Atividade 1: Planos

Nesta primeira atividade, intitulada “Planos”, são abordados os seguintes tópicos para o trabalho com planos no espaço tridimensional:

a) equações geral e reduzida dos planos; b) análise das equações dos planos;

c) traçado dos planos e traçado de figuras tridimensionais formadas a partir de planos.

A metodologia utilizada consiste em, inicialmente, trabalhar com a familiarização do espaço tridimensional, no que se refere à identificação dos octantes e, posteriormente, com a equação e o esboço do plano.

A sequência didática de atividades do plano contemplou a visualização da figura no espaço, partindo de interpretações nos planos coordenados e na reta, estabelecendo interações entre a representação algébrica e geométrica.

O objetivo dessa sequência de atividades é possibilitar o desenvolvimento da habilidade de visualização dos planos.

Nessa atividade, o estudante é levado a:

1) analisar a constituição e os parâmetros da equação geral do plano:

0 d cz by

ax _;

2) fazer observações sobre as equações; 3) analisar a variação dos parâmetros:

3.1) explorar o parâmetro d para equações homogêneas (d=0) e equações não homogêneas (d 0);

3.2) trabalhar com equações não completas:

a) um coeficiente nulo e d 0; b) dois coeficientes nulos e d 0; c) d = 0;

4) traçar gráficos (manual e computacionalmente):

4.1) identificar pontos sobre os eixos coordenados; 4.2) identificar pontos sobre os planos coordenados; 4.3) identificar pontos sobre os octantes;

5) manipular comandos no software Winplot; 6) trabalhar com famílias dos planos;

7) esboçar sólidos a partir de planos.

Propomos que o estudante esboce gráficos no papel e faça plotagens desses no

software computacional Winplot.

No início da atividade, é destacada a definição da equação geral do plano: Todo plano é representado por uma equação do tipo: ax by cz d 0

com a, b, c e d reais.

Quadro 3: Definição da equação geral do plano. Item 1. Atividade 1. Fonte: STEINBRUCH, 1987, p. 144.

Assim, são exploradas as variáveis, parâmetros e as características gerais da equação, de forma que o estudante possa identificar as equações de planos.

A seguir, apresentamos o espaço tridimensional dividido pelos planos coordenados(x₀y,x₀z,y₀z)em 8 (oito) partes, denominando os octantes. Solicitamos ao estudante a definição dos planos que limitam cada octante. Em geral, o processo de visualização no espaço cartesiano é uma tarefa que requer um pouco mais a intuição geométrica.

Posteriormente, as atividades apontam para a variação dos parâmetros, em que são analisados os casos em que os coeficientes da equação geral de um plano (a, b, c ou d) se anulam. Assim destacamos nas atividades:

a) planos paralelos aos eixos coordenados, em que um dos coeficientes da equação geral ax by cz d 0 é nulo, sendo d 0;

b) planos paralelos aos planos coordenados, em que dois coeficientes da equação geral ax by cz d 0 são nulos, sendo d 0: (a = 0, b = 0) ou (a = 0, c = 0) ou (b = 0, c = 0);

c) planos em que dois coeficientes da equação geral ax by cz d 0 são nulos, sendo um deles o termo independente (d 0): (a = 0, d = 0) ou (b = 0, d = 0) ou (c = 0, d = 0);

d) planos em que três coeficientes da equação geral ax by cz d 0 são nulos, sendo um deles o termo independente (d 0): (a = 0, b = 0, d = 0) ou (a = 0, c = 0, d = 0) ou (b = 0, c = 0, d = 0);

e) planos em que a equação geral do plano ax by cz d 0 tem apenas o termo independente nulo(d 0): a ≠ 0 ; b ≠ 0 ; c ≠ 0 ; d=0;

f) planos em que todos os coeficientes da equação geral ax by cz d 0 não são nulos a ≠ 0 ; b ≠ 0 ; c ≠ 0 ; d 0, ou seja, planos que apresentam a equação geral completa.

Sempre que possível, solicitamos que o estudante, inicialmente, fizesse o traçado dos gráficos de forma manual, considerando o espaço bidimensional, para que, posteriormente, pudesse partir para representação no espaço tridimensional.

Solicitamos, ainda, a identificação dos parâmetros da equação, a escrita dessa na sua forma completa, a identificação das variáveis livres e das coordenadas de interseção com os eixos para que, usando esses interceptos, o esboço manual do gráfico no espaço tridimensional pudesse ser realizado.

Por exemplo, para o traçado do gráfico de equação x y 2 0, estabelecemos a seguinte sequência:

Considere a equação x y 2 0

1. Como será a representação gráfica dessa equação considerando o 2 (plano xy)? Faça o esboço do gráfico.

2. Essa equação é uma equação de plano. Dê os valores dos parâmetros.

3. Vamos descobrir como se dá a representação gráfica no 3. Siga os passos: a) Complete a equação introduzindo a variável z.

b) Dê as coordenadas das interseções da reta com os eixos x e y no sistema tridimensional. c) Esboce o gráfico, abaixo, usando os interceptos.

Quadro 4: Sequência de construção do gráfico do plano de equaçãox y 2 0. Item 2.1.1. Atividade 1. Fonte: Dados da pesquisa.

Na sequência, propomos que o gráfico seja plotado no software Winplot. Para tanto, são dadas todas as orientações com relação aos comandos que devem ser utilizados, conforme destacamos a seguir:

d) Plote o gráfico no Winplot:

Abra o Winplot. Acione a opção JANELA  3-Dim

Use a opção EQUAÇÃO  PLANO e informe os parâmetros a, b e c e um ponto pertencente ao plano (k, m, n).

Altere os valores t mín: -4 ; t máx: 4 ; u mín: -4 ; u máx: 4

Quadro 5: Sequência de construção do gráfico do plano de equação x y 2 0 no Winplot. Item 2.1.1. Atividade 1.

Dessa forma, o estudante é levado, novamente, a identificar os parâmetros da equação, uma vez que o recurso do Winplot solicita que os mesmos sejam digitados. Além disso, é solicitado, pelo software, um ponto pertencente ao plano. A seguir, apresentamos o resultado do comando executado na tela do Winplot:

A partir da plotagem do gráfico no software Winplot, colocamos questões acerca da representação gráfica do plano proposto no espaço tridimensional, explorando a interação da parte algébrica com a parte gráfica, isto é, equação e gráfico.

Por meio dessa atividade, exploramos as interseções dos planos com os eixos coordenados, as posições relativas dos planos em relação aos eixos e planos coordenados, as posições relativas entre os planos e, ainda, as consequências gráficas relativas às variáveis livres da equação.

Na última parte da atividade de planos, propomos o traçado de figuras geométricas, em três dimensões, limitadas por planos no primeiro octante, que deve ser feito manual e computacionalmente. Para isso, também são dadas todas as orientações com relação às opções que devem ser utilizadas no software Winplot.

Por exemplo, uma das atividades (item 2.7) constitui-se em plotar a figura composta pelos planos x 1;y 1;z 1, no primeiro octante. O resultado visualizado na tela do Winplot está representado a seguir:

y = -x + 2

x y

Figura 5: Representação gráfica da equação da reta x y 2 0 no espaço cartesiano.

Fonte: Software Winplot. Figura 4: Representação gráfica da equação

0 2 y

x no plano cartesiano. Fonte: Software Winplot.

Figura 6: Superfície composta por planos paralelos aos planos coordenados. Fonte: Software Winplot.

Nessa etapa da atividade, esperamos que o estudante tenha adquirido familiaridade com os planos esboçados nas atividades anteriores e tenha sucesso na montagem dos sólidos no espaço tridimensional.

Ressaltamos que as atividades completas estão no APÊNDICE desta dissertação.