Análise de livro entre 1980 e 2009

A Lei de Diretrizes e Bases da Educação Brasileira (LDB), nº 9.9394/96, instituiu que o ensino secundário passaria a ter uma formação de quatro anos, denominada Ensino Fundamental, que atenderia aos alunos da 5ª série a 8ª série; e uma formação denominada Ensino Médio que atenderia aos três últimos anos de escolarização básica. No que se refere especificamente ao Ensino Médio,dizemos, fundamentados em Brasil (1999), que nesse nível de ensino:

a formação dos alunos deverá possuir um caráter geral em oposição à formação específica.A formação dos alunos deverá valorizar o desenvolvimento de capacidades de pesquisa, buscar informações, analisá-las e selecioná-las.Os alunos em formação deverão desenvolver a capacidade de aprender, criar, formular, ao invés do simples exercício de memorização (BRASIL, 1999, p.16). Com relação à Matemática no Ensino Médio, os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) descrevem que:

a Matemática no Ensino Médio não possui apenas o caráter formativo ou instrumental, mas também deve ser vista como ciência, com suas características estruturais específicas. É importante que o aluno perceba que as definições, demonstrações e encadeamentos conceituais e lógicos têm a função de construir novos conceitos e estruturas a partir de outros e que servem para validar intuições e dar sentido às técnicas aplicadas (BRASIL, 1999, p.252).

Nessa direção são muitos os desafios para o professor que ensina matemática, pois propor uma formação aos jovens que se aproxime das orientações descritas acima não é uma tarefa fácil e necessita de muitos materiais de apoio para desenvolvê-la. Diante disso, o livro didático passou a ter um espaço privilegiado nas escolas brasileiras. No que tange ao contexto das escolas públicas, houve uma conquista educacional muito forte com a Resolução nº 38, de 15 de outubro de 2003, que possibilitou aos alunos do ensino médio das escolas públicas brasileiras livros didáticos de Português e Matemática gratuitamente.

Art. 1º - Prover as escolas do ensino médio das Redes Estadual, do Distrito Federal e Municipal de livros didáticos de qualidade, para uso dos alunos, abrangendo os componentes curriculares de Português e Matemática por meio do Programa Nacional do Livro para o Ensino Médio _{– PNLEM (DIARIO OFICIAL DA UNIÃO,} 2003).

As regiões Norte e Nordeste foram as primeiras a serem contempladas com os livros de Matemática para os alunos do Ensino Médio. No primeiro ano de distribuição, em2005, foram entregues os livros da primeira série e nos anos seguintes foram entregues os livros da segunda e terceira série .A partir das informações do Fundo Nacional de Desenvolvimento da Educação (FNDE)21 sobre a distribuição dos livros didáticos nas regiões brasileiras, podemos observar que a coleção Matemática, em três volumes, do professor Luiz Roberto Dante, foi a obra com maior número de exemplares distribuídos nas região metropolitana de

Belém do Pará. Tratava-se de uma obra compilada de outra coleção, do mesmo autor, intitulada Matemática: contexto & aplicações. Os livros dessa coleção eram estudados nas escolas particulares que exercíamos a função de professor de Matemática para o Ensino Médio. Em síntese, é possível inferir que as obras do professor Luiz Roberto Dante tiveram no primeiro período de implantação do PNLEM-Matemática (2004-2009), na região metropolitana de Belém, uma representativa participação nas escolas públicas e particulares.

No PNLEM/2009, a obra Matemática de Dante é apresentada em volume único procurando manter as principais características das obras anteriores. A partir das informações obtidas na página do FNDE, na Internet, a obra do Dante em volume único passou a abranger, a partir de sua distribuição, que ocorreu em 2011, um número maior de escolas públicas – estaduais e federais – do município de Belém do Pará (cf. Anexo B). A síntese avaliativa sobre a obra no catálogo do PNLEM (2009) descreve que:

a obra, apresentada em volume único, destaca-se pela abordagem inovadora dada aos conteúdos normalmente estudados no ensino médio. Há constante preocupação de dispô- los segundo um encadeamento lógico que privilegia a integração harmônica entre seus tópicos, não os esgotando em único capítulo, mas retomando-os sob distintas perspectivas em outros capítulos. A obra, contudo, não trata de limites nem derivadas. Os conteúdos apresentados em cada capítulo são invariavelmente iniciados com uma situação-problema contextualizada por fatos cotidianos ou interdisciplinares. Em seguida, desenvolve-se sistematicamente a teoria necessária à análise daquela situação- problema, que é então aplicada para efetivamente fornecer a correspondente solução (BRASIL, 2009, p.56).

Por termos utilizado as obras do professor Luiz Roberto Dante em nossa prática docente e por entendermos que eram os principais livros utilizados por alunos e professores das escolas públicas e particulares de Belém do Pará, então optamos por realizar a análise praxeológica no conteúdo da Análise Combinatória, do livro Matemática: contexto & aplicações, segundo volume, de 2004. Diante do exposto, essa obra esteve presente tanto nas escolas particulares como nas públicas, por meio de suas compilações. Outro ponto que nos influenciou a escolha da obra de 2004 foi que observamos uma situação interessante em relação à definição do Princípio Multiplicativo na passagem da versão da obra de

2000 para versão da obra de 2004 e à análise crítica realizada na versão de 2000 por Lima et al.(2001).

Na versão de 2000, o Princípio Multiplicativo era definido da seguinte forma:

Se um evento é composto por duas etapas sucessivas e independentes de tal maneira que o número de possibilidades na 1ª etapa é m e o número de possibilidades na 2ª etapa é n, então o número total de possibilidades de o evento ocorrer é dado por m.n.(DANTE, 2000, p.395, grifo nosso).

Para Lima et al.(2001, p. 297),a definição estava posta de forma incorreta, pois o correto é informar que para cada possibilidade da primeira etapa existem m possibilidades para segunda etapa. Não temos informações consistentes que nos permitam afirmar a influência que o exame de textos escolares realizado por Lima et al.(2001) exerceu sobre a obra Matemática: contexto & aplicações, de 2004, mas observamos que o Princípio Multiplicativo passou a ser definido da seguinte forma:

Se um evento é composto por duas etapas sucessivas e independentes de tal maneira que o número de possibilidades na 1ª etapa é m e para cada possibilidade da 1ª etapa o número de possibilidades na 2ª etapa é n, então o número de possibilidades de o evento ocorrer é dado pelo produto m.n(DANTE, 2004, p.350).

Diante disso, acreditamos que a obra passou por uma revisão em seus elementos conceituais e metodológicos. Isto representou outro critério de escolha do livro Matemática: contexto & aplicações, de 2004.

Os objetos da Análise Combinatória são estudados no Capítulo 24, do livro do autor, iniciando com uma situação-problema, na qual o autor procura informar os alunos deque “problemas como esse envolvendo o cálculo de agrupamentos que podem ser feitos com os elementos de um ou mais conjuntos, submetidos a certas condições”. Nesta fala, podemos observar que um diferencial do já foi apresentado ao longo deste texto trata-se do termo “elementos do conjunto”. Outro aspecto interessante situa-se na segunda unidade do capítulo com a apresentação do Princípio Fundamental da Contagem e da árvore de possibilidade. A necessidade de um desenvolvimento das fórmulas do arranjo simples, da permutação simples e da combinação simples ainda é muito forte na

referida obra. A seguir apresentamos a análise praxeológica do Livro de Dante (2004).

A obra de Dante (2004) inicia o capítulo 14, intitulado _“Análise Combinatória_{”, com a apresentação de uma situação-problema(Figura 32), que o} autor utiliza somente para informar o leitor deque se trata de uma classe de problemas que “envolvem o cálculo do número de agrupamentos que podem ser feitos com os elementos de um conjunto, submetidos a certas condições”(DANTE, 2004, p.348). Com isso, o autor descreve que os problemas que apresentam tais características são resolvidos pelos tópicos da Análise Combinatória.

Figura 24: Situação-problema da introdução

Fonte: Dante (2004)

A tabela 1 apresenta o número de exercícios resolvidos e propostos apresentados após cada Tarefa que identificamos na organização didática da obra de Dante (2004).

Tabela 1- Número de exercícios resolvidos e propostos

Tarefas Exercícios

resolvidos

Exercícios propostos

Apresentar o P.F.C 4 6

Apresentar a noção e a fórmula da Permutação simples

6 11

simples

Apresentar a noção e a fórmula da Combinação simples

10 13

Apresentar a noção e a fórmula da Permutação com elementos repetidos

5 1

Fonte: Construção do Autor.

A seguir descrevemos as tarefas, as técnicas e o discurso tecnológico/teórico de cada organização praxeológica do livro de Dante (2004).

Tarefa (T7.1): apresentar o Princípio Fundamental da Contagem (P.F.C). A análise da tarefa ocorrerá em duas etapas: na primeira etapa, apresentamos a técnica 7.1 e o discurso tecnológico/teórico que conduzirá ao momento da institucionalização do conceito do P.F.C.; na segunda etapa, apresentamos as tarefas, as técnicas e os discursos tecnológico-teóricos, correspondentes, respectivamente, aos exercícios 1 e 2 da lista de exercícios resolvidos, que denominaremos de Tarefa(T7.2), Tarefa(T7.3), técnica 7.2 e técnica 7.3. Optamos por analisar somente dois exercícios, porque os demais não proporcionam nenhuma mudança de técnica, nem de discurso tecnológico/teórico, em relação aos exercícios analisados anteriormente.

Técnica 7.1 e discurso tecnológico/teórico: O autor utiliza inicialmente a seguinte situação-problema:

Uma pessoa quer viajar de Recife a Porto Alegre passando por São Paulo. Sabendo que há 5 roteiros diferentes para chegar a São Paulo partindo de Recife e 4 roteiros diferentes para chegar a Porto Alegre partindo de São Paulo, de quantas maneiras possíveis essa pessoa poderá viajar de Recife a Porto Alegre?(DANTE,2004,p.348).

Em uma caixa de diálogo denominada “para refletir”, o autor informa que a viagem de Recife a Porto Alegre constitui um evento composto por duas etapas sucessivas e independentes e levanta o seguinte questionamento ao leitor: “quais são elas?”(DANTE,2004,p. 348). Na sequência, o autor apresenta uma árvore de possibilidades para fazer o leitor observar que há cinco possibilidades para ir de Recife a São Paulo e quatro possibilidades para ir de São Paulo a Porto Alegre. Na figura 33, podemos observar que, após a apresentação da árvore, o autor

efetua o produto entre os números que representam as referidas possibilidades; obtendo, assim, resultado igual a vinte maneiras diferentes.

Figura 25: Solução da situação-problema para introduzir o P.F.C

Foto: Dante(2004)

Na continuidade, o autor utiliza outras duas situações-problema, resolve- as com o auxílio da árvore de possibilidades e institucionaliza o conceito de Princípio Fundamental da Contagem, citado anteriormente.

O discurso tecnológico/teórico identificado é centrado nos pressupostos de uma organização didática tecnicista. Segundo Gascón (2003), as organizações tecnicistas são identificadas implicitamente por meio do entendimento de que ensinar e aprender matemática são atividades que correspondem a ensinar e aprender técnicas, dotadas do reducionismo que este pensamento implica.

Análise Praxeológica dos exercícios resolvidos postos após a Tarefa 7.1. Num restaurante há 2 tipos de salada, 3 tipos de pratos quentes e 3 tipos de sobremesa. Quais e quantas possibilidades têm para fazer uma refeição com uma salada, um prato quente e uma sobremesa?(DANTE, 2004, p.350).

Tarefa (T7.2): Descrever e determinar todas as possibilidades que existem para constituir uma refeição com um tipo de salada, um prato quente e uma sobremesa.

Técnica 7.2: o autor apresenta inicialmente as nomenclaturas S1 e S2

para representar os tipos de saladas; as nomenclaturas P1, P2 e P3 para

representar os tipos de pratos; as nomenclaturas s1, s2 e s3para representar os

três tipos de sobremesa. O segundo passo foi construir uma árvore de possibilidades para constituir todos os agrupamentos possíveis. E o terceiro passo foi verificar que para a escolha da salada há duas possibilidades, para escolha do prato quente há três possibilidades e para escolha da sobremesa há três possibilidades. O produto obtido pelo número de saladas, pelo número de pratos e pelo número de sobremesa corresponde a dezoito maneiras diferentes de constituir a refeição.

O discurso tecnológico/ teórico justifica-se pela árvore de possibilidade e a noção do Princípio Fundamental da Contagem.

“Quantos números de 3 algarismos podemos formar com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6?”(DANTE, 2004, p.351).

Tarefa (T 7.3): calcular o número de agrupamentos constituídos de três elementos, de forma que a ordem entre eles seja relevante.

Técnica 7.3: utiliza a noção de “celas” para indicar a unidade de centena, a unidade de dezena e a unidade simples.

Unidade de Centenas Unidades de dezenas Unidades simples Com isso, o autor considera que há seis possibilidades para as centenas, seis possibilidades para dezenas e seis possibilidades para unidade simples.

6 6 6

Unidade de Centenas Unidades de dezenas Unidades simples Efetuando o produto entre os números que representam as possibilidades das centenas, o número que representa as unidades das dezenas e o número que representa as unidades simples, obtém-se o resultado correspondente a 216 números diferentes.

O discurso tecnológico/teórico é constituído pelo Princípio Fundamental da Contagem.

A Tarefa de apresentar a noção de Permutações simples foi identificada em todos os livros analisados anteriormente. O mesmo ocorre com a apresentação do cálculo do número de permutações simples de um agrupamento. Contudo, a Técnica 7.4e a Técnica 7.5não são as mesmas desenvolvidas pelos livros citados. O discurso tecnológico/teórico posto pela opção didática consiste em uma organização tecnicista, seguindo as ideias de Gascón (2003).

Técnica 7.4: o autor parte primeiramente da seguinte situação-problema: Quantos números de 3 algarismos (sem repeti-los num mesmo número) podemos formar com os algarismos 1, 2 e 3?(DANTE, 2004, p.352). A figura 35 mostra que o autor apresenta os possíveis agrupamentos por meio de listagem direta e pela árvore de possibilidades.

Figura 26: Resolução da primeira situação-problema utilizada para introduzir a noção de Permutação simples.

Fonte: Dante (2004)

Em seguida, o autor resolve o mesmo problema por meio do Princípio Fundamental da Contagem. E, finalmente, solicita ao leitor que seja observado “que a ordem dos agrupamentos é muito importante. Todos os números diferem entre si pela ordem de seus algarismos” (DANTE, 2004, p. 353).

O segundo momento da técnica 7.4 ocorre com apresentação e resolução da seguinte situação-problema:

“Quantos são os anagramas (diferentes disposições das letras de uma palavra) da palavra ANEL?_{”(DANTE, 2004, p.353). A figura 36 mostra que o autor} apresenta os possíveis agrupamentos por meio de listagem direta e pela árvore de possibilidade. O P.F.C. é utilizado para efeito de cálculo do número de anagramas da palavra.

Figura 27: Resolução da segunda situação-problema utilizada para introduzir a noção de Permutação simples.

Fonte: Dante (2004)

Técnica 7.5 é constituída pela concepção deque o autor possui que, a partir das situações-problema desenvolvidas pela técnica 7.4, o aluno estará em condições favoráveis de compreender a institucionalização da Permutação simples. A figura 37 mostra como ocorre a passagem da técnica 7.4 para técnica 7.5.

Figura 28: Institucionalização da Permutação simples

Fonte: Dante (2004)

A figura 38 mostra que,na continuidade da técnica 7.5,o autor apresenta o fatorial do número natural n como sendo a Pn. Uma janela de diálogo, intitulada

“para refletir”, foi aberta para o autor informar o leitor que: n! = n.(n-1)!.

Figura 29: Apresentação do fatorial no livro

Fonte: Dante (2004)

Entre os seis exercícios resolvidos no livro de Dante (2004), correspondentes à noção de permutação simples, foram identificados quatro que apresentam as mesmas características da segunda situação-problema resolvida pela Técnica 7.5 e os dois últimos são exercícios envolvendo o cálculo do fatorial que, em nossa compreensão, não caracterizam problemas de contagem. Contudo, observamos que há um exercício proposto que apresenta características diferentes das situações-problema resolvidas pela Técnica 7.5. A seguir apresentamos a análise praxeológica do referido exercício. A tarefa e a técnica do exercício serão codificadas como Tarefa (T 7.6) e técnica 7.6.

Quantos números naturais de algarismos distintos entre 5000 e 10000 podemos formar com os algarismos 1, 2, 4 e 6?” (DANTE, 2004, p.356).

Tarefa (T 7.6): determinar todos os números com quatro algarismos distintos iniciando com o algarismo 6.

Técnica 7.6: constitui, inicialmente, em observar que os agrupamentos formam números com quatro algarismos, com o algarismo 6 fixo e os demais algarismos podendo permutar entre si, por exemplo: 6421, 6241, 6124 e assim

por diante. Com isso, há três possibilidades para o segundo algarismo do agrupamento, duas possibilidades para terceiro algarismo e uma possibilidade para o último algarismo do agrupamento. Efetuando o produto do número de possibilidades (3x2x1), obtém-se o resultado correspondente a seis números naturais entre 5000 e 10000, o qual é formado pelos algarismos 6, 4, 2 e 1.

O discurso tecnológico/ teórico que justifica a técnica é constituído pela noção de valor posicional do número natural, do Princípio Fundamental da Contagem e da noção de Permutação simples.

A Tarefa de apresentar a noção de Arranjo simples foi identificada em todos os livros analisados anteriormente. O mesmo ocorre com a apresentação do cálculo do número de permutações simples de um agrupamento. Contudo, a Técnica 7.7 e a Técnica 7.8 não são as mesmas desenvolvidas pelos livros citados. O discurso tecnológico/teórico posto pela opção didática consiste emuma organização tecnicista, seguindo as ideias de Gascón (2003).

Técnica 7.7: o autor parte da noção de permutação simples para induzir o leitor à compreensão da noção de Arranjo simples. A figura 39 mostra que o autor procura utilizar as árvores de possibilidades, a listagem direta e o P.F.C. para apresentação da noção de Arranjos simples.

Figura 30: Figura 30: Noção de arranjo simples apresentada.

Fonte: Dante (2004)

A intencionalidade do autor é fazer com que o leitor observe que agrupamentos ordenados de n elementos, utilizando os n elementos, são denominados de Permutação simples e agrupamentos ordenados de n elementos, utilizando p elementos, com p_{≤n, são denominados de Arranjos} simples. Um fato a ser destacado na técnica 7.7 é de_{que o autor “mistura” o} momento da apresentação da noção de Arranjos simples com o momento do cálculo do número de Arranjos. Observamos que isso ocorre porque ele procura desenvolver sua proposta de ensino utilizando sempre o momento da técnica, por meio de situações-problema, e tem a finalidade específica de revelar técnicas específicas para uma determinada classe de problemas de contagem.

Técnica 7.8 consiste em uma técnica que procura mobilizar de forma abstrata O P.F.C. A figura 40 mostra que o autor subdivide a técnica em duas etapas: a primeira etapa é para desenvolver a regra geral para calcular o número de Arranjos simples de n elementos tomados p a p, utilizando o P.F.C.; a segunda etapa parte da institucionalização realizada na primeira etapa é para mostrar que o cálculo do número de Arranjos simples pode ser representado pela notação fatorial.

Figura 31: Cálculo do número de Arranjos de n elementos p a p.

Fonte: Dante (2004)

Os doze exercícios resolvidos, que seguem após o desenvolvimento das Técnicas7.7 e 7.8, apresentam características similares às características dessas Técnicas e, por conseguinte, não apresentam mudanças significativas. Na mesma direção, observamos que entre os dez exercícios propostos: três são para treinamento da fórmula do Arranjo com notação fatorial; seis são exercícios que apresentam as mesmas tarefas encontradas nos exercícios resolvidos; somente o exercício proposto número 22 apresenta tarefa que não consta no rol de Tarefas já identificadas neste texto. A diferença consiste no tamanho da amostra (trinta pessoas). A seguir analisaremos a organização praxeológica do exercício proposto número 22. A tarefa e a técnica do exercício serão codificadas como Tarefa (T7.9) e técnica 7.9.

“Um clube tem 30 membros. A diretoria é formada por um presidente, um vice-presidente, um secretário e um tesoureiro. Se uma pessoa pode ocupar

apenas um desses cargos, de quantas maneiras é possível formar uma diretoria?_{”(DANTE, 2004, p.361).}

Tarefa (T 7.9): determinar o número de maneiras de escolher quatro pessoas de um total de trinta pessoas, de modo que cada pessoa represente uma função específica.

Técnica 7.9: consiste em considerar um conjunto formado por 30 pessoas, representado por P = {P1, P2, P3, P4,..,P30}. Em seguida, verificar que

para a função de presidente há 30 possibilidades; para a função de vice- presidente há 29 possibilidades; para a função de secretário há 28 possibilidades; para a função de tesoureiro há 27 possibilidades de escolhas diferentes. Com isso, o número de possibilidades diferentes de formar uma diretoria é o produto 30x29x28x27 = 657.720.

Discurso tecnológico/ teórico: noções de conjuntos e Princípio Fundamental da Contagem.

A Tarefa de apresentar a noção de Combinação simples foi identificada em todos os livros analisados anteriormente. O mesmo ocorre com a apresentação do cálculo do número de permutações simples de um agrupamento. Contudo, as Tarefas e Técnicas a seguir são as mesmas desenvolvidas pelos livros anteriormente analisados. No entanto, o discurso tecnológico/teórico posto pela opção didática consiste em uma organização tecnicista, seguindo as ideias de Gascón (2003).

Observamos que três exercícios resolvidos, entre os dez exercícios apresentados no livro, com a intenção de desenvolver habilidades da Combinação simples, possuem Tarefas e Técnicas que se diferenciam das que já foram desenvolvidas. Este fato ainda não havia sido identificado na obra de Dante (2004),nem nas obras analisadas anteriormente. Diante disso, analisaremos as organizações matemáticas dos referidos exercícios, seguindo a ordem numérica