Doravante, xaremos G como sendo um grupo solúvel de tipo F P∞ e F como
sendo um grupo nito agindo à direita sobre G.
Teorema 4.1. Existe N C G tal que N é subgrupo nilpotente F -invariante e G/N é grupo abeliano-por- nito nitamente gerado.
Demonstração. Pelo Teorema 3.2 (p. 114), G é um grupo nilpotente-por-abeliano-por- nito, logo existe N0CG, N0é grupo nilpotente tal que G/N0é grupo abeliano-por- nito nitamente
gerado. O que queremos é mostrar a existência de um subgrupo normal N de G que possua essas propriedades de N0 e que ainda seja um conjunto F -invariante.
Pela de nição de ação de grupo sobre grupo, segue que N0 ∼= N f
0, como grupos, ∀f ∈ F .
Daí que, como N0 é grupo nilpotente, concluímos que N0f também o é. Observemos que, pelo
Lema 1.28 (p. 23), obtemos que Nf
0 C G, ∀f ∈ F .
Vamos mostrar agora que, ∀f ∈ F , G/N0 ∼= G/N f
0. Dado f ∈ F , seja ϕ∗f : G/N0 → G/N f 0
uma função de nida por
ϕ∗f(gN0) = gfN0f,
para toda classe lateral gN0 ∈ G/N0. Vamos demonstrar os seguintes itens abaixo.
i) ϕ∗
f está bem de nida:
Sejam g1N0, g2N0 ∈ G/N0. Se g1N0 = g2N0, então g−12 g1 ∈ N0, logo (g−12 g1)f ∈
N0f, portanto (g−12 )fg1f = (gf2)−1gf1 ∈ N0f, daí que g1fN0f = g2fN0f, isto é, ϕ∗f(g1N0) =
ϕ∗f(g2N0). ii) ϕ∗ f é sobrejetiva: Seja gNf 0 ∈ G/N f 0. Temos que gN f 0 = (gf −1
)fN0f = ϕ∗f(gf−1N0), onde a classe lateral
gf−1N0 ∈ G/N0, pois gf
−1
iii) ϕ∗ f é injetiva: Sejam g1N0, g2N0 ∈ G/N0. Se ϕ∗f(g1N0) = ϕ∗f(g2N0), então g1fN f 0 = g f 2N f 0, logo
(gf2)−1gf1 ∈ N0f, portanto (g2−1g1)f ∈ N0f, daí que g −1 2 g1 = ((g2−1g1)f)f −1 ∈ (N0f)f−1 = N0 e, consequentemente, g1N0 = g2N0. iv) ϕ∗ f é homomor smo de grupos: Sejam g1N0, g2N0 ∈ G/N0. Então, ϕ∗f(g1N0· g2N0) = ϕf∗(g1g2N0) = (g1g2)fN f 0 = g f 1g f 2N f 0 = = g1fN0f · g2fN0f = ϕ∗f(g1N0)ϕ∗f(g2N0).
Segue, assim, que ϕ∗
f é isomor smo de grupos, daí que G/N f
0 é também grupo abeliano-por-
nito nitamente gerado, ∀f ∈ F . Temos, então, que ∀f ∈ F, Nf
0 herda as características de N0, uma vez que N0f C G, N f 0 é
um grupo nilpotente e G/Nf
0 é um grupo abeliano-por- nito nitamente gerado. No entanto,
N0f ainda não é, necessariamente, um conjunto F -invariante. Seja
N := \
f ∈F
N0f.
Tal intersecção é nita, uma vez que F é um conjunto nito. Como Nf
0 C G, ∀f ∈ F , temos,
pelo Lema 1.2 (p 4), que N C G. Temos também que N é um grupo nilpotente, uma vez que, dado f ∈ F , N é subgrupo de Nf
0 e N f
0 é um grupo nilpotente. Além disso, pelo Lema
1.11 (p. 11), segue que G/N é grupo abeliano-por- nito. E, ainda, como G é grupo de tipo F P∞, temos que G é grupo nitamente gerado pela Proposição 3.9 (p. 108), daí que, pela
Proposição 1.18 (p. 24), G/N também é grupo nitamente gerado. E, nalmente, pelo Lema 1.30 (p. 23), temos que N é um conjunto F -invariante.
Daqui em diante consideraremos N como subgrupo nilpotente, normal em G, F-invariante e G/N grupo abeliano-por- nito nitamente gerado, onde G continua sendo um grupo solúvel de tipo F P∞ e F um grupo nito agindo à direita sobre G.
Lema 4.6. Existe H C G tal que [G : H] < ∞, H/N é grupo abeliano livre nitamente gerado e H é F -invariante.
Demonstração. Como G/N é grupo abeliano-por- nito nitamente gerado, existe H0C G tal
que H0/N C G/N, H0/N é grupo abeliano e (G/N)/(H0/N ) ∼= G/H0 é grupo nito, isto é,
[G : H0] < ∞.
Do fato de G ser grupo nitamente gerado (pela Proposição 3.9 (p. 108), pois G é grupo de tipo F P∞) e [G : H0] < ∞, segue da Proposição 1.27 (p. 36) que H0 é grupo nitamente
gerado e, daí que, H0/N é grupo nitamente gerado pela Proposição 1.18 (p. 24). Como
H0/N é também grupo abeliano, temos, pelo Teorema 1.5 (p. 26), que
onde K = {x ∈ H0/N : |x| < ∞} é um subgrupo nito de H0/N e n ∈ Z+ é o posto livre de
torção de H0/N.
Seja π : H0 H0/N o epimor smo de grupos projeção canônica. De namos
H1 := π−1(Zn).
Do Teorema 1.4 (p. 4) (Teorema de Correspondência para Grupos),
H1 é subgrupo de H0 e N ⊆ H1 (4.2)
e, como H0/N é grupo abeliano, segue que ZnC H0/N e, portanto, H1C H0 pelo Teorema
1.4 (p. 4) (Teorema de Correspondência para Grupos). Temos também, pela Proposição 1.4 (p. 8), que
[H0 : H1] = [π(H0) : π(H1)] = [Zn⊕ K : Zn] = |K| < ∞.
Assim, como [G : H0], [H0 : H1] < ∞, pelo Teorema de Lagrange,
[G : H1] = [G : H0] · [H0 : H1] < ∞. (4.3) De namos H2 := \ g∈G g−1H1g.
Como N C G e por (4.2) (p. 126), segue que N ⊆ g−1N g ⊆ g−1H
1g, ∀g ∈ G, logo
N ⊆ \
g∈G
g−1H1g = H2. (4.4)
Por (4.3) (p. 126) e pelo Lema 1.5 (p. 5), H2 =
\
t∈T
t−1H1t, onde T é um subconjunto nito
de G. Como a conjugação à direita por elementos de G é uma ação à direita de G sobre si mesmo, segue do Lema 1.28 (p. 23) e do Lema 1.29 (p. 23) que, para todo t ∈ T , t−1H
1t C G
e [G : t−1H
1t] < ∞, respectivamente, e assim, como T é nito, pelos Lemas 1.2 (p. 4) e 1.12
(p. 11), temos, respectivamente, que
H2C G e [G : H2] < ∞.
Por outro lado, pelo Teorema 1.4 (p. 4) (Teorema de Correspondência para Grupos), H2/N
é subgrupo de H1/N = Zn, logo H2/N é grupo livre de torção.
De namos agora
H3 :=
\
f ∈F
H2f,
onde estamos utilizando a ação à direita de F sobre G. Como N é F -invariante, pela Pro- posição 1.14 (p. 21), temos que, ∀f ∈ F, N = Nf. Por (4.4) (p. 126), temos também
Nf ⊆ Hf
2, ∀f ∈ F, segue que
N ⊆ \
f ∈F
Temos ainda, pelo Lema 1.30 (p. 23), que
H3 é F -invariante.
Pelo Lema 1.28 (p. 23) juntamente com o Lema 1.2 (p. 4), temos que H3C G.
Além disso, como [G : H2] < ∞, pelo Lema 1.29 (p. 23), segue que [G : H2f] < ∞, portanto,
como F é conjunto nito, pelo Lema 1.12 (p. 11), temos que [G : H3] < ∞.
Observemos que H1 = π−1(Zn) é grupo livre de torção e abeliano, logo, H2 também o
é, pois H2 é subgrupo de H1. Daí que H f
2 tem também essa mesma propriedade, já que
H2f ∼= H2. E, consequentemente, também H3 =
\
f ∈F
H2f, o que garante, por m, que H3/N é
grupo livre de torção e abeliano.
Por outro lado, H3 é subgrupo de G e [G : H3] < ∞. Como G é grupo nitamente gerado
pela Proposição 3.9 (p. 108), segue que H3 é grupo nitamente gerado e, portanto, H3/N
é grupo nitamente gerado. Assim, H3/N é grupo abeliano, nitamente gerado e livre de
torção, logo H3/N ∼= Zm, para algum m ∈ Z+. De namos, então,
H := H3.
Recordemos que G é um grupo solúvel de tipo F P∞, F é um grupo nito agindo à
direita sobre G, N é um subgrupo normal em G, nilpotente, F -invariante e G/N é um grupo abeliano-por- nito nitamente gerado.
Proposição 4.3. [14, Proposition 3.9, p. 143] Seja C um subgrupo de G tal que CG/N(F ) =
C/N, como na Observação 4.1 (p. 119). Então, C é grupo de tipo F P∞.
Demonstração. Consideremos H como sendo o mesmo grupo do Lema 4.6 (p. 125). Como H e N são F -invariantes, pela Proposição 1.17 (p. 24), temos ação à direita de F sobre o grupo H/N de nida por (hN)f := hfN, para toda classe lateral hN ∈ H/N e ∀f ∈ F . Como
também H/N é grupo abeliano nitamente gerado, pela Proposição 4.1 (p. 119),
existem C1 ≤ CH/N(F ) e T1 ≤ AnnH/N(e)que são F -invariantes tais que (H/N)|F |≤ C1T1,
onde C1T1 é subgrupo de H/N e
[CH/N(F ) : C1] < ∞; (4.5)
[H/N : (H/N )|F |] < ∞; (4.6)
Como H/N é grupo livre de torção, por (4.7) (p. 127), concluímos que CH/N(F ) ∩ T1 =1,
portanto
C1∩ T1 =1.
Temos, assim, que C1T1 é subgrupo de H/N e C1∩ T1 = 1, logo C1T1 = C1× T1 (produto
direto de grupos).
Seja ψ : G G/N o epimor smo de grupos projeção canônica. Logo, ψ(H) = H/N. De namos
H1 := ψ−1(C1× T1) ≤ H,
T0 := ψ−1(T1) e C0 := ψ−1(C1).
Então,
H1/N = C0/N × T0/N.
Agora, como F age trivialmente à direita sobre CH/N(F ) e C0/N = C1 ⊆ CH/N(F ), segue
que F age trivialmente à direita sobre C0/N. Lembremos que T0/N = T1 é F -invariante.
Observemos que H1/N é grupo abeliano nitamente gerado pela Proposição 1.20 (p. 26),
pois H/N é grupo abeliano nitamente gerado e H1/N é subgrupo de H/N pelo Teorema
1.4 (p. 4) (Teorema de Correspondência para Grupos). Além disso, por (4.6) (p. 127), [H/N : (H/N )|F |] < ∞, e, pelo Teorema de Lagrange,
[H/N : (H/N )|F |] = [H/N : C1× T1] · [C1× T1 : (H/N )|F |],
logo [H/N : C1× T1] < ∞. Pela Proposição 1.2 a) (p. 6),
[ψ−1(H/N ) : ψ−1(C1× T1)] = [H/N : C1× T1] < ∞.
Mas, ψ−1(H/N ) = H e ψ−1(C
1 × T1) = H1, portanto
[H : H1] < ∞.
Usando que [G : H] < ∞, G é grupo de tipo F P∞ e a Proposição 3.12 (p. 113), temos que
H é grupo de tipo F P∞, daí que, pela Proposição 3.12 (p. 113),
H1 também é grupo de tipo F P∞.
Pela Observação 1.13 (p. 64), temos que N/N0 admite estrutura de Z(H
1/N )-módulo à
direita e também admite estrutura de Z(C0/N )-módulo à direita. Assim, usando o Teorema
3.3 (p. 116), para a sequência exata curta de grupos 1 → N ,→ H1
ψ
H1/N →1,
segue que Σc
N/N0(H1/N ), e consequentemente disΣcN/N0(H1/N ), estão contidos em alguma
semiesfera aberta de caracteres de H1/N, e como temos também os quatro seguintes fatos:
i) H1/N = C0/N × T0/N;
iii) T0/N é F -invariante;
iv) T0/N ⊆ AnnH1/N(ε),
estamos, então, nas hipóteses da Proposição 4.2 (p. 121). Daí que disΣc
N/N0(C0/N ) está
contido em alguma semiesfera aberta de caracteres de C0/N.
Considerando agora a sequência exata curta de grupos 1 → N ,→ C0 C0/N →1,
como H1/N é grupo abeliano nitamente gerado e C0/N é subgrupo de H1/N, segue, da
Proposição 1.20 (p. 26), que C0/N é grupo abeliano nitamente gerado. Visto ainda que
disΣN/N0(C0/N ) está contido em alguma semiesfera aberta de caracteres de C0/N, pelo Te-
orema 3.3 (p. 116),
C0 é grupo de tipo F P∞ se C0 for grupo nitamente gerado. (4.8)
Pela Proposição 1.41 (p. 65), C0 é grupo nitamente gerado se, e somente se, N/N0 é
nitamente gerado como Z(C0/N )-módulo à direita via conjugação à direita por elementos
de C0/N0. E, para mostrarmos este último fato, como C0/N é subgrupo de H1/N, basta
mostrarmos, pelo Teorema 2.1 (p. 90), que
N/N0 é Z(H1/N )-módulo à direita nitamente gerado
e
S(H1/N, C0/N ) ⊆ ΣN/N0(H1/N ).
Vamos mostrar primeiramente que N/N0 é Z(H
1/N )-módulo à direita nitamente gerado.
Aqui temos a mesma situação da Observação 1.13 (p. 64), sendo N ≤ H1 ≤ Ge sendo
1 → N/N0 ι
,→ H1/N0 ρ
H1/N →1
sequência exata curta de grupos, onde N/N0 é grupo abeliano, ι é o homomor smo de grupos
inclusão canônica e ρ está de nida por ρ(h1N0) = h1N, para toda classe lateral h1N0 ∈ H1/N0.
Ainda da Observação 1.13 (p. 64), concluímos que o grupo H1/N age à direita sobre o grupo
abeliano N/N0 via conjugação à direita por elementos do grupo H
1/N0, isto é,
(nN0)h1N := (h
1N0)−1(nN0)(h1N0), onde h1N = ρ(h1N0), (4.9)
para toda classe lateral nN0 ∈ N/N0 e para toda classe lateral h
1N ∈ H1/N, onde h1N0 ∈
H1/N0, ou seja, pela Proposição 1.33 (p. 47), N/N0 é Z(H1/N )-módulo à direita via conjuga-
ção à direita por elementos de H1/N0(onde a operação + do Z(H1/N )-módulo à direita N/N0
é a restrição da operação · do grupo H1/N0 sobre N/N0, já que consideramos, na sequência
exata curta de grupos, N/N0 como subgrupo de H 1/N).
Agora, como H1 é grupo de tipo F P∞, pela Proposição 3.9 (p. 108), H1 é grupo nita-
mente gerado e, da Proposição 1.18 (p. 24), H1/N0 é grupo nitamente gerado.
Além disso, como [H : H1] < ∞, pela Proposição 1.4 (p. 8), temos que [H/N : H1/N ] <
pela Proposição 1.27 (p. 36) e, portanto, como H1/N ainda é grupo abeliano, concluímos
que H1/N é grupo nitamente apresentável pela Proposição 1.30 (p. 42).
Desta forma, temos epimor smo de grupos ρ : H1/N0 H1/N, onde H1/N0 é grupo
nitamente gerado e H1/N é grupo nitamente apresentável. Segue da Proposição 1.31 (p.
42), que existem s ∈ Z+ e n1N0, . . . , nsN0 ∈ N/N0 tais que
N/N0 = ker(ρ) = h(n1N0)H1/N
0
, . . . , (nsN0)H1/N
0
i. (4.10)
Assim, dado nN0 ∈ N/N0, por (4.10) (p. 130) e vendo N/N0 como grupo abeliano, podemos
escrever nN0 = r Y j=1 (γjN0)−1(nijN 0 )(γjN0) εj , onde r ∈ Z+, ij ∈ {1, . . . , s}, γjN0 ∈ H1/N0 e εj ∈ {−1, 1}, logo, por (4.9) (p. 129), nN0 = r Y j=1 (nijN 0 )γjN εj
. Assim, vendo agora N/N0 como Z(H1/N )-módulo à direita via conjugação à direita por elementos de H1/N0,
temos que nN0 = r X j=1 εj(nijN 0
)γjN. Como nN0 ∈ N/N0 foi tomado arbitrário, segue que
N/N0 é gerado como Z(H1/N )-módulo à direita via conjugação à direita pelos elementos
n1N0, . . . , nsN0 ∈ H1/N0 e, portanto, nitamente gerado.
Vamos mostrar agora que
S(H1/N, C0/N ) ∩ ΣcN/N0(H1/N ) = ∅.
Seja [w] ∈ S(H1/N, C0/N ) ∩ ΣcN/N0(H1/N ). Então, por um lado, w(C0/N ) = 0 e, por
outro lado, como Σc
N/N0(H1/N ) está contido em alguma semiesfera aberta de caracteres de
H1/N, digamos um semiesfera aberta Hx, onde x ∈ H1/N, temos que, para toda classe de
equivalência [v] ∈ Σc
N/N0(H1/N ), v(x) > 0R, daí que
w(x) > 0R.
Como x ∈ H1/N = C0/N × T0/N, podemos escrever x = x1x2, com x1 ∈ C0/N e x2 ∈
T0/N. Podemos escrever também w = (w1, w2), onde w1 = wj1 ∈ Hom(C0/N, R) e w2 =
wj2 ∈ Hom(T0/N, R), sendo j1 : C0/N → H1/N e j2 : T0/N → H1/N os homomor smos
de grupos inclusões canônicas, como na Observação 2.5 (p. 88). Da Demonstração da Proposição 4.2 (p. 121), segue que Hom(C0/N, R) e Hom(T0/N, R) são grupos abelianos,
F age trivialmente à direita sobre Hom(C0/N, R) (consequentemente Hom(C0/N, R) é F -
invariante), Hom(T0/N, R) é subgrupo de AnnHom(H1/N,R)(e) e Hom(T0/N, R) é também
F-invariante, pois T0/N é F -invariante. Agora, pela Proposição 2.8 (p. 90), ΣcN/N0(H1/N ) é
um conjunto F -invariante, logo
[w]f = [(w1, w2)]f = [(w1, w2)f] = [(w1f, w f 2)]
(∗)
= [(w1, wf2)] ∈ ΣcN/N0(H1/N ), ∀f ∈ F,
onde, em (∗), usamos que F age trivialmente à direita sobre Hom(C0/N, R). Assim, temos
que,
Aqui wf
2 ∈ Hom(T0/N, R), pois Hom(T0/N, R)é F -invariante. Agora, se w2f(x2) ≤ 0R, para
algum f ∈ F \{1}, então w1(x1) > 0R. Caso contrário, isto é, se w f 2(x2) > 0R, ∀f ∈ F \{1}, então 0R (∗∗) = w2e(x2) = X f ∈F w2f(x2),
onde, em (∗∗), usamos que Hom(T0/N, R) ⊆ AnnHom(H1/N,R)(e). Daí que
w2(x2) = −
X
f ∈F \{1}
w2f(x2) < 0R
e, portanto, w1(x1) > 0R. Assim, de qualquer forma, temos que w1(x1) 6= 0R, contradizendo
o fato de que w(C0/N ) = 0. Portanto, S(H1/N, C0/N ) ∩ ΣcN/N0(H1/N ) = ∅, o que implica
que S(H1/N, C0/N ) ⊆ ΣN/N0(H1/N ). Destarte, N/N0 é nitamente gerado como Z(C0/N )-
módulo à direita via conjugação à direita por elementos de C0/N0, consequentemente C0 é
grupo nitamente gerado e, portanto, por (4.8) (p. 129), C0 é grupo de tipo F P∞.
De namos agora ˜C := ψ−1(CH/N(F )), isto é, ˜C/N = CH/N(F ).
Por (4.5) (p. 127), temos que [CH/N(F ) : C1] < ∞, portanto, pela Proposição 1.2 a) (p.
6), [ψ−1(C
H/N(F )) : ψ−1(C1)] < ∞ e, assim, [ ˜C : C0] < ∞. Desta forma, como C0 é grupo
de tipo F P∞, pela Proposição 3.12 (p. 113), segue que ˜C é grupo de tipo F P∞.
Agora, H/N, CG/N(F ) são subgrupos de G/N e [G/N : H/N] = [G : H] < ∞, segue da
Proposição 1.3 (p. 7) que
[CG/N(F ) : (H/N ) ∩ CG/N(F )] = [CG/N(F ) : CH/N(F )] < ∞.
Mas, pela Proposição 1.2 a) (p. 6), temos que
[CG/N(F ) : CH/N(F )] = [ψ−1(CG/N(F )) : ψ−1(CH/N(F ))] = [C : ˜C].
Daí que [C : ˜C] < ∞ e, pela Proposição 3.12 (p. 113), C é grupo de tipo F P∞.
Rercordemos que G é um grupo solúvel de tipo F P∞ e F é um grupo nito agindo à
direita sobre G.
Lema 4.7. [14, Lemma 3.10, p. 144] Sejam V um subgrupo abeliano, F -invariante, normal em G e C um subgrupo de G tais que CG/V(F ) = C/V, como na Observação 4.1 (p. 119). Se
V é grupo minimax, então o produto de grupos V CG(F )é subgrupo de C e [C : V CG(F )] < ∞.
Demonstração. A Demonstração deste Lema é feita em [14, Lemma 3.10, p. 144]. A mesma usa Derivações e Cohomologia de Grupos, que não foram abordados nesta Dissertação.
Recordemos que G é um grupo solúvel de tipo F P∞, F é um grupo nito agindo à
direita sobre G, N é um subgrupo normal em G, nilpotente, F -invariante e G/N é um grupo abeliano-por- nito nitamente gerado.
Proposição 4.4. [14, Proposition 3.11, p. 145] Seja C um subgrupo de G tal que CG/N(F ) =
C/N, como na Observação 4.1 (p. 119). Então, o produto NCG(F ) é subgrupo de C e é de
Demonstração. Antes de mais nada, observemos que, como N é subgrupo F -invariante, pela Proposição 1.17 (p. 24), temos ação à direita de F sobre G/N, dada por (gN)f = gfN, ∀f ∈
F e para toda classe lateral gN ∈ G/N.
Vamos mostrar que NCG(F ) é subgrupo de C. Para isso, como N C C, pois N C G, e
CG(F ) é subgrupo de G pelo Lema 4.3 (p. 118), basta mostrarmos que CG(F ) ⊆ C.
Como C/N = CG/N(F ), temos que, dado g ∈ G,
g ∈ C ⇔ a classe lateral gN ∈ CG/N(F ). (4.11)
Seja x ∈ CG(F ). Dado f ∈ F , temos que xf = x. Logo, (xN)f = xfN = xN e, portanto,
xN ∈ CG/N(F ). Daí que, por (4.11) (p. 132), x ∈ C e, consequentemente, como x ∈ CG(F )
foi tomado arbitrário, CG(F ) ⊆ C.
Agora, pela Proposição 4.3 (p. 127), temos que C é grupo de tipo F P∞. E, como NCG(F )
é subgrupo de C, segue da Proposição 3.12 (p. 113) que NCG(F ) é grupo de tipo F P∞ se
[C : N CG(F )] < ∞. Nosso objetivo, portanto, é mostrar que [C : NCG(F )] < ∞.
Seja N = γ1(N ) ≥ γ2(N ) ≥ · · · a série central descendente de N. Temos, então, que
γi+1(N ) = [γi(N ), N ] por de nição e que γi(N ) CcarN, com i ∈ Z+. Como N é subgrupo
nilpotente, existe s ∈ Z+ tal que γs+1(N ) =1, isto é, N tem classe de nilpotência igual a s.
De namos
V := γs(N ) 6=1.
Então, V CcarN, e como N C G, segue que
V C G.
Como G é grupo solúvel de tipo F P∞, segue do Teorema 3.2 (p. 114) que G é grupo
construtível. Desse fato podem ser mostrados outros dois seguintes:
i) N/N0 é grupo minimax, usando indução sobre o número de passos para se construir G
a partir do grupo trivial 1, conforme De nição 1.39 (p. 43); ii) Ns
ZN/N
0 é grupo minimax, usando que o produto tensorial sobre Z de dois grupos
abelianos minimax é grupo minimax e indução sobre o número de fatores no produto tensorial.
Pela Proposição 1.39 (p. 61), existe um único epimor smo de grupos ˆθ : Ns ZN/N 0 γs(N )de nido por ˆ θ(n1N0⊗ . . . ⊗ nsN0) = [n1, . . . , ns],
onde niN0 ∈ N/N0, com 1 ≤ i ≤ s, e s ∈ Z+ é a classe de nilpotência de N. Pelo Lema 4.5
(p. 124) e usando o Teorema 1.1 (p. 3) (1o Teorema de isomor smo para Grupos), segue que
γs(N ) = V é grupo minimax.
Como V Ccar N e a ação à direita de F sobre N é automor smo de grupos (N é F -
invariante), resulta que Vf ⊆ V, isto é, V é F -invariante. Por outro lado, 1 = γ
s+1(N ) =
[γs(N ), N ] = [V, N ]. Em particular, V0 = [V, V ] = 1. Pelo Corolário 1.2 (p. 8), V é grupo
abeliano. Assim concluímos que
Por outro lado, como V CcarN e V C G, segue que G/V e N/V são grupos quocientes.
Observe, pelo Lema 1.21 (p. 16) que, para 1 ≤ i ≤ s, γi(N/V ) = γi(N )/V, logo γs(N/V ) =
γs(N )/V = V /V = 1, portanto N/V é grupo nilpotente e a classe de nilpotência de N/V
é s − 1, onde s é a classe de nilpotência de N. Para mostrarmos que [C : NCG(F )] < ∞,
procedamos por indução sobre a classe de nilpotência de N.
Se N tem classe de nilpotência s = 1, então γ2(N ) =1. Daí que V = γ1(N ) = N. Como
V é grupo minimax, normal em G, abeliano e F -invariante, pelo Lema 4.7 (p. 131), segue que
[C : N CG(F )] = [C : V CG(F )] < ∞.
Para o caso de N ter classe de nilpotência s > 1, primeiramente façamos as seguintes obser- vações:
i) G/V é grupo solúvel de tipo F P∞ pelo Teorema 3.4 (p. 116), uma vez que G é grupo
solúvel de tipo F P∞;
ii) N/V é grupo nilpotente, pois N é grupo nilpotente;
iii) F age à direita sobre N/V pela Proposição 1.17 (p. 24), já que N e V são F -invariantes. A ação é dada por (nV )f = nfV, ∀f ∈ F e para toda classe lateral nV ∈ N/V ;
iv) N/V é F -invariante, pois N é F -invariante;
v) N/V C G/V pelo Teorema 1.4 (p. 4) (Teorema de Correspondência para Grupos), pois N C G;
vi) (G/V )/(N/V ) é grupo abeliano-por- nito nitamente gerado, pois (G/V )/(N/V ) ∼= G/N, o qual possui essa propriedade;
vii) C(G/V )/(N/V )(F ) = (C1/V )/(N/V ), onde C1/V é subgrupo de G/V pela Observação 4.1
(p. 119). Pelo Lema 4.4 (p. 119),
C1 = C,
uma vez que C/N = CG/N(F ). Neste item, vemos que faz sentido considerar o conjunto
C(G/V )/(N/V )(F ), pois, como V é F -invariante, pela Proposição 1.17 (p. 24), temos que
F age à direita sobre G/V , então, como também N/V é F -invariante, pela mesma Proposição 1.17 (p. 24), existe ação à direita de F sobre (G/V )/(N/V ). Tal ação é dada por:
((gV )(N/V ))f = (gV )f(N/V ) = (gfV )(N/V ), ∀f ∈ F e para toda classe lateral (gV )(N/V ) ∈ (G/V )/(N/V ).
Agora, vamos mostrar que (N/V )CG/V(F )é subgrupo de C1/V. Para isso, como N/V CC1/V
(pois N/V C G/V ) e CG/V(F ) é subgrupo de G/V , basta mostrarmos que CG/V(F ) ⊆ C1/V.
Como (C1/V )/(N/V ) = C(G/V )/(N/V )(F ), temos que, dado gV ∈ G/V ,
gV ∈ C1/V ⇔ a classe lateral (gV )(N/V ) ∈ C(G/V )/(N/V )(F ). (4.12)
Seja xV ∈ CG/V(F ). Dado f ∈ F , temos que (xV )f = xV. Logo, ((xV )(N/V ))f =
(p. 133), xV ∈ C1/V e, consequentemente, como xV ∈ CG/V(F ) foi tomado arbitrário,
CG/V(F ) ⊆ C1/V.
Recordemos que N/V tem classe de nilpotência s − 1 em G/V , daí que, pelas observações i), ii), iii), iv), v), vi), vii) e pelo fato de (N/V )CG/V(F ) ser subgrupo de C1/V, podemos
usar a hipótese de indução para N/V , portanto
[C1/V : (N/V )CG/V(F )] < ∞. (4.13)
Como já dito na observação vii) acima, F age à direita sobre G/V , isso mostra que faz sentido considerar o conjunto CG/V(F ).
Seja π : G G/V o epimor smo de grupos projeção canônica. Veja que π−1(C
1/V ) = C1
e π−1(N/V ) = N. Como (N/V )C
G/V(F ) é subgrupo de C1/V, temos, pelo Teorema 1.4 (p.
4) (Teorema de Correspondência para Grupos), que
π−1((N/V )CG/V(F )) ≤ π−1(C1/V ) = C1.
Agora, como N/V C G/V e CG/V(F ) é subgrupo de G/V , segue, pelo Lema 1.7 (p. 6), que
π−1((N/V )CG/V(F )) = π−1(N/V )π−1(CG/V(F )) = N π−1(CG/V(F )), isto é,
N π−1(CG/V(F )) = π−1((N/V )CG/V(F )) ≤ C1. (4.14)
Temos que π−1(C
G/V(F ))/V = CG/V(F ). Como V é grupo minimax, normal em G, F -
invariante e abeliano, segue, pelo Lema 4.7 (p. 131), que [π−1(CG/V(F )) : V CG(F )] < ∞.
Usando o Lema 1.8 (p. 6), temos que
[N π−1(CG/V(F )) : N V CG(F )] < ∞.
Como V ⊆ N, então NV = N. Assim,
[N π−1(CG/V(F )) : N CG(F )] < ∞. (4.15)
Agora, por (4.14) (p. 134) e pela Proposição 1.4 (p. 8),
[C1 : N π−1(CG/V(F ))] = [C1 : π−1((N/V )CG/V(F ))] =
= [π(C1) : (N/V )CG/V(F )] = [C1/V : (N/V )CG/V(F )].
Por (4.13) (p. 134), [C1/V : (N/V )CG/V(F )] < ∞, logo
[C1 : N π−1(CG/V(F ))] < ∞. (4.16)
E, por (4.15) (p. 134), por (4.16) (p. 134) e pelo Teorema de Lagrange, [C1 : N CG(F )] = [C1 : N π−1(CG/V(F ))] | {z } <∞ · [N π−1(CG/V(F )) : N CG(F )] | {z } <∞ ,
isto é, [C1 : N CG(F )] < ∞. E, como C1 = C pela observação vii) (p. 151), temos que
Recordemos que G é um grupo solúvel de tipo F P∞, F é um grupo nito agindo à
direita sobre G, N é um subgrupo normal em G, nilpotente, F -invariante e G/N é um grupo abeliano-por- nito nitamente gerado.
Proposição 4.5. [14, Lemma 3.12, p. 145] Seja S um subgrupo de G tal que G = NS. Então, S é grupo de tipo F P∞.
Demonstração. Usando o Lema 1.22 (p. 16), o fato de que N é grupo nilpotente e o fato de que S é subgrupo de G, segue que
N ∩ S é grupo nilpotente. Pelo Lema 1.3 (p. 4), N ∩ S C S. Assim, S
N ∩ S é grupo quociente e, pelo Teorema 1.2 (p. 3) (2o Teorema de Isomor smo para Grupos),
G/N = (N S)/N ∼= S N ∩ S. Seja, então,
ψ : G/N → S
N ∩ S
o isomor smo de grupos dado pelo Teorema 1.2 (p. 3) (2o Teorema de Isomor smo para
Grupos). Considerando H como sendo o mesmo do Lema 4.6 (p. 125), isto é,
H C G, [G : H] < ∞, H é F -invariante e H/N é grupo abeliano livre nitamente gerado, de namos
W := ψ(H/N ). Segue que
W é também grupo abeliano livre nitamente gerado
e, pelo Teorema 1.4 (p. 4) (Torema de Correspondência para Grupos), temos que
W = W0
N ∩ S, com N ∩ S C W0 e W0C S.
Seja s − 1 a classe de nilpotência de N, isto é, γs(N ) = 1. Temos, então, a seguinte
ltração de grupos: N ∩ S = γ1(N ) ∩ S ≥ γ2(N ) ∩ S ≥ · · · ≥ γi(N ) ∩ S ≥ · · · ≥ γs(N ) ∩ S =1. De namos B := N ∩ S (N ∩ S)0 Seja π : N ∩ S N ∩ S
Para todo i ∈ Z+, pela Proposição 1.10 (p. 14), temos que γi(N ) C N e γi+1(N ) C γi(N ),
portanto γi+1(N ) ∩ S C γi(N ) ∩ S pelo Lema 1.4 (p.4). Pelo Teorema 1.4 (p. 4) (To-
rema de Correspondência para Grupos), resulta que π(γi+1(N ) ∩ S) C π(γi(N ) ∩ S), daí que
π(γi(N ) ∩ S)
π(γi+1(N ) ∩ S)
é grupo quociente. De namos, então, Bi :=
π(γi(N ) ∩ S)
π(γi+1(N ) ∩ S)
, com 1 ≤ i ≤ s.
Observe que, se i = s, então Bs=
π(γs(N ) ∩ S)
π(γs+1(N ) ∩ S)
=1.
Para 1 ≤ i ≤ s, pela Proposição 1.2 b) (p. 6), pela Proposição 1.1 a) (p. 5) e observando que ker(π) = (N ∩ S)0 = γ 2(N ∩ S), temos que Bi = π(γi(N ) ∩ S) π(γi+1(N ) ∩ S) ∼ = π −1(π(γ i(N ) ∩ S)) π−1(π(γ i+1(N ) ∩ S)) = (γi(N ) ∩ S)γ2(N ∩ S) (γi+1(N ) ∩ S)γ2(N ∩ S) , ou seja, Bi ∼= (γi(N ) ∩ S)γ2(N ∩ S) (γi+1(N ) ∩ S)γ2(N ∩ S) (isomor smo de grupos). (4.17)
Recordemos que [n1, · · · , ni] := [[n1, · · · , ni−1], ni], onde [n1, n2] = n−11 n −1
2 n1n2 e [n1] :=
n1, com i ∈ Z+. Pelo Lema 1.23 a) (p. 16),
γi(N )
γi+1(N )
é grupo abeliano e, pela Proposição 1.39 (p. 61), existe um único epimor smo de grupos abelianos
ˆ θ : ⊗iZN/N0 γi(N ) γi+1(N ) , dado por ˆ θ(n1N0⊗ . . . ⊗ niN0) = [n1, . . . , ni]γi+1(N ), para todo n1N0⊗ . . . ⊗ niN0 ∈ ⊗iZN/N0 = N/N 0⊗ Z. . . ⊗ZN/N0 | {z } ivezes .
Pelo Lema 1.4 (p. 4), temos que γi(N ) ∩ S C N ∩ S, ∀i ∈ Z+. Fixemos i ∈ {1, . . . , s}.
De nindo-se
G1 := γi(N ) ∩ S, G2 := γi+1(N ) ∩ S e G3 := γ2(N ∩ S),
conforme (4.17) (p. 136), segue que Bi ∼=
G1G3
G2G3. Então, pelo Lema 1.10 (p. 10),
Bi ∼= G1 G2(G1∩ G3) . De namos α : G1 G2 → G1 G2(G1 ∩ G3) por α(g1G2) = g1G2(G1∩ G3),
para toda classe lateral g1G2 ∈
G1
G2
. Como G2 ⊆ G2(G1∩ G3), pela Proposição 1.7 (p. 9),
segue que α é epimor smo de grupos. De namos também o homomor smo de grupos ϕ : G1 →
γi(N )
γi+1(N )
,
dado por ϕ(x) = xγi+1(N ), ∀x ∈ G1, que não é sobrejetivo necessariamente. Observemos que
x ∈ ker(ϕ) ⇔ x ∈ G1 e xγi+1(N ) = γi+1(N ) ⇔ x ∈ G2.
Logo ker(ϕ) = G2. Assim, pelo Teorema 1.1 (p. 3) (1o Teorema de Isomor smo para
Grupos), G1 G2 ∼ = Im(ϕ) ≤ γi(N ) γi+1(N ) . Sejam, então, ϕ1 : G1 G2
→ Im(ϕ) o isomor smo de grupos dado por tal Teorema e
ϕ2 : Im(ϕ) ,→
γi(N )
γi+1(N )
o homomor smo de grupos inclusão canônica. Por m, de namos ainda a composição
ϕ3 := ϕ2ϕ1,
que é monomor smo de grupos. Temos, então, o seguinte diagrama ⊗iZN/N0 ˆ θ γi(N ) γi+1(N ) ϕ3 ←- G1 G2 α G1 G2(G1∩ G3) η → Bi, (4.18)
onde η é isomor smo de grupos entre G1
G2(G1∩ G3) e B i.
Mantenhamos ainda xo i ∈ {1, . . . , s}. Usando a Proposição 1.6 (p. 9), o Lema 1.23 b) (p. 16) e o fato de ηα ser epimor smo de grupos, temos que Bié grupo abeliano. Recordemos
que γi(N )
γi+1(N ) também é grupo abeliano. Além disso, também o é N i ZN/N 0. Observemos também que Ni ZN/N 0, γi(N ) γi+1(N ) , γi(N ) ∩ S γi+1(N ) ∩ S
e Bi são Z(G/N)-módulos à direita e ˆθ, ϕ3, αe
ηsão Z(G/N)-homomor smos de Z(G/N)-módulos à direita com G/N agindo diagonalmente à direita sobre Ni
ZN/N
0 conforme Observação 1.14 (p. 68). Como G/N ∼
= S/(N ∩ S) e W é subgrupo de S/(N ∩ S), podemos considerar Ni
ZN/N 0, γi(N ) γi+1(N ) , γi(N ) ∩ S γi+1(N ) ∩ S e Bi como
ZW-módulos e ˆθ, ϕ3, α e η como ZW -homomor smos de ZW -módulos pela Proposição 1.34
a) e b) (p. 48) respectivamente.
Vamos mostrar que Bi é seção do ZW -módulo NiZN/N0. Usando (4.18) (p. 137), pelo
Teorema 1.12 (p. 44) (1o Teorema de Isomor smo para Módulos), ϕ
onde Xi é ZW -submódulo de N i ZN/N
0 tal que ker(ˆθ) ⊆ X
i e ϕ3(ker(α)) ∼= Yi/ker(ˆθ), onde
Yié ZW -submódulo de N i ZN/N
0tal que ker(ˆθ) ⊆ Y
i. Como ϕ3(ker(α)) ⊆ ϕ3(G1/G2), segue,
utilizando o isomor smo do Teorema 1.12 (p. 44) (1oTeorema de Isomor smo para Módulos),
que Yi/ker(ˆθ) ⊆ Xi/ker(ˆθ) e do Teorema 1.15 (p. 45) (Teorema de Correspondência para
Módulos) que Yi ⊆ Xi. Agora, como η é isomor smo de ZW -módulos, pelo Lema 1.16
(p. 12), temos que ker(ηα) = ker(α), logo, pelo Teorema 1.12 (p. 44) (1o Teorema de
Isomor smo para Módulos), Bi ∼= (G1/G2)/ker(α). Além disso, como ϕ3 é monomor smo
de ZW -módulos, segue que G1/G2 ∼= ϕ3(G1/G2) e ker(α) ∼= ϕ3(ker(α)). Assim, usando o
Teorema 1.14 (p. 45) (3o Teorema de Isomor smo para Módulos) e o Lema 1.36 (p. 45),
Bi ∼= (G1/G2)/ker(α) ∼= ϕ3(G1/G2)/ϕ3(ker(α)) ∼= (Xi/ker(ˆθ))/(Yi/ker(ˆθ)) ∼= Xi/Yi.
Logo, Bi ∼= Xi/Yi, com Yi, Xi ZW-submódulos de ⊗iZN/N 0 e Y i ⊆ Xi, isto é, Bi é seção de ⊗iZN/N 0 . (4.19)
Por outro lado, considerando a sequência exata curta de grupos N/N0 ,→ H/Nι 0 H/N,ρ
onde ι é o monomor smo de grupos inclusão canônica, ρ é o epimor smo de grupos dado por ρ(hN0) = hN, para toda classe lateral hN0 ∈ H/N0 e ker(ρ) = N/N0 = Im(ι), e como
N/N0 é grupo abeliano, temos que N/N0 é Z(H/N)-módulo via conjugação por elementos de H/N0 pela Proposição 1.38 (p. 54). Podemos, então, considerar o complementar do
invariante geométrico Σ de Bieri-Strebel Σc
N/N0(H/N ). Além disso, pela Proposição 1.41 (p.
65), observando que H é grupo de tipo F P∞, segue que
N/N0 é nitamente gerado como Z(H/N)-módulo via conjugação por elementos de H/N0
. (4.20)
Como ψ : H/N → W é isomor smo de grupos, temos que W age à direita sobre N/N0 via
isomor smo de grupos ψ, daí que podemos considerar o complementar do invariante Σ de Bieri-Strebel Σc
N/N0(W ).
Considerando, então, a sequência exata curta de grupos com homomor smos de grupos óbvios
N ,→ H H/N,
onde N é subgrupo nilpotente, H é grupo de tipo F P∞ (logo nitamente gerado pela Pro-
posição 3.9 (p. 108)) e H/N é grupo abeliano, pelo Teorema 3.3 (p. 116), ΣcN/N0(H/N ) = disΣcN/N0(H/N ) está contido
em alguma semiesfera aberta de caracteres de S(H/N), (4.21) portanto ΣcN/N0(H/N ) + . . . + ΣcN/N0(H/N ) | {z } i vezes = disΣcN/N0(H/N ) + . . . + disΣcN/N0(H/N ) | {z } i vezes
com 1 ≤ i ≤ s, estão contidos nessa mesma semiesfera aberta de caracteres de S(H/N), uma vez que a soma considerada é a soma convexa. Como H/N e W são grupos abelianos livres nitamente gerados e H/N ∼= W, por (4.21) (p. 138), pelo Lema 2.4 (p. 87) e pelo Lema 2.5 (p. 87), segue que
ΣcN/N0(W ) = disΣcN/N0(W ) está contido
em alguma semiesfera de caracteres de S(W ). (4.22)
Temos também que
ΣcN/N0(W ) + . . . + ΣcN/N0(W ) | {z } i vezes = disΣcN/N0(W ) + . . . + disΣcN/N0(W ) | {z } i vezes ,
com 1 ≤ i ≤ s, estão contidos nessa mesma semiesfera aberta de caracteres de S(W ), uma vez que a soma considerada é a soma convexa.
Vamos mostrar agora que B é ZW -módulo nitamente gerado. Por (4.20) (p. 138) e pelo fato de que H/N ∼= W como grupos abelianos livres nitamente gerados, temos que N/N0 é nitamente gerado como ZW -módulo. Observe que (4.22) (p. 139) implica
que, ∀i ∈ {1, . . . , s}, para quaisquer [v1], . . . , [vi] ∈ ΣcN/N0(W ), temos que
i X j=1 vj 6= 0 e, portanto, Ni ZN/N
0 é nitamente gerado como ZW -módulo via ação diagonal de W pelo
Teorema 2.2 (p. 92), ∀i ∈ {1, . . . , s}. Agora, como W é grupo abeliano livre nitamente gerado, pela Proposição 1.51 (p. 77) e pela Proposição 1.50 (p. 77), segue que ZW é anel noetheriano. Assim, pela Proposição 1.46 (p. 72), Ni
ZN/N
0 é ZW -módulo noethe-
riano, ∀i ∈ {1, . . . , s}. Por (4.19) (p. 138), temos que Bi ∼= Xi/Yi, onde Yi, Xi são
ZW-submódulos de NiZN/N0 e 1 ≤ i ≤ s. Segue da Proposição 1.45 (p. 71) que Xi é
ZW-módulo nitamente gerado, e como Yi ⊆ Xi, isto é, Yi é ZW -submódulo de Xi, da
Proposição 1.47 (p. 72), temos que Xi/Yi é ZW -módulo nitamente gerado e, portanto,
Bi é nitamente gerado como ZW -módulo via conjugação por elementos de W0/(N ∩ S)0
para 1 ≤ i ≤ s. Observe que Bs−1 =
π(γs−1(N ) ∩ S)
π(γs(N ) ∩ S) é nitamente gerado como ZW -
módulo, onde π(γs(N ) ∩ S) é grupo trivial e, portanto, obviamente nitamente gerado
como ZW -módulo, logo π(γs−1(N ) ∩ S) é nitamente gerado como ZW -módulo pela Pro-
posição 1.47 (p. 72). Agora, Bs−2 =
π(γs−2(N ) ∩ S)
π(γs−1(N ) ∩ S) é nitamente gerado como ZW -
módulo, onde π(γs−1(N ) ∩ S) é nitamente gerado como ZW -módulo, logo π(γs−2(N ) ∩ S)
é nitamente gerado como ZW -módulo novamente pela Proposição 1.47 (p. 72). Proce- dendo desta forma temos que π(γ2(N ) ∩ S) é nitamente gerado como ZW -módulo, e como
B1 =
π(γ1(N ) ∩ S)
π(γ2(N ) ∩ S)
= B
π(γ2(N ) ∩ S)
é nitamente gerado como ZW -módulo, usando mais uma vez a Proposição 1.47 (p. 72), concluímos que B é nitamente gerado como ZW -módulo via conjugação por elementos de W0/(N ∩ S)0.
Desta forma, como N ∩ S C W0, N ∩ S é grupo nilpotente, W =
W0
N ∩ S é grupo abeli- ano nitamente gerado e B = N ∩ S
(N ∩ S)0 é nitamente gerado como ZW -módulo, segue da
Como W é grupo abeliano nitamente gerado e B é ZW -módulo à direita, podemos considerar o complementar do invariante Σ de Bieri-Strebel Σc
B(W ). Aplicando o Corolário
2.1 (p. 91) para B, segue que
ΣcB(W ) = s [ i=1 ΣcBi(W ). E, portanto, disΣcB(W ) = s [ i=1 disΣcB i(W ).
Agora, Bi ∼= Xi/Yi, onde Yi, Xi são ZW -submódulos de N i ZN/N 0, isto é, B i é seção de Ni ZN/N 0. Pela Proposição 2.9 (p. 91), Σc Xi(W ) = Σ c Yi(W ) ∪ Σ c
Bi(W ), o que implica que
ΣcB i(W ) ⊆ Σ c Xi(W ) ⊆ Σ c Ni ZN/N0 (W ), com 1 ≤ i ≤ s. A Proposição 2.10 (p. 91), por sua vez, para 1 ≤ i ≤ s, acarreta que
disΣcB i(W ) ⊆ disΣ c Ni ZN/N0 (W ) ⊆ disΣcN/N0(W ) + . . . + disΣcN/N0(W ) | {z } i vezes . Portanto, disΣc B(W ) ⊆ s [ i=1 disΣcN/N0(W ) + . . . + disΣcN/N0(W ) | {z } i vezes , e como
disΣcN/N0(W ) ⊆ disΣcN/N0(W ) + disΣN/Nc 0(W ) ⊆ . . . ⊆ disΣcN/N0(W ) + . . . + disΣcN/N0(W )
| {z }
s vezes
,
concluímos que
disΣcB(W ) ⊆ disΣcN/N0(W ) + . . . + disΣcN/N0(W )
| {z }
svezes
. Segue assim que
disΣcB(W )está contido em
alguma semiesfera aberta de caracteres de S(W ). (4.23) Seja π0 : S S/(N ∩ S) o epimor smo de grupos projeção canônica. Recordemos que
W = W0
N ∩ S é grupo abeliano, onde N ∩S é subgrupo de W0 e W0C S. Consideremos, então, a sequência de grupos
N ∩ S ,→ Wι0 0 π0
W0
N ∩ S = W,
onde ι0 é o monomor smo de grupos inclusão canônica. Como ker(π0) = N ∩ S = Im(ι0)
e π0 é sobrejetivo, segue que tal sequência de grupos é exata curta. Agora, N ∩ S é grupo
nilpotente, W0 é grupo nitamente gerado e W é grupo abeliano. Daí que pelo Teorema 3.3
(p. 116) concluímos que W0 é grupo de tipo F P∞ se, e somente se, disΣcB(W )estiver contida
em uma semiesfera aberta de caracteres de S(W ), o que de fato acontece como concluído em (4.23) (p. 140). Assim,
Pelo 3o Teorema de Isomor smo para Grupos e pela Proposição 1.2 a) (p. 6), [S : W0] = [ S N ∩ S : W0 N ∩ S] = [ψ −1 ( S N ∩ S) : ψ −1 ( W0 N ∩ S)] = = [G/N : H/N ] = [G : H] < ∞,
e como W0 é grupo de tipo F P∞, pela Proposição 3.12 (p. 113), segue que S é grupo de tipo
F P∞.
Teorema 4.2. Sejam G um grupo solúvel de tipo F P∞ e F um grupo nito agindo à direita
sobre G. Então, o subgrupo CG(F ) é de tipo F P∞.
Demonstração. Pelo Teorema 4.1 (p. 124), existe um subgrupo N normal em G, nilpotente, F-invariante tal que G/N é um grupo abeliano-por- nito nitamente gerado. Como NCG(F )
é subgrupo de G, segue que NCG(F ) é também grupo solúvel. Além disso, (NCG(F ))/N
é subgrupo de G/N, portanto (NCG(F ))/N é grupo abeliano-por- nito nitamente gerado
pela Proposição 1.28 (p. 37). Agora, pela Proposição 4.4 (p. 131), NCG(F ) é grupo de tipo
F P∞. Assim, estamos nas hipóteses da Proposição 4.5 (p. 135), onde estamos tomando G
desta Proposição como sendo NCG(F ). Segue que CG(F ) é grupo de tipo F P∞.
De nição 4.6. Seja G um grupo e P uma propriedade qualquer. Dizemos que G é virtual- mente P se existe um subgrupo G1 de G tal que G1 possui a propriedade P e [G : G1] < ∞.
Corolário 4.1. Sejam G um grupo virtualmente solúvel de tipo F P∞ e F um grupo nito
agindo sobre G. Então, CG(F ) é grupo de tipo F P∞.
Demonstração. Como G é um grupo virtualmente solúvel de tipo F P∞, existe um subgrupo
Gde G tal que G é grupo solúvel de tipo F P∞ e [G : G] < ∞. Agora, CG(F ) = CG(F ) ∩ G,
daí que, pela Proposição 1.3 (p. 7), [CG(F ) : CG(F )] = [CG(F ) : CG(F ) ∩ G] < ∞. Agora
CG(F ) é subgrupo de CG(F ), pois CG(F ) = CG(F ) ∩ G. Usando o Teorema 4.2 (p. 141),
temos que CG(F ) é grupo de tipo F P∞, logo, pela Proposição 3.12 (p. 113), concluímos que
Referências Bibliográ cas
[1] M. F. Atiyah, I.G. Macdonald. Introduction to Commutative Algebra. Great Britain: Addison-Wesley Publishing Company, 1969.
[2] G. Baumslag, R. Bieri. Constructable Solvable Groups. Mathematische Zeitschirift, 1976. v. 151. p. 249-257.
[3] R. Bieri. Homological Dimension of Discrete Groups. 2a ed.. London: Queen Mary
College Mathematics Notes (Queen Mary College), 1981.
[4] R. Bieri, J. R. J. Groves. Tensor Powers of Modules over Finitely Generated Abelian Groups. Journal of Algebra, 1985. v. 97. p. 68-78.