, pela bondade na alma, pelo exemplo de humildade, coisas essas que sempre me foram fonte de força e vontade.
Agradeço à Vida pelos sabores e dissabores... Por cada Leão que me foi dado e, muitos dos quais, venho conseguindo matar. Pois, de fato, o conceito de vitória só faz sentido se existiu batalha. E pela batalha que foi este trabalho e muitas outras, menores ou maiores, sou real e profundamente grato.
À Bia: meu Deus! Que sorte a minha te encontrar! Agradeço pelo amor, pela dedicação rme, pelo cuidado sempre presente. Agradeço por ter dividido comigo momentos tão sem-palavras... e, principalmente, pelo tão vibrante e gostoso sorriso...
TABELA DE SÍMBOLOS ESPECIAIS
R - anel associativo com identidade Z - conjunto dos números inteiros
Z+ - conjunto dos números inteiros positivos
Q - conjunto dos números racionais R - conjunto dos números reais
R+ - conjunto dos números reais positivos
Sn - esfera n-dimensional contida em Rn+1
Z - grupo abeliano usual dos inteiros, ou anel usual dos inteiros Q - corpo usual dos racionais, ou Q-espaço vetorial
R - grupo abeliano cujo conjunto de elementos é o conjunto dos números reais R e a operação é a soma usual em R
Zn - grupo abeliano cujo conjunto de elementos é o conjunto de n-uplas de números
inteiros Zn e a operação é a soma usual em Zn
Rn - grupo abeliano cujo conjunto de elementos é o conjunto de n-uplas de números
reais Rn e a operação é a soma usual em Rn
0- subgrupo trivial de grupo com a operação com notação aditiva, ou submódulo trivial de módulo
1 - subgrupo trivial de grupo com a operação com notação multiplicativa
1G ou 1 - elemento neutro do grupo G com operação com notação multiplicativa
0A ou 0 - elemento neutro do grupo A com operação com notação aditiva, ou elemento
neutro do módulo A
Hom(G, H) - grupo abeliano aditivo dos homomor smos de grupo de um grupo G em um grupo H 1
1A operação + de grupo abeliano aditivo em Hom(G, H) é tomada como sendo, ∀ϕ1, ϕ2∈ Hom(G, H)e
do módulo B
A ≥ B - signi ca que o grupo B é subgrupo do grupo A, ou que o módulo B é submódulo do módulo A
|X| - cardinalidade do conjunto X
|g| - ordem do elemento g pertencente a algum grupo G1× G2 - produto direto dos grupos G1 e G2
- - símbolo que signi ca "não divide" C - símbolo que denota subgrupo normal
Ccar - símbolo que denota subgrupo característico
∼
= - símbolo que signi ca "isomorfo a"
- símbolo utilizado para funções que são sobrejetivas - símbolo utilizado para funções que são injetivas ,→ - símbolo utilizado para funções que são inclusões ↔ - símbolo utilizado para bijeção entre conjuntos
[G : H] - símbolo que denota o índice do subgrupo H no grupo G MR - classe dos R-módulos à direita
RM - classe dos R-módulos à esquerda
RMS - classe dos (R − S)-bimódulos, sendo S um anel associativo com identidade •
[ - símbolo utilizado para união disjunta Ns
ZA - símbolo utilizado para indicar A ⊗Z. . . ⊗ZA
| {z }
svezes
PREFÁCIO
Quando escrevi este trabalho, o meu compromisso para com o leitor era criar um texto que fosse o mais autocontido possível, fazendo pressupostos apenas de teoria de grupos básica e de noções básicas de teoria de módulos. O motivo desse compromisso era criar um texto que fosse acessível, principalmente, aos alunos de graduação em Matemática que tivessem curiosidade em relação à Álgebra e, mais especi camente, à Teoria de Grupos. Um texto que não afugentasse os graduandos, pelo contrário, atraísse-os. Um texto que desse, principal-mente, ao estudante de graduação em Matemática um pouco de noção dessa área de estudo antes mesmo dele ingressar no Mestrado. No entanto, uma autocontinência absoluta em uma Dissertação de Mestrado é, no mínimo, difícil na minha opinião, hajam vista a limitação de tempo para se concluir o trabalho, a grande quantidade de páginas que a mesma teria e o fato de talvez não ser esse o espírito da coisa. Dessa forma, embora a autocontinência de teoria não fora absoluta neste trabalho, essa motivação de escrever um trabalho que fosse também útil aos estudantes de graduação explica o porquê do grande volume de páginas desta Disser-tação, bem como a insistência em enunciar e demonstrar resultados óbvios (principalmente no primeiro capítulo) e a delonga em algumas demonstrações.
Com relação à classi cação de fatos matemáticos em Lemas, Proposições e Teoremas, como tal classi cação é de certa forma subjetiva, nesta Dissertação classi quei como Lemas resultados menores, ou técnicos, ou mesmo resultados que foram utilizados imediatamente em seguida de serem enunciados e demonstrados, classi quei como Proposições resultados mais relevantes no trabalho, ou resultados de interesse mais geral para a teoria de grupos ou módu-los e como Teoremas os resultados mais importantes no trabalho, ou resultados consagrados como teoremas, ou ainda resultados de demonstrações mais delicadas e intrincadas.
Espero que esse material atenda, pelo menos em parte, essas minhas expectativas e, oxalá, seja também útil a outrem que o leia como também me fora escrevê-lo.
Francismar Ferreira Lima Agosto de 2013 Campinas, SP
Introdução
Seja R um anel associativo com identidade arbitrário. Dizemos que um R-módulo M é de tipo F Pn, com n ∈ Z+∪ {0}, se existe uma resolução parcial projetiva do R-módulo M
Pn→ . . . → P0 → M →0
onde, para 0 ≤ i ≤ n, cada R-módulo Pi é nitamente gerado. Temos, assim, que um
módulo é de tipo F P0 se, e somente se, é nitamente gerado e um módulo ser de tipo F P1
é equivalente ao mesmo ser nitamente apresentável. Se um módulo é de tipo F Pn, então,
obviamente, o mesmo é de tipo F Pi para 0 ≤ i ≤ n, daí que os tipos F P2, F P3, etc são
restrições sucessivamente mais fortes impostas ao módulo. Um módulo é de tipo F P∞ se é
de tipo F Pn para cada n ∈ Z+∪ {0}.
Nesta dissertação estudamos os pontos xos por grupos nitos que agem sobre grupos solúveis de tipo F P∞. Um grupo é de tipo F P∞ se é de tipo F Pn para cada n ∈ Z+∪ {0} e
ser de tipo F Pn signi ca que existe resolução parcial projetiva do ZG-módulo trivial Z onde
cada projetivo em dimensão menor ou igual n é nitamente gerado.
No primeiro capítulo desta Dissertação, estudamos propriedades básicas de grupos que foram usadas mais tarde, ao longo do texto. Os resultados desse primeiro Capítulo são basica-mente "lemas" para o restante do trabalho. Em [12], temos resultado que classi ca os grupos solúveis de tipo F P∞ como grupos obtidos do grupo trivial por meio de extensões nitas,
ou extensões HNN, isto é, como grupos solúveis construtíveis. Por causa disso, estudamos também, nesse primeiro Capítulo, grupos livres, grupos nitamente apresentáveis e exten-sões HNN. Existem outras construções importantes, como produtos livres amalgamados, mas como esses, em geral, não geram grupos solúveis, não os mencionamos neste trabalho.
A parte principal da Dissertação é estudar o artigo [14]. Uma das ferramentas principais usadas é o invariante geométrico Σ de Bieri-Strebel de nido para grupos nilpotente-por-abeliano-por- nitos no artigo [7]. Este invariante generaliza o primeiro invariante Σ de nido em [8]. Observamos ainda em [7] que os grupos solúveis construtíveis nitamente gerados são nilpotente-por-abeliano-por- nitos e que o invariante geométrico Σ de Bieri-Strebel foi crucial para caracterizar os grupos metabelianos nitamente apresentáveis no artigo [8]. Támbem existe classi cação de grupos nilpotente-por-abeliano-por- nitos de tipo F P∞ por meio do
invariante geométrico Σ de Bieri-Strebel, o que é enunciado no Capítulo 3.
Estudamos o invariante geométrico Σ de Bieri-Strebel no Capítulo 2 deste trabalho. Como este invariante é de nido usando módulos, estudamos, na parte preliminar, teoria de módu-los noetherianos e localização em aneis comutativos. Embora exista conexão entre teoria de valorizações e o invariante geométrico Σ de Bieri-Strebel, não abordamos esse fato na Dissertação. Entretanto, o estudo deste invariante, em geral, é baseado em métodos de Álge-bra Comutativa. A demonstração do resultado principal usa técnicas de grupos nilpotentes,
como série central descendente de grupo nilpotente e apresentação de fatores desta série como quocientes de potências tensoriais da abelianização do grupo em questão. Assim, incluímos, na parte preliminar, resultados básicos sobre produto tensorial.
O Capítulo 3 cou dedicado a de nições preliminares e a alguns resultados sobre grupos de tipo F P∞.
O resultado principal, que diz que se G for um grupo solúvel de tipo F P∞com grupo nito
F agindo sobre G, então o subgrupo de pontos xos CG(F ) = {g ∈ G : gf = g, ∀f ∈ F } é
também de tipo F P∞, é demonstrado no último capítulo desta Dissertação. Esse resultado é o
principal resultado no artigo [14]. Uma vez que CG(F )é de tipo F P∞, temos como implicação
que NG(F ) = {g ∈ G : Fg = F } é também de tipo F P∞, pois [NG(F ) : CG(F )] < ∞. Em
[14] é mostrado também que cada extensão H de G por F tem número nito de classes de conjugação de subgrupos nitos. Assim, aplicando um teorema de W. Lück ([14, Theorem 1.2, p. 136]), cada extensão H de G por F tem modelo de tipo nito para EH, isto é, existe um H-CW -complexo X, denominado de espaço de classi cação de ação própria, tal que XS = {x ∈ X : xs = x, ∀s ∈ S} é contráctil se S é subgrupo nito de H e XS = ∅ se S
Capítulo 1
Propriedades Básicas de Grupos e
Módulos e De nições Preliminares
1.1 Propriedades Básicas de Grupos e De nições
Preli-minares
1.1.1 Alguns Resultados sobre Grupos Arbitrários
Teorema 1.1 (1o Teorema de Isomor smo para Grupos). Sejam G, H grupos e ϕ : G → H
um homomor smo de grupos. Então,
ker(ϕ) C G e G/ker(ϕ) ∼= Im(ϕ). Tal isomor smo de grupos é dado por
gker(ϕ) 7→ ϕ(g).
Demonstração. (Ver [16, Theorem 1.76 (First Isomorphism Theorem, p. 50].)
Teorema 1.2 (2o Teorema de Isomor smo para Grupos). Sejam G um grupo, H C G e K
um subgrupo de G. Então, HK é subgrupo de G, H ∩ K C K e K/(H ∩ K) ∼= HK/H.
Demonstração. (Ver [16, Theorem 1.80 (Second Isomorphism Theorem, p. 52].)
Teorema 1.3 (3o Teorema de Isomor smo para Grupos). Sejam G um grupo e H, K C G
tais que K ⊆ H. Então, H/K C G/K e
(G/K)/(H/K) ∼= G/H.
Teorema 1.4 (Teorema de Correspondência para Grupos). Sejam G um grupo, H C G, π : G G/H a projeção canônica, A a família de subgrupos de G os quais contêm H e B a família de subgrupos de G/H. Então, existe uma função bijetiva θ : A → B dada por
A 7→ π(A) = A/H, para todo A ∈ A, onde θ−1 : B → A é dada por
B 7→ π−1(B), para todo B ∈ B.
Além disso, dados A1, A2 ∈ A, A1 ⊆ A2 se, e somente se, A1/H ⊆ A2/H e A1 C A2 se, e
somente se, A1/H C A2/H.
Demonstração. (Ver [16, Proposition 1.82 (Correspondence Theorem, p. 53].)
Lema 1.1. Sejam I um conjunto de índices, G um grupo e {Gi : i ∈ I} uma família de
subgrupos de G. Temos que \
i∈I
Gi é subgrupo de Gi, ∀i ∈ I.
Demonstração. Sejam g1, g2 ∈
\
i∈I
Gi. Temos, então, que g1, g2 ∈ Gi, ∀i ∈ I. Como Gi é
grupo, ∀i ∈ I, segue que g1g2−1 ∈ Gi, ∀i ∈ I, logo g1g2−1 ∈
\
i∈I
Gi.
Lema 1.2. Sejam G grupo e F = {HiC G : i ∈ I} uma família de subgrupos normais de G
(onde I é algum conjunto de índices). Então, \
i∈I
HiC G.
Demonstração. Pelo Lema 1.1 (p. 4), temos que \
i∈I
Hi é subgrupo de G. Seja x ∈
\
i∈I
Hi.
Então, x ∈ Hi, ∀i ∈ I. Como HiC G, ∀i ∈ I, segue que, gxg−1 ∈ Hi, ∀g ∈ G e ∀i ∈ I. Daí
que, ∀g ∈ G, gxg−1 ∈\
i∈I
Hi. Como x ∈
\
i∈I
Hi foi tomado arbitrário, segue que g(
\ i∈I Hi)g−1⊆ \ i∈I Hi, ∀g ∈ Ge, portanto, \ i∈I HiC G.
Lema 1.3. Sejam G um grupo, S um subgrupo de G e H C G. Então, H ∩ S C S.
Demonstração. Dado s ∈ S, seja x ∈ s(H ∩ S)s−1. Então, x = sys−1, para algum y ∈ H ∩ S.
Por um lado, y ∈ S implica que x = sys−1 ∈ S. Por outro lado, y ∈ H e H C G acarretam
que x = sys−1 ∈ H. Daí que x ∈ H ∩ S e, portanto, como x ∈ s(H ∩ S)s−1 foi tomado
arbitrário, temos que s(H ∩ S)s−1 ⊆ H ∩ S, ∀s ∈ S. Segue, assim, que H ∩ S C S.
Lema 1.4. Sejam G um grupo e S, A, B subgrupos de G. Se B C A, então B ∩ S C A ∩ S. Demonstração. Dado a ∈ A ∩ S, seja x ∈ a(B ∩ S)a−1. Então, x = aya−1, para algum
y ∈ B ∩ S, e como a, a−1, y ∈ S, segue que x ∈ S. Agora, y ∈ B e B C A, logo aya−1 ∈ B, o que acarreta que x ∈ B e, consequentemente, x ∈ B ∩ S, daí que, como x ∈ a(B ∩ S)a−1 foi
Lema 1.5. Sejam G um grupo e H um subgrupo de G. Se [G : H] < ∞, então existe um subconjunto nito T de G tal que
\
g∈G
g−1Hg = \
t∈T
t−1Ht.
Demonstração. Como [G : H] < ∞, existe um subconjunto nito T de G tal que G =
•
[
t∈T
Ht (T é uma transversal à direita de H em G). Assim, dado g ∈ G, segue que existe único t ∈ T tal que g ∈ Ht e, portanto, existe único h ∈ H tal que g = ht, logo
g−1Hg = (t−1h−1)H(ht) = t−1Ht. Daí que \ g∈G g−1Hg = \ t∈T t−1Ht, onde T é nito.
Proposição 1.1. Sejam G, H grupos e ϕ : G → H um homomor smo de grupos. a) Se A é subgrupo de G, então ϕ−1(ϕ(A)) = Aker(ϕ).
b) Se B é subgrupo de H, então ϕ(ϕ−1(B)) = B ∩ Im(ϕ), onde para um subgrupo C de
H, temos que ϕ−1(C) = {g ∈ G : ϕ(g) ∈ C} é subgrupo de G.
Demonstração. a) Primeiramente, vamos mostrar que Aker(ϕ) ⊆ ϕ−1(ϕ(A)). Temos que
ker(ϕ) = ϕ−1({1H}) ⊆ ϕ−1(ϕ(A)) e A ⊆ ϕ−1(ϕ(A)). Como ϕ−1(ϕ(A)) é subgrupo de G,
segue que Aker(ϕ) ⊆ ϕ−1(ϕ(A)). Para mostrar a inclusão inversa, seja g ∈ ϕ−1(ϕ(A)). Logo,
ϕ(g) ∈ ϕ(A), isto é, existe a ∈ A tal que ϕ(g) = ϕ(a), o que implica que ϕ(a)−1ϕ(g) = 1H,
ou seja, ϕ(a−1g) = 1
H, o que acarreta que a−1g ∈ ker(ϕ). Portanto, existe g0 ∈ ker(ϕ)
tal que g = ag0 ∈ Aker(ϕ). Como g ∈ ϕ−1(ϕ(A)) foi tomado arbitrário, concluímos que
ϕ−1(ϕ(A)) ⊆ Aker(ϕ).
b) Das de nições de imagem e pré-imagem de uma função segue que ϕ(ϕ−1(B)) ⊆ B ∩
Im(ϕ). A m de mostrarmos a inclusão inversa, seja b ∈ B ∩ Im(ϕ). Como b ∈ Im(ϕ), existe g ∈ G tal que b = ϕ(g). Como b ∈ B, b = ϕ(g) ∈ B, daí que g ∈ ϕ−1(B) e,
portanto, b = ϕ(g) ∈ ϕ(ϕ−1(B)). Como b ∈ B ∩ Im(ϕ) foi tomado arbitrário, segue que
B ∩ Im(ϕ) ⊆ ϕ(ϕ−1(B)).
Lema 1.6. Sejam G um grupo, A, B subgrupos de G tais que A C G ou B C G e N C G tal que N ⊆ A, B. Então, A/N · B/N = (AB)/N.
Demonstração. Como N C G, resulta que A/N, B/N são grupos e se A C G ou B C G, então AB é subgrupo de G, daí que AB/N também é grupo. Assim, dadas as classes laterais aN ∈ A/N e bN ∈ B/N, segue que aN · bN = abN. Concluímos, portanto, que A/N · B/N = (AB)/N.
Lema 1.7. Sejam G um grupo, H C G e π : G G/H o homomor smo de grupos projeção canônica. Sejam também C um subgrupo de G/H e B C G/H. Então,
π−1(BC) = π−1(B)π−1(C).
Demonstração. Como C é subgrupo de G/H e B C G/H, pelo Teorema 1.4 (p. 4) (Teorema de Correspondência para Grupos), segue que
π−1(C)é subgrupo de G e π−1(B) C G com B = π(π−1
(B)) = π−1(B)/H e C = π(π−1(C)) = π−1(C)/H.
Assim, BC = (π−1(B)/H) · (π−1(C)/H)e, pelo Lema 1.6 (p. 5), (π−1(B)/H) · (π−1(C)/H) =
(π−1(B)π−1(C))/H, isto é,
BC = (π−1(B)π−1(C))/H o que implica que
π−1(BC) = π−1(B)π−1(C).
Lema 1.8. Sejam G um grupo, N C G e K, H subgrupos de G tais que K ⊆ H. Se [H : K] < ∞, então [NH : NK] < ∞.
Demonstração. Como N C G, temos que NH, NK são subgrupos de G. Além disso, como K ⊆ H, segue que NK ⊆ NH e, por hipótese,
H =
•
[
t∈T
Kt,
onde T é subconjunto de H e |T | < ∞ (T é uma transversal à direita de K em H). Obser-vamos, assim, que
N H = N ( • [ t∈T Kt) = [ t∈T N Kt. Portanto, [NH : NK] ≤ |T | < ∞.
Proposição 1.2. Sejam G, H grupos e π : G H um epimor smo de grupos.
a) Se B e A são subgrupos de H tais que B ⊆ A, então [π−1(A) : π−1(B)] = [A : B].
b) Se B C A C H, então π−1
(B) C π−1(A) C G e π−1(A)/π−1(B) ∼= A/B.
Demonstração. a) Como B é subgrupo de A, temos que π−1(B) é subgrupo de π−1(A), daí
que π−1(A) = • [ t∈T π−1(B)t, (1.1)
para algum subconjunto T de π−1(A), onde π−1(B)t é classe lateral à direita de π−1(B) em
π−1(A), ∀t ∈ T (T é uma transversal à direita de π−1(B) em π−1(A)). Logo, A = π(π−1(A)) = π( • [ t∈T π−1(B)t) = [ t∈T π(π−1(B))π(t) = [ t∈T Bπ(t) = [ π(t)∈π(T ) Bπ(t) = = • [ π(t)∈π(T ) Bπ(t), (1.2)
onde essa última união é, de fato, disjunta, pois, do contrário, existiriam π(t1), π(t2) ∈ π(T )
tais que π(t1) 6= π(t2)e Bπ(t1) = Bπ(t2). Logo, π(t1)π(t2)−1 = π(t1t−12 ) ∈ B, o que implicaria
que t1t−12 ∈ π−1(B) e, portanto, π−1(B)t1 = π−1(B)t2. Mas, t1 6= t2, pois π(t1) 6= π(t2).
Assim, teríamos uma contradição com a união disjunta em (1.1) (p. 6).
Temos também que |T | = |π(T )|, pois, dados t1, t2 ∈ T, se t1 6= t2, então por (1.1) (p. 6)
π−1(B)t1 6= π−1(B)t2, logo t1t2−1 ∈ π/ −1(B), o que implica que π(t1t−12 ) /∈ B e, portanto, por
(1.2) (p. 7) π(t1) 6= π(t2). Por (1.1) (p. 6) e (1.2) (p. 7), segue que
[π−1(A) : π−1(B)] = |T | = |π(T )| = [A : B].
b) Como BCACH, pelo Teorema 1.4 (p. 4) (Teorema de Correspondência para Grupos), temos que π−1
(B) C π−1(A) C G. Sejam ρ : A A/B o homomor smo de grupos projeção canônica e ψ : π−1(A) → A de nida por ψ(x) = π(x), ∀x ∈ π−1(A). De namos
θ : π−1(A) → A/B por θ := ρψ.
Como ψ e ρ são epimor smos de grupos, segue que θ também o é. Pelo Teorema 1.1 (p. 3) (1o Teorema de Isomor smo para Grupos), π−1(A)/ker(θ) ∼
= Im(θ) = A/Be, por outro lado, ker(θ) = θ−1(1) = (ρψ)−1(1) = ψ−1ρ−1(1) = π−1(B). Daí que π−1(A)/π−1(B) ∼= A/B. Corolário 1.1. Sejam G, H grupos, ϕ : G → H um isomor smo de grupos e A1, B1 subgrupos
de G tais que B1C A1. Então, A1/B1 ∼= ϕ(A1)/ϕ(B1).
Demonstração. Basta usar o Teorema 1.4 (p. 4) (Teorema de Correspondência para Grupos) e a Proposição 1.2 b) (p. 6).
Proposição 1.3. Sejam G um grupo e A, B subgrupos de G. Se [G : A] < ∞, então [B : A ∩ B] < ∞.
Demonstração. Por hipótese [G : A] < ∞, logo G/A = {Ag : g ∈ G} é um conjunto nito, onde, ∀g ∈ G, Ag denota a classe lateral à direita de A em G. Temos que ∆ = {Ab : b ∈ B} é também um conjunto nito, pois B ⊆ G. Vamos mostrar que existe uma bijeção entre os conjuntos ∆ e B/(A ∩ B) = {(A ∩ B)b : b ∈ B}. Seja ϕ : B/(A ∩ B) → ∆ dada por
ϕ((A ∩ B)b = Ab
Então, ϕ está bem de nida, pois, dados (A∩B)b1, (A∩B)b2 ∈ B/(A∩B)tais que (A∩B)b1 =
(A ∩ B)b2, segue que b1b−12 ∈ A ∩ B ⊆ A, logo Ab1 = Ab2, isto é, ϕ((A∩B)b1) = ϕ((A ∩ B)b2).
ϕ((A∩B)b1) = ϕ((A∩B)b2), então Ab1 = Ab2, o que implica que b1b−12 ∈ A. Como b1, b2 ∈ B,
temos também que b1b−12 ∈ B. Daí que b1b−12 ∈ A ∩ B, ou seja, (A ∩ B)b1 = (A ∩ B)b2.
Além disso, observe que, por construção, ϕ é sobrejetiva. Desta forma, concluímos que |∆| = |B/(A ∩ B)|e, portanto, B/(A∩B) é um conjunto nito. Assim, [B : A∩B] < ∞. Proposição 1.4. Sejam G, H grupos, ϕ : G → H um homomor smo de grupos, A, B subgrupos de G tais que B ⊆ A. Se [A : B] < ∞, então [ϕ(A) : ϕ(B)] < ∞.
Demonstração. Por hipótese temos que existe um subconjunto T de A tal que A =
•
[
t∈T
Bt e |T | < ∞, (T é uma transversal à direita de B em A). Daí que
ϕ(A) = ϕ( • [ t∈T Bt) = [ t∈T ϕ(B)ϕ(t) = [ ϕ(t)∈ϕ(T ) ϕ(B)ϕ(t).
Visto que ϕ(B)ϕ(t) é classe lateral à direita de ϕ(B) em ϕ(A) para todo ϕ(t) ∈ ϕ(T ), podemos tomar essa última união como sendo também disjunta, bastando para isso que eliminemos da união as classes laterias repetidas. Assim, teremos que
ϕ(A) =
•
[
y∈Y
ϕ(B)y, onde Y ⊆ ϕ(T ).
Daí que [ϕ(B) : ϕ(A)] = |Y | ≤ |ϕ(T )| ≤ |T | < ∞.
Notação 1.1. Seja G um grupo. Denotemos por G0 o grupo comutador de G, isto é,
G0 = h{[g1, g2] ∈ G : g1, g2 ∈ G}i, onde [g1, g2] = g1−1g −1
2 g1g2 ∈ G.
Proposição 1.5. Sejam G um grupo e H C G. Então, G/H é grupo abeliano se, e somente se, G0 ⊆ H. Em particular G/G0 é grupo abeliano.
Demonstração. Vamos mostrar que se G/H é grupo abeliano, então G0 ⊆ H. Seja x ∈ G0.
Então, x = [y1, z1]ε1 · . . . · [yn, zn]εn, com n ∈ Z+, yi, zi ∈ G e εi ∈ {−1, 1}, onde 1 ≤
i ≤ n. Agora, ∀i ∈ {1, . . . , n}, sejam yiH, ziH classes laterais em G/H. Como G/H é
grupo abeliano, temos que yiH · ziH = ziH · yiH e, portanto, y−1i z −1
i yiziH = H. Segue que
[yi, zi] ∈ H. Como H é grupo, obtemos que x ∈ H. Daí que, por x ∈ G0 ter sido tomado
arbitrário, G0 ⊆ H.
Mostraremos agora a a rmação recíproca. Sejam xH, yH classes laterais em G/H, onde x, y ∈ G. Como G0 ⊆ H, temos que [x, y] ∈ H e, portanto, x−1y−1xy ∈ H. Daí que
x−1y−1xyH = H e, consequentemente, xyH = yxH, isto é, xH ·yH = yH ·xH. Assim, G/H é grupo abeliano.
Demonstração. Se G0 =1, então G ∼= G/1 = G/G0, logo G é grupo abeliano pela Proposição
1.5 (p. 8). Caso G seja um grupo abeliano, então G/1 é grupo abeliano e, portanto, G0 ⊆1
pela Proposição 1.5 (p. 8).
Proposição 1.6. Sejam G, H grupos e ϕ : G → H um homomor smo de grupos. Se G é um grupo abeliano, então ϕ(G) é um grupo abeliano. Em particular, se H C G e G é grupo abeliano, então G/H é grupo abeliano.
Demonstração. ∀ϕ(g1), ϕ(g2) ∈ ϕ(G), ϕ(g1)ϕ(g2) = ϕ(g1g2) = ϕ(g2g1) = ϕ(g2)ϕ(g1).
Se H C G e G for grupo abeliano, basta aplicar o resultado acima para o homomor smo de grupos projeção canônica π : G G/H, que é epimor smo de grupos.
Proposição 1.7. Sejam G um grupo, A, B C G tais que B ⊆ A. Então, ϕ : G/B → G/A dada por
ϕ(gB) = gA,
para toda classe lateral gB ∈ G/B, é um epimor smo de grupos. Além disso, ker(ϕ) = A/B. Demonstração. Primeiramente, vamos mostrar que ϕ está bem de nida. Dados g1B, g2B ∈
G/B, se g1B = g2B, então g1g−12 ∈ B. Como B ⊆ A, segue que g1g2−1 ∈ A e, portanto,
g1A = g2A, isto é, ϕ(g1B) = ϕ(g2B).
Agora, ϕ é homomor smo de grupos, pois, dados g1B, g2B ∈ G/B, temos que
ϕ(g1B · g2B) = ϕ(g1g2B) = g1g2A = g1A · g2A = ϕ(g1B)ϕ(g2B)
e é sobrejetivo, pois, para todo z ∈ G/A, segue que z = gA, para algum g ∈ G, ou seja, z = ϕ(gB).
Para vermos que ker(ϕ) = A/B, para toda classe lateral xB ∈ G/B, temos que xB ∈ ker(ϕ) se, e somente se, ϕ(xB) = 1G/A = A, o que é equivalente a x ∈ A e que, por sua vez,
é equivalente a xB ∈ A/B.
Lema 1.9. Sejam G um grupo e G1, G2, G3C G tais que G2 ⊆ G1. Então,
a) G2G3C G1G3 e, portanto,
G1G3
G2G3
é grupo quociente. b) G1∩ (G2G3) = G2(G1∩ G3).
Demonstração. a) Observemos que, como G2 C G e G3 C G, segue que G2G3 C G. Visto
que G2 ⊆ G1, temos que G2G3 ⊆ G1G3. Daí que G2G3 C G1G3 e, portanto,
G1G3
G2G3
é grupo quociente.
b) Vamos mostrar que G1 ∩ (G2G3) ⊆ G2(G1 ∩ G3). Seja x ∈ G1 ∩ (G2G3). Logo,
x = g1 e x = g2g3, com g1 ∈ G1, g2 ∈ G2 e g3 ∈ G3. Daí que g1 = g2g3, o que implica
que g−1
2 g1 = g3. Como G2 ⊆ G1, segue que g3 ∈ G1 e, portanto, x = g2g3 ∈ G2(G1 ∩ G3).
Como x ∈ G1∩ (G2G3) foi tomado arbitrário, segue que G1∩ (G2G3) ⊆ G2(G1∩ G3). Para
mostrarmos a inclusão inversa, seja x ∈ G2(G1 ∩ G3). Logo, x = g2g, com g2 ∈ G2 e
g ∈ G1∩ G3. Daí que x ∈ G2G3. Como G2 ⊆ G1 e g ∈ G1, segue que x = g2g ∈ G1. Temos,
assim, que x ∈ G1∩ (G2G3). Como x ∈ G2(G1∩ G3) foi tomado arbitrário, concluímos que
Lema 1.10. Sejam G um grupo e G1, G2, G3C G tais que G2 ⊆ G1. Então G1G3 G2G3 ∼ = G1 G2(G1∩ G3) . Demonstração. Pelo Lema 1.9 a) (p. 9) G1G3
G2G3
é grupo quociente. Seja µ : G1 →
G1G3
G2G3
dada por µ(g1) = g1G2G3, ∀g1 ∈ G1. Temos que µ é homomor smo de grupos, pois, dados
g1, g01 ∈ G1, temos que µ(g1g10) = g1g10G2G3 = g1G2G3· g01G2G3 = µ(g1)µ(g01). Além disso, µ
é sobrejetivo. De fato, ∀x ∈ G1G3
G2G3
, x = g1g3G2G3, com g1 ∈ G1 e g3 ∈ G3. Assim,
x = g1g3G2G3 = g1G2G3· g3G2G3 =
= g1G2G3· g3G3G2 = g1G2G3· G3G2 = g1G2G3· G2G3 = µ(g1).
Agora, vamos mostrar que ker(µ) = G1∩ (G2G3). Seja g1 ∈ ker(µ). Logo, µ(g1) = G2G3,
isto é, g1G2G3 = G2G3, o que implica que g1 ∈ G2G3, isto é, g1 ∈ G1 ∩ (G2G3). Como
g1 ∈ ker(µ)foi tomado arbitrário, temos que ker(µ) ⊆ G1∩ (G2G3). Para mostrar a inclusão
inversa, seja x ∈ G1 ∩ (G2G3). Então, µ(x) = xG2G3 = G2G3. Logo, x ∈ ker(µ). Como
x ∈ G1∩ (G2G3) foi tomado arbitrário, concluímos que ker(µ) ⊇ G1∩ (G2G3). Pelo Lema
1.9 b) (p. 9), segue que
ker(µ) = G2(G1∩ G3).
Pelo 1o Teorema de Isomor smo para Grupos, G
1/ker(µ) ∼= Im(µ). Logo,
G1 G2(G1∩ G3) ∼ = G1G3 G2G3 .
De nição 1.1. Sejam P1, P2, · · · , Pn propriedades de grupos que são preservadas por
isomor- smos de grupos, onde n ∈ Z+. Dizemos que um grupo G é P1-por-P2-por-. . .-por-Pn se
existem A1, A2. . . , An−1C G tais que A1 ⊆ A2 ⊆ . . . ⊆ An−1 ⊆ G e A1 possui a propriedade
P1, A2/A1 possui a propriedade P2, . . . , An−1/An−2 possui a propriedade Pn−1 e G/An−1
possui a propriedade Pn.
Notação 1.2. A classe dos grupos nilpotente-por-abeliano-por- nitos é denotada por NAF. Assim, se G é um grupo nilpotente-por-abeliano-por- nito, escrevemos G ∈ NAF.
Proposição 1.8. Sejam G, H grupos e ϕ : G → H um isomor smo de grupos. Se G é P1-por-P2-por-. . .-por-Pn, então H é P1-por-P2-por-. . .-por-Pn.
Demonstração. Por hipótese G é P1-por-P2-por-. . .-por-Pn, logo existem A1, A2. . . , An−1C G
tais que A1 ⊆ A2 ⊆ . . . ⊆ An−1 ⊆ Ge A1possui a propriedade P1, A2/A1possui a propriedade
P2, . . . , An−1/An−2 possui a propriedade Pn−1e G/An−1possui a propriedade Pn. Temos que
ϕ(A1), ϕ(A2), . . . ϕ(An−1) C H e ϕ(A1) ⊆ ϕ(A2) ⊆ . . . ⊆ ϕ(An−1) ⊆ H. Além disso, temos
que A1 ∼= ϕ(A1) e, pelo Corolário 1.1 (p. 7), Ai+1/Ai ∼= ϕ(Ai+1)/ϕ(Ai), com 1 ≤ i ≤ n − 2,
e G/An−1 ∼= H/ϕ(An−1). Segue que ϕ(A1) também possui a propriedade P1, ϕ(A2)/ϕ(A1)
também possui a propriedade P2, . . . , ϕ(An−1)/ϕ(An−2) também possui a propriedade Pn−1
e H/ϕ(An−1)também possui a propriedade Pn. Assim, concluímos que H é também P1
Proposição 1.9. Sejam G um grupo e H um subgrupo de G. Se G é grupo abeliano-por- nito, então H também o é.
Demonstração. Como G é grupo abeliano-por- nito, existe ACG tal que A é grupo abeliano e G/A é grupo nito. Temos que A ∩ H C H pelo Lema 1.3 (p. 4). Além disso, A ∩ H é grupo abeliano, pois A é abeliano, e H/(A∩H) é grupo nto, já que, pelo Teorema 1.2 (p. 3) (2o Teorema de Isomor smo para Grupos), H/(A ∩ H) ∼= HA/A ≤ G/A, sendo este último
grupo nito. Portanto, H é grupo abeliano-por- nito.
Lema 1.11. [14, Lemma 3.7, p. 143] Sejam G um grupo e N1, . . . , NsC G, onde s ∈ Z+. Se
G/N1, . . . , G/Ns−1 e G/Ns são grupos abeliano-por- nitos, então G/( s
\
i=1
Ni)é grupo
abeliano-por- nito.
Demonstração. Seja π : G → G/N1 × . . . × G/Ns o homomor smo de grupos dado por
π(g) = (gN1, . . . , gNs). Então, ker(π) = s
\
i=1
Ni e, pelo Teorema 1.1 (p. 3) (1o Teorema de
Isomor smo para Grupos), G/
s
\
i=1
Ni ∼= Im(π) ≤ G/N1 × . . . × G/Ns, que é
abeliano-por- nito, e, portanto, Im(π) é também abeliano-por- nito pela Proposição 1.9 (p. 11). Pela Proposição 1.8 (p. 10), segue que G/(
s
\
i=1
Ni)é grupo abeliano-por- nito.
Lema 1.12. Sejam G um grupo e A1, . . . , Ansubgrupos de G, onde n ∈ Z+. Se [G : Ai] < ∞,
para 1 ≤ i ≤ n, então [G :
n
\
i=1
Ai] < ∞.
Demonstração. Temos que [G : n \ i=1 Ai] = [G : ( n−1 \ i=1 Ai) ∩ An] = [G : An][An: ( n−1 \ i=1 Ai) ∩ An].
Por hipótese [G : An] < ∞ e, pela Proposição 1.3 (p. 7), [An : ( n−1
\
i=1
Ai) ∩ An] < ∞.
Lema 1.13. Sejam G, H grupos, S C G e ϕ : G → H um homomor smo de grupos. Se S ⊆ ker(ϕ), então ϕ induz um homomor smo de grupos θ : G/S → H dado por θ(gS) = ϕ(g), para toda classe lateral gS ∈ G/S.
Demonstração. Vamos mostrar que θ está bem de nida. Sejam g1S, g2S ∈ G/S tais que
g1S = g2S. Logo, g1g2−1 ∈ S. Como S ⊆ ker(ϕ), temos que ϕ(g1g−12 ) = 1H, logo ϕ(g1) =
ϕ(g2) e, portanto, θ(g1S) = θ(g2S), isto é, θ está bem de nida.
Vamos mostrar agora que θ é homomor smo de grupos. Sejam g1S, g2S ∈ G/S. Então,
Lema 1.14. Sejam G1, G2, H grupos, ϕ1 : G1 → H, ϕ2 : G2 → H homomor smos de grupos
e θ : G1 G2 um epimor smo de grupos tais que ϕ2θ = ϕ1. Então,
θ(ker(ϕ1)) = ker(ϕ2).
Demonstração. Por hipótese temos que o seguinte diagrama é comutativo G1 θ ϕ1 // H G2 ϕ2 >>
Vamos mostrar primeiramente que θ(ker(ϕ1)) ⊆ ker(ϕ2). Seja g2 ∈ θ(ker(ϕ1)). Então,
existe g1 ∈ ker(ϕ1) tal que g2 = θ(g1). Daí que, ϕ2(g2) = ϕ2θ(g1) = ϕ1(g1) = 1H. Logo,
g2 ∈ ker(ϕ2). Como g2 ∈ θ(ker(ϕ1)) foi tomado arbitrário, segue que θ(ker(ϕ1)) ⊆ ker(ϕ2).
Para mostrar a inclusão inversa, seja g2 ∈ ker(ϕ2). Então, ϕ2(g2) = 1H. Mas, como θ é
sobrejetivo, existe g1 ∈ G1 tal que g2 = θ(g1). Daí que 1H = ϕ2(g2) = ϕ2(θ(g1)) = ϕ1(g1) e,
portanto, g1 ∈ ker(ϕ1), ou seja, g2 ∈ θ(ker(ϕ1)). Como g2 ∈ ker(ϕ2) foi tomado arbitrário,
segue que θ(ker(ϕ1)) ⊇ ker(ϕ2).
Lema 1.15. Sejam G, G1, G2 grupos e ϕ1 : G G1, ϕ2 : G G2, θ : G1 G2 epimor smos
de grupos tais que ϕ1 = θϕ2. Então, θ é isomor smo de grupos se, e somente se, ker(ϕ1) =
ker(ϕ2).
Demonstração. Suponhamos primeiramente que θ é isomor smo de grupos. Pelo Lema 1.14 (p. 12), segue que
ϕ2(ker(ϕ1)) = ker(θ) = 1G1,
logo ker(ϕ1) ⊆ ker(ϕ2). Analogamente, como θ−1ϕ1 = ϕ2, concluímos que
ϕ1(ker(ϕ2)) = ker(θ−1) = 1G2,
logo ker(ϕ2) ⊆ ker(ϕ1). Suponhamos agora que ker(ϕ1) = ker(ϕ2). Pelo Lema 1.14 (p.
12), temos que ϕ2(ker(ϕ1)) = ker(θ), logo ϕ2(ker(ϕ2)) = ker(θ), ou seja, 1G1 = ker(θ)
e, portanto, θ é monomor smo de grupos. Como θ é epimor smo de grupos por hipótese, concluímos que θ é isomor smo de grupos.
Lema 1.16. Sejam G1, G2, G3 grupos e ϕ : G1 → G2, ψ : G2 → G3 homomor smos de
grupos. Então,
ker(ψϕ) = ϕ−1(ker(ψ)).
Demonstração. Vamos mostrar primeiramente que ker(ψϕ) ⊆ ϕ−1
(ker(ψ)). Tomemos x ∈ ker(ψϕ)arbitrário. Então, ψϕ(x) = 1G3. Segue que ϕ(x) ∈ ker(ψ), ou seja, x ∈ ϕ
−1(ker(ψ)).
Daí que ker(ψϕ) ⊆ ϕ−1(ker(ψ)). Para mostrar a inclusão inversa, seja x ∈ ϕ−1(ker(ψ)).
En-tão, ϕ(x) ∈ ker(ψ) e, portanto, ψϕ(x) = 1G3, ou seja, x ∈ ker(ψϕ). Como x ∈ ϕ
−1
(ker(ψ)) foi tomado arbitrário, concluímos que ker(ψϕ) ⊇ ϕ−1(ker(ψ)).
a) ϕ∗ : G/A → H/ϕ(A) de nida por ϕ∗(gA) = ϕ(g)ϕ(A), para toda classe lateral gA ∈
G/A, é um epimor smo de grupos;
b) Se ϕ∗ e ϕ|A(restrição de ϕ sobre A) são isomor smos de grupos, então ϕ é isomor smo
de grupos.
Demonstração. a) Como A C G, temos que ϕ(A) C H, daí que H/ϕ(A) é grupo quociente. Para vermos que ϕ∗ está bem de nida, sejam g1A, g2A ∈ G/A tais que g1A = g2A.
Logo, g1g2−1 ∈ A, o que implica que ϕ(g1g2−1) ∈ ϕ(A), ou seja, ϕ(g1)ϕ(g2)−1 ∈ ϕ(A), logo
ϕ(g1)ϕ(A) = ϕ(g2)ϕ(A) e, portanto, ϕ∗(g1A) = ϕ∗(g2A). E para vermos que ϕ∗ é
ho-momor smo de grupos, dados g1A, g2A ∈ G/A, temos que ϕ∗(g1A · g2A) = ϕ∗(g1g2A) =
ϕ(g1g2)ϕ(A) = ϕ(g1)ϕ(g2)ϕ(A) = ϕ(g1)ϕ(A) · ϕ(g2)ϕ(A) = ϕ∗(g1A)ϕ∗(g2A). Por m, temos
que ϕ∗é sobrejetivo, pois, dado z ∈ H/ϕ(A), temos que z = hϕ(A), para algum h ∈ H. Como
ϕé sobrejetivo, segue que h = ϕ(g), para algum g ∈ G. Daí que z = ϕ(g)ϕ(A) = ϕ∗(gA).
b) Basta mostrarmos que ker(ϕ) = 1.
Seja g ∈ ker(ϕ). Temos que ϕ(g) = 1H. Logo, ϕ∗(gA) = ϕ(g)ϕ(A) = ϕ(A) = 1H/ϕ(A).
Daí que gA ∈ ker(ϕ∗). Mas, ker(ϕ∗) = 1 = {A}, pois ϕ∗ é isomor smo de grupos por
hipótese, por conseguinte gA = A, isto é, g ∈ A. Como também g ∈ ker(ϕ), temos que g ∈ ker(ϕ|A). Mas, ker(ϕ|A) = 1 = {1G}, pois ϕ|A também é isomor smo de grupos, portanto
g = 1G. Como g ∈ ker(ϕ) foi tomado arbitrário, concluímos que ker(ϕ) = {1G} =1.
1.1.2 Cálculos com Comutadores, Série Central Descendente e
Gru-pos Nilpotentes
Notação 1.3. Seja G um grupo. Dado i ∈ Z+, temos a seguinte notação:
[g1, . . . , gi] := [[g1, . . . , gi−1], gi],
onde [g1] := g1, [g1, g2] := g1−1g −1
2 g1g2 e gi ∈ G, ∀i ∈ Z+. Denominamos [g1, . . . , gi] de
comutador normado à esquerda de tamanho i.
Notação 1.4. Sejam G um grupo e A1, . . . , Ai subgrupos de G, onde i ∈ Z+. Temos, então,
a seguinte notação: [A1, . . . , Ai] := [[A1, . . . , Ai−1], Ai], onde [A1] := A1, [A1, A2] = D [a1, a2] ∈ G : a1 ∈ A1, a2 ∈ A2 E
=D{[a1, a2]}a1∈A1,a2∈A2
E .
Lema 1.18. Sejam G, H grupos, ϕ : G → H um homomor smo de grupos e A, B subgrupos de G. Então,
ϕ([A, B]) = [ϕ(A), ϕ(B)]. Demonstração. Dados a ∈ A e b ∈ B, temos que
Segue daí que
ϕ([A, B]) = ϕ(h{[a, b]}a∈A,b∈Bi) = hϕ({[a, b]}a∈A,b∈B)i =
= h{ϕ([a, b])}a∈A,b∈Bi = h{[ϕ(a), ϕ(b)]}a∈A,b∈Bi = [ϕ(A), ϕ(B)].
De nição 1.2. Sejam G um grupo e A um subgrupo de G. De nimos e denotamos o cen-tralizador de A em G por
CG(A) = {g ∈ G : ag = ga, ∀a ∈ A}
e o centro de G por
Z(G) = {g ∈ G : xg = gx, ∀x ∈ G}.
Lema 1.19. Sejam G um grupo, B C G e A um subgrupo de G tais que B ⊆ A. Então, [A, G] ⊆ B se, e somente se, A/B ⊆ Z(G/B).
Demonstração.
[A, G] ⊆ B ⇔ [a, g] ∈ B, ∀a ∈ A, g ∈ G ⇔ a−1g−1agB = B, ∀a ∈ A, g ∈ G ⇔ ⇔ agB = gaB, ∀a ∈ A, g ∈ G ⇔ aB · gB = gB · aB, ∀a ∈ A, g ∈ G ⇔ A/B ⊆ Z(G/B).
De nição 1.3. Seja G um grupo. Para todo i ∈ Z+, de nimos indutivamente
γ1(G) := G e γi+1(G) = [γi(G), G].
Lema 1.20. Seja G um grupo. Para todo i ∈ Z+, de namos
Ci := {[g1, . . . , gi] : g1, . . . , gi ∈ G},
conjunto dos comutadores normados à esquerda de tamanho i. Temos, então, que γi(G) = hCii.
Demonstração. Faremos a demonstração por indução sobre i. Caso i = 1, temos γ1(G) =
G = hGi = h{[g1] : g1 ∈ G}i = hC1i. Caso i > 1, segue que γi+1(G) = [γi(G), G]. Pela
hipótese de indução, γi(G) = hCii, daí que, escrevendo C1 = {gi+1 : gi+1∈ G},
γi+1(G) = [hCii, G] = [hCii, hC1i] = D [[g1, . . . , gi], gi+1] : g1, . . . , gi+1 ∈ G E = =D[g1, . . . , gi, gi+1] : g1, . . . , gi+1∈ G E = hCi+1i.
a) γi(G) CcarG, ∀i ∈ Z+;
b) γi+1(G) C γi(G), ∀i ∈ Z+.
Demonstração. a) Seja ϕ : G → G um automor smo de grupos. A demonstração será feita através de indução sobre i ∈ Z+.
Caso i = 1, temos que ϕ(γ1(G)) = ϕ(G) ⊆ G = γ1(G). Logo, γ1(G) Ccar G.
Caso i > 1, usando o Lema 1.18 (p. 13) e a hipótese de indução, segue que ϕ(γi+1(G)) =
ϕ([γi(G), G]) = [ϕ(γi(G)), ϕ(G)] ⊆ [γi(G), G] = γi+1(G). Portanto, γi(G) CcarG.
b) Como γi(G) Ccar G, ∀i ∈ Z+, temos que γi(G) C G, ∀i ∈ Z+. Sendo assim, basta
mostrarmos que γi+1(G) ⊆ γi(G), ∀i ∈ Z+. Sejam x ∈ γi(G) e g ∈ G. Como γi(G) C
G, ∀i ∈ Z+, segue que gx−1g−1 ∈ γi(G), o que implica que (gx−1g−1)x ∈ γi(G). Usando
novamente a normalidade de γi(G) em G, concluímos que g−1(gx−1g−1x)g ∈ γi(G), isto é,
g−1gx−1g−1xg = x−1g−1xg = [x, g] ∈ γi(G). Portanto, concluímos que [γi(G), G] ⊆ γi(G), ou
seja, γi+1(G) ⊆ γi(G).
De nição 1.4. Sejam G um grupo, I um conjunto de índices totalmente ordenado e F = {Gi}i∈I uma família de subgrupos de G. Dizemos que F é uma ltração (ou série) do grupo
G se Gi ⊆ Gj, sempre que i ≤ j, para todos i, j ∈ I. E, dizemos que F é uma ltração
descendente (ou série descendente) do grupo G se Gi ⊆ Gj, sempre que j ≤ i, para
todos i, j ∈ I.
De nição 1.5. Sejam G um grupo e F = {Gi}i∈Z+ uma ltração (ou série) de G.
Dize-mos que F é uma ltração normal (ou série normal) de G se, ∀i ∈ Z+, Gi C Gi+1.
Neste caso, de nimos o comprimento de uma ltração normal (ou série normal) como sendo o número de grupos quocientes não-triviais da forma Gi+1/Gi, ∀i ∈ Z+.
Deno-minamos tais grupos quocientes de grupos fatores. De forma análoga de nimos ltração (ou série) normal descendente e comprimento de uma ltração (ou série) normal descendente.
De nição 1.6. Seja G um grupo. A série central descendente de G é a seguinte ltração descendente:
G = γ1(G) ≥ γ2(G) ≥ . . .1
De nição 1.7. Dizemos que um grupo G é nilpotente se existe c ∈ Z+ tal que γc+1(G) =1.
O menor inteiro positivo c para o qual tal propriedade vale é chamado classe de nilpotência de G.
Proposição 1.11. Sejam G, H grupos, ϕ : G → H um homomor smo de grupos e A um subgrupo de G. Se A = γ1(A) ≥ γ2(A) ≥ · · · ≥ γk(A) ≥ · · · é a série central descendente de
A, então ϕ(A) = ϕ(γ1(A)) ≥ ϕ(γ2(A)) ≥ · · · ≥ ϕ(γk(A)) ≥ · · · é a série central descendente
de ϕ(A). Em particular, se A é nilpotente, então ϕ(A) é nilpotente.
Demonstração. Basta que mostremos que γk(ϕ(A)) = ϕ(γk(A)), ∀k ∈ Z+. Façamos a
de-monstração por indução sobre k ∈ Z+.
Para k = 1, ϕ(γ1(A)) = ϕ(A) = γ1(ϕ(A)).
Para k > 1, usando o Lema 1.18 (p. 13) e a hipótese de indução,
ϕ(γk(A)) = ϕ([γk−1(A), A]) = [ϕ(γk−1(A)), ϕ(A)] = [γk−1(ϕ(A)), ϕ(A)] = γk(ϕ(A)).
Agora, se A é nilpotente, então existe s ∈ Z+ tal que γs+1(A) = 1. Daí que γs+1(ϕ(A)) =
ϕ(γs+1(A)) = ϕ(1) = 1 e, portanto, ϕ(A) é nilpotente.
Lema 1.21. Sejam G um grupo nilpotente com classe de nilpotência s, G = γ1(G) ≥ . . . ≥ γs(G) ≥1
a série central descendente de G, H C G tal que H ⊆ γs(G) e
G/H = γ1(G/H) ≥ γ2(G/H) ≥ . . .
série central descendente de G/H. Então, para 1 ≤ i ≤ s, γi(G/H) = γi(G)/H.
Demonstração. Observemos que pela Proposição 1.11 (p. 15), G/H é grupo nilpotente com classe de nilpotência s. Façamos a demonstração por indução sobre i.
Para o caso i = 1 temos que γ1(G/H) = G/H = γ1(G)/H.
Para o caso 1 < i ≤ s, sendo π : G G/H o homomor smo de grupos projeção canônica, segue que, usando o Lema 1.18 (p. 13) e a hipótese de indução,
γi(G/H) = [γi−1(G/H), G/H] = [γi−1(G)/H, G/H] = [π(γi−1(G)), π(G)] =
= π([γi−1(G), G]) = [γi−1(G), G]/H = γi(G)/H.
Lema 1.22. Sejam G um grupo, H, S subgrupos de G, H = γ1(H) ≥ γ2(H) ≥ . . . série
central descendente de H e H ∩ S = γ1(H ∩ S) ≥ γ2(H ∩ S) ≥ . . . série central descendente
de H ∩ S. Então, ∀i ∈ Z+,
γi(H ∩ S) ⊆ γi(H).
Em particular, se H é subgrupo nilpotente, então H ∩ S é subgrupo nilpotente. Demonstração. Façamos a demonstração por indução sobre i ∈ Z+.
Caso i = 1, γ1(H ∩ S) = H ∩ S ⊆ H = γ1(H).
Para o caso i > 1, usando a hipótese de indução,
γi+1(H ∩ S) = [γi(H ∩ S), H ∩ S] ⊆ [γi(H), H] = γi+1(H).
Caso H seja subgrupo nilpotente, existe s ∈ Z+ tal que γs+1(H) = 1. Pelo que foi visto
acima, γs+1(H ∩ S) ⊆ γs+1(H) =1, daí que H ∩ S é subgrupo nilpotente.
Lema 1.23. Sejam G um grupo, N, S subgrupos de G e N = γ1(N ) ≥ γ2(N ) . . . série central
a) γi(N )
γi+1(N )
é grupo abeliano, ∀i ∈ Z+;
b) γi(N ) ∩ S
γi+1(N ) ∩ S
é grupo abeliano, ∀i ∈ Z+.
Demonstração. a) Temos, ∀i ∈ Z+, que γi+1(N ) = [γi(N ), N ]. Logo, pelo Lema 1.19 (p.
14), segue que γi(N )
γi+1(N )
⊆ Z(N/γi(N )), ∀i ∈ Z+, de onde concluímos que
γi(N ) γi+1(N ) é abeliano ∀i ∈ Z+. b) Observemos que [γi(N ) ∩ S, γi(N ) ∩ S] ⊆ [γi(N ) ∩ S, N ∩ S] ⊆ [γi(N ), N ] ∩ S = γi+1(N ) ∩ S, logo γi(N ) ∩ S γi+1(N ) ∩ S
tem grupo comutador [γi(N ) ∩ S, γi(N ) ∩ S]
γi+1(N ) ∩ S
, que grupo é trivial. Portanto, pelo Corolário 1.2 (p. 8), γi(N ) ∩ S
γi+1(N ) ∩ S
é grupo abeliano, ∀i ∈ Z+.
Lema 1.24. Seja G um grupo. Então, dados a, b, c ∈ G, temos que a)
[c, ab] = [c, b][c, a][c, a, b]. b)
[ab, c] = [a, c][a, c, b][b, c]. Demonstração. Para mostrar o item a) do enunciado, temos que
[c, ab] = c−1b−1a−1cab = c−1b−1cbb−1c−1a−1cab =
= [c, b]b−1[c, a]b = [c, b][c, a][c, a]−1b−1[c, a]b = [c, b][c, a][[c, a], b]. E, para mostrar o item b) do enunciado, temos que
[ab, c] = b−1a−1c−1abc = b−1a−1c−1acbb−1c−1bc = b−1a−1c−1acb[b, c] = = b−1[a, c]b[b, c] = [a, c][a, c]−1b−1[a, c]b[b, c] = [a, c][[a, c], b][b, c].
Corolário 1.3. Seja G um grupo. Então, dados n ∈ Z+, a, b, c1, . . . , cn∈ G, temos que
a) [c1, . . . , cn, ab] = [c1, . . . , cn, b][c1, . . . , cn, a][c1, . . . , cn, a, b].
b) [ab, [c1, . . . , cn]] = [a, [c1, . . . , cn]] · [a, [c1, . . . , cn], b] · [b, [c1, . . . , cn]].
Demonstração. Basta usarmos o Lema 1.24 (p. 17) para c = [c1, . . . , cn].
Lema 1.25 (Identidade de Hall-Witt). Seja G um grupo. Então, dados a, b, c ∈ G, temos que
Demonstração. Observe que
b−1[a, b−1, c]b = b−1[a, b−1]−1c−1[a, b−1]cb = b−1[b−1, a]c−1a−1bab−1cb = = b−1ba−1b−1ac−1a−1bab−1cb = a−1b−1ac−1a−1bab−1cb. De namos g1 := a−1b−1ac−1a−1, g2 := b−1c−1ba−1b−1 e g3 := c−1a−1cb−1c−1. Segue que g−12 = bab−1cb. Logo, b−1[a, b−1, c]b = g1g−12 .
Através de cálculos análogos, obtemos as seguintes igualdades: c−1[b, c−1, a]c = g2g3−1 e a
−1
[c, a−1, b]a = g3g1−1.
Desta forma, segue que
b−1[a, b−1, c]bc−1[b, c−1, a]ca−1[c, a−1, b]a = g1g2−1g2g−13 g3g1−1 = 1G.
Lema 1.26 (Lema dos Três Subgrupos). Sejam G um grupo, N C G e A, B, C subgrupos de G. Se [A, B, C], [B, C, A] ⊆ N, então [C, A, B] ⊆ N.
Demonstração. Observe que a Demonstração do Lema 1.20 (p. 14) é su ciente para a rmar que [C, A, B] é subgrupo de G gerado por elementos da forma [c, a−1, b], com c ∈ C, a ∈ A e
b ∈ B. Agora, como [A, B, C], [B, C, A] ⊆ N e N C G, concluímos que b−1[a, b−1, c]b ∈ N e c−1[b, c−1, a]c ∈ N.
Pelo Lema 1.25 (p. 17) (Identidade de Hall-Witt), temos também que a−1[c, a−1, b]a ∈ N,
daí que, como N C G, [c, a−1, b] = a(a−1[c, a−1, b]a)a−1 ∈ N. Visto que [C, A, B] é subgrupo
de G gerado por elementos da forma [c, a−1, b], com c ∈ C, a ∈ A e b ∈ B, concluímos assim
que [C, A, B] ⊆ N.
Proposição 1.12. Sejam G um grupo e G = γ1(G) ≥ γ2(G) ≥ . . .a série central descendente
de G. Então, dados i, j ∈ Z+, temos que
[γi(G), γj(G)] ⊆ γi+j(G)
Demonstração. Procedamos por indução sobre j. Caso j = 1 e i ∈ Z+, a a rmação segue
da de nição de γi+1(G). Caso j > 1 e i ∈ Z+, suponhamos, pela hipótese de indução que
[γi(G), γj(G)] ⊆ γi+j(G), ∀i ∈ Z+, observemos que [γi(G), γj+1(G)] = [γj+1(G), γi(G)] =
[γj(G), G, γi(G)] ⊆ γi+j+1(G), como γi+j+1(G) C G pela Proposição 1.10 a) (p. 14), basta
mostrarmos que
[G, γi(G), γj(G)] ⊆ γi+j+1(G) e [γi(G), γj(G), G] ⊆ γi+j+1(G).
Por um lado, usando a hipótese de indução, temos que
[γi(G), γj(G), G] = [[γi(G), γj(G)], G] = [γi+j(G), G] = γi+j+1(G).
E, por outro lado, usando novamente a hipótese de indução, segue que
[G, γi(G), γj(G)] = [[G, γi(G)], γj(G)] = [[γi(G), G], γj(G)] = [γi+1(G), γj(G)] ⊆ γi+j+1(G).
Lema 1.27. Sejam G um grupo e G = γ1(G) ≥ γ2(G) ≥ . . . a série central descendente de
G. Dados n, s ∈ Z+∪ {0}e c1, . . . , cn, d1, . . . , ds, a, b ∈ G, temos que
[c1, . . . , cn, ab, d1, . . . , ds] ∈ [c1, . . . , cn, a, d1, . . . , ds] · [c1, . . . , cn, b, d1, . . . , ds]γs+n+2(G).
Demonstração. A demonstração será feita por indução sobre s.
Caso s = 0, para todo n ∈ Z+∪ {0}, pelo Corolário 1.3 a) (p. 17), segue que
[c1, . . . , cn, ab] =
[c1, . . . , cn, b][c1, . . . , cn, a][c1, . . . , cn, a, b] ∈ [c1, . . . , cn, b][c1, . . . , cn, a]γn+2(G),
logo, pelo Lema 1.23 a) (p. 16),
[c1, . . . , cn, ab] ∈ [c1, . . . , cn, a][c1, . . . , cn, b]γn+2(G).
Para o caso s > 0 e para todo n ∈ Z+∪ {0}, de namos
ω := [c1, . . . , cn, ab, d1, . . . , ds], ω1 := [c1, . . . , cn, a, d1, . . . , ds−1],
ω2 := [c1, . . . , cn, b, d1, . . . , ds−1]. (1.3)
Pela hipótese de indução,
[c1, . . . , cn, ab, d1, . . . , ds−1] = [c1, . . . , cn, a, d1, . . . , ds−1][c1, . . . , cn, b, d1, . . . , ds−1]β,
onde β ∈ γs+n+1(G). Daí que ω = [ω1ω2β, ds]. Pelo Lema 1.24 b) (p. 17) e pela Proposição
1.12 (p. 18), temos que
ω = [ω1ω2β, ds] = [ω1ω2, ds][ω1ω2, ds, β][β, ds] ∈
[ω1ω2, ds][γn+s(G), G, γn+s+1(G)][γn+s+1(G), G] ⊆ [ω1ω2, ds]γ2(n+s+1)(G)γn+s+2(G) ⊆
[ω1ω2, ds]γn+s+2(G).
Novamente pelo Lema 1.24 b) (p. 17), concluímos que
[ω1ω2, ds] = [ω1, ds][ω1, ds, ω2][ω2, ds],
onde [ω1, ds, ω2] ∈ [γn+s(G), G, γn+s(G)] ⊆ γ2(n+s)+1(G) pela Proposição 1.12 (p. 18). Daí
que
[ω1ω2, ds] ∈ [ω1, ds][ω2, ds]γ2(n+s)+1(G),
pois γ2(n+s)+1(G) C G e, portanto,
ω ∈ [ω1ω2, ds]γn+s+2(G) ⊆ [ω1, ds][ω2, ds]γ2(n+s)+1(G)γn+s+2(G) ⊆ [ω1, ds][ω2, ds]γn+s+2(G).
1.1.3 Ações de Grupos sobre Conjuntos e sobre Grupos
Ações de Grupos sobre Conjuntos
Notação 1.5. Seja X um conjunto não-vazio. Denotaremos por P erm(X) o grupo de permutações2 de X.
De nição 1.8. Sejam G, H grupos. Um anti-homomor smo de G em H é uma função ϕ : G → H tal que ϕ(g1g2) = ϕ(g2)ϕ(g1), para todos g1, g2 ∈ G.
De nição 1.9. Sejam X um conjunto não-vazio e F um grupo. Dizemos que F age à direita sobre X se existe um anti-homomor smo de grupos α : F → P erm(X), denominado ação à direita de F sobre X (observe que α(f) é uma bijeção de X). Denotaremos α(f)(x) por xf, ∀f ∈ F e ∀x ∈ X.
Observação 1.1. Sejam X um conjunto não-vazio e F um grupo agindo à direita sobre X. Temos, então, as seguintes regras:
x1F = x, (xf1)f2 = xf1f2 e (xf)f−1 = (xf−1)f = x,
para todos f1, f2, f ∈ F, x ∈ X.
Sejam X um conjunto não-vazio e F um grupo. Dizemos também que F age à esquerda sobre X se existe um homomor smo de grupos β : F → P erm(X), denominado ação à esquerda de F sobre X. Denotamos β(f)(x) por fx, ∀f ∈ F e ∀x ∈ X.
Neste caso, com relação às regras descritas na Observação 1.1 (p. 20), dados f1, f2 ∈ F
e x ∈ X, temos que f1f2x = f1(f2x). As demais regras na Observação 1.1 (p. 20) valem de
forma idêntica para a ação à esquerda.
Outro fato a se observar é que, sendo β : F → P erm(X) uma ação à esquerda de F sobre X, podemos obter α : F → P erm(X), que é uma ação à direita de F sobre X, bastando para isso que de namos
α(f )(x) := β(f−1)(x), isto é, xf :=f−1x.
Analogamente, obtemos de uma ação à direita uma outra ação à esquerda. Nesta Dissertação,
toda ação de um grupo sobre um conjunto não-vazio será à direita.
Proposição 1.13. Sejam X um conjunto não-vazio e F um grupo. Então, F age à direita sobre X se, e somente se, existe uma função a : X × F → X tal que, ∀x ∈ X e f, f1, f2 ∈ F,
i) a(x, 1F) = x;
ii) a(x, f1f2) = a(a(x, f1), f2).
Demonstração. Caso F aja à direita sobre X, de namos a : X × F → X por a(x, f) := xf.
Pela Observação 1.1 (p. 20), temos que a satisfaz i) e ii) do enunciado. Reciprocamente, caso exista uma função a : X × F → X satisfazendo i) e ii) do enunciado, de namos α : F → P erm(X) por α(f)(x) := a(x, f). Vamos mostrar primeiramente que α(f) ∈ P erm(X), ∀f ∈ F. O que equivale a mostrar que α(f) é uma bijeção de X, ∀f ∈ F . Dado x ∈ X,
α(f−1)α(f )(x) = α(f−1)(a(x, f)) = a(a(x, f), f−1) =a(x, ff−1) =a(x, 1F) = x =
=a(x, 1F) = a(x, f−1f ) =a(a(x, f−1), f ) = α(f )(a(x, f−1)) = α(f )α(f−1)(x),
logo α(f−1)é a inversa de α(f), isto é, α(f)−1 = α(f−1). Agora, precisamos mostrar que α
é anti-homomor smo de grupos. Dados f1, f2 ∈ F e x ∈ X, segue que
α(f1f2)(x) =a(x, f1f2) = a(a(x, f1), f2) = α(f2)(a(x, f1)) = α(f2)α(f1)(x).
Assim, α, de fato, é anti-homomor smo de grupos e, por de nição, F age sobre X.
De nição 1.10. Sejam X um conjunto não-vazio e F um grupo agindo à direita sobre X. Dizemos que F age trivialmente à direita sobre X se xf = x, ∀x ∈ X, f ∈ F.
Notação 1.6. Sejam X um conjunto não-vazio, Y um subconjunto de X e F um grupo agindo à direita sobre X. Então, dado f ∈ F ,
Yf := {yf ∈ X : y ∈ Y }.
De nição 1.11. Sejam X um subconjunto não-vazio, Y um subconjunto de X e F um grupo agindo à direita sobre X. Dizemos que o subconjunto Y é F -invariante se Y for invariante pela ação à direita de F sobre X, isto é, Yf ⊆ Y, para todo f ∈ F .
Proposição 1.14. Sejam X um conjunto não-vazio, Y um subconjunto de X e F um grupo agindo à direita sobre X. Se o subconjunto Y é F -invariante, então Y = Yf, para todo
f ∈ F.
Demonstração. Como Y é F -invariante, temos que Yf ⊆ Y, ∀f ∈ F, logo Yf−1
⊆ Y, o que implica que Y = Yf−1f
= (Yf−1)f ⊆ Yf, ou seja, Y = Yf, ∀f ∈ F.
Ações de Grupos sobre Grupos
Notação 1.7. Seja G um grupo. Denotaremos por Aut(G) o grupo de automor smos de G. De nição 1.12. Sejam G, F grupos. Dizemos que F age à direita sobre G se existe um anti-homomor smo de grupos α : F → Aut(G), denominado ação à direita de F sobre G (observe que α(f) é automor smo de G). Denotaremos α(f)(g) por gf, ∀f ∈ F e ∀g ∈ G.
Observação 1.2. Sejam G um grupo e F um grupo agindo à direita sobre G. Temos, então, as seguintes regras: g1F = g, (gf1)f2 = gf1f2, (g 1g2)f = (gf1)(g f 2), (g f )f−1 = (gf−1)f = g, e (g−1)f = (gf)−1, para todos f1, f2, f ∈ F, g, g1, g2 ∈ G.
Sejam G, F grupos. Dizemos também que F age à esquerda sobre G se existe um homo-mor smo de grupos β : F → Aut(G), denominado ação à esquerda de F sobre G. Denotamos β(f )(g) porfg, ∀f ∈ F e ∀g ∈ G.
Neste caso, com relação às regras descritas na Observação 1.2 (p. 21), dados f1, f2 ∈ F
e g ∈ G, temos que f1f2g = f1(f2g). As demais regras na Observação 1.2 (p. 21) valem de
forma idêntica para a ação à esquerda.
Outro fato a se observar é que, sendo β : F → Aut(G) uma ação à esquerda de F sobre G, podemos obter α : F → Aut(G), que é uma ação à direita de F sobre G, bastando para isso que de namos
α(f )(g) := β(f−1)(g), isto é, gf :=f−1g.
Analogamente, obtemos de uma ação à direita uma outra ação à esquerda. Nesta Dissertação,
toda ação de um grupo sobre outro grupo será à direita.
Exemplo 1.1. Sejam G um grupo e F um subgrupo de G. A conjugação à direita de elementos de G por elementos de F , isto é, gf := f−1gf, ∀f ∈ F, g ∈ Gé uma ação à direita
de F sobre G. Dizemos que F age à direita sobre G via conjugação à direita.
Proposição 1.15. Sejam G, F grupos. Então, F age à direita sobre G se, e somente se, existe uma função a : G × F → G tal que, ∀g, g1, g2 ∈ G e f, f1, f2 ∈ F,
i) a(g, 1F) = g
ii) a(g, f1f2) =a(a(g, f1), f2);
iii) a(g1g2, f ) =a(g1, f )a(g2, f );
Demonstração. Caso F aja à direita sobre G, de namos a : G × F → G por a(g, f) := gf.
Pela Observação 1.2 (p. 21), temos que a satisfaz i), ii) e iii) do enunciado. Reciprocamente, caso exista uma função a : G × F → G satisfazendo i), ii) e iii) do enunciado, de namos α : F → Aut(G) por α(f)(g) = a(g, f). Para mostrarmos que α é um anti-homomor smo de grupos, pela Demonstração da Proposição 1.13 (p. 20), basta mostrarmos que, ∀f ∈ F , α(f )é homomor smo de grupos. Sendo assim, dados f1, f2 ∈ F e g ∈ G, segue que
α(f1f2)(g) =a(g, f1f2) = a(a(g, f1), f2) = α(f2)(a(g, f1)) = α(f2)α(f1)(g).
Portanto, α, de fato, é anti-homomor smo de grupos e, por de nição, F age sobre G. De nição 1.13. Sejam G um grupo e F um grupo agindo à direita sobre G. Dizemos que F age trivialmente à direita sobre G se gf = g, ∀g ∈ G, f ∈ F.
De nição 1.14. Sejam G um grupo, F1 um grupo agindo à direita sobre G e F2 um grupo
agindo à direita sobre F1 e sobre G. Dizemos que a ação à direita de F2 é compatível
com a ação à direita de F1 sobre G se, dados g ∈ G, f1 ∈ F1 e f2 ∈ F2,
Exemplo 1.2. Sejam G um grupo, F1 um grupo agindo à direita sobre G via conjugação à
direita e F2 um grupo agindo à direita sobre F1 e sobre G via conjugação à direita. Temos,
então, que a ação à direita de F2 é compatível com a ação à direita de F1 sobre G.
Proposição 1.16. Sejam G um grupo, Hom(G, R) visto como grupo munido da operação (v1+ v2)(g) = v1(g) + v2(g), ∀g ∈ G, v1, v2 ∈ Hom(G, R)e F um grupo agindo à direita sobre
G. Então, F age à direita sobre Hom(G, R) através da seguinte ação: vf(g) = v(gf−1),
para todo g ∈ G, f ∈ F, v ∈ Hom(G, R).
Demonstração. De nindo-se a : Hom(G, R) × F → Hom(G, R) por a(v, f)(g) = vf(g) =
v(gf−1), pela Proposição 1.15 (p. 22), basta mostrar os seguintes itens: i) v1F = v, ∀v ∈ Hom(G, R); ii) (vf1)f2 = vf1f2, ∀f 1, f2 ∈ F, v ∈ Hom(G, R); iii) (v1+ v2)f = v1f + v f 2, ∀f ∈ F, v1, v2 ∈ Hom(G, R).
Façamos, então, a demonstração de i), ii) e iii) a seguir.
i) Dados v ∈ Hom(G, R) e g ∈ G, v1F(g) = v(g1−1F ) = v(g). Logo, v1F = v.
ii) Dados v ∈ Hom(G, R), f1, f2 ∈ F e g ∈ G, temos que (vf1)f2(g) = (vf1)(gf
−1 2 ) =
v((gf2−1)f1−1) = v(gf2−1f1−1) = v(g(f1f2)−1) = vf1f2(g). Logo, (vf1)f2 = vf1f2.
iii) Dados v1, v2 ∈ Hom(G, R), f ∈ F e g ∈ G, segue que (v1+ v2)f(g) = (v1+ v2)(gf
−1 ) = v1(gf −1 ) + v2(gf −1 ) = vf1(g) + v2f(g) = (v1f + v2f)(g). Portanto, (v1 + v2)f = v1f + v f 2.
Lema 1.28. Sejam G um grupo, H C G e F um grupo agindo à direita sobre G. Então, Hf C G, ∀f ∈ F .
Demonstração. O resultado segue do fato de que, para todo f ∈ F , a ação de f sobre G é isomor smo de grupos.
Lema 1.29. Sejam G um grupo, H um subgrupo de G e F um grupo agindo à direita sobre G. Se [G : H] < ∞, então [G : Hf] < ∞, ∀f ∈ F.
Demonstração. Seja α : F → Aut(G) a ação à direita de F sobre G. Temos, então, que, dado f ∈ F , α(f)(G) = G, isto é, Gf = G, ∀f ∈ F. Por hipótese, [G : H] < ∞, logo, pela
Proposição 1.4 (p. 8), temos que [α(f)(G) : α(f)(H)] < ∞, ∀f ∈ F , isto é, [G : Hf] <
∞, ∀f ∈ F.
Lema 1.30. Sejam G um grupo, H um subgrupo de G e F um grupo agindo à direita sobre G. Então, H0 :=
\
f ∈F
Demonstração. Dado f0 ∈ F, H0f0 = ( \ f ∈F Hf)f0 = \ f ∈F Hf f0 = \ f f0∈F Hf f0 = \ γ∈F Hγ = H0,
onde γ = ff0. Portanto, H0 é F -invariante.
Proposição 1.17. Sejam G um grupo, H C G e F um grupo agindo à direita sobre G. Se H é F -invariante, então existe ação à direita de F sobre G/H, de nida por
(gH)f := gfH, (1.4)
para todo f ∈ F e para toda classe lateral gH ∈ G/H.
Demonstração. Vamos mostrar que a ação de nida em (1.4) (p. 24) está bem de nida. Primeiramente, temos que gfH ∈ G/H, uma vez que que gf ∈ G, pois F age à direita
sobre G. Agora, dados g1H, g2H ∈ G/H, se g1H = g2H, então g2−1g1 ∈ H e, como H é
F-invariante, (g2−1g1)f ∈ H, ∀f ∈ F, portanto (g2−1g1)f = (g−12 )fg f 1 = (g f 2)−1g f 1 ∈ H e, assim,
g1fH = g2fH. Resta mostrar que em (1.4) (p. 24) temos de fato uma ação. De namos a : G/H × F → G/H por a(gH, f) = (gH)f, para toda classe lateral gH ∈ G/H. Pela
Proposiçao 1.15 (p. 22) basta mostrarmos que a satisfaz i), ii) e iii) dessa mesma Proposição. É o que faremos a seguir, dados f1, f2, f ∈ F e g1, g2, g ∈ G.
i) a(gH, 1F) = (gH)1F = g1FH = gH.
ii) a(gH, f1f2) = (gH)f1f2 = gf1f2H = (gf1)f2H = (gf1H)f2 = ((gH)f1)f2 =
a((gH)f1, f
2) = a(a(gH, f1), f2).
iii) a(g1H · g2H, f ) = a(g1g2H, f ) = (g1g2H)f = (g1g2)fH = g1fg f 2H = g f 1H · g f 2H = a(g1H, f )a(g2H, f ).
1.1.4 Alguns Resultados sobre Grupos Finitamente Gerados
De nição 1.15. Seja G um grupo. Dizemos que G é um grupo nitamente gerado se existe um subconjunto nito X de G tal que G = hXi, isto é,
G = {xε1
1 . . . x εn
n ∈ G : n percorre o conjunto Z+, xj ∈ X e εj ∈ {−1, 0, 1}, com 1 ≤ j ≤ n}.
Neste caso, dizemos que G é grupo nitamente gerado por X, ou que o subconjunto nito X gera o grupo G, ou ainda que X é um conjunto nito de geradores do grupo G.
Proposição 1.18. Sejam G, H grupos e ϕ : G → H um homomor smo de grupos. Se G é grupo nitamente gerado, então ϕ(G) é grupo nitamente gerado. Em particular, se H C G e G é um grupo nitamente gerado, então G/H é um grupo nitamente gerado.
Demonstração. Sejam n ∈ Z+ e X = {g1, . . . , gn} um conjunto nito de geradores do grupo
G. Então, G = hg1, . . . , gni e, portanto, ϕ(G) = ϕ(hg1, . . . , gni) = hϕ(g1), . . . , ϕ(gn)i. De
fato, dado h ∈ ϕ(G), temos que h = ϕ(g), para algum g ∈ G. Como G é grupo gerado pelo subconjunto nito X, segue que g = gε1
i1 . . . g
εs
