Atividade 2: Cilindros

Nesta atividade, também exploramos, de forma intensa, a relação entre a equação da superfície e sua representação geométrica, uma vez que muitos estudantes apresentam dificuldades em lidar com as diversas representações gráficas e algébricas de curvas.

Os tópicos abordados na atividade são:

a) definição do cilindro, seus elementos e classificação; b) exploração da equação e da representação geométrica; c) traçado das superfícies manual e computacionalmente;

c) traçado de figuras geométricas a partir de cilindros com limitação de planos; d) exploração das simetrias existentes;

A metodologia utilizada consiste em, inicialmente, propor atividades que proporcionam ao estudante o entendimento das definições iniciais sobre cilindro, seus elementos e classificação. A seguir, descrevemos como a sequência didática sobre o estudo dos cilindros foi planejada.

Item 1: Conhecendo o Cilindro

O item 1 da atividade: “Conhecendo o Cilindro”, aborda os aspectos referentes aos elementos dos cilindros. A seguir, apresentamos um trecho desse item:

1. Conhecendo o Cilindro

Quadro 6: Fragmento da atividade. Definições iniciais do cilindro. Item 1, Atividade 2. Fonte: LAUDARES e MIRANDA, 2006, p. 21.

Ainda no item 1 dessa atividade, exploramos a classificação dos cilindros quanto à sua geratriz (retos ou oblíquos), quanto à forma de sua diretriz (parabólico, elíptico, circular, hiperbólico) e quanto à forma da sua equação: quádricos (apresenta pelo menos uma variável de 2º grau e as outras de 1º grau), não quádricos.

A partir daí, apresentamos as equações de cilindros retos, para que o estudante faça o esboço dos gráficos manualmente, seguindo passos orientados e, em seguida, computacionalmente, usando o software Winplot.

Os objetivos da sequência de atividades sobre cilindros são:

1) Estudar a constituição do cilindro, analisando sua definição e seus elementos: diretriz, geratriz;

2) verificar a classificação dos cilindros quanto à sua forma a partir da:

O Cilindro é uma superfície em 3gerada por uma reta que se move ao longo de uma curva plana, de tal forma que permanece sempre paralela a

uma reta fixa, não situada no plano da curva dada.

d: diretriz – curva percorrida.

g: geratriz - reta móvel que percorre a curva, paralela à reta r.

2.1) geratriz: cilindros retos e oblíquos;

2.2) diretriz: cilindros parabólicos, elípticos, circulares, hiperbólicos e outros; 2.3) equação: cilindros quádricos e não quádricos;

3) traçar gráficos (manual e computacionalmente);

3.1) identificar a representação da equação diretriz no plano; 3.2) identificar representação do cilindro no espaço;

3.3) identificar variáveis livres;

3.4) gerar figuras com forma de cilindros e com limitação de planos; 4) manipular comandos no software Winplot.

As atividades se constituem de uma sequência didática para melhor desenvolvimento dos tópicos a serem trabalhados, em que partimos das definições iniciais, passando pela representação bidimensional das curvas que geram o cilindro e chegando até a representação tridimensional.

Item 2: Traçando gráficos das superfícies cilíndricas

No item 2 dessa atividade, são destacados os cilindros: circulares, elípticos, parabólicos e hiperbólicos. Para cada um dos tipos de cilindros, destacamos sua equação geral, o esboço da curva no plano, o esboço do gráfico no espaço e a plotagem do mesmo no

software Winplot.

Por exemplo, no item 2.1 dessa atividade, em que exploramos o cilindro circular, propomos, após a definição dessa superfície, o esboço do cilindro de equação x2 y2 4, definindo os passos a serem seguidos para o desenvolvimento da atividade, conforme destacamos a seguir:

(continua) 2. Traçando os gráficos das Superfícies Cilíndricas

2.1 Cilindro Circular

2.1.1 Esboçar, no papel, o cilindro circular com geratrizes paralelas a z:

a) Esboce o gráfico da curva de equação x2 y2 4 no plano xy.

No plano xy a circunferência de centro na origem e raio r tem equação do tipo x2 y2 r2 .

(conclusão) Que curva essa equação representa?

b) No 3, esboce o cilindro, usando a curva dada no item anterior. Observe que teremos como variável livre a variável z.

Que equações representam o cilindro gerado?

c) Plote no software Winplot o cilindro esboçado anteriormente.

Use as opções: EQUAÇÃO  IMPLÍCITA  (Aumente as dimensões do BOX.)  OK Clique em NÍVEIS  AUTO  MANTER MUDANÇAS.

d) Observando o cilindro traçado no Winplot, registre no papel os seguintes gráficos, no 1º octante:

d.1) Trace a porção do cilindro limitada pelo plano z = 6, no 1º octante. d.2) Trace as curvas de níveis observadas.

d.3) Variando o valor de z, que tipo de figura obtém-se nos planos paralelos a xy? d.4) Trace o sólido resultante, no 1º octante, da interseção do cilindro com o plano z=6. (Hachure com cores diferentes os contornos visíveis das superfícies).

Quadro 7: Fragmento da atividade. Traçado do cilindro de equação x2 y2 4. Item 2.1. Atividade 2. Fonte: Dados da pesquisa.

Na sequência da atividade, solicitamos que a superfície seja plotada no software Winplot. O estudante terá como resultado as seguintes figuras:

Ainda nesse item, é explorada a porção dos cilindros limitados por planos, apenas no 1º octante. Também aqui, o estudante deve esboçar o gráfico manual e computacionalmente.

Exploramos, ainda, as curvas de níveis paralelas aos planos coordenados e também o sólido resultante, no 1º octante, da interseção do cilindro com planos. O objetivo é que o estudante consiga produzir as seguintes imagens no software Winplot:

x y

Figura 7: Representação gráfica da equaçãox2 y2 4 no plano xy.

Fonte: Software Winplot.

Figura 8: Representação gráfica da equação 4

2 2

y

x no espaço cartesiano. Fonte: Software Winplot.

Para cada um dos cilindros explorados (circulares, elípticos, parabólicos e hiperbólicos), solicitamos que o estudante fizesse o esboço de outros cilindros com geratrizes paralelas aos outros eixos.

Por exemplo, no item 2.3 dessa atividade, solicitamos o esboço, manual e computacional, do cilindro parabólico de equação 2

2x

z . A seguir, apresentamos o resultado do esboço desse gráfico no software Winplot:

Figura 11: Representação gráfica do cilindro de equaçãoz 2x2.

Fonte: Software Winplot. Figura 9: Representação gráfica das curvas

de níveis do cilindro de equação 4

2 2

y

x .

Fonte: Software Winplot.

Figura 10: Representação gráfica do sólido formado pelo cilindro de equação

4 2 2 y x , no 1º octante, limitado pelo plano z 6.

Exploramos nessa atividade, a equação geral de cada cilindro, para que assim o estudante possa se familiarizar com essas equações e posteriormente saber relacionar as equações com as superfícies de forma correta. No item 2.5, exploramos as equações gerais de todos os tipos de cilindros abordados na atividade. Para tanto, geramos uma tabela que pudesse ser preenchida com as equações. A seguir, apresentamos o trecho da atividade com a solicitação das equações gerais dos cilindros:

2.5 Dar as equações gerais para os diversos tipos de cilindros quádricos, completando a tabela:

Considere um raio a.

Tipo de cilindro Geratrizes paralelas ao: Equação Geral

CIRCULAR Eixo z 2 2 2 a y x Eixo y Eixo x ELÍPTICO Eixo z Eixo y Eixo x PARABÓLICO Eixo z Eixo y Eixo x HIPERBÓLICO Eixo z Eixo y Eixo x

Quadro 8: Fragmento da atividade. Equações gerais dos cilindros. Item 2.5. Atividade 2. Fonte: Dados da pesquisa.

Dessa forma, esperamos que o estudante possa generalizar as equações dos cilindros e fazer uma relação destas com a sua representação geométrica, isto é, obter sua visualização pelo esboço da figura.

No item 2.6 dessa atividade, exploramos outros tipos de cilindros que não têm como curva diretriz uma cônica, os quais são denominados “cilindros não quádricos”.

2.6 Outros tipos de cilindros

Quadro 9: Fragmento da atividade. Definição dos cilindros não quádricos. Item 2.6. Atividade 2. Fonte: LAUDARES e MIRANDA, 2006, p. 30.

Pela definição, qualquer curva plana pode originar um cilindro. Vamos agora trabalhar com cilindros gerados por curvas diretrizes que não são cônicas.

Da mesma forma, partirmos do esboço da curva diretriz no plano, para posteriormente, explorarmos o traçado do gráfico no espaço tridimensional, manual e computacionalmente, conforme apresentamos nas figuras seguintes:

Ao final dessa atividade, trabalhamos com a equação geral da função 3

kx

z , com

k , e solicitamos que o parâmetro k fosse alterado. O objetivo dessa atividade é que o estudante possa observar que, à medida que o parâmetro k varia, o formato da curva vai-se modificando e, quando k=0, a superfície torna-se plana.

Nessa atividade, exploramos, ainda, a visualização de cilindros com outras curvas diretrizes, como por exemplo: z ey ; z senx; z logx; z x . Assim, o estudante poderá visualizar os gráficos, plotados no software Winplot, conforme ilustramos a seguir:

Figura 14: Representação gráfica do cilindro de equação z x no espaço cartesiano.

Fonte: Software Winplot.

x

y z

Figura 15: Representação gráfica do cilindro de equação z sen(x) no espaço cartesiano.

Fonte: Software Winplot.

x y

Figura 13: Representação gráfica da equaçãoy x3 no espaço xy.

Fonte: Software Winplot. Figura 12: Representação gráfica da

equaçãoy x3 no plano xy. Fonte: Software Winplot.

No final dessa atividade, trabalhamos com duas atividades complementares. A primeira delas tinha como objetivo a criação de superfícies cilíndricas compostas por porções de três tipos de superfícies, entre planos e cilindros, sendo que essa superfície deveria ser esboçada manual e computacionalmente no 1º octante.

Como exemplos, foram dados as equações 3 , 3 , 1 , 1 , 1 2 2 2 2 z y x y z x z y x e o esboço da

superfície, conforme ilustramos na figura a seguir:

A seguir, propusemos que o estudante desenvolvesse o esboço da superfície

representada pelas equações:

6 , 0 , 16 , 4 2 2 2 2 z z z y x z y x .

Para ativar e motivar a criatividade do estudante, solicitamos que esse montasse outra superfície, criando suas próprias equações.

A segunda atividade complementar, última atividade da sequência didática sobre cilindros, tem como objetivo traçar cilindros quádricos obtidos por uma cônica transladada. A seguir, apresentamos as representações gráficas obtidas no Winplot, seguidas das equações desses cilindros:

Figura 16: Representação gráfica do sólido gerado no 1º octante. Fonte: AGUIAR, 2008, p.32.