4. ANÁLISES PRAXEOLÓGICAS E ASPECTOS HISTÓRICOS DOS LIVROS DIDÁTICOS NO PERIODO
4.3. Análise de livro entre 1960 e 1980
O livro de Barbosa e Rocha (1970) apresenta o primeiro capítulo com o título “Regras de Contagens”. O segundo capítulo é destinado ao ensino da noção de Probabilidade. Na sequência, os autores descrevem o terceiro capitulo intitulado “Fórmulas do Cálculo de Combinatória”. Observamos que a organização dos capítulos ocorre dessa maneira porque os autores utilizam o primeiro capítulo como fundamentação teórica para os dois seguintes. Este fato representa uma significativa na obra de Barbosa e Rocha (1970) em relação às obras analisadas antes do período em questão.
A seguir descrevemos as tarefas, as técnicas e o discurso tecnológico/teórico das organizações didáticas e matemáticas que identificamos na obra de Barbosa e Rocha (1970).
Tarefa (T6.1): apresentar a regra da adição para conjuntos disjuntos dois a dois.
Técnica 6.1 e Discurso tecnológico/ teórico: os autores induzem um diálogo com os leitores lembrando que o número de elementos da união de dois conjuntos A e B, com interseção vazia, correspondem à soma do número de elementos de cada um desses conjuntos. Em seguida, eles descrevem a seguinte regra: N(AUB) = N(A) +N(B), com 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅. A figura 26 mostra que os autores também apresentaram de forma direta a extensão da regra da Adição.
Figura 18: Extensão da regra da Adição.
O discurso tecnológico/ teórico apresenta características de uma organização didáticateoricista.
Tarefa(T6.2) apresentar a regra da adição para dois conjuntos quaisquer Técnica 6.2 e discurso tecnológico/teórico: A figura 27 mostra que o autor procurou utilizar dois conjuntos quaisquer A e B, atribuindo-lhes cardinalidades representadas pelas letras x, y e z para justificar, por meio da visualização dos diagramas, que: 𝑁 𝐴𝑈𝐵 = 𝑁 𝐴 + 𝑁 𝐵 − 𝑁 𝐴 ∩ 𝐵 . O autor utilizou os diagramas de Venn20
para evitar o formalismo matemático da teoria dos conjuntos.
Figura 19: Relação da Inclusão-exclusão.
Fonte: Barbosa e Rocha (1970)
O discurso tecnológico/ teórico apresenta características de uma organização didáticateoricista
Tarefa(T6.3)apresentara regra da adição para três conjuntos
20. Segundo Eves (1997, p.451) os diagramas de Venn, em referência ao lógico inglês John Venn (1834-1923), são comumente utilizados para ilustrar graficamente, por meio de uma região plana, “classes de objetos”. O autor ressalta que o conceito de “classes de objetos” é fundamental em lógica, por exemplo: se P e Q são classes de objetos, então P∩Q (interseção) representa a classe de objetos que pertencem tanto a P como a Q.
Técnica 6.3 e discurso tecnológico/teórico: a técnica utilizada foi desenvolvida em quatro etapas. Os autores utilizaram a regra da inclusão- exclusão e as propriedades de conjuntos.
Primeira etapa: considerar os conjuntos A, B e C e aplicar a propriedade associativa da união entre conjuntos: AUBUC =(AUB)UC
Segunda etapa: aplicar a relação da inclusão-exclusão
𝑁 𝐴𝑈𝐵𝑈𝐶 = 𝑁 𝐴𝑈𝐵 + 𝑁 𝐶 − 𝑁 𝐴𝑈𝐵 ∩ (𝐶)
Terceira etapa: aplicar a propriedade distributiva da intersecção
𝑁 𝐴𝑈𝐵𝑈𝐶 = 𝑁 𝐴𝑈𝐵 + 𝑁 𝐶 − 𝑁 𝐴 ∩ 𝐶 𝑈(𝐵 ∩ 𝐶)
Quarta etapa: aplicar novamente a regra da inclusão-exclusão
𝑁 𝐴𝑈𝐵𝑈𝐶 = 𝑁 𝐴 + 𝑁 𝐵 + 𝑁 𝐶 − 𝑁 𝐴 ∩ 𝐵 − 𝑁 𝐴 ∩ 𝐶 − 𝑁 𝐵 ∩ 𝐶 + 𝑁(𝐴𝑈𝐵𝑈𝐶)
O discurso tecnológico/ teórico apresenta características de uma organização didáticateoricista
Tarefa(T6.4): apresentar a regra do produto
Técnica 6.4 e Discurso tecnológico/ teórico: a Figura 28 mostra que os autores utilizaram a noção de produto cartesiano entre os conjuntos A e B, para definirem a regra do produto. Em seguida, os autores apresentaram a extensão da regra do produto para um número n de conjuntos diferentes.
Figura 20: Regra do Produto
O discurso tecnológico/ teórico apresenta características de uma organização didáticateoricista
Tarefa (T6.5) apresentar a noção de árvore de possibilidades
Técnica 6.5 e Discurso tecnológico/ teórico: a técnica utilizada pelos autores parte de um exemplo que procura saber o número de casais que se podem ser formados com 4 rapazes e 3 moças. Em seguida, definiram a letra O como sendo a origem da árvore. Do ponto O saíram quatro caminhos diferentes com vértice na representação Ri, com i∈{1,2,3,4} de cada rapaz. Os caminhos são
denominados ramos da árvore. De cada vértice Ri saíram três outros caminhos
com vértices em Mj, j∈{1,2,3}, representando as moças. O número de pares
ordenados X = (Ri, Mj) é o resultado do exemplo. A Figura 29 mostra a árvore de
possibilidades construída pelos autores
Figura 21: Árvore de Possibilidade.
Fonte: Barbosa e Rocha (1970)
O discurso tecnológico/teórico apresenta características de uma organização didáticateoricista
O capitulo encerra com uma lista contendo 22 problemas de contagem. Alguns desses são aplicações diretas das regras e outros exploram as regras de forma diferentes. Os saberes presentes no capitulo I, da obra de Barbosa e Rocha
(1970), revelam novas classes de problemas que até então ainda não haviam sido identificadas nos livros analisados anteriormente. Contudo, entendemos que as atividades matemáticas propostas mantêm a resolução de problema no posto da trivialização, pois a ênfase das atividades é a exposição da Teoria. Neste caso, as evidencias apontam para uma organização didática que evidencia um discurso teórico cristalizado e, com isso, mantendo a resolução de problemas como uma atividade secundaria.
A seguir analisaremos alguns dos exercícios resolvidos, que constam no primeiro capítulo, do livro de Barbosa e Rocha (1970) objetivando analisar as organizações matemáticas.
Um jovem possui para trajes esporte 2 calças e 3 camisas, mas para social possui 2 ternos, 4 camisas e 3 gravatas. De quantas maneiras poderá se vestir ou de maneira esporte ou social? (BARBOSA e ROCHA, 1970, p.12).
Tarefa (T6.7) : calcular o número de resultados possíveis que a pessoa poderá se vestir socialmente ou esporte.
Técnica 6.8: a técnica possui três etapas
Primeira etapa: utilizar a regra do produto para calcular o número de trajes esporte. N(E) = 2x3 = 6
Segunda etapa: utilizar a extensão da regra do produto para calcular o número de trajes sociais. N(S) = 2x4x3 =24
Terceira etapa: utilizar a regra da adição para dois conjuntos disjuntos N(E U S) = N(E) + N(S) = 30
Discurso tecnológico/teórico: a regra do produto e a regra da adição, fundamentadas pelas noções de conjuntos.
Uma urna possui 2 bolas amarelas, 1 verde e 1 branca; fazendo 3 retiradas sucessivas, sem reposição: a) quantas possibilidades existem? b) saindo uma de cada cor, quantas são as possibilidades?(BARBOSA e ROCHA, 1970, p.14).
Tarefa (T6.9): calcular o número de possibilidades que existem para retirar três bolas simultaneamente de uma urna com 2 bolas amarela, 1 verde e 1
branca. Em seguida, calcular o número de possibilidades que existem saindo apenas resultados com uma cor.
Técnica 6.10: consiste na construção de uma árvore de possibilidade (Figura 30) nas seguintes etapas
Primeira etapa: nomear as bolas: A1 e A2, V1, B1.
Primeira etapa: fixar uma origem
Segunda etapa: criar os ramos com uma bola em cada vértice, primeira retirada.
Terceira etapa: cada vértice será origem de três outros ramos, com uma bola em cada vértice.
Quarta etapa: cada vértice será origem dos ramos com vértices nas bolas restantes.
Figura 22: Árvore de possibilidades relativa ao problema.
Fonte: BARBOSA e ROCHA (1970)
Quinta etapa: contar o número de ramos completos a partir da origem O, obtendo 12 possibilidades.
Sexta etapa: contar o número de ramos completos a partir da origem O, que apresentem vértices com cores diferentes: 6 possibilidades.
Discurso tecnológico/teórico: listagem direta dos agrupamentos realizada por meio da noção de Grafos.
A seguir descrevemos as tarefas, as técnicas e o discurso tecnológico/teórico das organizações didáticas e matemáticas que identificamos no Capitulo III, intitulado “Fórmula do Cálculo Combinatório”, obra deBarbosa e Rocha (1970).
Tarefa (T6.11): determinar o número de funções injetora𝑓: 𝐴 → 𝐵, sendo 𝐴 = 𝑎1,𝑎2,𝑎3, . . ,𝑎𝑘 , com k elementos e 𝐵 = 𝑏1,𝑏2,𝑏3, . . ,𝑏𝑛 , com n elementos.
Técnica6.11 e discurso tecnológico/ teórico: a técnica parte da noção de função injetora: uma função 𝑓: 𝐴 → 𝐵 será injetora quando cada elementos do conjunto imagem de 𝑓 for elemento de um único elemento de 𝐴, isto é, dois elementos diferentes de 𝐴, 𝑎1𝑒 𝑎2, têm imagens diferentes em 𝐵. Admite-se que
k≤n e seleciona qualquer elemento do conjunto 𝐴, que seja 𝑎1. Na formação das correspondências que deverão existir entre os elementos de A e os elementos de B, verificamos que para o elemento 𝑎1 existe n possibilidades de imagens em B. Tendo o elemento 𝑎1 correspondido com algum elemento em B, restarão (n-1)
elementos possíveis para que sejam imagem de algum elemento e A, diferente de 𝑎1, supondo 𝑎2·. O próximo elemento do conjunto A possuirá (n-2) elementos
possíveis para corresponder em B. E, assim sucessivamente, até que ao k-ésimo elemento de A só poderá corresponder com um dos [n-(k-1)] elementos restantes de B. Em seguida, aplica-se a extensão da regra do produto para obter o número de funções injetora que os autores representam por 𝑁𝐼 𝐴 → 𝐵 = 𝑛. 𝑛 − 1 . 𝑛 − 2 … [𝑛 − 𝑘 − 1 ]. Para justificar a técnica dos autores o discurso tecnológico/ teórico consiste na noção de função, na noção de função injetora, na noção de produto cartesiano, no princípio da indução finita e regra do produto.
Tarefa (T6.12): determinar o número de funções não injetora 𝑓: 𝐴 → 𝐵, sendo 𝐴 = 𝑎1,𝑎2,𝑎3, . . ,𝑎𝑘 , com k elementos e 𝐵 = 𝑏1,𝑏2,𝑏3, . . ,𝑏𝑛 , com n elementos.
Técnica 6.12 e discurso tecnológico/ teórico:a técnica consiste em admitir que o K ≥ n e, com isso, cada dois elementos diferentes do conjunto A poderão ter a mesma imagem. Na formação das correspondências que deverão existir entre os elementos de A e os elementos de B, verificamos que para o elemento, por exemplo, 𝑎1 existe n possibilidades de imagens em B. Tendo o elemento 𝑎1 correspondido com algum elemento em B, restarão n elementos possíveis para que sejam imagem de algum elemento e A, diferente de 𝑎1,
supondo 𝑎2. O próximo elemento do conjunto A possuirá n elementos possíveis
para corresponder em B. E, assim sucessivamente, até que ao k-ésimo elemento de A poderá corresponder com n elementos restantes de B. Em seguida, aplica- se a extensão da regra do produto para obter o número de funções não injetora que os autores representam por 𝑁 𝐴 → 𝐵 = 𝑛. 𝑛. 𝑛 … 𝑛 = 𝑛𝑘. Para justificar a
técnica dos autores o discurso tecnológico/ teórico consiste na noção de função, na noção de função injetora, na noção de produto cartesiano, no princípio da indução finita e regra do produto.
Tarefa(T6.13) : determinar o número de funções bijetora𝑓: 𝐴 → 𝐵, sendo 𝐴 = 𝑎1,𝑎2,𝑎3, . . ,𝑎𝑘 , com k elementos e 𝐵 = 𝑏1,𝑏2,𝑏3, . . ,𝑏𝑛 , com n elementos.
Técnica 6.13: a técnica consiste nas seguintes etapas
Primeira etapa: explicar que as funções ditas bijetoras são consideradas ao mesmo tempo funções: injetora e sobrejetora.
Segunda etapa: explicar que por ser injetora K≤n; e sendo sobrejetiva todo elemento do conjunto B é imagem de pelo menos um elemento do conjunto A.
Terceira etapa: considerar que diante do exposto K = n Quarta etapa: substituir na fórmula obtida na Técnica 5.9 𝑁𝐵 𝐴 → 𝐵 = 𝑛. 𝑛 − 1 . 𝑛 − 2 … [𝑛 − 𝑛 − 1 ].
Quinta etapa: efetuar a operação. 𝑁𝐵 𝐴 → 𝐵 = 𝑛. 𝑛 − 1 . 𝑛 − 2 … 3.2.1 Sexta etapa: informar que 𝑛. 𝑛 − 1 . 𝑛 − 2 … 3.2.1 = 𝑛!
O discurso tecnológico/ teórico consiste na noção de função, noção de função injetora, noção de função sobrejetora, noção de função bijetora, noção de produto cartesiano, no princípio da indução finita e regra do produto.
A Tarefa de apresentar a noção de Arranjos simples e Permutações simples é uma Tarefa comum a todos os livros analisados anteriormente. Contudo a Técnicas para desenvolver tais noções é completamente diferente. Mas, o discurso tecnológico/teórico é o mesmo apresentado por todos os livros analisados anteriormente.
Técnica 6.14: a técnica consiste nas seguintes etapas
Primeira etapa: um conjunto 𝐴 = {1, 2, 3} com um pequeno número de elementos e um conjunto qualquer 𝐵 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒}, com um número maior ou igual de elemento do conjunto 𝐴.
Segunda etapa: admitir uma função 𝑓: 𝐴 → 𝐵.
Terceira etapa: exemplificar uma possível função 𝑓: 𝐴 → 𝐵 que seja injetiva.
1→ 𝑎 2→ 𝑏 3→ 𝑐
Quarta etapa: explicar que o subconjunto do conjunto B formado pelas imagens da função, {a, b, c}, é diferente de outro subconjunto de B formado pelos mesmos elementos, por exemplo, {b, a, c} ou {c, b, a}, porque constituiria outra função injetora. Sendo assim, deve-se esclarecer que os conjuntos imagens possuem os mesmos elementos, mas a ordem dos elementos é diferente.
Quarta etapa: explicar que os subconjuntos {a, b, c}, {b, a, c}, {c, b, a}, são Arranjos simples do conjunto B, selecionados 3 a 3. O número de elementos do conjunto A que corresponde com o número de elementos dos Arranjos é chamado de classe ou taxa. Assim, para K = 1, 2, 3, 4,...,n, tem-se Arranjos unitários, Arranjos binários, ternários,..., e Arranjos plenos.
Quinta etapa: explicar que Arranjos plenos são denominados Permutação simples. Isto ocorrerá com funções 𝑓: 𝐴 → 𝐵 bijetivas.
Sexta etapa: explicar que os subconjuntos do conjunto B que sejam formados por elementos que podem ser repetidos, mas respeitando a ordem, por exemplo, {a, b, c}, {a, a, b} e {b, a, a}, são denominados Arranjos com repetição do conjunto B tomado 3 a 3.
O Discurso tecnológico/teórico apresenta características de uma organização didáticateoricista.
Observamos que Barbosa e Rocha (1970) apresentam as noções de Arranjos simples, Arranjos com repetições e Permutação simples, fortemente sustentadas pela teoria dos conjuntos e as noções de funções. Isto representa uma grande mudança, nas organizações didáticas e nas organizações matemáticas, em relação às outras obras analisadas anteriormente. Os Arranjos com repetições, descritos nas demais obras, apresentavam a fórmula, sem o devido cuidado em discutir a forma como esses agrupamentos são constituídos. No caso do livro em análise, a fórmula é apresentada, por meio de uma técnica que se justifica por um forte arcabouço tecnológico/teórico descritos Tarefas (T6.1), T6.2, T6.3 e T6.4. As evidencias apontam para uma organização didática Teoricista, à luz dos conceitos de Gascón (2003).
Tarefa de apresentar a fórmula para calcular o número de Arranjos com repetição de elementos só foi identificada nos livros de Roxo, Souza e Thiré(1940) e Carvalho (1956). Contudo a Técnica 6.16 não é a mesma apresentada pelos livros citados. No entanto, o discurso tecnológico/teórico se mantem constante.
Técnica 6.15: a técnica é desenvolvida nas seguintes etapas
Primeira etapa: explicar novamente que os Arranjos simples são conjuntos imagens constituídas por funções injetora 𝑓: 𝐴 → 𝐵 , sendo A um conjunto com k elementos, B um conjunto com n elementos e k≤n. Com isso, os Arranjos são subconjuntos, ordenados, do conjunto B com n elementos tomados k a k.
Segunda etapa: apresentar a fórmula na Técnica 5.9 como sendo a fórmula para calcular o número de Arranjos simples de um conjunto com n elementos tomados k a k: 𝐴𝑛𝑘 = 𝑛. 𝑛 − 1 . 𝑛 − 2 … [𝑛 − 𝑘 − 1 ].
Terceira etapa: explicar que Arranjos plenos são denominados Permutação simples. Isto ocorrerá com funções 𝑓: 𝐴 → 𝐵 bijetoras. E, com isso, k = n.
Quarta etapa: substituindo k = n na fórmula do Arranjo obtém-se a fórmula da 𝑃𝑛 = 𝑛. 𝑛 − 1 . 𝑛 − 2 … 3.2.1.
Sexta etapa: explicar que os subconjuntos do conjunto B que sejam formados por elementos que podem ser repetidos, mas respeitando a ordem, por exemplo, são denominados Arranjos com repetição do conjunto B com n elementos tomados k a k.
Sétima etapa: utilizar a fórmula desenvolvida na técnica 5.10. 𝐴𝑅𝑛𝑘 = 𝑛𝑘 Discurso tecnológico/ teórico: apresenta características de uma organização didáticateoricista.
No caso da fórmula para calcular o número de combinações simples de n elementos tomados p a p, identificamos que a tarefa, a técnica e o discurso tecnológico/teórico se mantêm idênticos a todos os livros analisados anteriormente. Este fato pode ser observado na figura 31.
Figura 23: Fórmula da Combinação Simples.
Fonte: Barbosa e Rocha (1970)
Tarefa (T6.17) : Determinar o número de maneiras que se pode separar em dois subconjunto possível o conjunto A com n elementos.
Técnica 6.17: a técnica desenvolvida pelos autores consiste nas seguintes etapas.
Primeira etapa: considerar que o conjunto A será separado em dois subconjuntos 𝐴1e 𝐴2, com 𝑘1e 𝑘2 elementos respectivamente.
Segunda etapa: partir do princípio que 𝐴1𝑈𝐴2 =𝐴 e que 𝐴1∩ 𝐴2 = ∅, para que sejam Combinações complementares. E, com isso, 𝑘1+𝑘2 = 𝑛.
Terceira etapa: para os possíveis subconjuntos 𝐴1,·, com 𝑘1 elementos, têm-se que: 𝐶𝑛𝑘1 =𝑛. 𝑛−1 . 𝑛−2 …[𝑛− 𝑘1+1 ]
(𝑘1!)
Quarta etapa: multiplicando numerado e denominador pelo fator(𝑛 − 𝑘1)! , tem-se que: 𝐶𝑛𝑘1 =𝑛. 𝑛−1 . 𝑛−2 …[𝑛− 𝑘1+1 ]
(𝑘1!) .
𝑛−𝑘1 !
Quinta etapa: o número de maneiras possíveis de separar o conjunto A, com n elementos, em dois subconjuntos 𝐴1e 𝐴2, com 𝑘1e 𝑘2 elementos é:
𝐶𝑛𝑘1,𝑘2 =𝑘1! 𝑛!.𝑘2!.
Discurso tecnológico/ teórico: a justificativa consiste na noção de Combinação simples e a idéia de Combinações complementares. Observamos um discurso abstrato caracterizado por um raciocínio algébrico.
Tarefa de apresentar a fórmula para calcular o número de Permutações com repetição de elementos só foi identificada nos livros de Roxo, Souza e Thiré (1940) e Carvalho (1956). Contudo a Técnica 6.18 não é a mesma apresentada pelos livros citados. No entanto, o discurso tecnológico/teórico se mantem constante.
Tarefa (T4.3) do Livro de Roxo, Souza e Thiré (1940): Determinar o número de Permutações com elementos repetidos.
Técnica 6.18: a técnica será dividida nas seguintes etapas
Primeira etapa: considerando uma ordenação que existam entre os 𝑛 elementos 𝑥1 de um tipo a, indistinguíveis entre si; 𝑥2 de um tipo b, indistinguíveis entre si; 𝑥3 de um tipo c, indistinguíveis entre si; 𝑥𝑘 de um tipo k, indistinguíveis entre si; e se deseja formar o número de ordenações distintas.
Segunda etapa: se as letras fossem diferentes o numero de permutações corresponderia a 𝑛!.
Terceira etapa: verificar que o resultado anterior não é correto, pois existem letras do tipo a, que repetem 𝑥1! vezes nos anagramas; letras do tipo b,
que repetem 𝑥2! vezes nos anagramas e, assim diante, até letras do tipo k, que
repetem 𝑥𝑘! vezes nos anagramas.
Quarta etapa: o número de Permutações é o resultado da divisão de 𝑛!. Pelo seguinte produto 𝑥1!.𝑥2! .𝑥3!… 𝑥𝑘! .
Sexta etapa: anunciar a fórmula geral. P(𝑥1,𝑥2,𝑥3… 𝑥𝑘) =𝑥 𝑛!
As organizações matemáticas do livro de Barbosa e Rocha (1970) apresentam em geral o bloco do saber, no contexto da Análise Combinatória, fundamentado nas noções de conjuntos, de função injetora e não injetora bijetora e nas operações algébricas. Enquanto que as organizações didáticas continuam apresentando-se no contexto das organizações Teoricistas contudo, observamos uma mudança na fundamentação teórica que abrange a noção de Arranjo simples, Permutação simples e Arranjo com elementos repetidos, que ainda não havia sido observada nas obras anteriormente analisadas.
Pinto (2005) explica que a busca por um ensino de matemática consolidado pelas estruturas algébricas, pela teoria dos conjuntos e pelo rigor das práticas formalistas eram algumas características do Movimento da Matemática Moderna. Contudo, mesmo diante de tantas transformações ocorridas por esses Movimento, a noção de Combinação simples e o discurso tecnológico, que justifica a técnica para o cálculo do número de Combinações simples, ficaram inalterados desde o livro de Bourdon (1981). A noção de partição (no livro Dicotomias) e de Permutação com elementos repetidos e suas respectivas fórmulas são saberes com pouco ou nenhuma frequência nas obras analisadas anteriormente.
Analisaremos a seguir as outras organizações matemáticas por meio de alguns os exercícios resolvidos do livro de Barbosa e Rocha (1970).
Dispõe-se de dois conjuntos:
A = conjunto de 2 fitas: verde e azul B = conjunto de 4 meninas: a, b, c e d
De quantas maneiras diferentes podemos colocar as fitas nas meninas, não podendo cada menina ficar com mais que uma fita?(BARBOSA e ROCHA, 1970, p.47).
Tarefa (T6.19): Determinar o número de funções 𝑓: 𝐴 → 𝐵 que sejam injetivas. A tarefa pode também ser interpretada como sendo para calcular o número de Arranjos de 4 elementos tomados 2 a 2.
Primeira etapa: verificar que há 4 possíveis meninas que podem utilizar a fita verde. Tendo uma menina escolhido a fita verde, então restarão 3 meninas para escolher uma fita azul.
Segunda etapa: utilizando a regra N(𝐴 → 𝐵) = 4x3 = 12
Discurso tecnológico/teórico: observe que as meninas dependem das fitas, por isso, A em relação a B. A noção de arranjo de n elementos tomados k a k é fundamentada pela noção de conjuntos e funções injetora.
Dispõe-se de um conjunto de 5 meninos e de um conjunto de 3 lugares num banco, de quantas maneiras os meninos poderiam se sentar, ficando cada lugar ocupado por um menino.(BARBOSA e ROCHA, 1970, p.47).
Tarefa (T6.20): determinar o número de funções 𝑓: 𝐴 → 𝐵 , sendo A o conjunto dos lugares e B o conjunto do meninos, que sejam injetivas. A tarefa pode também ser interpretada como sendo para calcular o número de Arranjos de 5 elementos tomados 3 a 3.
Técnica 6.20: a técnica será dividida nas seguintes etapas
Primeira etapa: verificar que há 5 possíveis meninos que podem sentar em qualquer um dos três lugares do banco. Tendo um menino escolhido o lugar, então restarão 4 meninos para escolher o próximo lugar. O próximo lugar do banco será escolhido por um dos 3 últimos meninos.
Segunda etapa: utilizando a regra N(𝐴 → 𝐵) = 5x4x3 = 60
Discurso tecnológico/teórico: observe que os meninos dependem dos lugares do banco, por isso, A em relação a B. A noção de arranjo de n elementos tomados k a k é fundamentada pela noção de conjuntos e funções injetora.