Categoria: Resolução do problema: Estratégias utilizadas e validação

Assim como para as categorias anteriores, apresentamos a seguir um Quadro com as unidades elementares de significados, relacionadas à categoria Resolução do

problema: Estratégias utilizadas e validação dos resultados, estabelecidas também a

partir de breves intervalos discursivos, os quais também são apresentados após o Quadro.

Quadro 14: Categoria: Resolução do problema: Estratégias utilizadas e validação dos resultados – Breves intervalos discursivos.

Categoria: Resolução do problema: estratégias utilizadas e validação dos resultados

Quais critérios os alunos utilizaram para selecionar a estratégia utilizada na resolução do problema? E para validar o resultado encontrado?

Episódio Atividade Unidade elementar de significado Estratégia de63: 18 01 Utilização de uma operação matemática

para validar um resultado obtido através de outra operação.

Validação

19 01 A partir da percepção do uso de uma operação como estratégia de resolução indica-se outra operação para o mesmo fim.

Resolução de problema

20 04 A partir da percepção do uso de uma operação como estratégia de resolução indica-se outra operação para o mesmo fim.

Resolução de problema

21 05 Presença de palavras/expressões que serviram como pistas para identificar a operação a ser realizada.

Resolução de problema 22 05 Presença de palavras/expressões que

serviram como pistas para identificar a operação a ser realizada.

Resolução de problema 23 06 Presença de palavras/expressões que

serviram como pistas para identificar a operação a ser realizada.

Resolução de problema

Fonte: Produção do autor

Verifica-se no Quadro 14 que o Episódio 18 refere-se a uma estratégia metacognitiva utilizada para validar o resultado de um problema e que os Episódios 19, 20, 21, 22 e 23 a estratégias utilizadas na resolução de problemas. Destes Episódios (do 18 ao 23), apenas o 19 e 20 não possuem um metatexto próprio. Assim, como tratam, semelhantemente, de uma mesma unidade, os agrupamos e produzimos, para eles, um único metatexto.

A seguir têm-se os breves intervalos discursivos que originaram as unidades elementares de significados a pouco apresentadas que fazem referência à categoria

Resolução do problema: estratégias utilizadas e validação dos resultados. A questão

norteadora desta etapa foi: Quais critérios os alunos utilizaram para selecionar a

estratégia utilizada na resolução do problema? E para validar o resultado encontrado?

63 _{Percebe-se que, de fato, nos Episódios mostrados neste Quadro tem-se, em sua maioria, a apresentação}

de estratégias para resolução de problemas. Apenas uma estratégia para validação do resultado foi percebida. Porém, outras estratégias desse tipo ainda serão apresentadas neste Capítulo.

Para os Episódios desta categoria têm-se os seguintes problemas:

 Problema (atividade 1): Um amigo meu tem dois postos de gasolina, um na zona sul e outro na zona norte de Natal-RN. Cada posto possui uma borracharia. Nesta manhã ele atendeu a 7 carros no posto da zona sul, cada um precisando de 4 pneus novos. Quantos pneus meu amigo vendeu?

 Problema (atividade 4): Nei vem juntando dinheiro há 5 meses. Durante cada mês, ele guardou na poupança uma quantia de R$ 190,00. Com esse dinheiro, ele comprou um aparelho de som por R$ 635, duas caixas de som por R$ 128 cada uma e também R$ 12 pela instalação do som. Qual a quantia que ele gastou?

 Problema (atividade 5): Uma biblioteca adquiriu livros de ciências, português e história. Havia três livros de história a mais que os de português. Havia também seis livros de português a mais que os de ciências. Qual a quantidade total de livros adquirida se os livros de ciências eram doze?

 Problema (atividade 6): Uma professora recebeu quinze livros. Deu alguns para seus alunos e depois recebeu mais três livros, ficando com oito livros. Quantos livros a professora deu para seus alunos?

Episódio 18 - Atividade 1

Unidade elementar de significado: Utilização de uma operação matemática para validar um resultado obtido através de outra operação.

Contexto: A atividade 1 é composta não só por um problema mas também por três registros escritos que caracterizam três alternativas de respostas, dentre as quais os alunos devem escolher aquela que julguem ser a correta (só há uma, a terceira alternativa). Neste Episódio o professor solicita aos alunos que digam qual o registro escrito foi escolhida por eles e, logo em seguida, pede para que um dos alunos, o Jonathan, explique o porquê de sua escolha.

 15min e 29seg - Professor: Porque que você acha que é a 3? [Aponta para Jonathan, solicitando a sua explicação]

 Jonathan: Porque... Eu fiz a de mais(+)... É::: Aí eu vi... A resposta era 28... Então eu fiz a de vezes(x)... Pra ver se combinava com as... Com os pneus e quantos carros fizeram

 Professor: Como é que você fez essa de mais (+)?

 Jonathan: Essa de mais(+) eu vi aí 7 aí... Vai dar 28... Aí eu fiz a de vezes(x)... 4... 7x4... Aí vai dar 28

 Professor: Você utilizou... Olha ele escolheu essa daqui... A três... [O professor suspende a folha de resposta e aponta a representação 3 para que todos os outros

alunos possam ver] Tá?... E ele tá falando que fez de mais(+) e depois ele fez conta de vezes(x) para encontrar o número 28... Você utilizou esses palitinhos que estão aqui? [A representação três possui quatro conjuntos com 7 palitinhos]  Jonathan: Aham [Jonathan confirma que sim]

 Professor: Como é que você utilizou esses palitinhos?

 Jonathan: Eu vi sete em cada um... Aí eu vou contando... 7... 14... 21 e 28... Aí eu contei... Fez mais(+)... Aí eu fiz de vezes(x)... Aí dá a mesma coisa.

Comentários (Metatexto: Episódio 18):

Como já comentado no Capítulo anterior, entendemos que o próprio processo de validação faz parte do movimento metacognitivo, assim como a adoção de um critério para selecionar uma estratégia de resolução, já que para que se chegue a este critério o aluno precisa monitorar o seu entendimento e controlar suas ações a fim de relacionar informações, buscar pistas, analisar e comparar dados numéricos e, se assim for, fazer analogias com outras informações contidas em outros problemas, como apontado por Salmon (1993).

Neste Episódio, Jonathan, em sua folha de respostas, escreve: “É a número 3, porque 7x4=28”, porém, pode-se dizer que não necessariamente ele tenha resolvido, inicialmente, o problema desta forma devido as suas próprias falas apresentadas a pouco, quando, por exemplo, ele comentou: “Porque... Eu fiz a de mais(+)... É::: Aí eu vi... A resposta era 28... Então eu fiz a de vezes(x)... Pra ver se combinava com as... Com os pneus e quantos carros fizeram”. Assim, percebemos que, frente aos dados coletados, não foi possível indicarmos como, de fato, ele tentou, a priori, resolver o problema. Mas, podemos auferir algumas hipóteses para tal: ele pode ter pensando inicialmente na adição (somar 7 + 7 + 7 + 7 ou 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4); ou pode não ter tido nenhuma ideia inicial e ao se deparar com os palitinhos ter percebido a possibilidade de utilizar a adição; ou pode ter pensado mesmo na multiplicação no exato momento em que leu o problema, porém, ao se deparar, com os palitinhos resolveu também utilizar a adição.

Todavia, compreendemos que, independente da situação ocorrida, o aluno utiliza as

duas operações, tendo a operação da multiplicação como procedimento validador dos seus resultados. Ele indica, em suas falas, a necessidade de se utilizar a multiplicação

após os cálculos realizados pela adição, tivemos, como exemplo, a seguinte assertiva: “Eu vi sete em cada um... Aí eu vou contando... 7... 14... 21 e 28... Aí eu contei... Fez mais(+)... Aí eu fiz de vezes(x)... Aí dá a mesma coisa”. Como a multiplicação

pressupõe somarmos o mesmo valor várias vezes, realizar, então, adições sucessivas de um mesmo valor numérico implica multiplicarmos este mesmo valor pela quantidade de vezes em que ele é repetido, contudo, percebemos que essa relação não é tão evidente para o aluno, já que o mesmo distanciou, em seus comentários, a multiplicação da sua principal ideia, a aditiva.

Ainda nos restou o seguinte questionamento: Como o aluno procedeu para calcular 4 x 7? Será que ele memorizou a tabuada? Ou será que ele, concebe, de certo modo, o principio aditivo? Talvez, essa relação que há entre a multiplicação e a adição, possuam ainda algumas particularidades que o aluno não compreende. Temos, nesse caso, que para validar um resultado obtido por meio de uma operação, utiliza-se outra.

Esse momento é importante para o professor, pois, há a indicação de que se faz necessário discutir um pouco mais com os alunos as ideias que envolvem as operações básicas da matemática. Sem o movimento discursivo, baseando-se apenas no registro escrito do aluno, essa percepção talvez não fosse possível, já que o aluno escreveu, em sua folha de resposta, apenas o seguinte: “É a número 3, porque 7x4=28”. De fato, essa situação, que envolve a ideia aditiva da multiplicação, passou a ser tratada com mais ênfase nos momentos seguintes. Alguns alunos passaram a dar explicações sobre como tal ideia se aplica, utilizando seus próprios exemplos.

Episódio 19 - Atividade 1

Unidade elementar de significado: A partir da percepção do uso de uma operação como estratégia de resolução indica-se outra operação para o mesmo fim. Contexto: Após questionar os alunos sobre o porquê do uso da multiplicação para a resolução do problema desta atividade e obter poucas respostas, o professor se dirige, especificamente, a um dos alunos, o Alex, e o faz o mesmo questionamento.

 24min e 24seg – Professor: É uma outra forma de resolver... Mas aí depois você disse... Você disse que era... Pra ser de vezes(x)... Porque essa é de vezes(x)?

 Alex: Porque... É... Vezes... Você usa ele até 6 vezes... Você usa tipo... 8 vezes 6... Você tem que somar o 8 seis vezes

Episódio 20 - Atividade 4

Unidade elementar de significado: A partir da percepção do uso de uma operação como estratégia de resolução indica-se outra operação para o mesmo fim. Contexto: O professor solicita a Jorge que explique o problema. Ele intencionou com isso socializar um dos entendimentos a fim de discuti-lo. Ao fazer isso, o aluno indica a estratégia que utilizou e como ele a selecionou.

 13min e 56seg – Professor: (...) Jorge me explica aí como é que você entendeu esse problema... Se você tivesse que explicar esse problema... Vamos supor que chegasse um aluno agora e você tivesse que explicar o problema a ele sem ler... Como é que você iria explicar pra ele?

 Jorge: Eu ia explicar... É assim... É uma pessoa... Que estava guardando dinheiro... Aí durante 5 meses ele juntou 199... [gesto mostrando 5 dedos] Então... Como ele juntou 199 cinco vezes... É de multiplicação

Comentários (Metatexto: Episódios 19 e 20):

Em ambos os Episódios (19 e 20) os alunos, a partir da percepção das adições que deveriam realizar (somar sucessivamente o mesmo número), indicam a multiplicação. Nas duas ocasiões os alunos foram estimulados pelo professor, através de questionamentos, a fornecerem explicações acerca desta conclusão, dando, assim, abertura para que o assunto matemático pudesse ser discutido. A partir desta discussão tal assunto (a ideia aditiva da multiplicação) passou a ser melhor compreendido pelos participantes.

Episódio 21 - Atividade 5

Unidade elementar de significado: Presença de palavras/expressões que serviram como pistas para identificar a operação a ser realizada.

Contexto: O professor questiona Jonathan sobre o entendimento do problema. Ao fazer isso, o aluno dá pistas sobre como selecionou sua estratégia de resolução.

 06min e 41seg - Professor: (...) Você entendeu alguma coisa Jonathan... Do problema quando você leu?

Alunos falam ao mesmo tempo

o Jonathan: Porque assim... Tinha a quantidade aí tal tal... Então vou fazer de mais (+) completamente... Aí eu pensei... Talvez eu faça de divisão... Não eu vou fazer logo a de mais (+) que... Depois eu tento fazer a divisão

 Professor: Porque você pensou em fazer uma conta de mais (+)? [Professor se dirige a Jonathan]

 Jonathan: Pra quantidade que devia ter de livros Comentários (Metatexto: Episódio 21):

Por algum motivo a indicação de que há quantidades de livros no problema conduziu Jonathan a concluir que as operações que poderiam ser utilizadas para resolvê-lo seriam a adição e a divisão. Observa-se que a adição teve maior preferência na escolha pelo aluno, provavelmente isso tenha ocorrido devido à questão central solicitar a “quantidade total de livros”, pois, quando indagado do porquê de se fazer uma conta de “mais”, o aluno ofereceu como resposta a seguinte frase: “Pra quantidade que devia ter de livros”. Apesar do problema, de fato, necessitar de adições para que o mesmo possa ser resolvido, o uso de tal estratégia não era tão obvio para o aluno, pois, o mesmo demonstrou dúvidas sobre o uso da adição ao indicá-la como estratégia de resolução. Compreendemos, portanto, que não foi o entendimento do contexto do problema que conduziu Jonathan a pensar no uso da adição e sim, a apresentação de algumas expressões como quantidade total. Entende-se, assim, que esta expressão serviu como pista para que o aluno pudesse indicar a operação a ser realizada.

Alguns autores nos chamam atenção para esta situação que envolve o vocabulário da língua materna. Comumente, nos enunciados dos problemas verbais, aparecem palavras que conduzem os alunos a selecionarem estratégias a partir delas. Toledo e Toledo (1997) comentam, por exemplo, que as crianças tendem a confundir e a associar determinadas palavras a soma e acabam utilizando a adição em casos assim: “[...] Ana tem 18 figurinhas e Paula tem 32. Quantas figurinhas Paula têm a mais que Ana?” (TOLEDO; TOLEDO, 1997, p.110, grifo dos autores). Observamos em nossas análises alguns casos nesta perspectiva, em que os alunos se baseavam em determinadas palavras (estratégia metacognitiva) para indicarem a operação matemática a ser utilizada em um dado problema.

Episódio 22 - Atividade 5

Unidade elementar de significado: Presença de palavras/expressões que serviram como pistas para identificar a operação a ser realizada.

Contexto: O professor escreve a resposta de Alex no Quadro para que os outros alunos possam emitir suas opiniões acerca da mesma. Jorge faz um comentário sobre os valores utilizados por Alex e o professor repete a explicação auferida por Jorge.

 16min e 23seg - Professor: (...) Então... O que Jorge está dizendo é o seguinte... (...) Que esse 3 e esse 6... Não é a quantidade de livros de história... E o 6 também não é a quantidade de livros de português... Por quê? Porque ele falou que na leitura tá dizendo que são livros a mais... [Alunos repetem ao mesmo tempo: “a mais”] E aí o que a gente faz então?

 Jonathan: Então tem que ser de vezes (x)

 Professor: Tem que ser de vezes (x) porque então?

 Jonathan: Porquê que se são “a mais”... Então 3 a mais... Quer dizer 3 x 9... 3 x 3 [Se corrige]

Comentários (Metatexto: Episódio 22):

Alex somou os livros a mais para tentar obter a quantidade total destes, sem considerar a quantidade real dos mesmos. Por exemplo, o problema indicava que uma biblioteca havia recebido três livros de história a mais que os de português e seis livros de português a mais que os de ciências, o qual foi adquirido 12 destes. O aluno, então, somou: 3 + 6 + 12. Novamente, Jonathan, após a explicação do professor sobre a resposta do Jorge, relaciona uma expressão a uma operação. Para ele, se há três livros “a mais” que outro, então, deve-se fazer 3 x 3.

Episódio 23 - Atividade 664

Unidade elementar de significado: Presença de palavras/expressões que serviram como pistas para identificar a operação a ser realizada.

Contexto: O professor retoma a questão central do problema desta atividade indicada por Jonathan e o questiona sobre o porquê de ser a mesma. Ao fazer isso, o aluno dá indícios sobre a estratégia que deve ser utilizada para resolver o problema e o porquê do seu uso.

 03min e 55seg - Professor: “Quantos livros a professora deu para seus alunos”... Porque que essa é a pergunta? Como é que você sabe que essa é a pergunta?

 Jonathan: Porque ela tá perguntando... Ela tinha uma quantidade e deu pro seu aluno aqui... Na hora em que ela foi... Na hora em que a pergunta foi dizendo...

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Este trecho também é utilizado no Episódio 12. De fato, a fala produzida por este aluno trás várias implicações. A análise que realizamos sobre esse trecho no Episódio 12 teve um foco diferente da que foi produzida para este Episódio.

Ela disse... Ela tinha não sei o quê... Ela deu alguns para seus alunos... Então essa conta deveria ser de menos... Por quê?... Por que é como se ela tinha pra dar... Então uma pessoa que tinha mais do que a outra... A outra não tinha nada... Então ela dividiu e deu pra outra

Comentários (Metatexto: Episódio 23):

Percebe-se que o aluno, após tentar explicar como ele identificou a questão central do problema, conclui que o algoritmo que se deve utilizar para resolvê-lo é a subtração. É importante observar que a conclusão produzida pelo aluno se dá em meio a sua fala ao refletir, naquele momento, sobre a pergunta do problema. Segundo o aluno, uma subtração deve ser realizada, pois, à questão central indica que uma pessoa deu livros a outrem. A palavra “deu” inserida no problema gerou essa conclusão. De fato, a mesma nos remete a um sentimento de perda, de diminuição, de subtração, mas não nos possibilita tirarmos uma conclusão desse tipo. De acordo com as informações deste problema não é necessário utilizar uma subtração para resolvê-lo.