PONTIFÍCIA
UNIVERSIDADE
CATÓLICA
DE
MINAS
GERAIS
Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática
UM ESTUDO DE PLANOS, CILINDROS E QUÁDRICAS,
EXPLORANDO SEÇÕES TRANSVERSAIS, NA
PERSPECTIVA DA HABILIDADE DE VISUALIZAÇÃO, COM
O SOFTWARE WINPLOT
Janine Freitas Mota
Belo Horizonte 2010
Janine Freitas Mota
UM ESTUDO DE PLANOS, CILINDROS E QUÁDRICAS,
EXPLORANDO SEÇÕES TRANSVERSAIS, NA
PERSPECTIVA DA HABILIDADE DE VISUALIZAÇÃO, COM
O SOFTWARE WINPLOT
Dissertação apresentada ao programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática da Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais, como requisito parcial para obtenção do título de Mestre em Ensino de Ciências e Matemática.
Orientador: Prof. Dr. João Bosco Laudares.
Belo Horizonte 2010
FICHA CATALOGRÁFICA
Elaborada pela Biblioteca da Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais
Mota, Janine Freitas
M917u Um estudo de planos, cilindros e quádricas, explorando seções transversais, na perspectiva da habilidade de visualização, com o software Winplot / Janine Freitas Mota. Belo Horizonte, 2011.
205f. : Il.
Orientador: João Bosco Laudares
Dissertação (Mestrado) – Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais. Programa de Pós-graduação em Ensino de Ciências e Matemática.
1. Educação matemática. 2. Cilindros. 3. Equações quadráticas. 4. Geometria analítica. I. Laudares, João Bosco. II. Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais. Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática. III. Título.
Janine Freitas Mota
Um estudo de Planos, Cilindros e Quádricas, explorando seções transversais, na perspectiva da habilidade de visualização, com o software Winplot
Dissertação defendida e aprovada pela seguinte banca examinadora:
________________________________________________________________ Prof. Dr. João Bosco Laudares (Orientador e Presidente da Banca) – PUC Minas
_________________________________________ Prof. Dr. Frederico da Silva Reis - UFOP
_____________________________________________ Prof. Dr. Dimas Felipe de Miranda – PUC Minas
A Deus, por fazer maravilhas em minha vida, todos os dias.
AGRADECIMENTOS
A Deus, pelo dom da vida, inspiração, força e sabedoria necessários para a efetivação dos meus objetivos.
A todas as forças do bem, que emanaram energias positivas, possibilitando inspiração e segurança na escrita deste trabalho.
A meus pais, pela boa educação; especialmente, à minha mãe, pelo zelo, incentivo, cuidado e atenção.
A meu esposo Raphael, pelo amor, dedicação, companheirismo e incentivo constantes. A meus irmãos e cunhadas pela torcida e por acreditarem em mim.
Ao meu orientador, Professor Dr. João Bosco Laudares, pela competente orientação, pelas leituras e correções, pelo apoio e estímulo que foram fundamentais para a conclusão deste trabalho.
Aos professores, Dr. Frederico da Silva Reis e Dr. Dimas Felipe de Miranda, que, ao participarem da banca examinadora, contribuíram com críticas e sugestões importantes para o aperfeiçoamento deste trabalho.
Às professoras, Dra. Maria Clara Rezende Frota, Dra. Eliane Sheid Gazire, pelas contribuições em minha formação.
Aos demais professores do Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática, pelos ensinamentos preciosos e fundamentais para o desenvolvimento do curso.
Aos funcionários da Secretaria do Mestrado, pelo apoio, colaboração e disponibilidade.
Aos acadêmicos do 1º período do curso de Licenciatura em Matemática/2010 do Campus São Francisco, Universidade Estadual de Montes Claros, que, de maneira tão carinhosa e responsável, empenharam-se em executar as sequências didáticas propostas.
“Para tudo há um tempo, para cada coisa há um momento debaixo dos céus: [...] tempo para plantar e colher o que se plantou.” (Ecle. 3, 1-2)
RESUMO
Esta dissertação objetiva apresentar os resultados de uma pesquisa, cuja temática são tópicos da Geometria Analítica: estudo dos planos, cilindros e quádricas. A metodologia utilizada contemplou os parâmetros da sequência didática, com exploração da habilidade de visualização. Foram propostas três sequências didáticas de atividades privilegiando o tratamento gráfico, utilizando as seções transversais e as curvas de níveis, com o objetivo de fazer que o estudante pudesse esboçar os gráficos com “lápis e papel” e plotar os mesmos com software Winplot. As sequências didáticas articulam teoria e prática por meio de atividades de investigação, exploração, visualização e construção das superfícies: planos, cilindros e quádricas, tendo a intenção de possibilitar o desenvolvimento do pensamento geométrico. As sequências de atividades propostas foram aplicadas a alunos do 1º período do curso de Licenciatura Plena em Matemática da Universidade Estadual de Montes Claros - UNIMONTES. A análise qualitativa dos resultados evidenciou a forma como os estudantes realizaram as representações gráficas, quais foram as suas reflexões, dúvidas e resultados e ainda evidenciou que houve uma melhora significativa na postura dos mesmos, pois esses se manifestaram mais ativos no processo de ensino. Ainda pôde ser observado que a articulação entre a equação (álgebra) e a figura (geometria) promoveu uma abordagem integrada entre Álgebra e Geometria, que é o foco da Geometria Analítica. Os produtos desta pesquisa são um Caderno de Atividades no apêndice e co-autoria na reformulação de um Livro de Quádricas.
Palavras-chave: Educação matemática. Sequências didáticas de atividades. Planos. Cilindros. Quádricas.
ABSTRACT
This thesis presents the results of a survey, whose thematic are topics of Analytic Geometry: a study of planes, cylinders and quadric. The methodology used considered the parameters of the didactic sequence, exploring the ability of visualization. We have proposed three didactic sequences of activities focusing on the graphic treatment, using cross sections and the curves of levels, aiming to enable the student draw graphs with "pencil and paper" and plot them with the Winplot software. The didactic sequences articulate theory and practice through research activities, exploration, visualization and construction of surfaces: planes, cylinders and quadric, with the intention of enabling the development of geometric thinking. The sequences of activities proposed were applied to students of the first term of the course in Mathematics course at Universidade Estadual de Montes Claros. The qualitative analysis revealed the way how students did the graphic representations, what were their thoughts, questions and results and also showed that there was a significant improvement in the student's attitude since they manifested themselves more active in the teaching process. It was also possible to observe that the combination of equation (algebra) and the figure (geometry) had promoted an integrated approach between Algebra and Geometry, which is the focus of the Analytic Geometry. The products of this research are: A workbook in the Appendix and co-authorship in the reformulation of a book of quadrics.
Keywords: Mathematical education. Didactic Sequences of activities. Plans. Cylinders. Quadrics.
LISTA DE FIGURAS
FIGURA 1: Janela inicial do software Winplot. ... 42
FIGURA 2: Opção do Winplot para escolha do tipo de equação. ... 43
FIGURA 3: Ferramentas do software Winplot... 43
FIGURA 4: Representação gráfica da equação x y 2 0 no plano cartesiano. ... 55
FIGURA 5: Representação gráfica da equação da reta x y 2 0 no espaço cartesiano. ... 55
FIGURA 6: Superfície composta por planos paralelos aos planos coordenados. ... 56
FIGURA 7: Representação gráfica da equaçãox2 y2 4 no plano xy. ... 59
FIGURA 8: Representação gráfica da equação x2 y2 4 no espaço cartesiano. ... 59
FIGURA 9: Representação gráfica das curvas de níveis do cilindro de equação x2 y2 4. ... 60
FIGURA 10: Representação gráfica do sólido formado pelo cilindro de equação x2 y2 4, no 1º octante, limitado pelo plano z 6. ... 60
FIGURA 11: Representação gráfica do cilindro de equaçãoz 2x2. ... 60
FIGURA 12: Representação gráfica da equaçãoy x3 no plano xy. ... 62
FIGURA 13: Representação gráfica da equaçãoy x3 no espaço xy. ... 62
FIGURA 14: Representação gráfica do cilindro de equação z x no espaço cartesiano. ... 62
FIGURA 15: Representação gráfica do cilindro de equação z sen(x) no espaço cartesiano. ... 62
FIGURA 16: Representação gráfica do sólido gerado no 1º octante. ... 63
FIGURA 17: Representação gráfica do cilindro circular transladado de equação: 4 ) 2 (x 2 y2 . ... 64
FIGURA 18: Representação gráfica do cilindro parabólico transladado de equação: ) 2 ( 4 2 x y . ... 64
FIGURA 19: Representação gráfica do elipsoide de equação: 1 1 9 4 2 2 2 z y x . ... 68
FIGURA 20: Representação gráfica do elipsoide de equação: 1 1 9 4 2 2 2 z y x , no 1º octante. 68 FIGURA 21: Curvas de níveis do elipsoide de equação: 1 1 9 4 2 2 2 z y x , plotadas no plano. . 69
FIGURA 22: Curvas de níveis do elipsoide de equação: 1 1 9 4 2 2 2 z y x , em torno do eixo z. 69
FIGURA 23: Esferoide de equação 1 9 4 4 2 2 2 z y x . ... 69
FIGURA 24: Esfera de equação 1 4 4 4 2 2 2 z y x . ... 69
FIGURA 25: Representação gráfica da curva de equação 2 x y no plano xy. ... 70
FIGURA 26: Superfície gerada pela rotação da curva y x2 em torno do eixo y. ... 70
FIGURA 27: Superfície gerada pela rotação da curva y x2 em torno do eixo x. ... 70
FIGURA 28: Paraboloide de equação 1 9 4 2 2 z y x plotado no Winplot. ... 71
FIGURA 29: Identificação das curvas de níveis do paraboloide de equação 1 9 4 2 2 z y x . ... 71
FIGURA 30: Paraboloide de equação 1 9 4 2 2 z y x , seccionado pelo plano de equação z 4. ... 72
FIGURA 31: Paraboloide de equação 1 9 4 2 2 z y x , seccionado pelo plano de equação z 4. ... 73
FIGURA 32: Parabolóide de equação 1 9 4 2 2 z y x , plotado no 1º octante. ... 74
FIGURA 33: Hiperboloide de uma folha de equação 1 9 4 2 2 2 z y x . ... 75
FIGURA 34: Hiperboloide de duas folhas de equação 1 16 9 4 2 2 2 z y x . ... 77
FIGURA 35: Cone Quádrico de equação 0 9 4 2 2 2 z y x . ... 78
FIGURA 36: Curvas de níveis do Paraboloide Hiperbólico de equação z y2 x2. ... 79
FIGURA 37: Paraboloide Hiperbólico de equação z x2 y2. ... 79
FIGURA 38: Estudante realizando atividade referente ao Cone Quádrico. ... 81
FIGURA 39: Estudante realizando atividade referente ao Hiperboloide Elíptico. ... 81
FIGURA 40: Protocolo extraído do caderno de atividades de um dos estudantes. Item 1.3. Atividade 1. ... 85
FIGURA 41: Protocolo extraído do caderno de atividades de um dos estudantes. Item 1.3. Atividade 1. ... 85
FIGURA 42: Estudantes desenvolvendo o Item 1.6 da Atividade 1. ... 87
FIGURA 43: Planos de equações: x y 7 0; x y 5 0; x y 10 0. ... 90
FIGURA 44: Protocolo extraído do caderno de atividades de um dos estudantes. Item 2.1.2. Atividade 1. ... 91
FIGURA 45: Protocolo extraído do caderno de atividades de um dos estudantes. Item 2.2.1. Atividade 1. ... 93
FIGURA 46: Plano de equação y 3 0 ... 93
FIGURA 47: Plano de equação z 4 0. ... 93
FIGURA 48: Plano de equação z 2 y 0. ... 94
FIGURA 49: Plano de equação z 2x 0. ... 94
FIGURA 50: Protocolo extraído do caderno de atividades de um dos estudantes. Item 2.5. Atividade 1. ... 95
FIGURA 51: Protocolo extraído do caderno de atividades de um dos estudantes. Item 2.6. Atividade 1. ... 96
FIGURA 52: Protocolo extraído do caderno de atividades de um dos estudantes. Item 2.7. Atividade 1. ... 97
FIGURA 53: Planos coordenados xz, yz, xy. ... 98
FIGURA 54: Estudantes realizando as atividades. ... 98
FIGURA 55: Protocolo extraído do caderno de atividades de um dos estudantes. Item 1. Atividade 2. ... 100
FIGURA 56: Protocolo extraído do caderno de atividades de um dos estudantes. Item 1. Atividade 2. ... 100
FIGURA 57: Protocolo extraído do caderno de atividades de um dos estudantes. Atividade 2. ... 102
FIGURA 58: Protocolo extraído do caderno de atividades de um dos estudantes. Atividade 2. ... 102
FIGURA 59: Protocolo extraído do caderno de atividades de um dos estudantes. Atividade 2. ... 102
FIGURA 60: Protocolo extraído do caderno de atividades de um dos estudantes. Item 2.1. Atividade 2. ... 103
FIGURA 61: Protocolo extraído do caderno de atividades de um dos estudantes. Item 2.6. Atividade 2. ... 104
FIGURA 62: Protocolo extraído do caderno de atividades de um dos estudantes. Atividade 2. ... 105 FIGURA 63: Protocolo extraído do caderno de atividades de um dos estudantes. Item 2.5. Atividade 2. ... 106 FIGURA 64: Cilindro circular de equação 1
4 4 2 2 y x . ... 107 FIGURA 65: Cilindro parabólico de equação y 2x2... 107 FIGURA 66: Cilindro hiperbólico de equação 1
9 4 2 2 y x . ... 107
FIGURA 67: Porção do cilindro de equação 1 4 4 2 2 y x
plotado no winplot. Item 2.1. Atividade 2. ... 107 FIGURA 68: Sólido formado pelo cilindro de equação 1
4 4 2 2 y x
e planos paralelos aos planos coordenados. Item 2.1. Atividade 2. ... 108 FIGURA 69: Curvas de níveis do cilindro de equação 1
4 4 2 2 y x . Item 2.1. Atividade 2. . 108 FIGURA 70: Protocolo extraído do caderno de atividades de um dos estudantes. Item 4.1. Atividade 3. ... 111 FIGURA 71: Protocolo extraído do caderno de atividades de um dos estudantes. Item 2.1. Atividade 3. ... 112 FIGURA 72: Protocolos extraídos dos cadernos de atividades de dois dos estudantes. Item 2.2. Atividade 3. ... 113 FIGURA 73: Protocolos extraídos dos cadernos de atividades de três dos estudantes. Item 2.2. Atividade 3. ... 113 FIGURA 74: Protocolos extraídos dos cadernos de atividades de dois dos estudantes. Item 8.1. Atividade 3. ... 115 FIGURA 75: Porção do paraboloide de equação x y z
9 4
2
. ... 116 FIGURA 76: Protocolo extraído do caderno de atividades de um estudante. Item 4.1. Atividade 3. ... 116 FIGURA 77: Protocolo extraído do caderno de atividades de um estudante. Item 4.1. Atividade 3. ... 116
FIGURA 78: Protocolo extraído do caderno de atividade de um dos estudantes. Item 5.5.
Atividade 3. ... 118
FIGURA 79: Protocolo extraído do caderno de atividade de um dos estudantes. Item 5.5. Atividade 3. ... 118
FIGURA 80: Protocolo extraído do caderno de atividade de um dos estudantes. Família de curvas do cone quádrico de equação 0 9 4 2 2 2 z y x . Item 7.5. Atividade 3. ... 118
FIGURA 81: Esfera de equação 1 4 4 4 2 2 2 z y x . ... 120
FIGURA 82: Esferoide de equação 1 9 4 4 2 2 2 z y x seccionado pelo plano z=0. ... 120
FIGURA 83: Paraboloide de equação 4z x2 y2. ... 120
FIGURA 84: Reta de equação y=4. ... 120
FIGURA 85: Reta de equação y=4 rotacionada em torno do eixo y ... 120
FIGURA 86: Reta de equação y=4 rotacionada em torno do eixo x. ... 121
FIGURA 87: Superfície composta por elipsoide e paraboloide elíptico. ... 121
FIGURA 88: Superfície composta por esfera, cilindro e paraboloide elíptico. ... 121 FIGURA 89: Superfície composta por planos paralelos aos planos coordenados e cilindro. 122 FIGURA 90: Superfície composta por cilindro elíptico, cilindro parabólico e hiperboloide. 123
LISTA DE QUADROS
QUADRO 1: Livros didáticos analisados. ... 38 QUADRO 2: Pontos positivos e negativos do Winplot (versão 23/09/2003). ... 46 QUADRO 3: Definição da equação geral do plano. Item 1. Atividade 1. ... 53 QUADRO 4: Sequência de construção do gráfico do plano de equaçãox y 2 0. Item 2.1.1. Atividade 1. ... 54 QUADRO 5: Sequência de construção do gráfico do plano de equação x y 2 0 no Winplot. Item 2.1.1. Atividade 1. ... 54 QUADRO 6: Fragmento da atividade. Definições iniciais do cilindro. Item 1, Atividade 2. .. 57 QUADRO 7: Fragmento da atividade. Traçado do cilindro de equação x2 y2 4. Item 2.1. Atividade 2. ... 59 QUADRO 8: Fragmento da atividade. Equações gerais dos cilindros. Item 2.5. Atividade 2. 61 QUADRO 9: Fragmento da atividade. Definição dos cilindros não quádricos. Item 2.6. Atividade 2. ... 61 QUADRO 10: Fragmento da atividade. Definição quádricas. Item 1. Atividade 3. ... 66 QUADRO 11: Fragmento da atividade. Esboço do elipsoide de equação 1
1 9 4 2 2 2 z y x . Item 2. Atividade 3. ... 67 QUADRO 12: Fragmento da atividade. Esboço da superfície de equação 1
1 9 4 2 2 2 z y x Item 2. Atividade 3. ... 68 QUADRO 13: Fragmento da atividade. Analisando gráfico da superfície. Item 4.1. Atividade 3. ... 72 QUADRO 14: Fragmento da atividade. Interseção da superfície com planos paralelos aos planos coordenados. Item 4.1. Atividade 3. ... 73 QUADRO 15: Fragmento da atividade. Famílias de curvas geradas. Item 4.1. Atividade 3. .. 75 QUADRO 16: Fragmento da atividade. Orientações para plotagem do hiperboloide ... 76
de duas folhas de equação 1
16 9 4 2 2 2 z y x . Item 6.3. Atividade 3. ... 76 QUADRO 17: Fragmento da atividade. Superfície de revolução e simetria existente. Item 8.1. Atividade 3. ... 79 QUADRO 18: Equação geral do plano. ... 84
LISTA DE GRÁFICOS
GRÁFICO 1 Percentuais de adequação do Winplot (versão 23/09/2003) aos critérios analisados ... 45
LISTA DE SIGLAS
CEFET – Centro Federal de Educação Tecnológica ENEMs – Encontros Nacionais de Educação Matemática FUMARC – Fundação Mariana Resende Costa
NCTM – National Council of Teachers of Mathematics
PUC-Minas – Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais
SIPEM – Seminário Internacional de Pesquisa em Educação Matemática TICEs – Tecnologias da Informação e Comunicação Aplicadas à Educação UFRGS – Universidade Federal do Rio Grande do Sul
SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO ... 18 1.1 Justificativa ... 20 1.2 Questão ... 21 1.3 Objetivos ... 22 1.3.1 Objetivo geral ... 22 1.3.2 Objetivos específicos ... 22 1.4 Estrutura da dissertação ... 22
2 O ENSINO E APRENDIZAGEM DE PLANOS, CILINDROS E QUÁDRICAS ... 24
2.1 O processo ensino-aprendizagem de Geometria: Visualização e Pensamento Geométrico ... 24
2.2 Ensino e aprendizagem de Planos, Cilindros e Quádricas ... 29
2.3 A informática educativa no estudo de figuras espaciais ... 31
3 PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS ... 34
3.1 Metodologia ... 34
3.2 Análise do conteúdo de Planos, Cilindros e Quádricas em livros didáticos ... 37
3.2.1 Livro 1 ... 38 3.2.2 Livro 2 ... 39 3.2.3 Livro 3 ... 39 3.2.4 Livro 4 ... 40 3.2.5 Livro 5 ... 41 3.2.6 Livro 6 ... 41
3.3 Escolha do software Winplot e sua utilização ... 42
3.4 Elaboração das atividades ... 47
3.5 Campo e sujeitos da pesquisa ... 47
3.6 Aplicação da sequência de atividades ... 48
3.7 Análise dos dados ... 49
3.8 Produto da dissertação: Elaboração de um caderno de atividades e edição de um livro ... 49
4. ELABORAÇÃO DE UMA SEQUÊNCIA DIDÁTICA DE ATIVIDADES PARA O ESTUDO DAS SUPERFÍCIES NO ESPAÇO: PLANOS, CILINDROS E QUÁDRICAS ... 50
4.1 Atividade 1: Planos ... 51
4.2 Atividade 2: Cilindros ... 56
4.3 Atividade 3: Quádricas ... 64
5. APLICAÇÃO E ANÁLISE DA SEQUÊNCIA DIDÁTICA ... 80
5.1 Aplicação da sequência didática ... 80
5.2 Análise dos resultados obtidos ... 83
5.2.1 Análise da atividade 1: Planos ... 83
5.2.2 Análise da atividade 2: Cilindros ... 99
5.2.3 Análise da atividade 3: Quádricas ... 109
6. CONSIDERAÇÕES FINAIS ... 126 REFERÊNCIAS ... 130 APÊNDICE ... 135
1 INTRODUÇÃO
O Ensino da Matemática vem passando por grandes transformações ao longo do tempo. Os estudos e pesquisas na área de Educação Matemática promovem a reflexão sobre como a forma tradicional de ensino pode ser inovada por meio de estratégias diferenciadas que visem a uma melhor qualidade no processo de ensino-aprendizagem da Matemática.
Como menciona Lorenzato (2006, p.3), “dar aulas é diferente de ensinar. Ensinar é dar condições para que o aluno construa seu próprio conhecimento”. Nesse sentido, o professor deverá oferecer condições suficientes para que o seu aluno aprenda e vença a dificuldade de aprendizagem do conteúdo que está sendo proposto.
Assim, há alguns anos trabalhando como professora de Matemática, no ensino fundamental e médio e, também, no ensino superior, procuramos pesquisar e utilizar, em nossas aulas, estratégias diferenciadas de ensino que promovam a construção do conhecimento, estimulando os nossos estudantes para um aprendizado mais significativo.
Trabalhando com a disciplina Geometria Analítica, nos cursos de Licenciatura em Matemática, percebemos as dificuldades dos alunos na visualização geométrica de figuras no espaço tridimensional. Nossa experiência, também, permite-nos observar que as dificuldades dos estudantes nos tópicos de geometria perpassam toda a educação básica, chegando ao ensino superior.
Essa deficiência, em nossos cursos básicos, é evidenciada por vários pesquisadores em Educação Matemática, tais como Lorenzato (1995), Dante (1988), Perez (1991), Pavanello (1993), que discutem o problema da falta de aprendizagem da geometria e suas possíveis causas:
São inúmeras as causas, porém, duas delas estão atuando forte e diretamente em sala de aula: a primeira é que muitos professores não detêm os conhecimentos geométricos necessários para realização de suas práticas pedagógicas [...]. A segunda causa da omissão geométrica deve-se à exagerada importância que, entre nós, desempenha o livro didático, quer devido à má formação de nossos professores, quer devido à estafante jornada de trabalho a que estão submetidos. (LORENZATO, 1995, p.3).
Essa defasagem gera dificuldades na aprendizagem de disciplinas como Geometria Analítica, além de dificuldades em tópicos relacionados com Geometria, como é o caso de algumas aplicações do Cálculo Diferencial e Integral, da Álgebra Linear, dentre outros. Segundo Pavanello (2002, p.80), “esses graduandos apresentam dificuldades na compreensão
e domínio do processo dedutivo, como apontam, entre outros, os resultados do Exame Nacional de Cursos/Ministério da Educação.”
Também Gravina registra o que foi constatado com estudantes ingressantes no curso de Licenciatura em Matemática da Universidade Federal do Rio Grande do Sul (UFRGS), que certamente poderá ser ampliado, de forma mais geral:
[...] os alunos chegam à universidade sem terem atingido os níveis mentais da dedução e do rigor. Raciocínio dedutivo, métodos e generalizações - processos característicos e fundamentais da Geometria - os alunos pouco dominam. Até mesmo apresentam pouca compreensão dos objetos geométricos, confundindo propriedades do desenho com propriedades do objeto. (GRAVINA, 1996. p.2).
A partir dessas considerações, sugerimos uma proposta metodológica capaz de amenizar as dificuldades de visualização de algumas figuras geométricas, possibilitando o desenvolvimento do pensamento geométrico, pois concordamos com Lorenzato (1995) quando argumenta que a aprendizagem da geometria traz o desenvolvimento de capacidades e habilidades, como a criatividade, a percepção espacial, o raciocínio hipotético-dedutivo.
Com formação técnica em Processamento de Dados, graduação em Licenciatura Plena em Matemática e especialização em Educação Matemática Superior, pela Universidade Estadual de Montes Claros (UNIMONTES), sempre tivemos interesse pela utilização das tecnologias da informação no processo educacional. A interação entre professor, aluno e as novas práticas tecnológicas podem facilitar o raciocínio lógico-dedutivo e o entendimento sobre questões abstratas da Matemática, propiciando, inclusive, maior facilidade na visualização geométrica de espaços tridimensionais.
Nesse sentido, consideramos que o computador possibilita aos estudantes experiências diferentes daquelas obtidas no ensino tradicional, principalmente quando diz respeito à visualização geométrica.
O uso de ferramentas computacionais pode tornar o estudo de conteúdos matemáticos bem mais produtivo e interessante, de forma a proporcionar verdadeiras e significativas aprendizagens matemáticas, garantindo o sucesso da integração da tecnologia e educação matemática, retratada por Zuchi:
Com a integração das TICEs1, novos elementos aparecem, em especial, a necessidade de desenvolver recursos didáticos para a implementação das atividades em sala de aula, onde o trabalho colaborativo entre professores e pesquisadores tem um papel chave. [...] o desenvolvimento de recursos que permitem a integração das
tecnologias no ensino da matemática toma, em diferentes países, um espaço considerável na pesquisa em educação matemática. (ZUCHI, 2009, p.240).
A nossa proposta compõe-se de uma sequência didática para o ensino dos tópicos: planos, cilindros e quádricas. Será explorada a visualização e o traçado dessas figuras, utilizando interseções das mesmas com planos (cortes), obtendo-se as seções transversais no traçado do esboço, por meio de uma análise da equação das superfícies e dos planos interceptos.
As atividades propostas serão desenvolvidas de forma a articular as mídias “lápis e papel” com ferramentas informatizadas, utilizando o software matemático Winplot, que é um programa freeware (gratuito), executado no sistema operacional Windows, o qual permite uma dinâmica de rotação e translação de figuras, facilitando a visualização geométrica em espaços tridimensionais com múltiplas representações.
1.1 Justificativa
A nossa prática profissional, com estudantes da Licenciatura em Matemática e cursos de Engenharias, revelou o quanto é difícil trabalhar os tópicos planos, cilindros e quádricas nas disciplinas Geometria Analítica ou Cálculo Diferencial e Integral, seja por termos curriculares – pequena carga horária disponível para trabalhar vários tópicos dessas disciplinas –, seja pela dificuldade que os estudantes têm na visualização geométrica no espaço tridimensional.
Alguns estudos, como o de Karrer (2006), apontaram dificuldades dos estudantes na disciplina de Geometria Analítica, como, por exemplo, relacionar questões visuais e analíticas.
A visualização de figuras bidimensionais e tridimensionais é complexa para muitos alunos (FLORES, 2001). Algumas pesquisas relatam a dificuldade que os alunos têm em, partindo da expressão algébrica, expressar graficamente objetos matemáticos e, ainda, representar graficamente ideias e resolver problemas geométricos que necessitam dessa interpretação algébrica.
Rodrigues (2008) apresenta as dificuldades de análise e representação gráfica por parte dos alunos e apresenta, ainda, as competências para a resolução gráfica de problemas geométricos.
Ainda, segundo Flores:
A ligação entre a aprendizagem da geometria e o saber ver as representações das figuras geométricas tem aguçado a busca de variados procedimentos que possam ser colocados em prática na sala de aula a fim de aprimorar a desenvoltura do olhar as imagens, no ensino de geometria. (FLORES, 2003, p.22).
Assim, baseado em referenciais teóricos e na experiência adquirida pela prática docente, ao longo de alguns anos atuando na educação básica e superior, propomos, a seguir, a nossa questão de investigação, que norteou a pesquisa.
1.2 Questão
A nossa questão de investigação foi subdividida em 4 (quatro) subquestões, para que fiquem claros os caminhos da pesquisa:
a) Como a habilidade de visualização das figuras espaciais: planos, cilindros e quádricas contribui para o desenvolvimento do pensamento geométrico?
b) Como a utilização das seções transversais das superfícies podem contribuir para a visualização das mesmas?
c) Como a articulação entre as representações algébrica e geométrica pode contribuir para o desenvolvimento do processo de ensino-aprendizagem de planos, cilindros e quádricas na disciplina Geometria Analítica?
d) De que forma a utilização de um software contribui para o desenvolvimento da habilidade de visualização de figuras tridimensionais?
Para responder às questões levantadas na nossa investigação e alcançar os objetivos propostos nesta, elencamos os objetivos gerais e específicos que serão apresentados a seguir.
1.3 Objetivos
1.3.1 Objetivo geral
Propor atividades que possibilitem, ao estudante do primeiro período do curso de Licenciatura em Matemática, desenvolver a habilidade de visualização e representação de planos, cilindros e quádricas, utilizando as mídias “lápis e papel” e recursos computacionais.
1.3.2 Objetivos específicos
a) Verificar em livros didáticos de Matemática, Geometria Analítica e Cálculo Diferencial e Integral, como ocorre a abordagem metodológica dos conteúdos: planos, cilindros e quádricas;
b) elaborar e testar uma sequência didática de atividades que desenvolva o pensamento geométrico, interligado aos aspectos teóricos e práticos de planos, cilindros e quádricas;
c) articular as representações algébrica e geométrica no desenvolvimento do processo ensino-aprendizagem de planos, cilindros e quádricas;
d) explorar as interseções de planos com superfícies cilíndricas e quádricas para construção dessas superfícies e análise de suas curvas de níveis;
e) selecionar e analisar a utilização de um software matemático no desenvolvimento da sequência didática, para verificar a viabilidade de utilização desse no processo de ensino-aprendizagem de planos, cilindros e quádricas.
1.4 Estrutura da dissertação
A estrutura dessa dissertação é constituída por seis capítulos, incluindo essa introdução e as considerações finais.
No capítulo 2, apresentamos uma revisão bibliográfica sobre o ensino-aprendizagem de geometria, especificamente com relação à visualização e ao pensamento geométrico, abordando a relação de nossa pesquisa com os níveis do desenvolvimento do pensamento geométrico do modelo de Van Hiele. Apresentamos, ainda, pesquisas realizadas sobre as dificuldades inerentes ao ensino da geometria, bem como sobre a habilidade de percepção espacial e/ou visual e a habilidade de desenho. Também, nesse capítulo, enfatizamos a importância da informática educativa no estudo de figuras espaciais, principalmente no que se refere ao uso de softwares de geometria dinâmica no processo de ensino-aprendizagem de planos, cilindros e quádricas.
No capítulo 3, apresentamos os procedimentos metodológicos de nossa pesquisa, destacando a metodologia utilizada; considerações acerca da análise do conteúdo de planos, cilindros e quádricas em livros didáticos; a escolha do software apropriado, evidenciando o uso do Winplot. Ainda, nesse capítulo, tecemos considerações acerca da elaboração das atividades propostas, ressaltando o planejamento das mesmas, o campo e os sujeitos da pesquisa. Sintetizamos a aplicação e análise das atividades, destacando o produto desta dissertação.
No capítulo 4, abordamos a elaboração das atividades, apresentando as três sequências didáticas de atividades propostas (planos, cilindros e quádricas).
A implementação das sequências didáticas e a análise dos dados obtidos são discutidos no capítulo 5, onde buscamos compreender como ocorreu o processo de visualização, traçado e interpretação algébrica das superfícies em estudo.
A seguir, apresentamos o capítulo 6, constituído pelas Considerações Finais de nossa pesquisa, onde procuramos refletir sobre as contribuições que a metodologia proposta trouxe para o processo ensino-aprendizagem das superfícies no espaço: planos, cilindros e quádricas.
O produto final de nossa pesquisa é composto de:
a) um caderno de atividades, composto por três sequências de atividades elaboradas, aplicadas e analisadas durante o desenvolvimento da pesquisa (APÊNDICE desta dissertação);
b) um livro didático – em co-autoria – contemplando os tópicos: “Planos, Cilindros e Quádricas” com atividades e proposta da utilização do software Winplot.
2 O ENSINO E APRENDIZAGEM DE PLANOS, CILINDROS E QUÁDRICAS
2.1 O processo ensino-aprendizagem de Geometria: Visualização e Pensamento Geométrico
O ensino de geometria tem sido pautado ainda tradicionalmente com definições e demonstrações de propriedades no tratamento formal de conceitos.
Partindo de uma proposta mais progressista, Nasser (1994) e Viana (2000) investigam o desenvolvimento do pensamento geométrico. Essas autoras analisaram e divulgaram no Brasil o modelo de Van Hiele que, segundo Nasser e Sant‟Anna (2004), defende o desenvolvimento da assimilação do conhecimento geométrico dos estudantes a partir de um reconhecimento das figuras geométricas de um nível básico até a percepção dos aspectos formais da dedução rigorosa, passando por níveis intermediários.
Embora o modelo de Van Hiele seja mais utilizado no nível básico de ensino, entendemos que esse também pode ser utilizado no nível superior, de maneira similar, para contribuir com estratégias para minimizar as dificuldades apresentadas na aprendizagem de tópicos de geometria. Pois, também no ensino superior, a aprendizagem de conceitos geométricos ocorre por níveis de compreensão – os estudantes atribuem significado a um conceito básico de forma gradual, observando regularidades e produzindo generalizações.
Na pesquisa ora apresentada, tratamos especialmente dos 3 (três) primeiros dos 5 (cinco) níveis de Van Hiele, isto é, níveis de reconhecimento, análise e abstração, com o tratamento gráfico das figuras espaciais: planos, cilindros e quádricas. Apresentamos, a seguir, a descrição de cada um dos três primeiros níveis citados, com base na concepção de vários autores que desenvolveram pesquisas referentes ao modelo de Van Hiele.
a) 1º nível – reconhecimento: trata da visualização das figuras. As figuras geométricas são compreendidas através de sua comparação, nomenclatura e por sua aparência global. As mesmas são comparadas com objetos do cotidiano;
b) 2º nível – análise: as figuras são analisadas em termos de seus conceitos geométricos, evidenciando seus elementos e suas propriedades geométricas. Os conceitos e as propriedades são utilizados na resolução de problemas;
c) 3º nível – abstração: nesse nível, há uma percepção da necessidade de uma definição precisa e de que uma propriedade pode decorrer de outra. Ficam presentes a argumentação lógica informal e ordenação de classes de figuras geométricas, proporcionando a compreensão dos significados e das definições, em busca da construção do pensamento geométrico.
Passando por esses níveis, também o estudante do ensino superior estará desenvolvendo habilidades para contribuir com o seu pensamento geométrico e facilitar o aprendizado de tópicos relacionados com geometria, que necessitam especialmente da habilidade de visualização.
A geometria se constitui de um conjunto de conhecimentos fundamentais para a compreensão do espaço e das figuras que representam objetos utilizados no cotidiano, e, nesse sentido, é rica em possibilidades que proporcionam ao estudante comparar, relacionar, discutir, investigar, descrever e perceber características geométricas. Dessa forma, entendemos que a geometria pode proporcionar, ao estudante, o desenvolvimento de habilidades baseadas na observação e na experiência.
Assim,
[...] é necessário investigar diferentes formas de trabalhar a geometria para atingir um dos principais objetivos educacionais dessa disciplina: a capacidade de abstração espacial a partir de projeções nos espaços unidimensional, bidimensional e tridimensional. Tal competência se incrementa com atividades que possibilitam o desenvolvimento da habilidade de visualização para a formação do pensamento geométrico. (FERREIRA, 2010, p. 26).
Gravina (1996), ao retratar observações sobre as dificuldades inerentes ao aprendizado da geometria, apresenta a teoria proposta por Fischbein2, em que o objeto geométrico é tratado como tendo duas componentes: uma conceitual e outra figural. Nessa teoria, a componente conceitual expressa propriedades que caracterizam uma classe de objetos e a componente figural corresponde à imagem mental que associamos ao conceito.
A imagem mental está associada à visualização dos objetos. A pesquisa sobre visualização em Educação Matemática, conforme retrata Villarreal (1999, p.35) “é extensa e tem sido associada à habilidade espacial, ao conceito de imagery (refere-se a imagens mentais), às representações gráficas e também à intuição”.
2 FISCHBEIN, E. The theory of figural concepts. Educational Studies in Mathematics, Kluwer Academic Publishers, p. 139-162, fev. 1993.
Miranda (2010, p. 33) que trabalha, em sua pesquisa, na perspectiva da aprendizagem significativa, ao tratar da simulação e visualização nas relações de ensino e aprendizagem, destaca que “o termo visualização é empregado por diversos autores com base nas similaridades e diferenças encontradas nas demais definições da literatura”. Nesse trabalho, são retratadas definições de visualização de Arcavi (2003), Machado (2008), Barbosa (2009), Frota (2009), dentre outros. Dentre as definições apresentadas, destacamos:
Visualizar não é o mesmo que ver. [...] visualizar é desenvolver uma habilidade para criar imagens mentais daquilo que o indivíduo manipula. Nisto estimula a sua mente para diferentes representações do conceito e, se necessário, utiliza papel e lápis, o visor da calculadora ou a tela do computador, para explorar, analisar e compreender a ideia Matemática em questão. (MACHADO, 2008, p.10).
A visualização é habilidade de interpretar e entender a informação figural e a capacidade de conceitualizar e transladar relações abstratas e informações não figurais (representações) em termos visuais. Podem-se distinguir, assim, dois processos: interpretação da informação visual e a geração de imagens visuais de informações não figurais (representações). (BARBOSA, 2009, p.60).
Visualizar é um processo de criar e/ou interpretar e registrar ideias e imagens, que por sua vez podem desencadear novas ideias e imagens. Nessa perspectiva, a visualização é parte do conjunto de processos de fazer Matemática, ao lado da intuição, criação, abstração, formalização, comunicação, entre outros, podendo ao mesmo tempo impulsionar o desenvolvimento de tais processos. (FROTA, 2009, p.4).
Com base no estudo das definições de visualização apresentadas pelos vários autores, destacamos que a visualização é uma aptidão que está relacionada com a habilidade de gerar uma imagem mental, promover diversas transformações com objetos e reter alterações produzidas sobre o mesmo. Tal habilidade é facilitadora para a compreensão geométrica, pois promove a capacidade de transformar mentalmente o objeto.
A visualização como observação das formas geométricas constitui-se em espaço que exige a descrição e a comparação destas, resgatando as suas semelhanças e diferenças, possibilitando a construção da imagem mental. Dessa forma, o estudante terá mais facilidade de pensar o objeto geométrico, na sua ausência, reconhecendo suas características, sejam conceituais, sejam de traçado geométrico.
Junto à linguagem verbal e escrita, a visualização figural facilita a compreensão conceitual na matemática, pois o mundo visual criado pela capacidade de percepção do homem é um espaço de objetos. Assim, a habilidade de visualização possibilita aos estudantes a criação de campos conceituais, de forma a permitir a formação de estruturas do pensamento
geométrico, sejam elas no campo sensório-motor, no pré-operacional, no campo das operações concretas ou no das operações formais.
O processo ensino-aprendizagem em geometria, em geral, inicia-se pelo reconhecimento de espaços e figuras, quando o estudante vai familiarizar-se com o mundo das formas, figuras e movimentos, antes de atingir a capacidade do uso da simbologia, do formalismo e da dedução rigorosa das demonstrações. Pois o estudante aprende a geometria ao reconhecer os espaços e suas figuras, percebendo um mundo visual com formas, tamanho, posição e ordem.
Nos cursos universitários, as resoluções de certos problemas também se iniciam pelo reconhecimento da representação geométrica de uma dada situação. Não somente em cursos relacionados à área de exatas como também em outros cursos como, por exemplo, na Química, ao reconhecer a forma geométrica das moléculas; na Geografia, ao analisar mapas; dentre outras áreas.
O trabalho realizado por Gobert3, citado em Flores, denota que a importância da visualização no ensino da geometria ainda é merecedora de investigações. Nesse trabalho, a autora retrata que as pesquisas nesse domínio evidenciam, e isso não importa o nível de escolaridade, as dificuldades que os alunos têm para fazer corresponder um objeto do espaço com sua representação plana: “trata-se de dificuldades em mudar ou articular diferentes pontos de vista sobre um mesmo objeto; em sair das representações estereotipadas; em visualizar planos de seções numa representação em perspectiva.” (GOBERT, apud FLORES, 2003, p. 27).
O estudante adquire a capacidade de abstração espacial a partir de projeções nos espaços do unidimensional para o bidimensional e para o tridimensional. A aquisição dessa competência se faz com atividades que possibilitam a formação do pensamento geométrico, passando por vários níveis da identificação das figuras e seus espaços até a dedução rigorosa das demonstrações pelos teoremas.
Del Grande procura fazer relações entre a percepção espacial e a geometria, citando Hoffer4 que argumenta:
Ao que parece, a habilidade de percepção visual e os conceitos de geometria podem ser aprendidos simultaneamente, uma vez que a geometria exige que o aluno
3
GOBERT, Janice D; Barbara C. Buckley. Introduction to model-based teaching and learning in science education. International Journal of Science Education. Special issue editorial, p.891-894, set. 2001.
4 HOFFER, Alan R. Mathematics Resource Project: Geometry and Visualization. Palo Alto: Creative Publications, 1977.
reconheça figuras e suas propriedades. A geometria informal poderia ser ensinada facilmente e incluída num programa de percepção visual, de modo a melhorar a percepção visual do aluno. (HOFFER, apud DEL GRANDE, 1994, p. 156).
Desenhar figuras e diagramas facilita a aprendizagem de geometria e facilita a passagem gradual do concreto ao abstrato, da intuição à dedução. A importância das representações externas (figuras) leva à representação mental de um objeto, que pode guardar boa parte das características dos mesmos. A habilidade visual e a habilidade de desenho contribuem para a compreensão dos conceitos em geometria, constituindo o pensamento geométrico.
Wheller5, citado por Pavanello, afirma que a formação do estudante pode ser favorecida pelo ensino da geometria, na medida em que esse contribui para o desenvolvimento de um tipo „particular de pensamento‟, que busca novas situações, sendo sensível aos impactos visuais e refletindo sobre eles, caracterizando o estilo hipotético-dedutivo do pensamento geométrico.
Assim, a geometria é a investigação do „espaço intelectual‟, “melhor que o estudo do espaço, a geometria é a investigação do „espaço intelectual‟, já que, embora comece com a visão, ela caminha em direção ao pensamento, indo do que pode ser percebido para o que pode ser concebido. (WHEELER apud PAVANELLO, 2004, p. 1).
Viana apresenta cinco habilidades geométricas básicas: visual, verbal, gráfica, lógica e aplicações, destacadas por Hoffer6. Tais habilidades geométricas referem-se às maneiras que o estudante utiliza para demonstrar os conceitos geométricos que possui.
No nível básico, parece que a habilidade mais considerada pela teoria é a visual (para reconhecer as figuras); no segundo nível, talvez a verbal (uma vez que os alunos deveriam, para análise, descrever propriedades, além de reconhecê-las); nos níveis seguintes, a habilidade lógica para incluir classes de figuras e deduzir teoremas. (VIANA, 2000, p. 49).
Baseamos nossa pesquisa nesse referencial teórico, propondo o trabalho com a habilidade visual (reconhecimento das superfícies trabalhadas) e verbal (descrição de algumas propriedades das superfícies).
5
WHEELER, D. Imagem e pensamento geométrico. In: CIEAEM - Comtes Rendus de 1a a 33e Rencontre Internationale, 1981, Pallanza. Anais… Pallanza, 1981. p.351-353.
2.2 Ensino e aprendizagem de Planos, Cilindros e Quádricas
Nesta seção, partiremos de alguns aspectos teóricos relacionados ao ensino da geometria na educação básica para identificar dificuldades desse ensino que influenciam o processo de ensino-aprendizagem de Geometria Analítica, no nível universitário. Em particular, abordaremos as dificuldades do estabelecimento das relações entre questões visuais e analíticas no estudo das superfícies: planos, cilindros e quádricas.
Na literatura científica especializada, encontramos referência ao pensamento aritmético, ao pensamento algébrico e ao pensamento geométrico, que são fundamentais para a compreensão conceitual e a formalização em Matemática. Habilidades e competências são trabalhadas para explorar, conjecturar e raciocinar logicamente. Nesse estudo, a ênfase está centrada no pensamento geométrico. Almouloud e outros, baseados na teoria de Duval7, apresentam formas de processo que envolvem a geometria:
A geometria envolve três formas de processo cognitivo que preenchem específicas funções epistemológicas: visualização para exploração heurística de uma situação complexa; construção de configurações, que pode ser trabalhada como um modelo em que as ações realizadas e os resultados observados são ligados aos objetos matemáticos representados; raciocínio, que é o processo que conduz a prova e explicação. (ALMOULOUD, 2004, p. 98).
Assim, esses três processos cognitivos se integram para eficácia do aprendizado da geometria. Entretanto, a iniciação da aprendizagem da geometria no ensino fundamental, na escola básica, que também se estende ao ensino médio, não é realizada de forma satisfatória. “O ensino de geometria, em nossas escolas primárias, se reduz a fazer com que os nossos estudantes memorizem os nomes das figuras, os mapas geométricos e as fórmulas que servem para calcular áreas e volumes.” (PARRA; SAIZ, 1996, p. 250).
Desta forma, quando o estudante inicia seus estudos em Geometria Analítica, definida como integração da Álgebra e Geometria, figura e equação, há uma dificuldade de interpretação e análise, pois o desconhecimento de propriedades de geometria plana e espacial prejudica a compreensão dos tópicos relacionados a essa disciplina.
7
DUVAL, Raymond. Sémiosis et pensée humaine: registres sémiotiques et apprentissages intellectuels. Bern: Peter Lang, 1995.
Segundo Laudares e Miranda (2006), as relações que acontecem a partir da análise da variação dos parâmetros da equação e a consequente mudança do gráfico no espaço não são percebidas se o estudante não domina conceitos geométricos fundamentais.
A falta desses conhecimentos fundamentais também pode acarretar dificuldades na visualização de objetos geométricos com representação bidimensional e tridimensional. É necessário fazer interpretações das equações quanto as suas variáveis e parâmetros, se considerarmos as figuras representadas nos diversos espaços.
A simples apresentação das equações das figuras espaciais, especificamente os planos, cilindros e quádricas e seus gráficos, não propiciam a visualização das figuras e a relação destas com suas equações.
Corroboramos com o pensamento de Atiyah8, citado por Pavanello (2004), ao ressaltar que o papel da geometria não irá diminuir o foco na álgebra. É necessário desenvolver tanto o pensamento visual, dominante na geometria; quanto o sequencial, preponderante na álgebra, uma vez que os dois são essenciais para o processo ensino-aprendizagem da geometria.
Assim, salientamos que é necessário, portanto, estabelecer um equilíbrio entre o ensino da álgebra e geometria fazendo uma inter-relação entre elas, o que é imprescindível no desenvolvimento do processo de ensino-aprendizagem da Geometria Analítica.
Os conceitos desenvolvidos na disciplina Geometria Analítica têm aplicação direta em outras disciplinas, como é o caso do Cálculo Diferencial e Integral. A aplicação de conceitos de Geometria Analítica ocorre no estudo das funções de várias variáveis, na sua representação gráfica, em seu domínio, no cálculo de volume, no momento de inércia, no centro de gravidade, entre outros. Algumas áreas específicas do Cálculo baseiam-se amplamente em representações geométricas.
Para atender aos objetivos de outras disciplinas desenvolvidas na Licenciatura em Matemática, é necessário que o estudante tenha um domínio dos conceitos relacionados à Geometria Analítica, como o estudo dos sólidos, estabelecendo as conexões entre as representações geométrica e algébrica.
Vale ressaltar que são cada vez maiores os indícios de que as dificuldades encontradas pelos estudantes no estudo do Cálculo Diferencial e Integral se devem, em grande parte, a uma formação deficiente em geometria. Como exemplo, citamos Nasser, ao relatar pesquisa realizada com alunos na disciplina de Cálculo: “[...] as dificuldades vão desde retas e planos
8
no IR3, acentuando-se no traçado de curvas e superfícies no espaço tridimensional.” (NASSER, 2009, p. 53).
Para melhor compreensão de propriedades dos planos, cilindros e das quádricas e domínio de visualização de seus gráficos, é importante o traçado do esboço do gráfico em diversas posições e constituição de sólidos construídos a partir de figuras espaciais, tais como cubo, paralelepípedo, prisma, pirâmide, porção de cilindros de vários tipos, paraboloides, hiperboloides, esferas, dentre outros. Exploração de figuras limitadas nos octantes, resultantes de interseções de uma quádrica ou um cilindro com um plano, entre muitas outras criadas pelos próprios estudantes.
Ferreira (2010), em sua dissertação, empregou uma metodologia de exploração de “vistas” e “perspectivas” de uma figura no espaço tridimensional. Partiu do princípio que o estudante faz a representação mental da figura (o todo) a partir das vistas (as partes).
Já nas figuras esboçadas pelos estudantes, na proposta de trabalho ora apresentada, o método constituiu de visualização da figura, a partir de seções transversais obtidas pela interseção de um plano com a figura no espaço tridimensional.
2.3 A informática educativa no estudo de figuras espaciais
O processo ensino-aprendizagem tem sido reformulado em mudanças, especialmente a partir das novas tecnologias da informação e comunicação, como a Internet e o computador, com os softwares educativos, buscando promover mediação entre professor/aluno, aluno/aluno.
Nesse contexto, o docente necessita buscar procedimentos metodológicos que utilizem essas novas tecnologias, a fim de propiciar uma maior interação e envolvimento com as múltiplas possibilidades existentes, buscando a apropriação de novos conhecimentos, habilidades e atitudes advindas dessa nova realidade.
Especialmente, os softwares de geometria dinâmica proporcionam possibilidades de exploração e experimentação pelo movimento das figuras, facilitando a visualização e a compreensão de propriedades das figuras planas e espaciais nos espaços de duas e três dimensões.
O uso de softwares educativos tem uma evolução significativa, principalmente com a produção de softwares livres de qualidade.
Para Valente, a manipulação do software traz crescente facilidade de aprendizagem, pois, “quando o aprendiz está interagindo com o computador, ele está manipulando conceitos da mesma maneira que ele adquire conceitos quando interage com objetos do mundo.” (VALENTE, 1993, p.32).
Já Moran defendeu a integração das novas tecnologias na escola de forma inovadora: Cada docente pode encontrar sua forma mais adequada de integrar as várias tecnologias e os muitos procedimentos metodológicos, mas também é importante que amplie, que aprenda a dominar as formas de comunicação interpessoal/grupal e as de comunicação audiovisual/telemática. (MORAN, 2000, p.32).
Do professor, não se exige uma mudança radical da metodologia, pois, conforme Moran:
Podemos transformar uma parte das aulas em processos contínuos de informação, comunicação e pesquisa, por meio das quais vamos construindo o conhecimento equilibrando o individual e o grupal entre o professor-coordenador-facilitador e os alunos-participantes ativos. Aulas-informação, nas quais o professor mostra alguns cenários, algumas sínteses, o estado da arte, as coordenadas de uma questão ou tema. Aulas-pesquisa, nas quais professores e alunos procuram novas informações, cercar um problema, desenvolvem uma experiência, avançam em um campo desconhecido. (MORAN et al, 2000, p.46,47). (grifos nossos).
Desta forma, há uma diversificação de métodos de aula, servindo de motivação aos estudantes. Concordando com esses autores, Borba e Penteado enfatizam que:
Entendemos que uma nova mídia, como a informática, abre possibilidades de mudanças, dentro do próprio conhecimento e que é possível haver uma ressonância entre uma dada pedagogia, uma mídia e uma visão de conhecimento. (BORBA; PENTEADO, 2003, p.45).
A informática deve ser entendida como uma nova extensão de memória, a ser desafiada com outros tipos de raciocínio além da linearidade, pela simulação, experimentação, com nova linguagem, que envolva escrita, oralidade, imagem e comunicação instantânea. (LÉVY, 1993).
Segundo Valente (1993), o computador é um instrumento educacional e não um meio que ensina o aprendiz, mas uma ferramenta com a qual o estudante desenvolve um aprendizado que ocorre quando uma tarefa é realizada com o computador.
A dificuldade dos alunos em visualizar uma figura espacial pode ser atenuada com a exploração dessa em diferentes posições e com diversificação de possibilidades de representação. Assim como afirma Scheffer e outros:
A investigação matemática com as tecnologias de interface pode ser vista como ato de explorar diferentes modos e experimentar inúmeras variações, principalmente a construção geométrica e no estudo de funções a partir da representação gráfica, além de questionar a intuição, na busca de argumentos para validação de conjecturas. (SCHEFFER et al, 2010, p. 53).
A integração da mídia computacional com o traçado utilizando lápis e papel traz a possibilidade de uma melhor compreensão das figuras nos vários espaços, possibilitando, ainda, uma melhor interpretação da equação referente à mesma.
Visto que a Geometria Analítica trabalha com a equação e o gráfico, as mudanças dos parâmetros da equação favorecem a dinâmica e movimentação da figura. Nessas circunstâncias, os softwares de geometria dinâmica favorecem uma melhor visualização e, consequentemente, o desenvolvimento da habilidade de manipulação nos espaços, especialmente, bidimensional e tridimensional.
O ambiente geométrico dinâmico, que propicia o movimento e múltiplas representações das figuras, é facilitador para a descoberta, pelos estudantes, de propriedades e relações geométricas ao estabelecerem e explorarem conjecturas e ao verificar sua validade.
O uso do “ambiente geométrico dinâmico” no contexto escolar tem um papel fundamental, pois não é possível separar a atividade, as pessoas que atuam e as respectivas interações e os instrumentos mediadores dessa ação. O computador como facilitador da atividade, funciona como estrutura mediadora, organizando-a simultaneamente.
As sequências didáticas de atividades foram elaboradas a partir do referencial teórico contemplado neste capítulo, sendo implementadas para os estudantes da Licenciatura em Matemática. Na discussão das atividades realizadas, buscaremos estabelecer as relações com as ideias apresentadas nesse referencial teórico.
3 PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS
3.1 Metodologia
Nossa proposta metodológica é o desenvolvimento dos tópicos do programa da disciplina Geometria Analítica: planos, cilindros e quádricas, por meio de atividades que desafiem a curiosidade, evitando, assim, que o professor utilize o tempo em sala de aula apenas com atividades rotineiras e automáticas, o que pode desmotivar os estudantes e prejudicar o desenvolvimento intelectual dos mesmos.
Nesse sentido, conforme evidenciado em várias pesquisas, para que o estudante tenha motivação para o estudo, é necessário que ele atue na construção do seu próprio conhecimento, através de uma participação mais ativa na construção e elaboração de atividades. Essa atuação possibilitará, ao estudante, o desenvolvimento de sua criatividade, liberdade e espírito empreendedor.
O ensino da geometria, bem como o relato de experiências de ensino de geometria, em um contexto geral, começa a recuperar sua importância no final dos anos 80, em que começam a ser discutidas e publicadas normas dedicadas à geometria numa visão renovada de ensino desse tema, também, tendências didático-pedagógicas para o ensino de geometria.
Estudos, como o de Andrade e Nacarato (2004), comprovam essa realidade. Esses fazem uma abordagem histórico-bibliográfica que identifica e analisa as atuais tendências didático-pedagógicas para o Ensino de Geometria no Brasil, no período de 1987 a 2001, publicadas nos Anais dos Encontros Nacionais de Educação Matemática (ENEMs), evento que é considerado, logo depois do Seminário Internacional de Pesquisa em Educação Matemática (SIPEM), realizado em 2000, como a instância máxima de discussão e circulação das produções acadêmicas da área.
Veloso (2000) relata que, em março de 1990, foi realizado nos Estados Unidos um Seminário nomeado de “Geometry´s Future” para analisar a situação do ensino da geometria e fazer sugestões para a sua revitalização. Uma das recomendações propostas nesse Seminário retrata que o pensamento e o raciocínio visuais devem ser encorajados, além de propor a utilização de programas de computador, tanto como ferramentas para investigações, como para a construção de conceitos.
A exploração em computador de figuras bi e tridimensionais, geometria no espaço, conforme registra Veloso (2000), são tópicos citados nas normas do National Council of
Teachers of Mathematics (1989)9, que ainda focaliza, de forma mais específica, que a geometria analítica não deve ser tratada como tema isolado.
Nesse contexto, pretendemos, também, colaborar no ensino da geometria, pois corroboramos com o que retrata Andrade e Nacarato (2004, p.1): “ao nos referirmos a tendências didático-pedagógicas em Geometria estamos entendendo-as como um modo de produzir conhecimentos geométricos na sala de aula e para a sala de aula.”
As atividades propostas possibilitarão ao estudante o desenvolvimento do pensamento geométrico no trabalho com planos, cilindros e quádricas, especialmente no traçado de seus gráficos.
O abandono do ensino da geometria e dos aspectos relevantes de visualização dos objetos tridimensionais contribuiu para que os professores trabalhassem os tópicos de geometria de forma mais axiomática e, ainda, contribuiu para que os autores de livros didáticos fizessem abordagens apenas de maneira tecnicista e algébrica. Percebemos que, em muitos casos, o professor e o próprio livro didático perdem a oportunidade de aliar álgebra/geometria, visando a um aprendizado mais significativo através da ressignificação de conceitos da geometria a partir da álgebra e vice-versa.
Com o objetivo de elaborar uma metodologia diferenciada para o ensino de superfícies no espaço – planos, cilindros e quádricas – em que possa ser explorada a visualização e o traçado dessas superfícies, esta pesquisa se apresenta com uma abordagem qualitativa. Essa abordagem favorece o entendimento e interpretação detalhada dos dados, na verificação das contribuições apresentadas pela estratégia de trabalho proposta.
Segundo D‟Ambrosio:
a pesquisa qualitativa, também chamada de pesquisa naturalística, temo como foco entender e interpretar dados e discursos, mesmo quando envolve grupos de participantes. [...] Ela depende da relação observador-observado. [...] A sua metodologia por excelência repousa sobre a interpretação e várias técnicas de análise de discurso. (D´AMBROSIO, 2004, p.10).
A pesquisa constituiu-se de análise de livros didáticos, identificação de software computacional apropriado para realização das atividades, elaboração de sequência didática de atividades, aplicação da sequência de atividades, análise dos resultados, elaboração de um
9 NATIONAL COUNCIL OF TEACHERS OF MATHEMATICS. Curriculum and evaluation standards for school mathematics. Lisboa: APM e IIE, 1991.
caderno de atividades e, por fim, reformulação de um livro de quádricas, em parceria com o orientador desta pesquisa.
A sequência didática de atividades proposta foi aplicada em um ambiente de sala de aula, que constitui o ambiente acadêmico, favorecendo a relação entre os sujeitos da pesquisa e o pesquisador, proporcionando a interação entre eles e o foco de estudo. Nesse contexto, o pesquisador não apenas faz a coleta dos dados, mas também conhece mais profundamente os sujeitos, de forma a compreender melhor os fatores que influenciam no aprendizado do tema em estudo.
Dessa forma, buscamos um referencial teórico para a elaboração das atividades, destacando pesquisas produzidas no Brasil, que tratam das dificuldades de visualização de figuras tridimensionais no ensino da geometria, tendências didático-pedagógicas para o ensino de geometria e propostas de atividades de geometria analítica, com o uso de softwares computacionais.
Os métodos utilizados nessa pesquisa foram: análise documental correspondente ao estudo dos tópicos Planos, Cilindros e Quádricas em obras de Geometria Analítica e Cálculo; elaboração, aplicação e avaliação de uma sequência didática de atividades.
A metodologia, ora proposta, mostra-se inovadora, pois intercala atividades que envolvem as mídias “lápis e papel” e o ambiente computacional. As atividades são desenvolvidas de forma a articular o trabalho manual com ferramentas informatizadas, utilizando o software computacional Winplot.
Assim, pretendemos que os estudantes desenvolvam a habilidade de visualização que, conforme Villarreal, citando Zimmermann e Cunningham10, assinala:
A visualização em Matemática é o processo de formar imagens (seja mentalmente, com lápis e papel, seja com ajuda de tecnologia) e empregá-las com a finalidade de atingir uma maior compreensão matemática e estimular o processo de descobrimento matemático. (ZIMMEMANN ; CUNNINGHAM, apud, VILLARREAL, 1999, p. 37).
Foram utilizados elementos das sequências didáticas propostas por Zabala (1998) que visam manter unidade na prática educativa com três fases de uma intervenção reflexiva: planejamento, aplicação e avaliação.
10 ZIMMERMANN, W. Visual Thinking in Calculus. In: ZIMMERMANN; W. CUNNINGHAM, S. Visualization in teaching and learning Mathematics. Washington: Mathematical Association of America, 1991, p. 127-138.
