A Resolução de problemas no ensino de matemática

Em nossa Introdução, comentamos brevemente do processo que envolve a resolução de um problema e a importância deste movimento no ensino de matemática. Na ocasião, foi indicado que a resolução de problemas de matemática permeia algumas interpretações que são distintas entre si, devido a estarem fundamentadas em concepções que apontam a importância/relevância deste assunto para o ensino de matemática, as mais comuns são: 1) a resolução de problemas como uma meta; 2) a resolução de problemas como um processo; 3) a resolução de problemas como habilidade básica; 4) a resolução de problemas como uma metodologia para o ensino de matemática.

Entendemos que a resolução de problemas não pode ser visualizada como uma parte isolada no programa de matemática, ou seja, ela não é apenas uma meta a ser alcançada após ser dado todo o conteúdo matemático ou uma habilidade básica que o sujeito precisa desenvolver para aprender matemática, muito menos um processo que precisa ser ensinado como sendo um conteúdo a parte. Para nós, a resolução de problemas abrange estas perspectivas ao ser compreendida como uma metodologia de ensino para a matemática.

Quando se aprende matemática e se busca aplicar os conceitos apreendidos em problemas de matemática, a resolução de problemas é vista como uma meta. Contudo, ao fazermos isso, entendemos que o próprio processo de resolução passa a contribuir para que novos conceitos matemáticos sejam compreendidos, sendo, então, tal resolução vista como uma habilidade básica, a qual, quando desenvolvida pelo aluno, o ajuda a ter melhores condições de se aprender matemática a partir da resolução de problemas. Todavia, este ciclo de aprendizado deve passar por discussões, em que os alunos tenham condições de justificar suas ideias e procedimentos realizados. Dessa forma, a resolução de problemas pode ser vista também como um processo, já que o movimento discursivo pode contribuir com o aprendizado das etapas que envolvem tal resolução, contudo, a finalidade deve ser ainda o aprendizado da matemática.

O foco, então, não é estimular o aluno a utilizar a resolução de problemas para aplicar matemática ou para apenas aprender a lidar com as etapas que envolvem a sua resolução, mas utilizar a resolução de problemas para aprender novos conceitos matemáticos. Nesse sentido, Onuchic e Alevatto (2011) indicam que um problema deve ser visto “[...] como ponto de partida para a construção de novos conceitos e novos conteúdos; os alunos sendo co-construtores de seu próprio conhecimento e, os professores, os responsáveis por conduzir esse processo”. (ONUCHIC; ALEVATTO, 2011, p.80).

Corroborando com esta concepção, Van de Walle (2009) comenta que um problema deve, de fato, estar voltado para a aprendizagem matemática. O uso do mesmo como um procedimento metodológico necessita levar em consideração a compreensão atual dos alunos, assim como à matemática que eles irão aprender. Além disso, a utilização de justificativas e explicações para as respostas dadas e para os procedimentos utilizados devem ser parte integrante do processo de resolução. Para ele, [...] Enquanto os estudantes estão ativamente procurando relações, analisando padrões, descobrindo que métodos funcionam e quais não funcionam e justificando resultados ou avaliando e desafiando os raciocínios dos outros, eles estão necessária e favoravelmente se engajando em um pensamento reflexivo sobre as ideias envolvidas. (VAN DE WALLE, 2009, p.57).

Esclarecemos que as ideias a que o autor se refere dizem respeito, principalmente, aos conceitos matemáticos envolvidos no problema, contudo, Van de Walle (2009) também faz menção às compreensões produzidas e aos métodos utilizados pelos estudantes para a resolução do mencionado problema. Frente a isso, fazemos aqui

uma ressalva sobre o modo como utilizamos a argumentação nesta Tese ao trabalharmos com a resolução de problemas.

Como indicado há pouco, compreendemos resolução de problemas como uma metodologia que visa o ensino e a aprendizagem da matemática. Porém, o nosso foco foi perceber os critérios que os alunos utilizaram para identificarem, por exemplo, a incógnita do problema ou mesmo as suas condicionantes, assim como, perceberem os critérios utilizados por eles para selecionarem uma estratégia de resolução. Desse modo, produzimos movimentos discursivos em sala de aula intencionando estimular os alunos a justificarem/explicarem seus procedimentos. Defendemos a ideia de que resolver problemas verbais através de práticas argumentativas, contribui para que tais critérios19 sejam socializados entre participantes e, assim, desenvolvidos, contribuindo para a aprendizagem do conteúdo trabalhado.

De certo modo, como já explicado em nossa Introdução, obtemos resultados que podem contribuir com aquele professor de matemática que se situa em um contexto em que tem que lidar com uma quantidade significativa de alunos20, os quais possuem inúmeras dificuldades para resolverem problemas de matemática, como: ler e compreender o enunciado do problema, obter um procedimento que o permita resolver o problema e avaliar sua resposta. Entendemos que estas dificuldades não colaboram com o professor que busca utilizar a resolução de problemas como uma metodologia de ensino, pois os alunos não conseguem avançar (muitas vezes iniciar) em tal resolução. A este professor, cabe a tarefa de interpretar e resolver o problema para os alunos, abreviando, assim, as discussões e eliminando a possibilidade de descobertas e da curiosidade destes estudantes.

Por exemplo: em minha prática docente, não foram poucas às vezes em que tentei ensinar equações a partir da resolução de problemas. Em minhas tentativas, eu apresentava alguns problemas em que os alunos tinham, como uma possibilidade de resolução, o método da tentativa e do erro, sendo o caso dos seguintes problemas: 1) Em um estacionamento, há carros e motos que, no total, somam 38 veículos e 136

rodas. Quantas motos e quantos carros há nesse estacionamento?

19

Através da busca por estes critérios, intencionamos perceber as estratégias metacognitivas utilizadas.

2) Em uma caixa, há bolas brancas e pretas, num total de 360. O número de bolas

brancas é quatro vezes o número de bolas pretas. Quantas bolas brancas e quantas bolas pretas há na caixa?

A ideia era que, a partir da tentativa dos alunos de resolverem problemas como estes, os próprios percebessem, tendo o professor como mediador em momento posterior, a importância da incógnita em uma operação matemática; como se produz uma equação a partir de algum contexto, a fim de observar a utilidade prática de uma equação; e que, em alguns casos, o uso de uma equação pode ser mais vantajoso do que algum outro método de resolução. Porém, poucos eram os alunos que entendiam o problema e pensavam em algum meio para resolvê-lo, o que dificultava a realização da relação entre aquilo que conseguiram produzir sozinhos com o novo conhecimento em pauta.

Através de situações como estas é que percebemos a necessidade de se realizar algum trabalho que pudesse contribuir não só com o ensino e aprendizagem da matemática, a partir da resolução de problemas verbais, mas que também auxiliasse os alunos a ter possibilidades para avançarem nas etapas que compõem a referida resolução.

De fato, como apontado por Van de Walle (2009), quando os alunos se concentram nos métodos utilizados para a resolução de um problema, novas compreensões sobre a matemática, inseridas nesta tarefa, são ocasionadas. Já Onuchic e Allevato (2011) comentam que a construção do conhecimento matemático, a partir da resolução de problemas, é consequência de seu pensar matemático quando o mesmo tem a possibilidade de analisar os seus “[...] próprios métodos e soluções obtidos para os problemas”. (ONUCHIC; ALLEVATO, 2011, p.81).

Onuchic e Allevato (2011) descrevem em seu texto dois roteiros de atividades que foram produzidos com a intenção de ajudar o professor a pôr em prática a resolução de problemas como uma metodologia para se ensinar matemática. O primeiro roteiro, composto por sete etapas, foi criado em 1998 por 45 professores participantes de um Programa de Educação Continuada. Já o segundo tratou de uma produção dos próprios autores do texto (Onuchic e Allevato), sendo uma versão adaptada daquele primeiro roteiro e que incluiu novos elementos. No geral, as etapas sugeridas nos dois roteiros seguiam uma sequência que incluíam momentos de leitura do problema, trabalhos em

grupos para a resolução desses registros das resoluções na lousa, plenárias e a formalização dos conteúdos, denotando um passo a passo a ser seguido.

Tais registros determinaram uma forma de trabalho diferenciado do nosso, já que, em nossa pesquisa, não trabalhamos com a efetivação de etapas, ou seja, com um encaminhamento de uma sequência de procedimentos a serem realizados. O uso que auferimos para a argumentação, durante as discussões, englobou todos os aspectos que são envolvidos na resolução de um problema, assim como foi nos roteiros citados no parágrafo anterior; porém, trabalhamô-los de forma conjunta, ou seja, de modo paralelo, sem haver, por vezes, distinções entre eles. Por exemplo, houve momentos em que os alunos ao explicarem como compreenderam o problema, já indicavam a operação matemática que foi utilizada por eles para resolvê-lo. Desse modo, sem haver interrupções, as discussões continuavam com os alunos relacionando a compreensão obtida com o procedimento utilizado. Nesse sentido, o professor/pesquisador tentou ter sempre o cuidado de considerar todas as falas por completo, sem deixar de levar em conta alguma informação fornecida por algum aluno, independente do momento em que ela era dada.

Como já mencionado, apesar da nossa Tese e dos nossos objetivos de pesquisa estarem direcionados para a identificação de critérios utilizados pelos alunos durante a resolução de um problema verbal, não perdemos em nenhum momento de vista o ensino e a aprendizagem da matemática. Isso porque, para nós, a resolução de problemas se define como um procedimento metodológico que favorece o aprendizado da matemática. Desse modo, buscamos gerenciar o discurso, permitindo a sua socialização, sem causar prejuízo àquele ensino e aprendizagem. Contudo, é importante frisar que mesmo abordando os conteúdos matemáticos contemplados nos problemas verbais durante as discussões, houve momentos que não intensificamos/ampliamos as discussões relativas a estes conteúdos, devido a não ser este o principal objetivo de nossa Tese.

Desse modo, compreendemos que, trabalhos como o que foi realizado em nossa investigação, não compromete o ensino da matemática, porém, o professor deve dar maior atenção aos conteúdos matemáticos que surgirem durante as discussões. Para isso, um planejamento discursivo que focalize um pouco mais os conteúdos matemáticos deve ser providenciado pelo professor.

Com relação ao processo de resolução de problemas, Van de Walle (2009) sugere uma estrutura para o mesmo composta por três fases: 1) preparando os alunos

(fase inicial); 2) alunos trabalhando (fase mediana); 3) alunos debatendo (fase final). Na fase inicial, (denominada pelo autor de fase antes) busca-se compreender o problema. É a fase em que o aluno ativa seus conhecimentos prévios buscando relações, além de outras estratégias de leitura, a fim de melhor entender as informações fornecidas pelo problema. Na fase mediana (denominada pelo autor de fase durante), sugere-se que se deixe os alunos a vontade para construírem seus próprios conhecimentos.

Nesta fase, cabe ao professor evitar antecipações, escutar cuidadosamente, fornecer sugestões, observar e avaliar. Na fase final (denominada pelo autor de fase

depois), o professor precisa também saber escutar, além de aceitar soluções encontradas

pelos alunos sem julgá-las, conduzindo essa ação aos outros alunos para que possam também auferir suas opiniões. É um momento de sintetizar as principais ideias e de identificar dificuldades encontradas pelos alunos durante a resolução do problema.

O autor sintetiza essas fases da resolução de problemas do seguinte modo: compreender o problema (fase inicial/fase antes), resolver o problema (fase mediana/fase durante) e refletir sobre a resposta e solução (fase final/fase depois). Essas etapas se assemelham às conferidas por Suydam (1997), tratadas na Introdução deste texto, onde existe a necessidade de que o aluno, após compreender o problema, elabore um plano para obter a solução, ponha-o em prática e avalie a solução encontrada.

Jacobson, Lester e Stengel (1997) também indicam estas etapas para a resolução de um problema, apresentando-as do seguinte modo: 1) etapa da apresentação do problema (momento em que os alunos devem ter como resultado a compreensão do problema); 2) etapa da tentativa de solução (momento em que os alunos devem ter como resultado o desenvolvimento de pelo menos uma estratégia para resolver o problema); 3) etapa da discussão do problema (momento em que os alunos devem discutir sobre suas tentativas de respostas e que deve ter como resultado novas descobertas sobre o problema).

Nas leituras que tivemos a oportunidade de realizar, notamos que pouco houve uma preocupação, por parte destes autores, em indicar para que tipo de problema estas etapas estariam de acordo. Os comentários auferidos por eles não denotaram um tipo especifico de problema. Os autores que mais se aproximaram disso foram Jacobson, Lester e Stengel (1997), os quais giraram suas discussões em torno de problemas do tipo verbal.

Observando a similitude das etapas indicadas entre os autores e a não especificação de um determinado tipo de problema, compreendemos que estas etapas correspondem/se adequam também ao processo de resolução de um problema verbal.

De fato, sem que o problema (seja ele verbal ou não) seja compreendido totalmente, não há como avançar em sua resolução ou avançar de modo correto. A experiência nos mostra que um problema mal compreendido ocasiona o uso indevido de uma determinada estratégia. Quando não há um mínimo de compreensão para o problema, o aluno tende a deixá-lo sem resposta. Na investigação que tivemos a oportunidade de realizar durante o mestrado, descrita no livro Leitura e ensino de

matemática: propostas didáticas e avaliação para a prática escolar (LIMA;

NORONHA, 2014; LIMA, 2012), identificamos algumas dificuldades que contribuíam não só para o não entendimento de um problema verbal pelo estudante, como também para o desenvolvimento de outras etapas que compõem a resolução deste tipo de problema.

Estas dificuldades foram organizadas em parâmetros/descritores avaliativos para a linguagem matemática, que apresentamos a seguir, a fim de mostrar algumas das dificuldades que os alunos poderiam apresentar durante a resolução de problemas verbais.

O primeiro parâmetro avaliativo apontava as dificuldades leitoras que colaboravam com o não entendimento para o problema. Este parâmetro foi apresentado do seguinte modo: “[...] o aluno não compreende o enunciado da situação-problema21

ou o compreende erroneamente (o aluno não consegue resolver a situação-problema)”. (LIMA; NORONHA, 2014, p.104). As dificuldades dos alunos percebidas nesta investigação estavam relacionadas ao não entendimento da língua materna ou da linguagem matemática; ao não estabelecimento de relações entre estes dois meios de comunicação devido ao sujeito conseguir apenas decodificar a linguagem matemática, sem auferir maiores significados aos objetos desta área, visualizando-os, assim, de modo mecânico, ou seja, sem sentido; a não conseguir diferenciar o significado de palavras que são comuns entre a matemática e a língua materna. (LIMA; NORONHA, 2014).

21 _{Tendo como referência os tipos de tarefas apresentados por Pontes (2003) e a definição de problema}

proposta por Diniz (2001), os quais foram adotados para fins desta Tese, esclarecemos que a expressão

situação-problema adotada na citação corresponde ao que estes autores definem como problema e nós

Frente a estes dados, corroboramos com Pais (2013), para o qual a resolução de problemas, como recurso para se promover o aprendizado da matemática,

[...] começa com a leitura do seu enunciado, ou seja, com a dificuldade que o aluno pode ter de interpretar o sentido intencionado na redação. Essa é uma questão pedagógica composta por vários aspectos. Se, por um lado, existem enunciados redigidos de maneira dúbia, por outro, a falta de hábito de leitura, por parte dos alunos, aumenta as dificuldades. Levando em consideração que desenvolver a leitura e a escrita é compromisso de todas as disciplinas, no caso da Matemática, compete ao professor trabalhar com a interpretação dos enunciados, levando o aluno a expor seu entendimento. É preciso ainda confrontar o entendimento de um aluno com a leitura feita por seus colegas e coordenar o processo de devolução de questões, visando à elaboração de uma interpretação objetiva (PAIS, 2013, p.132).

O trabalho proposto por este autor reforça o uso de metodologias que possibilitem aos alunos expressarem suas ideias, os seus entendimentos, utilizando-se, para isso, de qualquer estratégia de comunicação: oral, escrita, pictórica ou outra.

Tendo o problema sido compreendido, parte-se em busca de uma estratégia que o permita ser resolvido. Assim, um segundo parâmetro correspondente a esta etapa foi produzido, sendo apresentado do seguinte modo: “[...] O aluno compreende o enunciado da situação-problema, entretanto não o conecta com algum algoritmo/procedimento matemático que possa ser utilizado para resolvê-lo (o aluno não consegue resolver a situação-problema)”. (LIMA; NORONHA, 2014, p.106). A dificuldade percebida neste segundo momento foi apenas uma. Devido ao conhecimento do procedimento (ou algoritmo) correto para a resolução do problema ser apenas de modo mecânico, ou seja, apenas de modo operacional, o aluno não consegue relacioná-lo a um problema verbal, mesmo compreendendo o seu enunciado. Como exemplo, Lima (2012) relatou o seguinte caso:

[...] em alguns momentos, ao resolver problemas trabalhados durante nossa investigação, a divisão não era visualizada pelos alunos como medição ou mesmo razão, ela sempre era utilizada apenas para realizar distribuições. Em problemas como: “Paulo tem guardado no banco R$1.250.345,00. Se ele quisesse fazer maços de notas de R$ 5,00, contendo 10 notas cada um, quantos maços seriam produzidos?”, poucos foram os alunos que tentaram resolver utilizando a divisão (como medição seria algo do tipo quantos R$ 50,00 “cabem” em R$ 1.250.345,00), alguns alunos preferiram somar de 50 em 50 até chegar em 1.250.345, além de outros que, mesmo entendendo o problema, não sabiam que operação utilizar para descobrir quantos números 50 eram necessários para compor o número 1.250.345. (...) Este problema nos fez perceber que tanto a divisão, quanto a multiplicação (os alunos

se comprometiam mais em somar de 50 em 50 para chegar em 1.250.345, do que tentar realizar este tipo de conta através da multiplicação) eram operações que não tinham, por assim dizer, significados mais precisos para alguns alunos, o que provocou muitos erros e respostas em “branco” nesta questão (LIMA, 2012, p.97). Na imagem a seguir tem-se a representação da situação relatada:

Figura 1: O aluno entende o problema, mas não consegue resolvê-lo22.

Fonte: Acervo do autor

Observa-se que, de fato, o aluno busca somar quantidades de 50 para tentar chegar em 1.250.345, porém, ao notar o enorme trabalho que teria para verificar quantos cinquentas haveria de somar para resolver o problema, ele desiste e comenta no canto inferior direito de sua resposta: “tentei fazer mas a conta é muito grande”.

Para que o aluno consiga resolver um problema, faz-se necessário que ele conheça não só como se manipula o(s) procedimento(s) matemático(s) correto(s) para tal resolução, como também suas ideias, seus conceitos, suas propriedades e o modo como podem ser aplicados nos mais variados contextos. Contudo, chamamos atenção para a seguinte questão: como um aluno pode lidar com problemas de matemática contextualizados, se ele possui apenas conhecimentos mecânicos e manipulativos sobre os procedimentos/algoritmos que são necessários para a resolução destes problemas?

Entendemos, tendo como base os estudos que realizamos sobre argumentação, e, principalmente, os resultados alcançados em nossa pesquisa (apresentadas no Capítulo 3) que, para ajudar este aluno, o professor pode retomar os conteúdos em pauta em sala de aula, e trabalhá-los de alguma outra forma que julgue ser mais eficiente para que ocorra o seu aprendizado. Contudo, esse processo pode ser agilizado, sem perder a qualidade no ensino, através de discussões as quais seja possibilitado que os alunos

socializem e justifiquem o uso de suas estratégias. Esse movimento permite que os participantes reflitam e analisem os procedimentos utilizados por seus pares, tendo eles a oportunidade de compreenderem a lógica (o modo de pensar) que fundamenta tais procedimentos.

Além disso, se for oportunizado aos alunos opinar sobre a estratégia utilizada por outro estudante e este, por sua vez, ter a chance de defender suas ideias e também questionar o que aqueles estão fazendo, possibilitando-se, portanto, o confronto de ideias, é possível que os alunos ampliem o seu leque de conhecimentos e reflitam também sobre suas próprias estratégias de resolução, dando abertura ao novo.

Ao resolver o problema, é importante, caso o resolvedor julgue necessário, que o seu resultado seja validado. É o momento de retomar todos os passos que foram traçados, a partir do instante em que ele iniciou a leitura do problema, a fim de perceber se o resultado encontrado está coerente com os dados do problema. Esta validação não deve ocorrer apenas sobre a solução obtida, mas também sobre todo o percurso realizado, revisando tanto a estratégia utilizada como os dados considerados para se