Nos parágrafos seguintes discutiremos algumas orientações que discutem as ações necessárias para se resolver um problema matemático, segundo autores do Enfoque Histórico-Cultural.
Debatendo sobre as habilidades intelectuais, Libâneo (2005) aponta, no âmbito de uma listagem de habilidades gerais, a “solução e formulação de problemas”. Conforme o autor, para se solucionar e formular problemas são necessárias as seguintes etapas:
a) Analisar o problema: definir o problema, busca de dados ou informações, definição das partes do problema ou situação, encaixar as partes num todo mais amplo, tentar saber como outras pessoas resolveram esse problema; o que já se sabe, o que falta saber. b) Vias de solução: o que precisa ser feito para a solução do problema, tempo necessário, quem vai fazer o que precisa;
c) Execução da solução escolhida;
d) Controlar o processo de solução e o resultado obtido. Avaliar sua aplicação prática, sua utilidade e importância para si próprio, para os outros e para a sociedade (LIBÂNEO, 2005, p. 2).
Para o autor, essa atividade cognoscitiva consiste no desenvolvimento tanto do pensamento reflexivo quanto do pensamento criativo.
Em Volodarskaya e Nikitiuk (2001), os autores propõem um método para resolução de problemas de construções geométricas, formado pelos seguintes etapas: análise, construção, demonstração e investigação.
A etapa de análise consiste na preparação para a resolução do problema e tem o intuito de explicitar as relações de dependência entre os componentes da figura e as condições do problema que possibilitaram construí-la. Conforme os autores, uma das estratégias de raciocínio que pode ser usada durante esse momento é a suposição de uma solução para o problema, elaboração de conclusões e avaliação dessas como forma de encontrar um caminho adequado para resolução do problema.
Dado o plano de construção da figura, essa passa a ser elaborada na etapa de construção. Logo a seguir, passa-se para a etapa de demonstração da figura construída, que ocorre em função das condições impostas pelo problema. Por fim, chega-se ao momento de interpretação, que se refere à etapa de verificação se o problema é ou não é solucionável e, em caso afirmativo, o número de soluções possíveis.
Como parte de uma Experiência Formativa desenvolvida com alunos de um curso de Licenciatura en Educación en Matemática y Computación, em Cuba, Lavigne (1999) elabora uma orientação para resolução de problemas matemáticos composta pelas seguintes ações: compreender o problema, analisar o problema, solucionar o problema, avaliar a solução do problema.
A ação de compreender o problema consiste na busca por uma orientação adequada em relação ao problema. Conforme Lavigne (1999), para que esse momento inicie é necessário que o aluno esteja motivado para solucionar a tarefa, requisito que se reflete no surgimento de uma contradição entre os conhecimentos do estudante e as exigências do problema.
A seguir, o sujeito passa a analisar o problema, descrito por Lavigne (1999) como o momento em que se contrasta e relaciona os dados com o que é procurado, seleção dos conhecimentos prévios necessários presentes na memória, entre outros. Após a análise, o indivíduo já tem determinado um caminho adequado para solucionar o problema e passa a executá-lo.
Avaliar a solução obtida é a última ação dessa orientação. Essa etapa visa avaliar a validade, a qualidade e empreender a internalização dos elementos utilizados durante a resolução de problema.
Partindo do entendimento sobre o pensamento problemático, o Majmutov (1983, p. 114) define-o como “[...] o processo de descobrir novos conhecimentos mediamente abordagem de problemas e sua solução”. Como parte desse tipo particular de pensamento, o autor aponta cinco etapas para solução de um problema. São elas:
a) o surgimento da situação problemática e a abordagem do problema; b) a utilização dos procedimentos de solução que se conhece (etapa de solução “fechada” do problema); c) a ampliação da esfera de busca de novos procedimentos de solução (etapa de solução “aberta” do problema), encontrando uma nova relação ou princípio de ação; d)
realização do princípio encontrado; e) comprovação do grau de correção da solução (MAJMUTOV, 1983, p. 114).
Para Majmutov (1983), as etapas acima descritas são fundamentais para o entendimento da forma como se assimila os conhecimentos, dentro de um processo cognoscitivo voltado para a criação de algo novo, ou seja, do pensamento criador.
À luz do enfoque histórico-cultural e adotando, dentre outros fundamentos, as perspectivas de Ensino Problematizador de Majmutov (1983) e a Teoria de P. Ya. Galperin, Mendoza e Delgado (2018) cunham o termo Atividade de Situações Problema (ASP) em alusão a:
Atividade de Estudo que está orientada pelo objetivo de resolver problemas docentes, na zona de desenvolvimento proximal, em um contexto de ensino aprendizagem no qual exista uma interação entre o professor, o estudante e a tarefa com caráter problematizador; com o uso da tecnologia disponível e de outros recursos didáticos, para transitar pelos diferentes estados do processo de assimilação (MENDOZA; DELGADO, 2018, p. 179).
Enquanto tipo de atividade de estudo, a ASP é formada por um sistema de ações e operações invariantes voltados para resolução de problemas.
Segundo a ASP, o processo de resolução de problemas inicia com a ação de formular o problema docente6. Essa ação é constituída pelas seguintes
operações: determinação do que se sabe e o que não se sabe por meio da análise da situação problema; estudo das informações e das condições impostas pela situação problema; e definição do objetivo do problema.
Posteriormente, segue-se para a ação de construir o núcleo conceitual que se subdivide nas operações de: ativação do nível de desenvolvimento atual dos discentes acerca dos conhecimentos necessários para solução do problema e, quando for preciso, atualizá-lo; relacionar o que se sabe (conhecido) e o que não se sabe (desconhecido) por meio de estratégias diversas (tarefas menos complexas, experimentos, intuição, analogia, hipóteses, etc.)
6 Mendoza e Delgado (2018), baseados em Majmutov (1983, p. 129), entendem o problema docente como “[...] fenômeno subjetivo e existe na consciência do estudante em forma ideal, no pensamento [...]”.
Solucionar o problema docente é a terceira ação da ASP e se constitui pela aplicação de um método (analítico, heurístico ou mescla dos dois) para relacionar o que se sabe com o que não se sabe; e pela determinação do que é procurado pelo problema.
Por fim, a ação de interpretar a solução, que tem como operações: verificação da solução em relação ao objetivo e as condições do problema; análise dos resultados, visando obter eventuais novas relações com elementos já conhecidos (MENDOZA; DELGADO, 2018).
Discutindo a formação do pensamento criativo no contexto do Ensino Problematizador, Martínez (1998, p. 30) afirma que a solução de problemas se dá por meio das etapas a seguir:
♦ determinar o buscado através dos dados
♦ estabelecer as dependências casuais entre o conhecido e o buscado
♦ elaborar e determinar a possível via de solução (hipótese) ♦ levantar a solução (o encontrado)
♦ comprovar a coincidência do resultado com o objetivo.
Nesse processo, a solução de tarefas enquanto meio para a atividade cognoscitiva é deflagrada pela contradição entre o conhecido e o desconhecido, que, ao ser superada com a definição do que é buscado, permite a resolução do problema e, assim, encontrar o que é procurado e atestar a validade de todos os procedimentos.
Tendo o aporte da Teoria Histórico-Cultural e a partir de diferentes propostas sobre como resolver problemas, Triana (2005) elabora seu modelo, constituído por cinco ações.
Inicialmente, o indivíduo passa a analisar o problema que consiste na decomposição dos dados do problema, a fim de que ocorra a definição do conteúdo objetivo (análise estrutural), estudo das características ou condições (análise qualitativa) e dos passos necessários para a resolução do problema (análise operacional). De forma complementar aos diferentes tipos de análise, ocorre o processo de síntese, do qual culmina na organização de forma consciente da situação a ser resolvida.
O momento seguinte, conforme Triana (2005), é o de gerar estratégias de trabalho. É nessa segunda ação em que se organiza o planejamento dos
procedimentos necessários para resolução dos problemas. Em seguida, o indivíduo passa a avaliar as consequências da aplicação de estratégias que se considere mais adequada, em outras palavras, antever ainda no plano mental, quais os desencadeamentos de se colocar em prática a estratégia definida na etapa anterior.
A quarta ação é a de executar ou desenvolver a estratégia selecionada, na qual ocorre a aplicação da estratégia de trabalho definida e avaliada nas etapas anteriores, tendo em vista encontrar a solução do problema.
O processo de resolução do problema finda na ação de avaliar as conquistas e dificuldades durante a execução, que se refere a etapa de avaliar os eventuais erros e acertos que possam ter ocorrido no processo e, quando necessário, corrigi-los.
Segundo Triana (2005), as etapas acima descritas podem ser sintetizadas, respectivamente, nos seguintes termos: analisar, gerar, valorar, executar e avaliar. Todas essas ações, que constituem a habilidade de resolver problemas, visam a obtenção de um produto (solução do problema) a partir de uma situação previamente dada (dados do problema).
Empreendendo estudos acerca da relação entre a solução de problemas aritméticos e os processos básicos do pensamento, Luria (1981, 1990) identifica seis estágios deste último durante a realização do primeiro.
Originando-se de um motivo que impulsiona a busca pela solução não evidente de uma situação, o primeiro estágio do pensamento durante a resolução de problemas consiste na identificação das condições da situação, isto é, identificar o que é procurado dadas as condições postas.
Em seguida, o indivíduo passa a analisar as condições do problema, que se refere ao “[...] refreamento de respostas impulsivas, a investigação das
condições do problema, a análise de seus componentes, o reconhecimento de
seus aspectos mais essenciais e das suas correlações recíprocas” (LURIA, 1981, p. 288, grifos do autor).
Diante de diferentes caminhos possíveis, o sujeito realiza a determinação das estratégias de solução, com intuito de elaborar o plano para execução da solução do problema. O quarto estágio se refere à escolha dos métodos e das operações adequadas para colocar em prática a estratégia planejada na fase anterior.
O estágio 5 se refere à solução real do problema, que culmina na fase de comparação dos resultados obtidos com as condições iniciais, que permitem à avaliação se a atividade cognoscitiva está completa (em outras palavras, se a situação inicial foi solucionada adequadamente), ou se o processo de resolução do problema precisa ser revisto e retomado em algum ponto.
Outros pesquisadores com enfoque na Aritmética foram Nikita e Talizina (2001), que desenvolveram um experimento formativo voltado para a organização de um método geral para a modelação de problemas aritméticos que envolviam as relações entre velocidade, tempo e espaço.
O esquema geral usado para resolução dos problemas foi nomeado pelas autoras árvore de raciocínio e consistia em um conjunto de círculos que representavam as magnitudes dadas no problema (círculos fechados) e as magnitudes procuradas (círculos com partes pontilhadas), interligados com setas direcionadas ao que era procurado, como ilustra a Figura 1:
Fonte: Nikola e Talizina (2001, p. 129)
Como os estudantes já haviam estudado previamente as relações matemáticas entre as magnitudes (velocidade, tempo e espaço), cabia ao esquema servir como um suporte materializado para os processos gerais que envolviam a ordenação e a inter-relação dos dados visando à solução do problema.
Como consequência da proposta, o processo de resolução de problemas empreendido pelos alunos foi descrito pelas autoras como estruturado da seguinte forma:
[...] os sujeitos identificaram as grandezas no problema, sublinharam a questão, colocaram (no texto do problema) os dados numéricos nos
retângulos das linhas inteiras e determinaram com o símbolo correspondente, depois disso, anotaram os dados no caderno, repetiram os dados. Problema de acordo com eles e eles começaram a elaborar o esquema. No esquema eles indicavam a ordem das ações e as faziam usando fórmulas e, a escrita da ‘solução com perguntas’, conhecida do trabalho na sala (NIKITA; TALIZINA, 2001, p. 133-134).
Nesse sentido, os alunos participantes do experimento empreendiam as seguintes etapas para solução dos problemas aritméticos: identificar as grandezas do problema (dadas e procurada); representar as grandezas adequadamente em função de suas respectivas unidades de medida; organizar as grandezas segundo o esquema da árvore de raciocínio; solucionar o problema.
Outro autor pelo qual podemos interpretar uma orientação para a resolução de problemas matemáticos é Davydov (1981, 1986). Em seus estudos voltados para a organização do ensino para o desenvolvimento intelectual dos estudantes, por meio da formação do pensamento teórico, esse pesquisador aponta que as tarefas, enquanto célula da atividade de aprendizagem, devem ser realizadas a partir das seguintes ações de aprendizagem:
transformação dos dados da tarefa a fim de revelar a relação universal do objeto estudado;
modelação da relação diferenciada em forma objetivada, gráfica ou por meio de letras;
transformação do modelo da relação para estudar suas propriedades em “forma pura”;
construção do sistema de tarefas particulares que podem ser resolvidas por um procedimento geral;
controle da realização das ações anteriores;
avaliação da assimilação do procedimento geral como resultado da solução da tarefa de aprendizagem dada (DAVYDOV, 1986, p. 173).
Daí, um processo de resolução de problemas matemáticos derivado das ações de aprendizagem propostas por Davydov (1986) deve considerar etapas como: 1) transformação dos dados do problema; 2) modelação dos dados; 3) transformação do modelo para resolução matemática; 4) execução das ações para obtenção da solução; 5) controle das ações anteriores; 6) avaliação do resultado.
Observamos que, embora as orientações acerca de como resolver um problema sejam advindas de diferentes perspectivas, todas propõem etapas que
se enquadram, em alguma medida, nos três momentos funcionais da atividade humana: orientação, execução e controle.
Entretanto, sobretudo nas etapas que podemos associar ao momento de orientação da atividade, a forma de apresentação de etapas mais gerais ou mais específicas é variável conforme o modelo.
Assim como a discussão sobre as definições para problemas matemáticos, as diferentes propostas de etapas para se resolver problemas serão retomadas na seção 5, a fim de embasar a construção de uma orientação desejável para a resolução de problemas matemáticos. Na seção seguinte passamos a discutir o percurso metodológico adotado nesta tese.
4 METODOLOGIA
Considerando a necessidade de detalhamento do percurso metodológico para constituição da presente tese, organizamos a presente seção em seis subseções.
A primeira subseção caracteriza o local, os cursos e o perfil dos discentes que participaram da pesquisa, enquanto a segunda, detalha o tipo de pesquisa realizada. Nas demais seções foram apresentados os instrumentos de coleta de dados, evidenciando a perspectiva adotada e os respectivos planos para constituição de cada instrumento e sua validação no âmbito dessa investigação; e ainda como se deu processo de validação, organização e análise dos dados coletados.