Análise de livros entre 1900 e 1960

Um fato marcante na história dos livros didáticos brasileiros ocorreu, em 1902, com a fundação da editora F.T.D. (FréreThéophaneDurand), no Rio de Janeiro, que supriu a demanda de livros europeus pelos colégios católicos criados no Brasil (VALENTE, 2007, p.190). A congregação dos Irmãos Maristas, responsável pela editora, também, se instalou no Brasil com a fundação de seus próprios colégios. De acordo com Barone (2008) os livros utilizados pelos maristas eram geralmente escritos pelos próprios irmãos, mas seus nomes não

apareciam como autores da obra. Isto ocorreu porque no final do século XIX, a congregação dos irmãos maristas passou a escrever sua própria produção assinada pela sigla da editora.

O livro “Álgebra Elementar” produzido por essa editora, no ano de 1921, para uso dos colégios e principalmente na preparação dos jovens que estavam interessados em ingressar nas universidades, possui um capítulo intitulado “Binomio e Applicações” que apresenta em seis páginas um estudo intitulado Theoria das Combinações. Na figura 10 podemos observar um possível objetivo pelo qual os saberes da Análise Combinatória estavam presentes nas escolas brasileiras da época.

Figura 10: Capítulo I: Binomio de Newton, livro Álgebra Elementar.

Fonte: F.T.D.(1921)

O livro Elementos de Álgebra, publicado pela editora F.T.D.(1921), assim como o livro Élements d’Algèbre, não apresenta exercícios propostos aos alunos. Mantém assim as características de uma organização praxeológicateoricista

Segundo Lorenz e Vechin (2004), no programa de 1892 do Colégio Pedro II, constava o Tratado de Álgebra Elementar, escrito pelo professor de Matemática

do liceu de Coimbra, José Adelino Serrasqueiro, que se manteve no programa até 1930. A Figura 15 mostra que na versão de 1925, o capítulo I, intitulado “Potencias e raízes de polynomios”, inicia com o estudo do Arranjo, da Permutação e da Combinação, para fundamentar o estudo do Binômio.

Figura 11: Introdução do capítulo I do livro Tratado de Álgebra Elementar.

Fonte: Serrasqueiro (1925)

A obra de Serrasquiero (1925) apresenta, inicialmente, as fórmulas do Arranjo, da Permutação e da Combinação, nas mesmas condições que analisamos na obra de F.T.D. (1921). Ou seja, as tarefas e as técnicas para mostrar as fórmulas gerais do cálculo do número de Arranjos, de Permutações e de Combinações são idênticas. Nessa direção, identificamos na obra de Serranqueiro (1925) uma escolha didática com as características de uma abordagem teoricista, nos termos de Gascón (2003). Contudo, identificamos um fato interessante que diferencia, em parte, a opção metodológica do primeiro autor em relação à do segundo autor, que é a presença de exemplos resolvidos após a apresentação de cada fórmula. Isto nos permitiu realizar uma análise das organizações matemáticas identificadas na obra.

Analisaremos os exemplos resolvidos na perspectiva de organizações matemáticas. Segundo Chevallard (1999), uma organização matemática de um tema de estudo é o estudo da própria realidade matemática. E, para nós, essa realidade se manifesta na forma como os sujeitos resolvem os problemas que envolvem os objetos matemáticos em questão.

Primeiro exemplo: “o número de arranjos de 8objectos 4 a 4 é” (SERRASQUEIRO, 1925, p.270).

Tarefa (T3.1): determinar o número de arranjos simples de 8 elementos tomados 4 a 4.

Técnica 3.1: optamos em subdividir a técnica adotada pelo autor em etapas, pois acreditamos que cada uma dessas etapas nos descreve melhor a realidade matemática que o autor pretende construir.

Primeira etapa: substituir os valores do enunciado do exemplo na fórmula para calcular o número de Arranjo simples. Com isso, temos:𝐴84 = 8𝑥7𝑥6𝑥5.

Segunda etapa: efetuar o produto. Com isso, temos que _𝐴84 _{= 1680.}

Discurso tecnológico/teórico: A noção de Arranjo simples de m elementos tomados p a p.

Segundo exemplo: “o número de permutações de cinco objetos é” (SERRASQUEIRO, 1925, p.271).

Tarefa (T3.2): determinar o número de permutações de 5 elementos. Técnica 3.2: a técnica foi desenvolvida pelo autor em duas etapas

Primeira etapa: substituir os valores do enunciado do exemplo na fórmula para calcular o número de Permutações simples. Com isso, temos:

𝑃5 = 5𝑥4𝑥3𝑥2𝑥1

Segunda etapa: efetuar o produto. Com isso, temos que _𝑃5 = 120.

Discurso tecnológico/teórico: A noção de Arranjo simples de m elementos tomados m a m que, por sua vez, gera a noção de Permutação simples.

Terceiro exemplo: “o número de combinações de 8objetcos 5 a 5 é” (SERRASQUEIRO, 1925, p.273).

Tarefa (T3.3): determinar o número de combinações de 8 elementos tomados 5 a 5.

Técnica 3.3: a técnica pelo autor foi desenvolvida em quatro etapas: Primeira etapa: substituir os valores do enunciado do exemplo na fórmula para calcular o número de Combinações simples. Com isso, temos:_𝐶85 ₌8𝑥7𝑥6𝑥4𝑥5

5𝑥4𝑥3𝑥2𝑥1.

Segunda etapa: efetuar o produto do numerador. Terceira etapa: efetuar o produto do denominador.

Quarta etapa: efetuar a divisão. Com isso, temos que _𝐶85 _{= 56.}

Discurso tecnológico/teórico: A noção de Combinação simples de m elementos tomados p a p e a regra da divisão entre números inteiros.

Serrasqueiro (1925), após apresentar a fórmula geral da Combinação, descreve a situação seguinte, que não identificamos na obra de Bourdon (1981) e nem na obra de F.T.D. (1921): ”para representar o producto 1.2.3...n, emprega-se muitas vezes o symbolo n!. Segundo esta notação, a fórmula geral das Permutações é 𝑃_𝑛 =𝑛! “(SERRASQUEIRO,1925,p.273). Em seguida, o autor apresenta as fórmulas para calcular o número de Arranjos e Combinações utilizando o Fatorial. A figura 16 mostra a forma como as fórmulas estão apresentadas no texto.

Figura 12: Fórmulas do Arranjo e da Combinação com Fatorial.

Fonte: Serrasqueiro (1925)

Um fato interessante na obra de Serrasqueiro (1925) é que as fórmulas, apresentadas na Figura 16, são expostas como uma alternativa para o cálculo do

número de Arranjos e do número de Combinações, mas ficaram em desuso no livro. Outra questão importante, que identificamos na obra, é que no final do capítulo consta uma lista com 32 exercícios, sendo alguns de Análise Combinatória que seguem o mesmo padrão das Tarefas 3.1, 3.2 e 3.3, com exceção do seguinte exercício: _{“Determinar todos os anagramas da palavra prato”} (SERRASQUEIRO, 1925, p.273). Analisaremos o exercício na perspectiva das organizações matemáticas.

Tarefa (T3.4): calcular o número de permutações simples com cinco elementos.

Técnica 3.4: a técnica será desenvolvida em duas etapas

Primeira etapa: substituir o valor n = 5 na fórmula da permutação simples. Com isso, temos: _𝑃5 = 5𝑥4𝑥3𝑥2𝑥1.

Segunda etapa: efetuar o produto. Com isso, _𝑃5 = 120.

Discurso tecnológico/teórico: A noção de Arranjo simples de m elementos tomados m a m que, por sua vez, gera a noção de Permutação simples.

Os exercícios que apresentamos em termos de organização praxeológica, observadas a partir das atividades matemáticas, realizadas por Serrasqueiro (1925), nos revelam que as técnicas utilizadas valorizaram exclusivamente o uso das fórmulas para calcular o número de Arranjos, Permutações e Combinações. A lista de exercícios propostos é formada por um grupo de dezesseis questões de Análise Combinatória que possuem as mesmas características dos exercícios resolvidos.

Os livros didáticos franceses tiveram uma marcante presença na matemática do Colégio Pedro II, desde sua fundação até os anos de 1900, seja por meio da compilação realizada pelos professores brasileiros ou pela inserção dos livros nos programas de ensino. É importante ressaltar que no período em questão havia outros livros didáticos de álgebra, aritmética e geometria, escritos

por professores do Colégio Pedro II e por autores que faziam parte de outros colégios espalhados nas demais regiões do Brasil14_{, não citados neste texto.}

É possível que o livro de Bourdon (1981) esteja entre as primeiras obras no Brasil que apresentou a noção do Arranjo simples, da Permutação simples e da Combinação simples. Os primeiros livros didáticos de álgebra elementar apresentavam a “Teoria das Combinações” ou “Análise Combinatória”, com a finalidade de utilizar as fórmulas do Arranjo, da Permutação e da Combinação no desenvolvimento do Binômio de Newton e das potencias de polinômios. Este fato nos fez inferir que o surgimento da Análise Combinatória nas escolas brasileiras se deu por uma necessidade de utilizá-la como ferramenta para o desenvolvimento de outros conteúdos escolares. Nessa direção, o importante eram as fórmulas desenvolvidas para o cálculo de certos agrupamentos.

Segundo Dassie (2008), entre o final da década de 1920 e o início da década de 1930, os programas de ensino passaram de uma estrutura fragmentada (aritmética – álgebra – geometria – trigonometria) para uma unidade denominada Matemática. Nesta direção, devemos destacar que o ensino secundário como um todo passava por um processo intenso de mudança. Souza (2012, p.327) explica que as mudanças geradas pela Reforma Francisco Campos15_{, no ano de 1931, organizou o ensino secundário em dois ciclos. Os}

dois ciclos eram divididos em Fundamental, com duração de cinco anos; e o outro Complementar, com duração de dois anos.

Com a nova estrutura curricular para a matemática escolar implantada pelo Colégio Pedro II, surgiu também um novo tipo de livro didático destinado a esta disciplina. Os livros de aritmética, álgebra, geometria e trigonometria deixaram de ser constituídos separadamente. Nesta direção surge, no contexto escolar, o livro didático de Matemática, diferente para cada uma das séries do ensino. O ensino de matemática para o primeiro ciclo do curso secundário no Brasil ganhou o caráter de disciplina escolar, a partir das ações do professor

14 _{. cf.Lorenz&Vechia(2004) e Valente(2007)}

15_{. Após a Revolução de 30, durante o governo provisório chefiado por Getúlio Vargas foi criado o} Ministério da Educação e Saúde Pública, que sinalizava a tonificação do Estado educador, e Francisco Campos foi indicado como o seu primeiro titular. Na primeira metade de 1931, ele inseriu uma significativa reforma na educação nacional, com destaque para a criação do Conselho Nacional de Educação e a reorganização do ensino secundário e superior.

Euclides Roxo16_{. Valente (2003) explica que o professor Euclides Roxo fez}

colocar no texto da legislação da Reforma Campos, denominada primeira reforma nacional do ensino brasileiro, sua escrita sobre conteúdos e métodos de como a disciplina Matemática deveria ser conduzida. Dassie (2008) acrescenta que uma consequência das propostas de renovação para matemática realizada por Euclides Roxo

é a escrita de novos livros para esta disciplina. Portanto, nada mais natural do que o próprio Euclides Roxo construir um livro, ou melhor, uma coleção para atingir os objetivos da reforma. O Curso

de mathematica elementar, publicado a partir de setembro de

1929, materializa de forma ímpar os programas e as orientações metodológicas que estavam sendo constituídas (DASSIE, 2008, p.159).

O autor ressalta que os livros didáticos produzidos pelos professores Cecil Thiré e Mello e Souza, também, do Colégio Pedro II, tiveram um papel importante durante a reforma Campos. Os livros faziam parte de uma coleção intitulada Mathematica, composta por três volumes, destinados às três primeiras séries do curso secundário. Os dois primeiros foram publicados em 1931 e o terceiro em 1932. Segundo Dassie (2008) a coleção estava intimamente ligada à elaboração dos programas de ensino para o ano de 1930 e pode ser considerada como uma reação contra as inovações propostas por Euclides Roxo.

Mesmo diante da possível crise que tenha ocorrido entre esses autores durante a reforma Campos, a coleção escrita por Cecil Thiré e Mello e Souza, após a reforma Campos, que passou a ser intitulada de Curso de Matemática, para os dois últimos anos (4º e 5º) do ensino secundário, passou a ter Euclides Roxo como coautor. Para Dassie (2008)este fato ocorreu inicialmente a partir do quarto volume, mas alguns anos depois, o terceiro volume, por exemplo, é reelaborado pelos três autores e passou, também, a compor a coleção do Curso de Matemática. A figura 17 mostra a contracapa do Curso de Matemática, 4ª edição, produzido em 1940, para os alunos do 5º ano17_{. A obra apresenta o}

Capitulo VII, intitulado noções de Análise Combinatória.

16 _{. Segundo Dassie(2008) Euclides de Medeiros Guimarães Roxo assumiu a cadeira de professor} catedrático de Matemática do Colégio Pedro II, em 1929.

Figura 13:Contra capa do livro Curso de Matemática.

Fonte: Roxo, Thiré e Souza (1940)

A seguir descrevemos as tarefas, as técnicas e o discurso tecnológico/teórico das organizações didáticas e matemáticas que identificamos na obra de Roxo, Souza e Thiré (1940).

Tarefa (T4.1): apresentar as ideias preliminares(introdução) Técnica 4.1: a técnica é dividida em cinco etapas:

Primeira etapa: os autores iniciam o capítulo apresentando um grupo de cinco problemas de contagem; explicando que para resolver tais problemas deve- se levar em consideração a ordem e a maneira que são escolhidos os elementos que figuram a coleção que contém os referidos elementos. Essa primeira etapa é para situar o leitor no contexto da Análise combinatória.

Quando num problema figura uma coleção de elementos, é possível que a solução desse problema vá depender da maneira por que se escolhem alguns desses elementos e também da ordem em que os elementos se dispõem [...]Tais problemas constituem objeto de uma parte da Matemática denominada Análise Combinatória ou Cálculo Combinatório(ROXO, SOUZA e THIRÈ, 1940, p.75).

Segunda etapa: os autores apresentam uma classificação para os tipos de problemas estudados na Análise Combinatória e destacam que o texto tratará somente de problemas da “teoria dos agrupamentos”.

Terceira etapa: a Figura 18 mostra que, nesta etapa, os autores procuram explicar a noção de agrupamentos.

Figura 14:Noção de Agrupamento.

Fonte: Roxo, Souza e Thiré (1940)

Quanta etapa: consta em explicar o que são agrupamentos simples e agrupamentos com repetição. Para isso, os autores utilizam as letras a, b, c e d, formando agrupamentos com três letras.

Quinta etapa: informam que os arranjos, as permutações e as combinações, são as principais formas de agrupamentos estudadas na Análise combinatória. Porém, não explicam nesta etapa o que são essas formas de agrupamento.

Discurso tecnológico/teórico: observamos que a obra apresenta algumas ideias preliminares importantes para o desenvolvimento dos saberes da Análise Combinatória. Fato este que não foi identificado nas obras anteriores. No entanto, o discurso tecnológico/ teórico ainda consiste nos pressupostos de organizações didáticas Teoricistas, segundo as ideias de Gascón (2003). Da mesma forma identificamos que as tarefas e técnicas utilizadas, na obra de Roxo,

Thiré e Souza (1940), para apresentar as noções de Arranjo simples, Permutação simples e Combinação simples, são as mesmas identificadas no livro Élements d’Algèbre. Este fato reforça o aspecto Teoricista presente no livro. Contudo a Tarefa (T4.4) e a Tarefa (T4.5) ainda não foram identificadas em nenhuma das obras analisadas anteriormente.

Tarefa(T4.2) : apresentar a fórmula do número de Arranjos com repetição Técnica 4.2 e discurso tecnológico/teórico: a Figura 21 mostra que os autores realizaram uma exposição direta da fórmula. Este fato caracteriza ainda mais a postura didática teoricista. Pois segundo Gascón (2003), no Teoricismo o processo de ensino das matemáticas é um processo mecânico e totalmente controlado pelo professor.

Figura 15: Fórmula para o cálculo do número de Arranjos com repetição.

Fonte: Roxo, Souza e Thiré (1940)

Tarefa (T4.3): apresentar a noção de Permutações com elementos repetidos

Técnica 4.3 e discurso tecnológico/teórico: a Figura 24 mostra que os autores realizaram uma exposição direta da fórmula sem apresentar a noção de Permutação com elementos repetidos. Fato semelhante ao ocorrido na Tarefa (T4.2).

Figura 16: Permutação com elementos repetidos.

Fonte: Roxo, Souza e Thiré (1940)

Uma questão que observamos na obra de Roxo, Souza e Thiré (1940) foi o a forma como a fórmula para calcular o número de Combinações Completas (com elementos repetidos) é apresentada. Os autores optaram, sem nenhuma explicação, de apresentá-_{la por meio de uma nota de rodapé: “deixamos de incluir} exercícios numéricos sobre os problemas relativos às combinações com repetição, para o caso de m elementos o número total de combinações eneárias com elementos repetição será dado pela fórmula 𝐶𝑅_𝑚𝑛 = 𝐶_{𝑚+𝑛−1}𝑛 ” (ROXO, SOUZA e THIRÉ, 1940, p.78).

Algumas exercícios resolvidos do livro de Roxo, Souza e Thiré(1940), apresentam as mesmas tarefas, técnicas e discurso tecnológico/teórico do livro Tratado de Álgebra Elementar. Contudo os exercícios e organizações matemáticas a seguir ainda não haviam sido identificados nas obras analisadas anteriormente.

De quantos modos podemos dispor 5 cores, sem repetição, em quatro retângulo iguais, colocando como indica a figura, de modo a formar bandeiras diferentes? (ROXO, SOUZA e THIRÉ, 1940, p.81)

Tarefa (T4.4) calcular o número de bandeiras diferentes que podemos formar com 5 cores.

Técnica 4.4: a técnica foi realizada em duas etapas

Primeira etapa: substituindo os valores de m=5 e n=4 na fórmula para calcular o número de arranjos de m elementos tomados n a n: _𝐴54 _{= 5.4.3.2}

Segunda etapa: O produto foi efetuado. _𝐴54 _{= 120}

Discurso tecnológico/teórico: a noção de Arranjo de m elementos tomados n a n.

Num ramal de estrada de ferro existem 32 estações. A estrada deve possuir bilhetes que possuem indicar todas as viagens possíveis entre as estações. Qual é o número de bilhetes distintos? (ROXO, SOUZA e THIRÉ, 1940, p.81)

Tarefa (T4.5) calcular o número de Arranjos dos 32 elementos tomados 2 a 2.

Técnica 4.5: a técnica foi realizada em duas etapas

Primeira etapa: substituindo os valores de m=32 e n=2 na fórmula para calcular o número de arranjos de m elementos tomados n a n: _𝐴322 _{= 32.31}

Segunda etapa: O produto foi efetuado. _𝐴322 _{= 992}

Discurso tecnológico/teórico: a noção de Arranjo de m elementos tomados n a n.

Com os algarismos 2, 4, 6, e 8 quantos números diferentes de três algarismos podemos formar?(ROXO, SOUZA e THIRÉ, 1940, p.82)

Tarefa (T4.6): Determinar o número de Arranjos com repetição de 4 elementos 3 a 3.

Técnica 4.6: a técnica foi realizada pelos autores em duas etapas

Primeira etapa: substituindo os valores de m=4 e n=3 na fórmula para calcular o número de arranjos com repetição de m elementos tomados n a n: 𝐴𝑅43 = 43

Segunda etapa: A potência foi desenvolvida. _𝐴𝑅43 _{= 64}

Discurso tecnológico/teórico: a noção de Arranjo com repetição de m elementos tomados n a n.

Com as 26 letras do alfabeto quantos Arranjos ternários com repetição podemos obter?(ROXO, SOUZA e THIRÉ, 1940, p.82)

Tarefa (T4.7): Determinar o número de Arranjos com repetição de 26 elementos 3 a 3.

Técnica 4.7: a técnica foi realizada pelos autores em duas etapas

Primeira etapa: substituindo os valores de m=26 e n=3 na fórmula para calcular o número de Arranjos com repetição de m elementos tomados n a n: 𝐴𝑅263 = 263

Segunda etapa: A potência foi desenvolvida. _𝐴𝑅263 _{= 17576}

Discurso tecnológico/teórico: a noção de Arranjo com repetição de m elementos tomados n a n.

“Quantas permutações diferentes podemos formar com as letras da palavra MATEMATICA?” (ROXO, SOUZA e THIRÉ, 1940, p.84)

Tarefa (T4.8): Determinar o número de Permutações de 10 elementos com repetições de 2 elementos iguais(M), 2 elementos iguais(T), 3 elementos iguais(A).

Técnica 4.8: a técnica foi realizada pelos autores em três etapas

Primeira etapa: substituindo os valore de m=10, a´=2, b´=2 e c´=3 na fórmula para calcular o número de Permutação com elementos repetidos: 𝑃𝑅 = 10 !

3!.2!.2!

Segunda etapa: simplificaram a expressão. 𝑃𝑅 = 10.9.8.7.6.5 Terceira etapa: efetuaram o produto. _{𝑃𝑅 = 151200}

Discurso tecnológico/teórico: a noção de Permutação com elementos repetidos.

Exercício 8: Determinar o número de combinações binárias e ternárias de 9 elementos.

“Quantos “teams” diferentes de “basket-ball” se podem organizar com uma turma de 50 alunos, sabendo-se que em cada “team” figuram 5 jogadores?_{”(ROXO, SOUZA e THIRÉ, 1940, p.84)}

Tarefa(T4.9): Calcular o número de combinações de 50 elementos 5 a 5. Técnica 4.9: a técnica foi realizada em três etapas

Primeira etapa: substituindo os valores de m=50 e n=5 na fórmula para calcular o número de Combinações de m elementos tomados n a n:

𝐶505 =

50.49.48.47 5.4.3.2.1 .

Segunda etapa: foi efetuada a simplificação. 𝐶505 = 5.49.4.47

Segunda etapa: O produto foi efetuado. _𝐶505 _{= 2.118.760}

Discurso tecnológico/teórico: a noção de Combinação de m elementos tomados n a n.

Os exercícios que apresentamos em termos de organização praxeológica, observadas a partir das atividades matemáticas, realizadas por Roxo, Souza e Thiré (1940), nos revelam que as técnicas utilizadas valorizaram exclusivamente o uso das fórmulas para calcular o número de Arranjos, Permutações e Combinações. A lista de exercícios propostos é formada por um grupo de 30 questões que possuem as mesmas características dos exercícios resolvidos. Com isso, pode-se inferir que a resolução de problemas possui no contexto da obra uma função puramente secundária.

A análise realizada na obra de Roxo, Souza e Thiré (1940) que esteve dentro do programa de matemática, da reforma Campos, nos revelou que não houve mudanças significativas em relação aos saberes, a ensinar da Análise Combinatória, nas escolas brasileiras, descritos nos livros de Álgebra Elementar analisados neste texto. Seguimos analisando uma obra que esteve no contexto educacional da reforma Capanema.

A reforma educacional que ficou conhecida como reforma Capanema18

deu nova organização ao Ensino Secundário, criando o ginásio de quatro anos e os cursos clássico e científico de três anos. Segundo Carvalho (2012, p.25) os programas de matemática expedidos em 16 de março de 1943 estiveram em vigor durante muito tempo, sofrendo algumas adaptações em 1951. O autor ressalta, ainda, que a verdadeira mudança só ocorreria em 1967, com o advento do Movimento de Matemática Moderna.

Uma obra que teve importante destaque, em todo período que antecedeu