O momento de reelaboração da orientação de resolver problemas matemáticos da turma teve duração de quatro horas e ocorreu em dois dias (12 e 25 de setembro de 2019).
Dada a discrepância entre as orientações dos alunos diagnosticadas anteriormente e a orientação adotada como referência planejada pelo professor, o processo de favorecimento de uma reelaboração inicial da orientação dos alunos, materializado no Esquema da Base Orientadora Completa da Ação (EBOCA) da turma foi dividido em duas partes: uma primeira reelaboração da orientação em duplas, após apresentação de alguns fundamentos teóricos para subsidiar esse processo; e uma segunda reelaboração realizada em conjunto com toda a turma. Em ambos os casos as negociações de sentidos e significados tiveram a mediação do professor.
A primeira parte da reelaboração da orientação dos estudantes iniciou com a retomada de alguns elementos teóricos, tais como: os momentos funcionais da atividade, BOA, EBOCA, situação-problema e problema. Essa explanação teve o intuito de permitir que os discentes se familiarizassem com os fundamentos adotados na presente pesquisa e norteá-los durante a reelaboração da orientação inicial. Logo a seguir, foram retomadas algumas respostas da prova pedagógica respondida pelos discentes e realizada uma
primeira negociação de sentidos e significados entre as duplas sob mediação do professor.
A discussão acerca do modelo do objeto partiu da perspectiva de situação-problema e problema explanada durante a aula e das respostas dadas pelos alunos sobre o que é resolver problemas matemáticos (questão 1 da prova pedagógica).
A partir daí, foram negociados com a turma os seguintes elementos considerados invariantes para a definição da ação: busca pela solução, uso de conhecimentos matemáticos, contradição e atividade. Convém destacar que os dois primeiros são oriundos das respostas dos alunos, enquanto que os dois últimos foram negociados a partir da exposição teórica empreendida.
Após identificados, os quatro elementos foram escritos no quadro e as duplas foram convidadas a redigir o modelo do objeto de suas orientações. O resultado dessa primeira reelaboração do modelo do objeto é apresentado no Quadro 39:
Quadro 39- Resposta acerca do modelo do objeto da orientação dos alunos reelaborada em duplas.
Fonte: Elaborado pelo autor.
PARTICIPANTE MODELO DO OBJETO
P1
Atividade individual que tem como objetivo chegar a solução de um problema; esta atividade necessita dos conhecimentos matemáticos do indivíduo
P2
Atividade individual que tem como objetivo chegar a solução de um determinado problema. Esta atividade precisa de conhecimentos matemáticos do indivíduo para realização de tal atividade.
P3
É buscar possíveis soluções para um problema matemático onde se utilizar ferramentas matemáticas e o conhecimento sobre determinado problema de forma que o indivíduo
P4
Atividade individual que tem como objetivo chegar a solução de um problema; esta atividade necessita dos conhecimentos matemáticos do indivíduo
P5
Um processo subjetivo que tem como propósito chegar a solução de um problema; tal processo leva em consideração os conhecimentos matemáticos que o resolvedor possui.
P6 Buscar meios para resolver problemas matemáticos
P7
É buscar possíveis soluções para um problema matemático, em que é necessário a utilização de ferramentas matemáticas, como também o conhecimento prévio do resolverdor sobre tais ferramentas, na busca de solucionar o desconhecido.
P8
Um processo subjetivo que tem como propósito chegar a solução de um problema; tal processo leva em consideração os conhecimentos matemáticos que o resolvedor possui.
De modo complementar, apresentamos a avaliação de cada uma das respostas dos participantes da pesquisa segundo as categorias correto (C) ou ausente (A), tendo como referência a orientação do professor:
Quadro 40 - Percentual de correspondência da orientação dos alunos reelaboradas em duplas em relação a orientação do professor.
PARTICIPANTE
DEFINIÇÃO DE RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
MATEMÁTICOS PERCENTUAL CORRETO POR ALUNO Atividade Busca pela solução Contradição Conhecimentos matemáticos P1 C C A C 75% P2 C C A C 75% P3 A C A C 50% P4 C C A C 75% P5 A C A C 50% P6 A C A A 25% P7 A C C C 75% P8 A C A C 50% PERCENTUAL CORRETO DA TURMA 37,5% 100% 12,5% 87,5%
Fonte: Elaborado pelo autor.
Verificamos nas respostas, alguns dos elementos do modelo do objeto com maior recorrência em detrimento de outros. Termos relacionados à “busca pela solução” constou em todas as respostas (100%), o “conhecimento matemático” foi encontrado em 87,5% das respostas, enquanto que a “atividade” em 37,5%. Por outro lado, apenas 12,5% destacaram termos relacionados a “contradição”. Em geral, as respostas evidenciam apenas a necessidade de considerar aquilo que é conhecido pelo sujeito que resolve o problema, em detrimento daquilo que ele desconhece.
Se comparado com os resultados obtidos no diagnóstico inicial, houve um aumento (de 0% para 37,5%; de 62,5% para 100%; de 0% para 12,5% e de 25% para 87,5%) na externalização dos elementos principais (atividade, busca pela solução, contradição e conhecimentos matemáticos) que compõem a definição do que é resolver problemas matemáticos, segundo a orientação adotada como referência.
Além disso, observamos que, embora tenham realizado a atividade em duplas e haja algumas similaridades, há diferenças na redação das respostas.
Isso indica que mesmo trabalhando juntos, cada um preferiu dar seu próprio sentido ao que é resolver problemas matemáticos.
Acerca do modelo da ação, foram apresentadas as respostas dos alunos relativa aos passos necessários para se resolver um problema matemático (questão 2 da prova pedagógica), subdivididas em função dos momentos funcionais da atividade (orientação, execução e controle).
A partir de uma discussão empreendida durante a aula, participantes e docente chegaram a quatro ações gerais que compuseram a orientação da turma: analisar, planejar, executar e avaliar. Para finalizar, cada dupla passou a elaborar o modelo da ação de suas respectivas orientações.
Vale destacar que em virtude do encerramento da primeira aula dedicada à reelaboração da orientação dos alunos, ficou para a aula seguinte o detalhamento das ações e operações componentes do modelo da ação da turma. No Quadro 41 são apresentadas as respostas dos discentes:
Quadro 41 - Respostas relativas ao modelo da ação da orientação dos alunos reelaborada em duplas.
PARTICIPANTE MODELO DA AÇÃO
P1 - Analisar - Planejar - Executar - Avaliar P2 - Analisar - Planejar - Executar - Avaliar P3 - Analisar - Interpretar - Buscar estratégias
- Utilizar as ferramentas matemáticas necessárias - Finalizar a operação determinando a solução - O problema está resolvido corretamente?
P4 - Analisar - Planejar - Executar - Avaliar P5 - Analisar - Planejar - Executar - Avaliar P6 Analisar
- Leu as questão; - Olhou os dados Métodos
- Verifica se é válido Avaliar
P7
- Analisar o problema, realizando uma leitura interpretativa na busca de entender o problema.
- Reconhecer e Classificar os dados, anotando-os separadamente. - Identificar a operação matemática adequada para resolução do problema. - Testar os resultados obtidos
- Reformular a solução final
P8
- Analisar - Planejar - Executar - Avaliar
Fonte: Elaborado pelo autor.
Podemos ver que cinco participantes transcreveram as ações negociados em sala de aula em seus modelos da ação (62,5%), enquanto que os outros dois (37,5%), apresentaram outras ações e operações, que não necessariamente incluiam todos esses verbos. Em relação a estes últimos alunos, é possível que não tenham entendido as instruções para a tarefa dadas pelo professor ou tenham considerado que as instruções não eram compatíveis com o que entendiam ser adequado.
Apresentamos ainda uma análise das ações e operações descritas pelos alunos no modelo da ação, após a primeira reelaboração realizada em duplas. Cada uma das respostas foi classificada segundo as categorias correto (C), parcialmente correto (PC) ou ausente (A):
Quadro 42 - Percentual de correspondência da orientação dos alunos reelaboradas em duplas em relação a orientação do professor.
ALUNOS A1 A2 A3 A4 PERCENTUAL DE RESPOSTAS CORRETAS POR ALUNO
O1 O2 O3 O4 O5 O6 O7 O8 O9 O10 O11 O12
P1 PC PC PC PC PC PC PC PC PC PC PC PC 50 P2 PC PC PC PC PC PC PC PC PC PC PC PC 50 P3 PC PC PC PC A C C A A A A A 33,3 P4 PC PC PC PC PC PC PC PC PC PC PC PC 50 P5 PC PC PC PC PC PC PC PC PC PC PC PC 50 P6 C PC PC PC A A A A PC PC PC PC 37,5 P7 C C PC PC A C A A C A C A 50 P8 PC PC PC PC PC PC PC PC PC PC PC PC 50 PERCENTUAL DE RESPOSTAS CORRETAS DA TURMA 41,7 41,7 50 50 20,8 41,7 29,2 20,8 25 25 25 25
Comparando com os resultados obtidos no diagnóstico inicial, verificamos que os modelos da ação da maioria dos discentes (62,5%), mesmo que constituídos por ações generalizadas, agora contemplam os momentos de orientação, execução e controle da atividade. Por outro lado, há, entre as demais respostas, tanto a justaposição de ações similares, como a apresentação de sistemas de ações incompletos.
Especificamente, sete participantes tiveram a primeira reelaboração do modelo da ação de suas orientações favorecidas por esse momento da Experiência Formativa. Apenas o participante P6 teve um retrocesso na reelaboração da orientação, tendo seu percentual de respostas corretas inicialmente em 41,7% reduzido a 37,5%. Esse fato retoma a possibilidade de ter havido uma incompreensão da proposta pelo estudante.
No que diz respeito ao modelo de controle, tendo em vista que o diagnóstico inicial verificou uma total incompatibilidade entre as respostas dos alunos e a orientação desejada (Quadro 41 e 42), a estratégia usada para auxiliar os estudantes foi construir, a título de ilustração, o modelo do controle de uma Base Orientadora da Ação de uma habilidade comum e mais simples: a habilidade de dirigir um carro.
Já levando o modelo do objeto e o modelo da ação da BOA de dirigir um carro, o professor empreendeu uma discussão com a turma para que os discentes construíssem coletivamente o modelo de controle da referida habilidade. Finalizada essa discussão, os alunos foram orientados a elaborar o modelo de controle do EBOCA da habilidade de resolver problemas matemáticos. As respostas são apresentadas no Quadro 43:
Quadro 43 - Respostas relativas ao modelo de controle da orientação dos alunos reelaboradas em duplas.
PARTICIPANTE MODELO DE CONTROLE
P1
- Você leu o problema?
- Você compreendeu o que o problema pede? - Preparou estratégias para resolver o problema? - Efetuou as estratégias planejadas anteriormente? - A resposta está correta?
P2
- Você leu o problema?
- Você entendeu, compreendeu o que o problema pede que você responda?
- Você preparou um plano de estratégias para resolver o problema? - Você executou o seu plano de estratégias elaborado anteriormente para a resolução do problema?
Fonte: Elaborado pelo autor.
Notamos que todos os modelos de controle apresentados (100%) eram compostos por indagações, conforme orientação do professor. Há, nesse sentido, uma mudança na forma como as ações de controle foram estruturadas pelos discentes após esse momento formativo, que deixaram de ser, conforme explicitado no diagnóstico inicial, um mero detalhamento do modelo da ação.
Todavia, é possível observar que, nem todas as ações/operações de controle apresentadas possuíam ações/operações correspondentes no modelo da ação dos EBOCAs dos alunos, o que sugere que ainda não há uma clareza entre esses discentes acerca da relação intrínseca entre ação e controle, o que contradiz a interdependência entre o modelo da ação e o modelo de controle no contexto da Teoria da Formação Planejada das Ações Mentais e dos Conceitos (GALPERIN, 1989c).
- A resposta que você encontrou é coerente com o problema perguntado? - A resposta está correta?
P3
- Esse problema pode ser resolvido apenas usando as variáveis explícitas? - Você sabe como utilizar essas variáveis
- Quais são os meios que eu posso resolver esse problema? Qual o melhor para mim?
- Sabe utilizar as ferramentas necessárias?
O problema está resolvido corretamente? Se não Qual foi seu erro? Se sim. Teria melhorar a resolução do problema?
P4
- Você leu o problema?
- Você compreendeu o que o problema pede? - Preparou estratégias para resolver o problema? - Efetuou as estratégias planejadas anteriormente? - A resposta está correta?
P5
1) Leu o problema? Identificou os dados? Entendeu o que o problema pediu?
2) Que habilidade matemática vai usar? Essa habilidade funciona? 3) Você usou a habilidade de acordo com os dados?
4) Obteve um resultado coerente?
P6
- Entendeu o que pede? - Retirou os dados da questão? - É válido?
- Qual usou?
- Chegou ao resultado? - É o esperado?
P7
- Você fez a leitura do problema? Entendeu o que foi dito? - Já sabe o que você deve procurar?
- Anotou as informações importantes?
- Já sabe que tipo de operação matemática vai utilizar? - Verificou se está correto?
P8
- Você entendeu o que a questão quis?
- Você conhece maneiras ou técnicas para resolver a questão? - Usou seus conhecimentos de acordo com a questão?
A fim de complementar a discussão, apresentamos ainda o Quadro 44 que analisa as respostas de cada participante em função da orientação de referência proposta pelo professor e segundo as categorias correto (C), parcialmente correto (PC) e ausente (A).
Quadro 44 - Percentual de correspondência da orientação dos alunos reelaboradas em duplas em relação a orientação do professor.
ALUNO C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 C10 C11 C12 PERCENTUAL RESPOSTAS CORRETAS POR ALUNO P1 PC C A A A C C A PC PC PC PC 45,8 P2 PC C A A A C C A PC PC PC PC 45,8 P3 A A PC A A C A C A C C A 37,5 P4 PC C A A A C C A PC PC PC PC 45,8 P5 PC PC PC A A C C A C C A A 45,8 P6 A PC A A A A A C A A A A 12,5 P7 PC PC C A A PC A A C A A A 29,2 P8 A PC A A A C A C C A A A 29,2 PERCENTUAL RESPOSTAS CORRETAS DA TURMA 31,2 50 25 0 0 81,2 50 37,5 56,2 43,7 31,2 18,7
Fonte: Elaborado pelo autor.
Tendo em vista que durante o diagnóstico inicial do modelo de controle das orientações dos alunos, se avaliadas segundo a orientação de referência elaborada pelo professor, não se apresentou nenhuma operação correta; verificamos que houve um favorecimento desse momento da Experiência Formativa para a reelaboração da ação de controle na resolução de problemas matemáticos.
Em síntese, apresentamos o percentual de convergência das orientações dos alunos com a orientação de referência elaborada pelo professor para os modelos do objeto, modelo da ação e modelo de controle (Quadro 45):
Quadro 45 - Percentual de adequação das orientações iniciais dos alunos em relação a orientação do professor.
PARTICIPANTE MODELO DO
OBJETO MODELO DA AÇÃO
MODELO DE CONTROLE P1 75% 50% 45,8% P2 75% 50% 45,8% P3 50% 33,3% 37,5% P4 75% 50% 45,8%
P5 50% 50% 45,8%
P6 25% 37,5% 12,5%
P7 75% 50% 29,2%
P8 50% 50 % 29,2%
Fonte: Elaborado pelo autor.
É possível notar que o modelo do objeto é o elemento da orientação dos alunos que mais se aproxima da orientação referência elaborada pelo professor, seguido do modelo da ação e do modelo de controle.
Comparando a orientação dos estudantes para a ação de controle da resolução de problemas matemáticos caracterizada no diagnóstico inicial com a observação após a reelaboração em duplas, apresentamos o Gráfico 1 que ilustra o desenvolvimento das respostas dos alunos acerca do modelo do objeto.
Fonte: Elaborado pelo autor.
Observamos que seis dos discentes apresentaram melhorias em relação ao entendimento do que é resolver problemas matemáticos (modelo do objeto), enquanto dois mantiveram o mesmo percentual de correspondência com a orientação referência demonstrado no diagnóstico inicial. Passando a apresentar o comparativo do modelo da ação, apresentamos o Gráfico 2:
Gráfico 1- Comparativo do modelo do objeto do diagnóstico inicial e o reelaborado em duplas.
Fonte: Elaborado pelo autor.
No que se refere ao modelo da ação de resolver problemas matemáticos, a maioria dos participantes da pesquisa (sete alunos) demonstraram alterações em suas respostas, tornando-as mais convergentes com a orientação do professor. Passando a mostrar o comparativo realizado com o modelo de controle, apresentamos o Gráfico 3:
Gráfico 2 - Comparativo do modelo da ação do diagnóstico inicial e o reelaborado em duplas.
Fonte: Elaborado pelo autor.
Considerando que no diagnóstico inicial os alunos demonstraram não ter consciência da ação de controle da resolução de problemas matemáticos consonante com a orientação do professor, verificamos no Gráfico 3 que essa primeira parte já conseguiu favorecer a reelaboração das orientações dos alunos e aproximando-a da orientação desejada.
Na segunda aula reservada para o momento de reelaboração da orientação dos alunos para construção do Esquema da Base Orientadora Completa da Ação da turma, foram retomados os tópicos da aula anterior, mas agora focados no trabalho conjunto entre todos os participantes com a orientação do professor. Nesse momento, a negociação de sentidos e significados para reelaboração da orientação dos discentes culminou na aproximação dessa com a orientação planejada pelo professor (Quadro 20)8.
Refletindo sobre suas vivências nesse momento da Experiência Formativa, os discentes descrevem no diário dos alunos o que aprenderam e as dificuldades que tiveram.
8 Considerando que o processo de negociação de sentidos e significados entre a turma e o professor culminou na construção do EBOCA dos alunos, esse esquema passa a coincidir com o EBOCA do professor, contido no Quadro 20.
Gráfico 3 - Comparativo do modelo de controle do diagnóstico inicial e o reelaborado em duplas.
Em relação a descrição do que foi aprendido durante as aulas, os discentes sublimam as mudanças no entendimento acerca da orientação para resolver problemas e das ações de controle (Quadro 46).
Quadro 46 - Trecho do diário dos participantes P3 e P5 em que descrevem o que aprenderam durante o momento de reelaboração da orientação.
Fonte: Elaborado pelo autor.
É possível notar o destaque dado pelo participante P3 à sua percepção sobre a relevância da atividade orientadora para a ação. Enquanto isso, embora descreva o mesmo processo, o participante P5 evidencia a negociação dos sentidos pessoais dos discentes como forma de unificação e aproximação dos significados subjacentes a orientação desejada proposta pelo professor.
Acerca das dificuldades durante esse momento, houve uma dispersão entre as respostas dos participantes da pesquisa, dos quais 20% focaram em processos gerais ligados a elaboração dos modelos (generalizar atitudes ou diferenciar processos parecidos), enquanto as demais evidenciaram dificuldades na construção do EBOCA ou um dos modelos segundo os seguintes percentuais: 30% modelo de controle, 20% modelo da ação, 20% EBOCA e 10% modelo do objeto.
O momento que visou favorecer na reelaboração da orientação dos alunos para resolver problemas matemáticos esquematizada no EBOCA é preponderante para as etapas seguintes, visto que a dinâmica pela qual as atividades foram propostas é que vai influenciar na qualidade da ação.
Participante P3
“Aprendi a como estruturar as etapas de modelo do objeto, modelo da ação e o modelo de controle, percebendo a delicadeza que há na ação pré-resolução e durante a realização de problemas, detalhes que tornam a resolução mais completa e efetiva”.
Participante P5
“Hoje começamos a elaboração do EBOCA. Revimos alguns conceitos da aula anterior para poder dar seguimento à proposta. Revisitamos a prova pedagógica para repensar as respostas que tínhamos colocado na tentativa de unificar as ideias. Dessa maneira, discutimos uma forma de conciliar as respostas encontradas dos outros participantes e confrontar com as minhas, reconhecendo o que estes pensaram em cada etapa da resolução de problemas”.
No que concerne à ação de controle na resolução de problemas, em particular, os dados analisados sugeriram um favorecimento da Experiência Formativa para a reelaboração da orientação dos alunos, o que implicou em aproximação da orientação materializada pelos alunos com a orientação referência construída pelo professor. Ampliamos esse cenário para compreender como essa orientação aplicou-se no contexto da solução das situações- problema propostas nas tarefas na próxima subseção.
6.4 O controle na solução das tarefas9
Esse momento da Experiência Formativa teve duração de 8 horas e ocorreu em quatro encontros, de 2 horas cada, entre os dias 26 de abril de 2019 e 09 de maio de 2019. Foi composto por seis tarefas (numeradas de 1 a 6), sendo duas contendo situações-problema de solução única, duas sem solução e duas com múltiplas soluções. Em todos os casos, as tarefas foram realizadas com o apoio do EBOCA dos alunos e resolvidas em duplas, de maneira alternada, sendo que enquanto um dos membros resolvia o outro realizava o controle.
Passaremos a discutir o processo de solução das tarefas, evidenciando os erros e acertos dos discentes e as ações de controle na resolução de problemas matemáticos.
Para uma melhor organização do tópico, ele será subdividido em quatro partes, sendo a primeira (6.4.1) e a terceira (6.4.3) focadas em discutir a solução das tarefas, enquanto que a segunda (6.4.2) e quarta (6.4.4) direcionadas a discutir como os discentes realizaram o controle na resolução das situações- problema.
6.4.1 Análise das soluções dos discentes para as tarefas 1, 2 e 3
A primeira situação-problema (T1) tinha única solução e tratou de um problema de análise entre duas possibilidades de transporte para um grupo de amigos e solicitava para tomada de decisão sobre qual opção era mais vantajosa financeiramente. A questão tinha o seguinte enunciado:
9 As tarefas utilizadas na presente Experiência Formativa estão detalhadas nos Apêndices 3 (Tarefa 1, 2 e 3) e 4 (Tarefas 4, 5 e 6).