Aspectos gerais da análise realizada nos livros didáticos

Nesta seção, apresentamos uma discussão mais geral envolvendo as obras analisadas com a finalidade de descrever as características dos saberes da Análise Combinatória, a partir dos resultados das análises praxeológicas realizadas nos livros didáticos. Para isso, os livros foram codificados em L1, L2, L3,..., L7, respeitando a ordem cronológica das obras no contexto deste trabalho. O Quadro1 apresenta o nome do livro, do seu autor, o ano e a codificação.

Quadro 2: Título da obra, autor, ano e codificação para análise.

Título da obra Autor Ano Codificação

Eléments d`Algébre Bourdon 1891 L1

AlgebraElemetar F.T.D. 1921 L2

Tratado de Algebra Elementar Serrasqueiro 1925 L3

Curso de Matemática Roxo, Thiré e

Souza

1940 L4

Matemática Para os Cursos Clássicos e Científicos

Carvalho 1956 L5

Matemática Para o curso Colegial Moderno Barbosa e Rocha 1970 L6

Matemática: Contexto & aplicações Dante 2004 L7

Fonte: Construção do Autor

A primeira característica que conseguimos identificar nos livros analisados refere-se à finalidade pela qual os saberes da Análise Combinatória eram

estudados em cada período. O quadro 2 apresenta, na primeira coluna, as cinco finalidades que categorizamos e nas demais colunas, assinaladas com X, os livros analisados.

Quadro 3: Caracterização da finalidade dos saberes identificada nos livros analisados.

Finalidades L1 L2 L3 L4 L5 L6 L7

Exclusivamente para utilizar os saberes da Análise Combinatória no estudo do desenvolvimento do Binômio de Newton.

X X X Ênfase nas identidades combinatórias (algebrismo) para

o desenvolvimento do Binômio de Newton, mas apresentando interesse na solução de alguns problemas de contagem, envolvendo a noção de Arranjos simples, Permutações simples e Combinações simples.

X X

Desenvolvimento dos saberes da Análise combinatória, dissociado da necessidade de utilizá-los no estudo do Binômio de Newton.

X X Desenvolvimento dos saberes por intermédio de alguns

aspectos da teoria dos conjuntos para inserção do Princípio multiplicativo, do princípio aditivo, da árvore de possibilidade, da noção de combinação simples, bem como de alguns aspectos da teoria das funções para fundamentar a noção de Arranjos simples, Arranjos com repetição e Permutação simples no contexto dos saberes da Análise Combinatória.

X

Desenvolvimento dos saberes da Análise Combinatória, fundamentados pelo princípio multiplicativo e pela árvore de possibilidades.

X

Fonte: Construção do Autor

Os livros analisados até o final dos anos 1930 nos revelaram que o Arranjo simples, a Permutação simples e a Combinação simples foram os primeiros saberes da Análise combinatória estudados nas escolas brasileiras, prioritariamente no âmbito do uso de suas fórmulas. O interesse pelo desenvolvimento da fórmula do Arranjo simples e da Permutação simples estava centrado na fórmula da Combinação simples. Nessa direção, a principal finalidade dos livros analisados era mostrar a fórmula da Combinação simples para que a mesma fosse utilizada no desenvolvimento do Binômio de Newton. Essa postura, também, foi identificada nos livros analisados até o final dos anos 1960. Mas, observamos nos livros desse período que já havia algum interesse pela solução de problemas de contagem que envolviam as noções de Arranjo simples, Combinação simples e Permutação simples.

Contudo, as tarefas identificadas nos exercícios resolvidos dos livros do período em questão foram desenvolvidas por um único tipo de técnica, ou seja, o

uso direto das fórmulas para calcular o número de Arranjos simples, de Permutação simples e Combinação simples. No livro L5, identificamos algumas tarefas que mostravam certas identidades combinatórias não observadas nos livros analisados anteriores. Tais tarefas foram desenvolvidas por meio de técnicas centradas no desenvolvimento de expressões algébricas elementares.

A partir do surgimento do Movimento de Matemática Moderna, fortemente evidenciado no livro L6, pudemos constatar que a finalidade dos saberes da Análise Combinatória, nas escolas brasileiras, deixava de ser o desenvolvimento de fórmulas para o cálculo do Binômio de Newton. Contudo,passou-se a evidenciar o surgimento de novas técnicas de contagem no contexto dos conteúdos escolares, fundamentadas na teoria dos conjuntos e nas noções de funções. Para nós, o caráter teórico desse período proporcionou para os estudos de Análise Combinatória uma fundamentação matemática mais consistente, mas as tarefas identificadas nos exercícios resolvidos dos livros ainda continuavam apresentando como técnica de solução dos problemas o uso direto das fórmulas e, também, o desenvolvimento algébrico de identidades envolvendo-as.

O livro L7 desmistifica definitivamente o que constatamos no livro L6, em relação ao cálculo do Binômio de Newton_{– inserido ao longo de todo capítulo dos} conteúdos da Análise Combinatória_{–, a atividade de resolução de problemas,com} a pretensão de desenvolver a capacidade dos alunos em resolver problemas envolvendo contagem. Contudo, observamos que as atividades de matemática da obra são trivializadas por meio de problemas de contagem com a intenção de desenvolver técnicas do tipo Algorítmicas.

Como foi descrito anteriormente, as mudanças de finalidades dos saberes da Análise Combinatória começaram a ocorrer após o final dos anos 1930. Assim como foi, também, observado que novos saberes foram inseridos no contexto escolar brasileiro. Nesta direção, construímos o Quadro 4 para que pudéssemos caracterizar os conteúdos que se mantiveram ao longo das mudanças ocorridas e os conteúdos que por algum motivo deixaram de ser desenvolvidos por determinado livro.

Na primeira coluna apresentamos os conteúdos que identificamos nas tarefas propostas dos livros analisados e nas demais colunas, assinaladas com X, os livros analisados.

Quadro 4: Caracterização dos saberes identificado nos livros analisados.

Conteúdos L1 L2 L3 L4 L5 L6 L7

Princípio Multiplicativo da

contagem X X

Princípio Aditivo da contagem X

Princípio da inclusão-exclusão X

Listagem Direta de agrupamentos X X X X X X

Árvore de Possibilidades X X

Arranjos simples X X X X X X X

Arranjos com elementos repetidos X X X

Permutação simples X X X X X X X

Permutação com elementos

repetidos X X X X

Combinações simples X X X X X X X

Combinação com elementos

repetidos X X

Fonte: Construção do Autor

Como podemos observar, o processo de listagem direta dos agrupamentos consta em quase todos os livros analisados. É importante ressaltar que, nos livros L1, L2, L3, L4 e L5, esse processo era utilizado na técnica que apresentava a fórmula para calcular o número de Arranjos simples, Permutações simples e Combinações simples, justificada por um discurso tecnológico/teórico contido nos pressupostos Teoricistas. Isto caracteriza o fato deque em todos os esses livros o processo de listagem direta era abandonado depois que as fórmulas, dos agrupamentos citados, eram apresentadas. Para Gascón (2003), essa postura prioriza o produto final. Isto pode ser verificado por meio das Tarefas (T1.1), Tarefa (T1.2) , Tarefa(T1.3) e,também, por intermédio das técnica(1.1), técnica (1.2) e da técnica (1.3). No livro L7,observamos que o processo de listagem direta dos agrupamentos é utilizado de forma puramente secundária, ao contrário do que ocorre nos primeiros livros citados.

Em quase todos os casos que identificamos agrupamentos com elementos repetidos – livros L4, L5 e L6–, as tarefas que apresentam as fórmulas para calcular tais agrupamentos foram desenvolvidas por técnicas que utilizaram a exposição direta das fórmulas, sem nenhuma justificativa. O caso mais agressivo foi identificado no livro L4 que apresentou a fórmula para calcular o número de Combinações com elementos repetidos em uma nota de rodapé. Em

todos esses casos, a postura didática consiste em admitir que “o importante seja o momento que o professor apresenta aos alunos um corpo de conhecimentos cristalizados em uma teoria” (GASCÓN, 2003, p.22). O livro L6 apresenta justificativas consistentes para todos os conteúdos que apresentam elementos repetidos na formação de seus agrupamentos. No entanto, o discurso tecnológico/teórico é o mesmo dos outros livros, ou seja, segue os pressupostos Teoricistas.

Vale ressaltar que o Livro L6 é a obra mais completa em se tratando do número de conteúdos desenvolvidos. Nesta obra, identificamos o surgimento da Tarefa (T6.1) e da técnica(6.1), referentes à apresentação do Princípio Aditivo da contagem; da Tarefa(T6.2) e da técnica(6.2), referentes à apresentação do Princípio da Inclusão-exclusão; da Tarefa (T6.3) e da técnica(6.3), referentes ao Princípio Multiplicativo da contagem; e da Tarefa (T6.5) e técnica(6.5), referentes às árvores de possibilidades. Essas tarefas e técnicas didáticas possuem um discurso tecnológico/teórico contido nos pressupostos Teoricista. Isto representa uma questão didática interessante, pois de alguma forma houve uma necessidade de evoluir o bloco do saber/fazer (Tarefa/técnica) no contexto da combinatória, mas o bloco do saber (tecnológico/teórico) continuou o mesmo. Ou seja, caracterizado por uma organização didática Teoricista.

Seguindo essa mesma linha de observação, podemos afirmar que o Livro L7 é o segundo que apresenta o maior número de conteúdos desenvolvidos da Análise Combinatória. No entanto, a árvore de possibilidade e o processo de listagem direta são utilizados, no livro L7, como técnicas de contagem, especificamente para que sejam apresentados o Arranjo simples e a Permutação simples. Depois disso, a árvore e a listagem desaparecem no contexto da obra. O mesmo ocorre com o princípio multiplicativo, que desaparece depois que as fórmulas são apresentadas. Mas as tarefas didáticas, identificadas no Livro 7, associadas às técnicas que, também, identificamos na obra, implicam um discurso tecnológico/teórico dentro dos pressupostos encontrados em organizações didáticas Tecnicistas. De acordo com Gascón (2003), o Tecnicismo não prioriza estratégias de resolução de problemas sem o uso direto da aplicação da fórmula.

No caso do livro L7, não admitimos apenas a ideia de utilizar a aplicação das fórmulas e, sim, a aplicação direta de técnicas de contagens padronizadas (princípio multiplicativo, árvores de possibilidade, princípio aditivo e outros)em todo contexto da obra, em que são apresentados os conteúdos da Análise Combinatória. Por exemplo, a técnica 7.4 apresenta a permutação simples por meio da árvore de possibilidade, do princípio multiplicativo da contagem e do processo de listagem direta, utilizando a seguinte situação-problema: “Quantos são os anagramas (diferentes disposições das letras de uma palavra) da palavra ANEL?” (cf. seção 4.4, p.107). Esses tipos de problemas são rotineiros no contexto do livro L7. Com isso, fica a impressão que os problemas que são resolvidos pela árvore de possibilidades podem, também, ser resolvidos pelo princípio multiplicativo. Tal proposição não é verdadeira e isso pode ser verificado na figura 4, que apresenta a solução do problema do “joga da roleta”, retirado de Magalhães e Oliveira (2004). Diante dessa e de outras situações, podemos inferir que o livro L7 utiliza a resolução de problemas para efeito de treinamento das técnicas padronizadas; caracterizando, dessa forma, uma obra com pressupostos Tecnicistas.

Um fato relevante consiste em observar que as tarefas para calcular o número de Arranjo simples, de Permutação simples e de Combinação simples são as mesmas desde o primeiro livro analisado (L1). Ou seja, respectivamente, Tarefa (T1.1), Tarefa(T1.2) e Tarefa (T1.3).Isto ocorre mesmo diante do fato deque as finalidades para o estudo dos saberes da Análise Combinatória nas escolas brasileiras sofreram alterações em três momentos cronológicos (1900 até 1960, 1960 até 1980 e 1980 até 2009). Contudo, as técnicas 1.1 e 1.2,utilizadas nas Tarefas (T1.1) e Tarefa (T1.2), não foram identificadas nos livros L6 e L7. Isto pode ser observado nas técnicas 6.11, 6.12, 6.13 e 6.14 _{– desenvolvidas no livro} L6 –, e nas técnicas 7.4, 7.5, 7.7, 7.8, desenvolvidas no livro L7. A técnica para calcular o número de combinações simples de n elementos tomados p a p continuou a mesma desde o primeiro livro analisado.

O livro L7, que reúne o princípio multiplicativo e as árvores de possibilidades – observados inicialmente no livro L6, no período de 1960 até 1980 – e o processo de listagem direta–observados nos livros do primeiro momento

cronológico–, demonstra ser uma obra que se adaptou nos dois contextos, mas não manteve sua postura transformadora e cedeu à predominância dos problemas envolvendo Arranjo simples, Permutação simples e Combinação simples. Este fato pode ser observado na Tabela 1, diante do número de exercícios resolvidos e propostos envolvendo tais agrupamentos.

Diante do exposto acima, podemos dizer que a forma como os saberes são apresentados nos livros didáticos também passaram por transformações associadas às finalidades de se estudar Análise Combinatória nas escolas brasileiras. A partir das tarefas e técnicas didáticas, identificadas nos livros analisados, foi possível construir o Quadro 5, que apresenta na primeira coluna as características que obtivemos acerca da forma como os saberes são apresentados nos livros e nas demais colunas, assinalamos com X, os livros que apresentam tais características.

Quadro 5: Caracterização da forma como os saberes são apresentados nos livros analisados.

Tarefas/técnicas L1 L2 L3 L4 L5 L6 L7

Apresentação por meio de explanação teórica, utilizando listagem direta dos agrupamentos para efeito de generalização das fórmulas dos Arranjos simples, Permutação simples e Combinação simples.

X X X

Apresentação por meio de explanação teórica, utilizando listagem direta dos agrupamentos para efeito de generalização das fórmulas dos Arranjos simples, Permutação simples e Combinação simples, seguida de exercícios resolvidos e exercícios propostos.

X X

Apresentação por meio de explanação teórica, utilizando a noção de conjuntos, de algumas funções, a árvore de possibilidades, o Princípio Multiplicativo, o Princípio Aditivo nos agrupamentos para efeito de generalização das fórmulas.

X

Apresentação por meio de uma ou poucas situações- problema resolvidas utilizando o Princípio Multiplicativo ou a árvore de possibilidades para generalização das fórmulas seguidas de exercícios resolvidos e exercícios propostos.

X

Apresentação por meio de exposição direta das fórmulas sem utilizar a listagem direta ou o Princípio Multiplicativo ou a árvore de possibilidades ou outros.

X X X

Fonte: Construção do Autor

Duas questões interessantes devem ser postas no contexto de nossas discussões. Trata-se da transição que identificamos entre os livros do período 1940 até 1960 (L4 e L5) e o livro do período entre 1980 e 2009(L7), que tem como

“ponte teórica” alguns saberes identificados no livro do período entre 1960 e 1980(L6).

A primeira questão centraliza-se na última linha do Quadro 5. Os livros L4, L5 e L7 possuem em comum a forma como a permutação com elementos repetidos é apresentada. A tarefa didática e sua técnica consistem em apresentar as fórmulas desse agrupamento e resolver exercícios com aplicações diretas. O discurso tecnológico/teórico para essa situação segue uma abordagem Tecnicista. Um exemplo do que estamos nos referindo pode ser observado na Tarefa (T4.3): apresentar a noção de Permutações com elementos repetidos e na sua técnica 4.3, mostrada pela figura 16 (cf. seção 4.4, p.81). O livro L6, também, apresenta a permutação com elementos repetidos, ou seja, a mesma tarefa que os livros L4, L5 e L7 apresentam. Entretanto, o livro L6 não apresenta a mesma técnica e o discurso tecnológico/teórico segue pressupostos Teoricistas. A técnica 6.18 do livro L6, utilizada para desenvolver a Tarefa (T4.3), apresenta características formalistas muito intensas. Nesse sentido, podemos inferir que os livros atuais ainda não conseguiram apresentar um caminho metodológico que propicie aos alunos a solução de problemas de contagem, que produzam a real necessidade da utilização do saber envolvendo permutações com elementos repetidos e, principalmente, a consciente utilização da técnica usada na tarefa.

A segunda questão centraliza-se especificamente em uma reflexão acerca das metodologias observadas na segunda, terceira e quarta linhas do Quadro 5. E, também, segue a mesma linha de discussão do parágrafo anterior. Porém, envolvendo os Arranjos simples e a Permutação simples. A tarefa para apresentar esses dois agrupamentos é a mesma desde antes 1900. Este fato já foi descrito anteriormente, bem como o fato de que as técnicas dessas tarefas utilizadas nos livros L6 e L7 são diferentes dos livros anteriores. É neste ponto que desejamos voltar. O livro L7 apresenta, por exemplo, a técnica 7.8 para apresentar o arranjo simples (cf. seção 4.4, p.114). O que podemos observar é que a técnica 7.8 é constituída por uma adaptação dos elementos formalistas contidos nas técnicas 6.14 e 6.15, para mesma tarefa, identificadas no livro L6. Este fato, para nós, representa uma perda no aspecto do saber matemático em

questão, pois a técnica utilizada pelo livro L6 consegue mostrar a real necessidade da utilização do saber.

Mas, por um lado, a carga de elementos formalistas embutida nas técnicas 6.14 e 6.15, possivelmente poderão gerar dificuldades de apreensão da noção de Arranjo simples por parte dos alunos. Essa é uma característica de abordagens Teoricistas. Por outro lado, a adaptação identificada na técnica 7.8 poderá gerar, também, tais dificuldades, porque se trata de um discurso tecnológico/teórico com características da abordagem Tecnicista e, com isso, restringindo o aluno à solução de problemas de contagens envolvendo o Arranjo, que são resolvidos pela aplicação direta da técnica. Este fato ocorre de forma idêntica à Permutação simples. Nesse sentido, podemos inferir que os livros atuais ainda não conseguiram apresentar um caminho metodológico que propicie aos alunos a solução de problemas de contagem que produzam a real necessidade da utilização dos saberes envolvendo Arranjo simples e Permutação simples, sem a carga de formalismo identificada no livro L6.

Os livros que estão no contexto do parágrafo anterior revelam um avanço em relação aos livros L1, L2 e L3, em se tratando da apresentação de alguns exercícios resolvidos e propostos envolvendo problemas de contagem no desenvolvimento dos conteúdos observados no Quadro 4. Por meio desses exercícios, podemos identificar algumas organizações matemáticas nos livros analisados. O Quadro 6 apresenta uma caracterização dos exercícios resolvidos identificados na pesquisa.

Quadro 6: Caracterização dos exercícios resolvidos dos livros analisados.

Tarefa/técnicas L1 L2 L3 L4 L5 L6 L7

Exercícios que incentivam o uso de diferentes técnicas

de resolução. E E E E E B A

Exercícios que valorizam a verificação de processos e

validação de respostas. E E E E E E C

Exercícios de aplicação, análogo aos exemplos usados

na apresentação dos conteúdos. E E D A A A A

Exercícios de treino de procedimento e simples

aplicação de fórmulas. E E E B B B B

Categorias Muitos Alguns Poucos Raros Não existe

A B C D E

O Quadro 6 apresenta na primeira coluna a caracterização dos exercícios que identificamos nas obras analisadas.As demais colunas são preenchidas com a frequência com que observamos os exercícios, caracterizados nos seus respectivos livros. No preenchimento das colunas, utilizamos as Letras A para informar que o livro possui “Muitos” exercícios com as características identificadas; B para informar que o livro possui “Alguns” exercícios com as características identificadas; C para informar que o livro possui “poucos” exercícios; D para informar que o livro possui “Raros” exercícios; e, finalmente,E para informar que “Não existe” exercícios no livro com as características identificadas.

Nos livros L1 e L2 não existem exercícios com as características apresentadas no Quadro 6. Para constar, nessas obras identificamos a ausência de qualquer tipo de exercício. Neste caso não foi possível identificar organizações matemáticas nas duas obras. As primeiras tarefas e as técnicas matemáticas foram identificadas, nesta pesquisa, no livro L3. O livro, como descrevemos anteriormente, apresenta um grupo de tarefas e de técnicas didáticas inseridas nos pressupostos Teoricistas. Os exercícios resolvidos tinham um caráter puramente reprodutivo, como, _{por exemplo: “o número de Arranjos de 8} elementos tomados _{4 a 4” (cf. seção 4.4, p.72). A tarefa é determinar o número de} arranjos simples de 8 elementos tomados 4 a 4; identificada, neste texto, como Tarefa(T3.1). A técnica 3.1 usada na tarefa sublinha diretamente o uso da seguinte fórmula:

𝐴_𝑚𝑝 =𝑚. 𝑚 − 1 . (𝑚 − 2). (𝑚 − 3) … (𝑚 − 𝑝 + 1)

O discurso tecnológico/teórico consiste no desenvolvimento da fórmula do Arranjo simples pelo processo de listagem direta dos agrupamentos. Outra tarefa que identificamos no livro L3 e, também, nos demais livros analisados é a Tarefa(T3.4): “calcular o número de anagramas da palavra com cinco letras”. No livro mais contemporâneo, o livro L7, identificamos outra tarefa com as mesmas características, só que com quatro letras (ANEL), e utilizada para fins didáticos. O discurso tecnológico/teórico que justifica a Tarefa (T3.4) e a técnica 3.4 consiste no desenvolvimento da fórmula da permutação simples e pelo processo de listagem direta dos agrupamentos. `

Os exercícios que valorizam a verificação de processos e a validação de repostas, que Gascón (2003) considera importantes para efeito de organizações didáticas Construtivistas, são identificados com pouca frequência no livro L7 e sem nenhuma presença nos demais livros analisados.Enquanto os exercícios de aplicação, análogos aos exemplos usados na apresentação dos conteúdos, são os que apresentam a maior frequência, na maior parte dos livros analisados.

Os discursos tecnológico/teórico identificados nos livros entre 1900 até 1960, analisados nesta pesquisa, para as Tarefas envolvendo o arranjo simples e a Permutação simples, eram constituídos pelo processo de contagem direta. O livro do período entre 1960 até 1980 apresentou um discurso tecnológico/teórico constituído, principalmente pelo princípio multiplicativo e pela noção de funções injetoras, sobrejetoras e bijetoras para as mesmas tarefas do período anterior. O livro analisado, no período entre 1980 até 2009, apresentou um discurso tecnológico/teórico constituído, principalmente, pelo princípio multiplicativo e depois pelo uso das fórmulas para as mesmas tarefas do primeiro período.

No capítulo seguinte, apresentamos nossas considerações e perspectivas futuras extraídas dos resultados descritos neste trabalho, pertencentes à investigação que realizamos com os sete livros didáticos.

CONSIDERAÇÕES E PERSPECTIVAS FUTURAS

Este trabalho apresentou um estudo que analisou alguns aspectos