5. APLICAÇÃO E ANÁLISE DA SEQUÊNCIA DIDÁTICA
5.2 Análise dos resultados obtidos
5.2.3 Análise da atividade 3: Quádricas
Para análise da atividade referente ao estudo das quádricas, foram selecionados os cadernos de atividades de 09 (nove) estudantes que obtiveram 75% (setenta e cinco por cento) de frequência nos encontros realizados para desenvolvimento das atividades. Desses, 06 (seis) estudantes realizaram toda a atividade referente às quádricas e 03 (três) estudantes não participaram do último encontro, ficando a atividade incompleta.
Selecionamos as seguintes categorias de análise de atividade:
a) constituição das quádricas; b) traçado das seções transversais; c) traçado das figuras espaciais;
d) identificação e traçado das curvas de níveis; e) traçado do sólido resultante no 1º octante; f) identificação de superfícies de revolução; g) identificação da família de curvas;
h) identificação de eixo de simetria, eixo imaginário e eixo transverso; i) uso do software Winplot.
No desenvolvimento das atividades referentes às quádricas, os estudantes se mostraram mais seguros em realizar as situações propostas e, também, bastante entusiasmados com as figuras plotadas. Para retratar essa situação, citamos a fala de uma estudante: “A
atividade de quádricas ficou mais interessante, consegui fazer mais sem perguntar à professora”.
A seguir, passamos a analisar as atividades de forma mais detalhada, com base nas categorias selecionadas.
a) Constituição dos quádricas
Após a leitura do item 1: “Conhecendo as Quádricas”, onde os estudantes encontraram informações importantes, como definição das quádricas, análise da equação geral e das equações reduzidas, informações acerca das variáveis e parâmetros, solicitamos que esses selecionassem, dentre nove equações, aquelas que representassem quádricas. Nesse item, verificamos a mesma dificuldade apontada nas atividades anteriores, relacionadas com o trabalho com equações: nenhum dos acadêmicos marcou corretamente todas as questões, sendo que:
a) 06 (seis) dos 09 (nove) estudantes marcaram corretamente a equação
0 13 10 6 4 2 2 2 z y x z y
x referente a uma quádrica;
b) nenhum estudante marcou a equação 2 25 9 2 2 y x referente a um cilindro quádrico;
c) apenas 04 (quatro) dos 09 (nove) estudantes selecionaram a equação
0 4 4 2 2 z x y
x como sendo de uma quádrica;
d) nenhum estudante marcou a opção x2 2xy z 0, cuja equação também representa uma quádrica;
e) 06 (seis) de 09 (nove) estudantes marcaram corretamente a equação
4 16 25 9 2 2 2 z y x
como sendo de uma quádrica;
f) todos os estudantes selecionaram corretamente a equação x2 y2 z2 1;
g) apenas 04 (quatro) de 09 (nove) estudantes selecionaram a equação
2 2 2
6
Notamos a dificuldade apresentada pelos estudantes em perceber uma equação geral, no caso das quádricas: Ax2 By2 Cz2 Dxy Exz Fyz Gx Hy Iz J 0 (em que pelos menos um dos coeficientes é não-nulo) e compará-la com as equações fornecidas na questão. Ressaltamos que, na atividade, apresentamos a definição da equação geral das quádricas, conforme descrito no capítulo referente à elaboração das atividades.
b) Traçado das seções transversais
No esboço da interseção da superfície com os planos coordenados
) 0 ( ); 0 ( ); 0 (z yz x xz y
xy ou com planos paralelos a esses, para obtenção das seções transversais (constituídas por cônicas), verificamos que todos os estudantes que completaram a atividade esboçaram corretamente as seções referentes a cada uma das quádricas estudadas: elipsoide, paraboloide elíptico ou hiperbólico (sela), hiperboloide de uma ou de duas folhas e cone quádrico, identificando corretamente as cônicas geradas em cada caso.
Assim, verificamos que não houve dificuldades no esboço das seções transversais (figuras planas) como, por exemplo, do paraboloide elíptico ilustrado pelo protocolo a seguir:
Figura 70: Protocolo extraído do caderno de atividades de um dos estudantes. Item 4.1. Atividade 3. Fonte: Dados da pesquisa.
I) Elipsoide
Verificamos que todos os estudantes conseguiram esboçar corretamente o elipsoide no espaço tridimensional, ressaltando apenas o fato de que 02 (dois) dos estudantes só esboçaram corretamente depois de terem sido orientados a fazer a verificação das interseções das seções transversais com os eixos coordenados. Aqui, registramos um momento de interação professor-aluno proporcionado pela atividade. A seguir, apresentamos o protocolo do desenvolvimento da atividade de um desses estudantes:
Figura 71: Protocolo extraído do caderno de atividades de um dos estudantes. Item 2.1. Atividade 3. Fonte: Dados da pesquisa.
II) Esferoide
Os estudantes tiveram maior dificuldade no esboço do esferoide, sendo que:
a) 05 (cinco) dos estudantes esboçaram as seções transversais como circunferências centradas no mesmo ponto e raio variável, o que não demonstra um erro, pois certamente os estudantes visualizaram um esferoide pela vista de cima e, desta forma, teremos circunferências concêntricas;
b) 02 (dois) estudantes esboçaram o esferoide ou a esfera com as seções transversais num mesmo sistema de eixos. Nesse caso específico, observamos que esses estudantes plotaram, inicialmente, a superfície no Winplot, o que facilitou a visualização e a transferência desse esboço para o papel.
Antes da orientação da pesquisadora-professora
Depois da orientação da pesquisadora-professora
Apresentamos, a seguir, alguns esboços realizados pelos estudantes que retratam as duas situações apresentadas anteriormente:
Figura 72: Protocolos extraídos dos cadernos de atividades de dois dos estudantes. Item 2.2. Atividade 3. Fonte: Dados da pesquisa.
III) Paraboloide elíptico
No esboço do paraboloide elíptico, 02 (dois) estudantes apresentaram dificuldades quanto às interseções da superfície com os eixos coordenados. E, embora não tenham acertado completamente, tiveram uma boa noção de como deveriam fazer o esboço. Os outros estudantes desenharam corretamente a superfície no espaço.
Apresentamos, a seguir, três protocolos de esboços realizados. Verificamos que, de um para outro, o acerto aumentou, sendo que o 1º e o 2º segundo esboços retratam que os estudantes, apesar de não terem esboçado perfeitamente a superfície, esboçaram as seções transversais, apenas não conseguiram relacionar as representações geométricas. No caso do terceiro esboço, o estudante conseguiu identificar, no desenho, as seções transversais e relacioná-las, geometricamente, para a construção da superfície.
Figura 73: Protocolos extraídos dos cadernos de atividades de três dos estudantes. Item 2.2. Atividade 3. Fonte: Dados da pesquisa.
IV) Hiperboloide de uma ou duas folhas
Com relação ao esboço dos hiperboloides de uma ou de duas folhas, destacamos:
a) apenas 1 (um) estudante não conseguiu esboçar o hiperboloide de uma folha, isso por não ter conseguido passar o esboço das seções transversais desenhadas no plano para o espaço tridimensional;
b) esse mesmo estudante só conseguiu fazer o esboço do hiperboloide de duas folhas com a nossa intervenção;
c) 2 (dois) outros estudantes não conseguiram esboçar o hiperboloide de duas folhas também por não terem conseguido fazer a passagem das seções transversais do plano para o espaço.
V) Cone quádrico
No desenvolvimento da atividade relacionada ao cone quádrico, os estudantes não demonstraram dificuldades, fazendo o esboço dessa superfície com facilidade.
VI) Paraboloide hiperbólico (sela)
Os estudantes também tiveram sucesso no esboço do paraboloide hiperbólico (sela). Os 06 (seis) estudantes que o realizaram, que foi o último esboço, fizeram-no quase perfeitamente, alguns apenas não evidenciaram, na superfície, que as duas parábolas de sua formação estavam em planos distintos.
Figura 74: Protocolos extraídos dos cadernos de atividades de dois dos estudantes. Item 8.1. Atividade 3. Fonte: Dados da pesquisa.
d) Identificação das curvas de níveis
A identificação das curvas de níveis, de cada uma das quádricas esboçadas, foi realizada pelos estudantes que apresentaram algumas dificuldades ao longo do desenvolvimento da atividade, conforme destacamos a seguir.
Todos os estudantes identificaram as curvas de níveis do elipsoide como elipses. Tiveram maior dificuldade ao identificar as curvas de níveis referentes ao esferoide e à esfera. Nesse caso, 05 (cinco) dos 09 (nove) estudantes não verificaram corretamente as elipses e circunferências como curvas de níveis do esferoide e as circunferências como curvas de níveis da esfera. No caso das curvas do paraboloide elíptico, apenas 01 (um) estudante não identificou corretamente as curvas de níveis paralelas ao plano xy como sendo elipses.
Quanto às curvas de níveis referentes aos hiperboloides de uma ou duas folhas, verificamos que 06 (seis) dos 08 (oito) estudantes, que completaram a atividade, identificaram corretamente as hipérboles e elipses como sendo as curvas de níveis do hiperboloide de uma folha e 05 (cinco) de 08 (oito) estudantes identificaram as mesmas cônicas como sendo as curvas de níveis do hiperboloide de duas folhas. Os erros cometidos nesse item estão relacionados ao fato de que muitos estudantes confundiram a figura da hipérbole com a da parábola e, em vez de registrar as hipérboles como curvas de níveis, registraram as parábolas como tais.
e) Traçado do sólido resultante, no 1º octante, da interseção da quádrica com planos paralelos aos planos coordenados.
Esse tipo de atividade é importante devido a sua aplicação em Cálculo Diferencial e Integral, no cálculo de volumes, centro de gravidade, entre outras aplicações.
O traçado do sólido no 1º octante foi solicitado apenas para as quádricas: elipsoide e paraboloide elíptico.
No traçado do sólido composto por um elipsoide e planos paralelos aos eixos coordenados no 1º octante, 07 (sete) dos 09 (nove) estudantes tiveram sucesso, traçando a superfície corretamente, os outros 02 (dois) estudantes fizeram o esboço parcialmente correto, pois as figuras esboçadas não mostravam o desenho das interseções com os planos corretamente posicionadas.
Quanto ao paraboloide elíptico esboçado apenas no 1º octante, verificamos que apenas 02 (dois) estudantes não o fizeram corretamente, pois não respeitaram os limites para as variáveis x, y e z. Ainda nesse item, verificamos que o fato de termos solicitado aos estudantes que plotassem primeiro no Winplot para posteriormente fazerem o esboço manual, influenciou no traçado da figura. Alguns estudantes desenharam da mesma forma que visualizaram no software. A seguir apresentamos protocolos do esboço manual de dois dos estudantes e ainda o resultado na tela do Winplot ao plotarem a mesma superfície.
Analisando os esboços realizados pelos estudantes, verificamos que no 1º caso (figura 76), o estudante quis reproduzir exatamente o que estava na tela do computador (figura 75), Figura 75: Porção do paraboloide
de equação x y z 9 4
2
.
Fonte: Software Winplot.
Figura 76: Protocolo extraído do caderno de atividades de um estudante. Item 4.1. Atividade 3.
Fonte: Dados da pesquisa.
Figura 77: Protocolo extraído do caderno de atividades de um estudante. Item 4.1. Atividade 3.
não se preocupando com os conceitos já vistos quanto às seções transversais. Já no 2º caso (figura 77), o estudante, mesmo visualizando a figura plotada, possivelmente lembrou-se de que a seção transversal, obtida pelo corte do plano paralelo ao plano xy com a superfície, seria uma elipse e, nesse caso, deveria ser esboçada apenas no 1º octante, conforme foi esboçado.
Ressaltamos, mais uma vez, que uma das limitações apresentadas pelo software Winplot é, em alguns casos, a deformação nas figuras. Isso pode prejudicar o entendimento de conceitos, daí a importância do professor mediador para fazer as orientações necessárias.
f) Identificação de superfícies de revolução
No item referente à superfície de revolução, os estudantes leram atentamente as definições apresentadas e plotaram as superfícies no software Winplot.
Todos conseguiram observar que, pela igualdade de dois parâmetros, caracterizamos uma superfície de revolução, conforme destacado na definição presente na atividade. Dessa forma, os estudantes selecionaram as equações que poderiam representar superfícies de revolução.
Na análise das equações apresentadas nessa atividade, destacamos:
a) 04 (quatro) estudantes selecionaram corretamente as equações 4x2 y2 z2 1 e
2 8 2 2 2 z y
x como sendo de uma superfície de revolução;
b) em relação à equação z x2 y2, apenas 02 (dois) estudantes a identificaram como de uma superfície revolução;
c) 07 (sete) estudantes selecionaram corretamente a equação x2 5y2 5z2 25 e 08 (oito) selecionaram corretamente a equação x2 y2 z2 16.
Ao plotar no Winplot as superfícies de revolução, os estudantes as associaram com objetos de uso cotidiano como peão, chapéu chinês, moeda, dentre outros.
Os estudantes conseguiram, a partir da definição de superfícies de revolução, estabelecer equações de outras superfícies como, por exemplo: hiperboloide de uma folha de revolução, hiperboloide de 2 folhas de revolução, cone quádrico de revolução, conforme podemos verificar nos protocolos a seguir:
Figura 78: Protocolo extraído do caderno de atividade de um dos estudantes. Item 5.5. Atividade 3. Fonte: Dados da pesquisa.
Figura 79: Protocolo extraído do caderno de atividade de um dos estudantes. Item 5.5. Atividade 3. Fonte: Dados da pesquisa.
g) Identificação da família de curvas geradas pela interseção da superfície com planos paralelos aos planos coordenados
As famílias de curvas geradas pela interseção da superfície com planos paralelos aos planos coordenados foram identificadas corretamente pelos estudantes. Essa atividade foi desenvolvida no caso específico do paraboloide elíptico, do hiperboloide de uma folha e do cone quádrico, onde foi solicitado que os estudantes registrassem as equações das curvas e fizessem o esboço das mesmas. No desenvolvimento dessa atividade, não foram evidenciadas dificuldades dos estudantes.
A seguir, apresentamos um protocolo de atividade realizada por um estudante, onde consta o esboço de uma família de curvas do cone quádrico de equação 0
9 4 2 2 2 z y x :
Figura 80: Protocolo extraído do caderno de atividade de um dos estudantes.
Família de curvas do cone quádrico de equação 0 9 4 2 2 2 z y x . Item 7.5. Atividade 3.
h) Identificação de eixo de simetria, eixo imaginário e eixo transverso
No estudo do paraboloide elíptico, apenas 02 (dois) estudantes observaram, na equação, que a variável com expoente do 1º grau corresponde ao eixo de simetria dessa superfície. Os demais estudantes confundiram as definições estudadas, informando a variável com expoente do 1º grau se tratava de variável livre.
No estudo do hiperboloide de uma folha, os estudantes fizeram a identificação do eixo imaginário, fazendo a relação desse com os termos da equação. Apenas 01 (um) estudante não conseguiu estabelecer a relação de que o eixo imaginário corresponde à variável cujo termo na equação é precedido do sinal “menos”. Os demais estudantes fizeram essa relação corretamente. Também fizeram a identificação correta dos outros eixos, denominados eixos reais transversos.
h) Uso do software Winplot
No desenvolvimento da atividade, os estudantes se mostraram bem à vontade na execução dos comandos do software, apresentando dificuldades apenas no início, quando ainda estavam-se familiarizando com o software. Essa facilidade contribuiu para que, muitas vezes, os estudantes plotassem o gráfico com o software para, posteriormente, fazer o esboço manual, de forma que pudessem ter uma noção do que iria ser desenhado no papel.
Todas as superfícies estudadas foram plotadas no Winplot. Assim o estudante pôde visualizar de forma dinâmica os eixos de simetria, as curvas formadas pela interseção das superfícies com planos paralelos aos planos coordenados, dentre outros aspectos. Foram utilizados, nessa atividade, de forma intensiva, os recursos das curvas de níveis, o que foi facilmente acessado pelos estudantes.
Ainda foi utilizado o recurso “Fatiador” que deixa evidente as curvas de níveis que compõem a superfície. A seguir, apresentamos algumas superfícies que foram plotadas pelos estudantes no Winplot:
x y z x y z x y z
Os estudantes também fizeram uso do recurso de “Superfície de Revolução”, disponível do Winplot, verificando a superfície gerada a partir da rotação de uma curva plana. Salientamos que a rotação foi realizada no espaço bidimensional, opção permitida pelo Winplot, conforme nas figuras a seguir:
Figura 81: Esfera de equação
1 4 4 4 2 2 2 z y x .
Fonte: Software Winplot.
Figura 82: Esferoide de equação
1 9 4 4 2 2 2 z y x seccionado pelo plano z=0. Fonte: Software Winplot.
Figura 83: Paraboloide de equação
2 2
4z x y . Fonte: Software Winplot.
Figura 84: Reta de equação y=4. Fonte: Software Winplot.
Figura 85: Reta de equação y=4 rotacionada em torno do eixo y.
Ao final da atividade referente ao estudo das quádricas, foi solicitado aos estudantes que plotassem, no Winplot, figuras compostas pelas superfícies estudadas. Assim, 04 (quatro) estudantes plotaram figuras fazendo uso de várias superfícies estudadas ao longo do desenvolvimento da sequência didática: planos, cilindros e quádricas. Os estudantes nomearam suas figuras de acordo com as superfícies usadas.
Para montar as figuras, os próprios estudantes criaram as equações e trabalharam com os limites das superfícies utilizando o recurso “Box” do Winplot.
A seguir, ilustramos as figuras plotadas pelos estudantes:
Figura 86: Reta de equação y=4 rotacionada em torno do eixo x. Fonte: Software Winplot.
Figura 87: Superfície composta por elipsoide e paraboloide elíptico.
Fonte: Software Winplot.
Figura 88: Superfície composta por esfera, cilindro e paraboloide elíptico.
Na figura 87, o estudante utilizou um elipsoide de equação 1 25 9 4 2 2 2 z y x e um
paraboloide elíptico de equação x y z 9 4
2 2
. A figura 88, construída por outro estudante, foi intitulada “palhaço”. Essa foi composta por uma esfera de equação 1
9 9 9 2 2 2 z y x , um
cilindro elíptico de equação 1 3 2 2 2 y x
e um hiperboloide de uma folha de equação
1 2 2 2 z y x .
A figura 89, apresentada a seguir, foi denominada por um estudante por “escultura” e foi plotada fazendo a composição de planos paralelos aos planos coordenados e um cilindro circular transladado de equação (x 1)2 (y 1) 1.
Figura 89: Superfície composta por planos paralelos aos planos coordenados e cilindro. Fonte: Software Winplot.
Outro estudante fez o esboço, no Winplot, da figura mostrada a seguir, composta por um cilindro elíptico de equação 1
2 2 2 2 y x
, um hiperboloide de uma folha de equação
0 9 4 2 2 2 z y x
e um cilindro parabólico de equação 2
x
Figura 90: Superfície composta por cilindro elíptico, cilindro parabólico e hiperboloide. Fonte: Software Winplot.
O aspecto dinâmico do Winplot que permite que as figuras sejam movimentadas, rotacionadas e, consequentemente, visualizadas por vários ângulos, fez que os estudantes se sentissem motivados e desafiados a fazer as construções no papel, desencadeando, assim, uma aprendizagem mais significativa.