5. APLICAÇÃO E ANÁLISE DA SEQUÊNCIA DIDÁTICA
5.2 Análise dos resultados obtidos
5.2.1 Análise da atividade 1: Planos
Para fazermos uma introdução à atividade de planos, trabalhamos em sala de aula, de forma sintética, a definição de plano proposta por Steinbruch:
(continua) Equação Geral do Plano: Seja A(x1,y1,z1) um ponto pertencente a um plano e
k c j b i a
n , n 0, um vetor normal (ortogonal) ao plano. O plano pode ser definido como sendo o conjunto de todos os pontos P(x,y,z) do espaço tais que o vetor AP é ortogonal a n. O ponto P pertence ao plano se, e somente se: n AP 0.
(conclusão)
Quadro 18: Equação geral do plano. Fonte: STEINBRUCH,1987, p. 143.
Durante a realização das atividades referentes ao estudo de planos, observamos que os estudantes se depararam com dificuldades variadas, tais como:
a) gerenciamento do computador;
b) domínio das ferramentas do software Winplot;
c) compreensão dos conceitos por falta de conhecimentos básicos da álgebra ou geometria.
Percebemos que, no início do desenvolvimento das atividades, alguns estudantes apresentaram dificuldades com relação à utilização do computador e mais precisamente à utilização do software Winplot. Alguns estudantes declararam que nunca haviam utilizado algum software para estudo dos temas relacionados à área do curso. Alguns manifestaram que tinham pouca familiaridade com o computador e que, por isso, não sabiam manuseá-lo corretamente.
Com relação à utilização do software Winplot, aos poucos os estudantes foram se familiarizando com as ferramentas mais utilizadas, visto que, durante a execução das atividades, não trabalhamos com todas as ferramentas disponíveis, mas com algumas que estavam previamente destacadas nas atividades.
A seguir, passamos a analisar cada um dos itens que compõem essa primeira sequência de atividades.
Nesse item, exploramos a equação geral do plano e as múltiplas representações gráficas. Apresentamos as observações realizadas ao longo do desenvolvimento das atividades:
a) Exploração da equação de plano
A sequência de atividades referente aos planos se inicia com uma exploração da sua equação geral, identificando suas variáveis e parâmetros. Dessa forma, verificamos que todos os estudantes indicaram corretamente quais eram as variáveis e os parâmetros da equação. No entanto, percebemos que havia uma dificuldade em distinguir as variáveis dos parâmetros, fato causador de alguns erros que serão apresentados adiante.
Quanto à identificação das características da equação, verificamos que 03 (três) dos 09 (nove) estudantes, que fizeram essa atividade, utilizaram a definição de plano para citar as características da equação, o que demonstra o quanto o estudante, muitas vezes, fica preso à teoria e não consegue utilizá-la na prática. Apresentamos, a seguir, a resposta de um estudante que assim procedeu.
Figura 40: Protocolo extraído do caderno de atividades de um dos estudantes. Item 1.3. Atividade 1. Fonte: Dados da pesquisa.
O objetivo era que o estudante verificasse as seguintes características da equação: Equação polinomial do 1º grau, constituída por uma soma de termos formados por monômios com uma variável, ou que se aproximasse da identificação dessas características. Os outros 6 (seis) estudantes conseguiram identificar algumas das características mencionadas, conforme apresentamos no protocolo a seguir:
Figura 41: Protocolo extraído do caderno de atividades de um dos estudantes. Item 1.3. Atividade 1. Fonte: Dados da pesquisa.
Fica evidente, na análise da atividade, a dificuldade dos estudantes na definição de parâmetro. Alguns estudantes observaram que as letras a, b, c e d representam valores que poderiam variar, mas não sabiam o significado do termo parâmetro. Algumas perguntas feitas pelos estudantes retratam essa dificuldade como, por exemplo, as que foram feitas por um deles: “O que significa a palavra parâmetro?”, “Qual a diferença entre parâmetro e
variável?”.
No desenvolvimento do item 1 dessa atividade, relacionado aos parâmetros da equação do plano, dois estudantes tentaram comparar a equação do plano com a definição inicial desse trabalhada na primeira parte da atividade, dizendo: “a, b, c é o quê? É o vetor? Mas e o x, y,
z?”. Então, orientamos esses estudantes a observarem a equação geral do plano
0 d cz by
ax e compará-la com uma equação completa, como, por exemplo, a equação
2x+3y+4z+1=0. Solicitamos a esses estudantes que fizessem a identificação dos parâmetros
na equação apresentada; eles a fizeram corretamente e declararam que haviam compreendido como identificar os parâmetros na equação geral do plano.
A dificuldade de interpretação das questões propostas foi muito evidente em nossa análise. Dúvidas, como: “o que você quer dizer quando pede características, que
características vamos descrever?”, apresentada por um estudante, demonstram essa
dificuldade.
b) Identificação das equações de planos
No item relacionado à seleção das equações que representam planos, observamos que apenas 03 (três), dos 09 (nove) estudantes selecionados como amostra, identificaram todas as equações de planos corretamente. Três estudantes não marcaram um item em que as variáveis da equação do plano estavam fora da ordem tradicional (variáveis x, y, z, aparecem na 1ª, 2ª, e 3ª colocações na equação) como, por exemplo, 4x 2z 3y 10 2; três estudantes não marcaram outro item em que a equação aparece com um dos parâmetros fracionários, como,
por exemplo, 10 4 6
3 2
x y
z ; cinco estudantes não selecionaram outro item em que consta uma equação incompleta, como: 3y 2z 2 0. Nesse contexto, salientamos a grande
dificuldade dos estudantes em identificar os tipos de equações, baseados no modelo de equação geral de plano.
c) Identificação dos octantes
Com relação à identificação e nomeação dos octantes, todos os estudantes fizeram a identificação da forma correta. No entanto, demoraram um tempo maior nesse item. Alguns declararam que estava sendo difícil visualizar e enumerar os octantes. Na tentativa de obterem um melhor entendimento, usaram objetos, como lápis e canetas, para identificação dos octantes e realização da nomeação correta, conforme registro a seguir:
Figura 42: Estudantes desenvolvendo o Item 1.6 da Atividade 1. Fonte: Fotos da autora.
Ao final do desenvolvimento do item 1 dessa sequência de atividades, fizemos uma socialização dos resultados obtidos, discutindo as maiores dificuldades que foram relacionadas anteriormente, para que o estudante pudesse prosseguir com as atividades referentes ao item 2.
Nesse item, trabalhamos com planos paralelos aos eixos e aos planos coordenados e com planos que interceptam os eixos e os planos coordenados.
Solicitamos que o estudante fizesse o esboço de planos, partindo da representação da reta considerada como geratriz do plano, para que assim fosse possível chegar à representação desses planos no espaço. Solicitamos, ainda, que fossem feitos registros das características relativas aos planos propostos como, por exemplo, posição em relação aos octantes, interseção com os eixos, dentre outras informações relevantes.
Além do esboço manual, os estudantes plotaram os gráficos no Winplot e analisaram características relativas às representações.
Destacamos os resultados da análise realizada em relação ao desenvolvimento dessas atividades:
a) Planos paralelos aos eixos coordenados (um dos coeficientes da equação geral
0 d cz by
ax é nulo, sendo d 0)
Os estudantes fizeram corretamente o esboço da figura plana referente ao plano de equação x y 2 0. No entanto, apresentaram muita dificuldade no esboço da figura no espaço.
Nenhum dos estudantes estava conseguindo esboçar a figura do plano no espaço, porque ainda não tinham realizado, nem visto alguma figura desse tipo anteriormente. Então, tivemos que dar algumas orientações para que a atividade fosse realizada: “Verifique qual é a
variável livre. Lembre-se de que essa variável poderá assumir qualquer valor.”
Assim, os estudantes conseguiram identificar a variável livre. No entanto, não conseguiam descobrir como ficaria o esboço dessa figura no espaço. Então, fizemos um esboço da figura no quadro e explicamos como a variável livre iria interferir na representação gráfica. Logo após, os estudantes manifestaram que haviam entendido o que fora feito.
Com relação à interseção dos eixos, verificamos que 06 (seis) dos 09 (nove) estudantes não responderam corretamente onde o plano intercepta os eixos coordenados. Surgiram dúvidas quanto ao conhecimento de questões básicas como, por exemplo, o que significa a palavra “interseção”, conforme perguntas proferidas por estudantes:
a) “O que são interseções?”
b) “Qual a diferença entre eixos coordenados e planos coordenados? Vou perguntar,
porque eu não sei mesmo.”
Após plotarem o plano no software Winplot os estudantes se mostraram surpresos ao ver o gráfico na tela do computador e fizeram comparações com o que haviam desenhado manualmente. Com o uso do software, puderam movimentar a figura, visualizando-a através de várias vistas (pela direita, esquerda, de cima, de baixo).
Nesse sentido, identificamos as vantagens didáticas que o uso dos computadores oferece, identificadas por Tall13 (1991) e citadas por Miranda (2010):
a possibilidade de uma visualização dinâmica que torne o contexto gráfico- geométrico muito mais acessível e, quando devidamente explorado, possa ajudar a esclarecer as relações que existem entre a representação algébrica e geométrica;
quando o contexto gráfico torna-se mais familiar, a unidade da representação gráfica do objeto funcional que é fornecida pode ajudar a estabelecer a imagem conceito dos conceitos fundamentais, enriquecendo o estoque de imagens mentais;
através das atividades experimentais com as simulações interativas, os estudantes podem ser iniciados em matemática como uma atividade construtiva científica;
linguagens de computador apropriadas podem ajudar com os problemas de formulação, o uso construtivo de quantificadores e do rigor de desenvolvimento. (TALL, apud MIRANDA, 2010, p. 45).
Assim, comprovamos o quanto o uso da geometria dinâmica favorece à visualização, a qual leva ao desenvolvimento do pensamento geométrico.
Algumas outras questões foram levantadas, pelos estudantes, como, por exemplo: “Dá
pra ver o parâmetro d no plano?” (d é o termo independente da equação geral do plano). A
pergunta realizada nos mostra que o estudante está fazendo a relação entre a equação algébrica do plano e sua representação geométrica, o que é um dos objetivos da atividade proposta.
A localização do plano proposto com relação aos octantes trouxe dificuldades para alguns estudantes que não identificaram corretamente essa informação. Isso pode ser justificado pela dificuldade de visualização de figuras no espaço tridimensional, já retratada em nosso referencial teórico.
Verificamos que todos os estudantes fizeram a identificação correta das famílias de planos. No entanto, não formalizaram a equação geral dos planos que tinham as mesmas características do plano esboçado, ou seja, não esboçaram corretamente a equação da família
de planos. Ao contrário disso, deram exemplos de planos paralelos ao plano dado, não conseguindo chegar à generalização, isto é, escrever a equação geral da família. Apenas dois dos estudantes responderam corretamente a esse item.
A maior dificuldade apresentada pelos estudantes está relacionada a usar corretamente os parâmetros para generalizar as equações de planos ou de suas famílias. Em itens sequentes, verificamos que os estudantes também não conseguiram formalizar outras equações gerais para famílias de planos propostos.
Os planos plotados e analisados pelos estudantes foram os seguintes:
0 10 ; 0 5 ; 0 7 x y x y y
x com a equação geral x y d 0. Ao plotar os
planos no Winplot, o estudante visualizará os seguintes planos paralelos:
Figura 43: Planos de equações: x y 7 0; x y 5 0; x y 10 0. Fonte: Software Winplot.
A resposta esperada, de forma a identificar planos da mesma família dos planos propostos, é x y d 0. No entanto, alguns estudantes modificaram os valores dos parâmetros a e b, e não usaram corretamente o parâmetro d, para que tivéssemos planos paralelos.
Ao esboçar, no papel, planos paralelos aos outros eixos coordenados (eixo x e eixo y), todos os estudantes tiveram sucesso. A seguir, apresentamos exemplos de esboços feitos pelos estudantes:
Figura 44: Protocolo extraído do caderno de atividades de um dos estudantes. Item 2.1.2. Atividade 1. Fonte: Dados da pesquisa.
Nessa atividade, a maioria dos estudantes conseguiu identificar que o plano fica paralelo ao eixo correspondente à variável ausente da equação, o que retrata, mais uma vez, o estabelecimento da relação entre a representação algébrica e geométrica, pelo estudante.
Para confirmar a existência do entendimento desses conceitos por parte dos estudantes, perguntamos a dois deles? “Que relação podemos estabelecer entre as equações e os esboços
das figuras?”
Analisando o gráfico, responderam em forma de pergunta: “O plano fica paralelo ao
eixo que não tem a variável na equação?”. Assim, entendemos que havia ficado clara, para
aqueles estudantes, a relação existente entre a representação algébrica e geométrica dos planos propostos naquela atividade.
b) Planos paralelos aos planos coordenados (dois coeficientes da equação geral
0 d cz by
ax são nulos, sendo d 0)
Na realização das atividades referentes ao item 2.2, onde trabalhamos com planos paralelos aos planos coordenados, percebemos que os estudantes tiveram maior índice de acertos. Os fatores que influenciaram nesse contexto podem ser apresentados como:
a) maior familiaridade com o software utilizado e, portanto, maior facilidade em acessar as ferramentas desse;
b) as dúvidas geradas e solucionadas na execução do item anterior (2.1) possibilitaram a aquisição de conhecimentos necessários para o desenvolvimento das atividades seguintes, comprovando, assim, a necessidade de conhecimentos prévios.
Com relação à interpretação da equação 4x 8 0 no espaço bidimensional 2 , verificamos que todos os estudantes a fizeram corretamente. Quanto à interpretação no espaço tridimensional 3
, 06 (seis) estudantes esboçaram corretamente; os outros 03 (três) acertaram em parte, tendo cometido erros relacionados à interseção do plano com os eixos coordenados e, consequentemente, com relação ao traçado da figura.
As dúvidas apresentadas referiram-se, principalmente, ao esboço da figura no papel. Por exemplo, no esboço desse mesmo plano de equação 4x 8 0, uma estudante questiona e faz algumas afirmações, conforme destacamos:
a) “se não tocar o eixo, o plano é paralelo a ele?”; b) “como vai passar a reta? Só no ponto 2?”; c) “a reta passa paralela ao y?”
Assim, percebemos a ansiedade da estudante em esboçar o plano corretamente e todas as suas refutações para que isso acontecesse. Outro estudante que está ao lado pergunta: “como eu posso desenhar?”
Interrompemos, perguntando aos estudantes: “quais são as variáveis livres?” A resposta foi imediata: “y e z”.
Questionamos novamente: “o que elas representam?”A resposta foi: “qualquer
valor”.
Então, orientamos aos estudantes que voltassem ao esboço do primeiro plano para verificarem o que ocorreu graficamente com a variável livre e tentassem fazer uma comparação com o que poderia ocorrer no caso em questão. Em alguns minutos, os dois estudantes haviam conseguido esboçar corretamente o gráfico.
Entendemos esse diálogo entre professor/estudante muito importante para o ensino, não somente dos tópicos que estão relacionados com a nossa pesquisa, mas também em quaisquer outros tópicos referentes a outras disciplinas e situações. Corroboramos com Barbosa, quando retrata que:
x y z plano{[0,1,0];(0,3,0)} x y z
Interpretar o que os alunos dizem e fazem, por meio de um diálogo desencadeado a partir das atividades e questões elaboradas pelo pesquisador, em uma tentativa de entender como eles elaboram seus conceitos, é parte essencial no experimento de ensino14. (BARBOSA, 2009, p. 87).
A seguir, apresentamos o esboço do gráfico realizado por um dos estudantes, participantes do diálogo citado anteriormente.
Figura 45: Protocolo extraído do caderno de atividades de um dos estudantes. Item 2.2.1. Atividade 1. Fonte: Dados da pesquisa.
Nessa atividade, houve um maior número de acertos quanto à identificação dos pontos de interseção do plano com os eixos coordenados, o que retrata o desenvolvimento gradual dos estudantes com relação à interpretação geométrica das equações propostas. Não houve dificuldades no esboço dos planos no software Winplot. Apresentamos, a seguir, resultados obtidos pelos estudantes, na tela do computador:
14 O experimento de ensino é um procedimento metodológico de coleta dos dados, que consiste em uma série de encontros entre os estudantes e o pesquisador por um determinado período de tempo. (BARBOSA, 2009, p. 86).
Figura 46: Plano de equação y 3 0 Fonte: Software Winplot.
Figura 47: Plano de equação z 4 0. Fonte: Software Winplot.
x y z x y z
c) Planos que contêm um dos eixos coordenados (dois coeficientes da equação geral
0 d cz by
ax são nulos, sendo um deles o termo independente d 0)
No item 2.3, onde trabalhamos com equações gerais de planos com dois coeficientes nulos, sendo um deles o termo independente como, por exemplo, o plano de equação
0 2x
y , observamos que todos os estudantes esboçaram corretamente a figura plana. No entanto, apenas 03 (três) dos 09 (nove) estudantes conseguiram esboçar corretamente o plano no espaço tridimensional e identificaram corretamente em quais octantes o plano estava contido.
As representações no software Winplot ajudaram a identificar as características dos planos estudados como, por exemplo, que esses contêm um dos planos coordenados, conforme ilustração dos resultados obtidos pelos estudantes na tela do computador:
d) Planos coordenados (três coeficientes da equação geral ax by cz d 0 são nulos, sendo um deles o termo independente d=0)
No item 2.4, trabalhamos com planos cujas equações gerais apresentam três coeficientes nulos, sendo um deles o termo independente como, por exemplo, os planos de equações: 2x 0, 3y 0, 5z 0; verificamos que 02 (dois) estudantes não esboçaram
Figura 48: Plano de equação z 2 y 0. Fonte: Software Winplot.
Figura 49: Plano de equação z 2x 0. Fonte: Software Winplot.
corretamente a figura no espaço 2
e que 07 (sete) dos 09 (nove) estudantes esboçaram corretamente a figura no espaço tridimensional. Com relação à interseção com os eixos, verificamos um aumento nos acertos, sendo que 07 (sete) estudantes tiveram êxito.
Assim, a maioria dos estudantes identificou que os planos estavam contidos em um dos planos coordenados, fazendo uma relação da representação geométrica com a equação de cada um dos planos propostos.
e) Planos que contêm a origem (os coeficientes a, b e c da equação geral
0 d cz by
ax são diferentes de zero e apenas d = 0)
Exploramos no item 2.5 os planos cujas equações têm apenas o termo independente nulo (d=0). Os estudantes fizeram corretamente o esboço no espaço bidimensional e apenas um estudante não o fez no espaço tridimensional. Os estudantes tiveram dificuldades na identificação dos octantes que contêm o plano dado.
A representação gráfica desse plano apresenta algumas dificuldades para visualização. No entanto, a maioria dos estudantes, seguindo as orientações propostas na atividade, conseguiu traçar corretamente o seu esboço, o que demonstra um desenvolvimento da habilidade de visualização. Apresentamos a seguir, o esboço do gráfico realizado por um dos estudantes:
Figura 50: Protocolo extraído do caderno de atividades de um dos estudantes. Item 2.5. Atividade 1. Fonte: Dados da pesquisa.
d) Planos que interceptam os três eixos coordenados (Todos os coeficientes da equação geral ax by cz d 0 são não-nulos)
No item 2.6, trabalhamos com planos constituídos por equações na sua forma completa, onde todos os parâmetros a, b, c, d são diferentes de zero. Nesse item, somente 01 (um) estudante não esboçou o plano no espaço tridimensional, sendo que os demais apresentaram apenas alguns erros na posição dos planos em relação aos eixos e planos coordenados e na localização desses nos octantes. Alguns estudantes tiveram dificuldades no esboço do gráfico, que tradicionalmente é desenhado apenas no 1º octante, no entanto, com as orientações recebidas, conseguiram fazê-lo.
Algumas questões foram colocadas pelos estudantes como, por exemplo: “Sem o
exemplo fica difícil saber que, neste caso, o plano não é destacado como um retângulo e sim como um triângulo.” A linguagem oral do estudante expressa o que ele vê ao terminar o
esboço do gráfico, seguindo as orientações propostas na atividade, conforme podemos observar na figura a seguir:
Figura 51: Protocolo extraído do caderno de atividades de um dos estudantes. Item 2.6. Atividade 1. Fonte: Dados da pesquisa.
Como podemos notar, o estudante desmanchou a figura (manchado no esboço) após nossa intervenção, alertando sobre os interceptos com os eixos.
No último item dessa atividade, propomos aos estudantes o traçado de quatro sólidos formado por planos. Os estudantes teriam que esboçar, manual e computacionalmente, os planos para montagem dos sólidos e, ainda, limitá-los no primeiro octante. Quatro estudantes fizeram o esboço correto de três das figuras solicitadas e os outros cinco estudantes fizeram o esboço correto de duas das figuras propostas.
Os estudantes gostaram muito dessa atividade, pois puderam montar as figuras no Winplot, de forma dinâmica, visualizando sob vários aspectos se os planos estavam plotados corretamente.
Essa atividade mostrou que os estudantes dominaram bem a utilização do software, pois as figuras eram formadas por vários planos e, para a montagem dos sólidos, era preciso a definição dos limites de cada plano plotado. Isso poderia ter trazido alguma dificuldade para os estudantes, o que não se verificou. Os planos esboçados, manual e computacionalmente foram:
a) x 1; y 1; z 1;
b) x y 2 z; 5;
c) z x y; x 2; y 2; z 5.
Apresentamos a seguir, alguns esboços dos sólidos solicitados, realizados por um dos estudantes:
Figura 52: Protocolo extraído do caderno de atividades de um dos estudantes. Item 2.7. Atividade 1. Fonte: Dados da pesquisa.
Durante a socialização do desenvolvimento das atividades, houve a interação entre professor-aluno e aluno-aluno. Como exemplo de interação aluno-aluno, observamos que uma dificuldade apresentada por um dos estudantes foi sanada pela intervenção de um colega, conforme destacamos: um estudante manifestou que ainda estava com dúvidas com relação à
visualização dos octantes, então um de seus colegas plotou os três planos coordenados xz, yz,
xy no Winplot, chamando a atenção para o que havia conseguido como resultado. Os dois
estudantes conversaram sobre a representação geométrica visualizada na tela do computador, fazendo uma relação com a numeração dos octantes. Dessa forma, houve um maior