Considerando que a organização do ensino sempre deve estar orientada para a obtenção de um produto (resultado), Talizina (1988) aponta que a direção da atividade de aprendizagem sempre se norteia por um objetivo. Além disso, sendo a aprendizagem uma atividade, o professor deve definir ainda, em consonância com o objetivo, quais serão as características da ação do sujeito após a assimilação do conteúdo.
No que se refere ao objetivo do presente Sistema Didático, haja vista que esta tese tem o intuito de estudar a influência das atividades propostas no processo de reelaboração da orientação da ação de controle na resolução de problemas matemáticos, definimos os seguintes conteúdos: porcentagem, proporcionalidade, operações matemáticas básicas e expressões algébricas.
A escolha de conteúdos presentes no currículo da Educação Básica, se deu por dois critérios relacionados ao seu grau de aplicabilidade e a potencial familiaridade dos participantes.
Acerca do primeiro critério, como o modelo de controle da Base Orientadora da Ação utilizada nesta pesquisa, corresponde à habilidade de resolver problemas matemáticos, para preservar ao máximo o caráter geral da orientação proposta, precisávamos de conteúdos que possuíssem várias possibilidades de aplicação em diversas situações.
No que se refere ao segundo critério, tendo em vista que o foco do Sistema Didático não foi a assimilação de um conhecimento matemático, precisávamos desenvolver um sistema utilizando conteúdos matemáticos que os alunos já tivessem familiaridade, para não correr o risco da Experiência Formativa ser prejudicada por conta de dificuldades dos alunos em relação aos conceitos.
Convém destacar que essa familiaridade não deve ser entendida como opção por um conteúdo de baixa complexidade para os participantes da pesquisa, e sim como escolha de um objeto matemático que permitisse uma variação do grau de complexidade das tarefas a serem propostas, de modo a facilitar a adequação do Sistema Didático aos diferentes perfis de participantes da pesquisa e níveis de desenvolvimento desejáveis planejados pelo professor.
Com base no que foi exposto, o presente Sistema Didático tem como objetivo: Influenciar na reelaboração da orientação dos estudantes para a
ação de controle na resolução de problemas de porcentagem, proporção, operações matemáticas e expressões algébricas.
5.2 A organização do conteúdo: A orientação da ação de resolver problemas matemáticos
geral, completa e independente (BOA III), Reshetova (1988) elabora o enfoque sistêmico funcional-estrutural como estratégia de organização do conteúdo. Para a organização do conteúdo sob essa perspectiva, esse é dividido em partes menores, com propriedades distintas umas das outras, segundo a relevância desses elementos na formação do todo (papel e funções) e sua correspondência funcional com os demais elementos do sistema (RESHETOVA, 1988).
Dessa forma, o conteúdo é representado de uma forma mais geral possível, a partir de seus elementos essenciais. Nesse sistema, os diferentes casos particulares que estejam dentro de seus limites de generalidade se constituem como meios para manifestação dessa essência.
A essência, denominada invariante do sistema, é entendida por Reshetova (1988, p. 49) como a “[...] formação estável que tem um sistema determinado de qualidades [que] se conserva em toda a diversidade de variantes concretas de sua existência [...]”.
Para organização do conteúdo de uma habilidade segundo o enfoque sistêmico funcional-estrutural, os invariantes do sistema serão os seus componentes (TALIZINA, 1988).
Um dos caminhos para organização da BOA III materializada (isto é, o EBOCA do professor) consiste no Método Teórico de Análise da Atividade. Conforme Núñez, Ramalho e Oliveira (2018, p. 60), essa ferramenta realiza uma “[...] análise funcional-estrutural das diversas variantes conhecidas ou nos modos de agir quando tarefas do mesmo tipo são resolvidas. Esse modelo, então, possibilita explicar esses processos e fenômenos, de forma geral, e se constitui no objeto de assimilação”.
Para construção do EBOCA do professor por meio do Método Teórico de Análise da Atividade, seguimos os seguintes passos: i) levantamento em textos científicos especializados nas orientações acerca da habilidade objeto de estudo; ii) categorização das ações e operações de todas as orientações selecionadas segundo suas similaridades; iii) síntese das ações e operações conforme os aspectos invariantes (essência) contidos nas diferentes orientações analisadas.
Após esse processo, o EBOCA do professor é constituído pelas invariantes dos aspectos conceituais (modelo do objeto) e dos sistemas de ações (modelo da ação) construídos a partir das orientações analisadas.
Uma vez obtidos os dois modelos, o modelo de controle é formado por um sistema de operações reflexivas inter-relacionadas com o sistema de operações que constitui o modelo da ação. Ou seja, para cada operação do modelo de ação haverá uma operação do modelo de controle que permite avaliar e corrigir (quando necessário) a execução da habilidade.
Por meio do Método Teórico de Análise da Atividade, apresentamos o processo de elaboração do EBOCA do professor, dividido em função de suas três partes constituintes: modelo do objeto, modelo da ação e modelo de controle.
O modelo do objeto, que corresponde ao aspecto conceitual da definição da habilidade, se refere, no âmbito deste estudo, à compreensão do que é resolver problemas matemáticos. Partindo das definições levantadas e discutidas na subseção 3.1 desta tese, elaboramos o Quadro 14 a seguir:
Quadro 14- Definição do que é problema por diferentes autores.
AUTOR DEFINIÇÃO DE PROBLEMA
Houassis (2009, p. 1553)
“[...] o que se tem distante de si; obstáculo; questão”. Onuchic e
Allevato (2011, p. 81)
“[...] tudo aquilo que não se sabe fazer, mas que se está interessado em resolver”
Dante (2009, p. 11)
“[...] um obstáculo a ser superado, algo a ser resolvido e que exige o pensar consciente do indivíduo para solucioná-lo”.
Polya (1981, p. 117)
“[...] procurar conscientemente por alguma ação apropriada para atingir um objetivo claramente concebido, mas não imediatamente atingível”. Campistrous e
Rizo (2014, p. 293),
“[...] toda situação em que há uma abordagem inicial e um requisito que força a transformá-la. O caminho para sair da situação ou abordagem inicial para a nova situação exigida tem que ser desconhecida e a pessoa deve querer fazer a transformação”.
Ramírez (2006, p. 71)
[...] é aquela situação que se caracteriza pela existência de uma pessoa (ou grupo) que deseja resolvê-la, de um estado inicial e outro final, e de algum tipo de impedimento para a transição de um estado a outro. Isso permite compreender que no âmbito escolar um exercício (ou em geral qualquer tarefa docente) será um problema se a transição do estado inicial para o estado final implica que o estudante experimente um desenvolvimento cognitivo, ao trabalhar em sua ZDP.
Nápoles (2011, p. 3)
[...] situação em que o aluno está envolvido, em que ele sente a necessidade de realizá-la para satisfazer suas necessidades, motivos e interesses cognitivos e, no processo para alcançá-la, usa todos os recursos, quer dizer, conhecimento, habilidades, métodos; que lhe permitem atingir o objetivo que persegue.
Majmutov (1983, p. 58)
[...] uma forma subjetiva de expressar a necessidade de desenvolver o conhecimento científico. Este é o reflexo de uma situação problema, ou seja, de uma contradição entre o conhecimento e falta de conhecimento que objetivamente surge do processo social.
Núñez et al. (2004, p. 152
“[...] a contradição que caracteriza uma situação problema assimilada/internalizada pelo aluno”
p. 16) para o desenvolvimento”
Fonte: Elaborado pelo autor.
Um primeiro aspecto que podemos evidenciar nas definições anteriormente descritas é a explicitação, em algumas delas, de um entendimento do problema não em função de sua estrutura, mas em relação ao indivíduo (ou grupo) que se depara com uma determinada situação. Em outros termos, o problema é definido não a partir do seu conteúdo ou grau de complexidade, mas sim tanto pelo aspecto motivacional, volitivo, da pessoa; quanto pelo nível de conscientização do(s) indivíduo(s) em relação ao objetivo a ser alcançado com o processo de solução.
Assim, a existência do problema é condicionada ao interesse do sujeito em resolvê-lo, a uma tomada de consciência sobre o que é procurado, a coincidência do motivo do sujeito com o objetivo do problema. Partindo desse entendimento, destacamos como um aspecto invariante a resolução de problemas matemáticos enquanto atividade.
Outro aspecto que podemos considerar é a compreensão do problema enquanto obstáculo entre um momento inicial (anterior à solução) e um momento posterior (quando a solução é encontrada), a ser superado por meios desconhecidos. O desconhecimento dos meios sugere que, embora os conhecimentos e habilidades necessários para a solução possam ser previamente conhecidos pelo sujeito, a estratégia de empregá-los no âmbito do processo de resolução da situação não podem ser.
Esse segundo aspecto faz emergir um entendimento invariante da resolução de problemas como um processo de busca pela solução de uma
contradição entre os conhecimentos conhecidos e os desconhecidos.
Por fim, se tratando da resolução de problemas no contexto de uma área do conhecimento específica, outro aspecto invariante para o modelo do objeto consiste na condição necessária que a resolução de problemas em Matemática se dá por meio de conhecimentos matemáticos.
Reunido os elementos invariantes anteriormente discutidos, no modelo do objeto do Esquema da Base Orientadora Completa da Ação (EBOCA) do professor, apresentamos a compreensão da resolução de problemas matemáticos no Quadro 15 a seguir:
Quadro 15 - Modelo do objeto do EBOCA de resolver problemas matemáticos. MODELO DO OBJETO
Atividade de busca pela solução de uma contradição entre o que é conhecido e o que é desconhecido, por meio de conhecimentos matemáticos.
Fonte: Elaborado pelo autor.
Passando ao modelo da ação, que se refere ao aspecto operacional, isto é, ao sistema de ações e operações necessários e suficientes para se resolver um problema matemático, sintetizamos, no Quadro 16, as diferentes propostas de autores discutidos na subseção 3.2. Visando facilitar a identificação das etapas em função de seus propositores, acrescentamos as iniciais de cada autor e o algarismo indo-arábicos correspondente a sua ordem dentro do modelo.
Quadro 16 - Sínteses de etapas para resolução de problemas de diferentes autores.
AUTOR ETAPAS PARA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
Libâneo (2005)
LI1 Analisar o problema LI2 Vias de solução
LI3 Execução da solução escolhida;
LI4 Controlar o processo de solução e o resultado obtido Volodarskaya e Nikitiuk (2001) VK1 Análise VK2 Construção VK3 Demonstração VK4 Investigação
Lavigne (1999) LA1 Compreender o problema LA2 Analisar o problema LA3 Solucionar o problema
LA4 Avaliar a solução do problema
Majmutov (1983)
MAJ1 Surgimento da situação problemática e a abordagem do problema MAJ2 Utilização dos procedimentos de solução que se conhece (etapa de solução “fechada” do problema);
MAJ3 Ampliação da esfera de busca de novos procedimentos de solução (etapa de solução “aberta” do problema), encontrando uma nova relação ou princípio de ação;
MAJ4 Realização do princípio encontrado;
MAJ5 Comprovação do grau de correção da solução
Mendoza e Delgado (2018)
MD1 Formular o problema docente MD2 Construir o núcleo conceitual MD3 Solucionar o problema docente MD 4 Interpretar a solução
Martínez (1998)
MAR1 Determinar o buscado através dos dados
MAR2 Estabelecer as dependências casuais entre o conhecido e o buscado
MAR3 Elaborar e determinar a possível via de solução (hipótese) MAR4 Levantar a solução (o encontrado)
MAR5 Comprovar a coincidência do resultado com o objetivo.
Triana (2005)
TR1 Analisar o problema
TR2 Gerar estratégias de trabalho
TR3 Avaliar as consequências da aplicação da estratégias que se considere mais adequada
TR4 Executar ou desenvolver a estratégia selecionada TR5 Avaliar as conquistas e dificuldades durante a execução
Luria (1981; 1990)
LU1 Identificação das condições da situação LU2 Analisar as condições do problema LU3 Determinação das estratégias de solução
LU4 Escolha dos métodos e das operações adequadas LU5 Solução real do problema
LU 6 Comparação dos resultados obtidos com as condições iniciais Nikola e Talizina
(2001)
NT1 Identificar as grandezas do problema NT2 Representar as grandezas
NT3 Organizar as grandezas segundo o esquema da árvore de raciocínio NT4 Solucionar o problema.
Davydov (1981, 1988)
D1 Transformação dos dados do problema D2 Modelação dos dados
D3 Transformação do modelo para resolução matemática D4 Execução das ações para obtenção da solução D5 Controle das ações anteriores
D6 Avaliação do resultado.
Fonte: Elaborado pelo autor
Para facilitar a busca pelos invariantes, optamos por dividir cada uma das etapas contidas no Quadro 16 em função dos principais momentos funcionais da atividade (orientação, execução e controle). O Quadro 17 apresenta os momentos da atividade, as etapas para resolução de problemas dos diferentes autores já discutidos e os respectivos invariantes identificados:
Quadro 17 - Invariantes da habilidade de resolver problemas matemáticos.
MOMENTOS DA ATIVIDADE
ETAPAS INVARIANTES
Orientação
LI1 Analisar o problema VK1 Análise
LA1 Compreender o problema LA2 Analisar o problema
MAJ1 Surgimento da situação problemática e a abordagem do problema
MD1 Formular o problema docente
MA1 Determinar o buscado através dos dados MA2 Estabelecer as dependências casuais entre o conhecido e o buscado
TR1 Analisar o problema
LU1 Identificação das condições da situação LU2 Analisar as condições do problema NT1 Identificar as grandezas do problema NT2 Representar as grandezas
D1 Transformação dos dados do problema D2 Modelação dos dados
Analisar a situação- problema
LI2 Vias de solução
MAJ2 Utilização dos procedimentos de solução que se conhece (etapa de solução “fechada” do problema);
MAJ3 Ampliação da esfera de busca de novos procedimentos de solução (etapa de solução “aberta” do problema), encontrando uma nova relação ou princípio de ação;
MD2 Construir o núcleo conceitual
MA3 Elaborar e determinar a possível via de solução (hipótese)
TR2 Gerar estratégias de trabalho
TR3 Avaliar as consequências da aplicação da estratégias que se considere mais adequada LU3 Determinação das estratégias de solução LU4 Escolha dos métodos e das operações adequadas
NT3 Organizar as grandezas segundo o esquema da árvore de raciocínio
D3 Transformação do modelo para resolução matemática
Planejar uma estratégia para resolução do problema
Execução
LI3 Execução da solução escolhida VK2 Construção
VK3 Demonstração
LA3 Solucionar o problema
MAJ4 Realização do princípio encontrado; MD3 Solucionar o problema docente MA4 Levantar a solução (o encontrado)
TR4 Executar ou desenvolver a estratégia selecionada
LU5 Solução real do problema NT4 Solucionar o problema
D4 Execução das ações para obtenção da solução
Executar a estratégia para resolução do
Controle
LI4 Controlar o processo de solução e o resultado obtido
VK4 Investigação
LA4 Avaliar a solução do problema
MAJ5 Comprovação do grau de correção da solução
MD 4 Interpretar a solução
MA5 Comprovar a coincidência do resultado com o objetivo
TR5 Avaliar as conquistas e dificuldades durante a execução
LU 6 Comparação dos resultados obtidos com as condições iniciais
D5 Controle das ações anteriores D6 Avaliação do resultado.
Avaliar a resolução do problema
Fonte: Elaborado pelo autor
Como é possível observar no Quadro 17, no âmbito do momento funcional de orientação, identificamos duas ações invariantes, são elas: A1- Analisar a situação-problema e A2- Planejar uma estratégia para resolução do problema. No momento de execução, a ação correspondente é A3- Executar a estratégia para resolução do problema. Por fim, o controle da atividade tem como ação correspondente A4- Avaliar a resolução do problema.
Haja vista que as ações se subdividem em operações, no Quadro 18 apresentamos o modelo da ação, detalhando as respectivas operações.
Quadro 18 - Modelo da ação do EBOCA de resolver problemas matemáticos do professor.
MODELO DA AÇÃO
Ação Operação
A1: Analisar a situação-problema.
O1: Ler o enunciado e determinar se corresponde a uma situação-problema. Caso corresponda, resolver utilizando o cartão de estudo. Do contrário, procurar outra orientação.
O2: Reconhecer o que é conhecido e o que é desconhecido
O3: Definir o problema, a partir da contradição entre o conhecido e o desconhecido
O4: Representar o problema a partir do que é conhecido, desconhecido e procurado.
A2: Planejar uma estratégia para resolução do problema.
O5: Determinar as condições para a solução do problema.
O6: Elaborar uma estratégia para resolução, segundo as condições do problema
A3: Executar a estratégia para resolução do problema.
O7: Realizar a resolução do problema de acordo com o planejado.
O8: Interpretar o resultado encontrado em função do que é procurado.
A4: Avaliar a resolução do problema.
O9: Verificar se a solução do problema está de acordo com o que é procurado
O10: Caso a resposta esteja correta, refletir sobre os aspectos que favoreceram a esse resultado
O11: Caso a resposta seja negativa, ou não tenha chegado a uma resposta, refletir e reformular caso seja necessário, o problema e/ou a estratégia de solução. Corrigir os erros. O12: Relacionar os resultados obtidos com conhecimentos anteriores e com novos conhecimentos.
Fonte: Elaborado pelo autor.
Por fim, o modelo do controle corresponde ao aspecto operacional de controle, que possibilita ao sujeito da atividade monitorar e corrigir, quando necessário, a execução do sistema de ações que constitui a habilidade a ser aprendida. Dada a sua inter-relação com o modelo da ação, apresentamos no Quadro 19 que segue, o modelo de controle em função do sistema operacional que constitui o modelo da ação do EBOCA de resolver problemas matemáticos do professor:
Quadro 19- Relação entre operações para ação e operações de controle.
OPERAÇÕES DO MODELO DA AÇÃO OPERAÇÕES DO MODELO DE
CONTROLE
O1: Ler o enunciado e determinar se corresponde a uma situação-problema. Caso corresponda, resolver utilizando o cartão de estudo. Do contrário, procurar outra orientação.
C1: O enunciado trata de uma situação- problema?
O2: Reconhecer o que é conhecido e o que é desconhecido
C2: Reconheceu-se o conhecido? Reconheceu-se o desconhecido?
O3: Definir o problema, a partir da contradição entre o conhecido e o desconhecido
C3: Definiu-se o problema, a partir do que é conhecido e desconhecido na situação- problema?
O4: Representar o problema a partir do que é
conhecido, desconhecido e procurado. C4: Foi criado um modelo do problema a ser resolvido? O5: Determinar as condições para a solução
do problema.
C5: Analisou-se e determinou-se as condições nas quais se resolverá o problema? Quais são essas condições?
O6: Elaborar uma estratégia para resolução, segundo as condições do problema
C6: Por que a estratégia elaborada é apropriada para solução do problema, segundo as condições estabelecidas? O7: Realizar a resolução do problema de
acordo com o planejado.
C7: A solução do problema se realiza segundo o planejado, considerando as condições e a representação do problema? O8: Interpretar o resultado encontrado em
função do que é procurado.
C8: Chegou-se a uma solução do problema? Caso positivo, Analisou-se a resposta de modo a justificá-la como resposta ao problema?
O9: Verificar se a solução do problema está
de acordo com o que é procurado C9: As operações anteriores estão adequadas ao que é procurado?
O10: Caso a resposta esteja correta, refletir sobre os aspectos que favoreceram a esse resultado
C10: Quais aspectos favoreceram ao resultado?
O11: Caso a resposta seja negativa, ou não tenha chegado a uma resposta, refletir e reformular caso seja necessário, o problema e/ou a estratégia de solução. Corrigir os erros.
C11: O que é preciso corrigir para solucionar o problema?
O12: Relacionar os resultados obtidos com conhecimentos anteriores e com novos conhecimentos.
C12: Como os resultados obtidos se relacionam com elementos já conhecidos e com novos conhecimentos?
Fonte: Elaborado pelo autor.
A partir dos modelos do objeto, modelo da ação e modelo de controle discutidos até aqui, sintetizamos o Esquema da Base Orientadora Completa da Ação da habilidade de resolver problemas matemáticos do professor no Quadro 20:
Quadro 20 - EBOCA da habilidade de resolver problemas matemáticos planejado pelo professor. EBOCA DE RESOLVER PROBLEMAS MATEMÁTICOS PLANEJADO PELO PROFESSOR MODELO DO OBJETO MODELO DA AÇÃO MODELO DE CONTROLE Ação Operação Atividade de busca pela solução de uma contradição definida a partir do que é
conhecido e
desconhecido em uma situação- problema, por meio de conhecimentos matemáticos
A1: Analisar a situação- problema
O1: Ler o enunciado e determinar se corresponde a uma situação-problema. Caso corresponda, resolver utilizando o cartão de estudo. Do contrário, procurar outra orientação.
O2: Reconhecer o que é conhecido e o que é desconhecido
O3: Definir o problema, a partir da contradição entre o conhecido e o desconhecido
O4: Representar o problema a partir do que é conhecido, desconhecido e procurado.
C1: O enunciado trata de uma situação-problema? C2: Reconheceu-se o conhecido? Reconheceu-se o desconhecido?
C3: Definiu-se o problema, a partir do que é conhecido e desconhecido na situação-problema? C4: Foi criado um modelo do problema a ser resolvido?
A2: Planejar uma estratégia para
solução do problema
O5: Determinar as condições para a solução do problema.
O6: Elaborar uma estratégia para resolução, segundo as condições do problema
C5: Analisou-se e determinou-se as condições nas quais se resolverá o problema? Quais são essas condições?
C6: Por que a estratégia elaborada é apropriada para solução do problema, segundo as condições estabelecidas?
A3: Executar a estratégia para resolução do
problema
O7: Realizar a resolução do problema de acordo com o planejado.
O8: Interpretar o resultado encontrado em função do que é procurado.
C7: A solução do problema se realiza segundo o