Análise do pré-teste

O pré-teste ocorreu no dia 04/09 e durou de 50 minutos. O perfil da classe é de uma sala boa, apesar de alguns alunos apresentarem dificuldades, segundo a própria professora de Matemática da turma. A idade dos 36 alunos participantes do pré-teste variava entre 11 e 13 anos.

O pré-teste era composto de dez divisões, nas quais as cinco primeiras foram apresentadas com o símbolo ÷. As outros cinco foram representadas com a “chave”. Nos sete itens iniciais, o divisor possuía um algarismo e nos três seguintes, dois algarismos no divisor. O enunciado foi o seguinte: resolva as divisões deixando seus respectivos restos.

Alguns alunos podem resolver as divisões, utilizando da tentativa e erro; que número (quociente) multiplicado pelo divisor resultará no dividendo? Seria

uma espécie de prova real em que um dos valores (o valor do quociente) seria “chutado”. Este tipo de raciocínio até tem seu valor, porém nos mostra uma deficiência do aluno para dividir. Poderemos também no deparar com erros referentes às operações da adição e da multiplicação, além de outros por falta de atenção.

Acreditamos que a maior ocorrência de erro, será nos itens h), i) e j) pois são algoritmos com números com dois algarismos no divisor. Gregolin (2002) menciona que os estudantes apresentam uma dificuldade maior em operacionalizar Algoritmo da Divisão, quando o divisor possui um número com mais de um algarismo, em que a maior incidência de erros recai sobre a estrutura do algoritmo.

A partir deste teste diagnóstico, selecionaremos os alunos que apresentarem mais dificuldades para participarem da oficina com o NIM.

O erro apresentado na Figura 6 é um caso de falha na divisão, usando o método da subtração sucessiva.

Nestes itens, percebemos que o estudante também não se deu conta de que o quociente ficou maior que o dividendo. Este aluno foi o único dos 36 a fazer pelo método das subtrações sucessivas, apesar do erro apresentado. Bastaria que somasse os valores obtidos no quociente, e o resultado estaria correto, tanto que a resposta do item a) é 14(9+5) e do item é 11(9+2).

No item b) um estudante acertou, mas não passou de coincidência, visto o valor que ele escreveu como resto. A Figura 7 ilustra tal procedimento.

Figura 7: "Acerto" do aluno Marcelo

Neste caso, em particular, apesar do valor do quociente estar correto, coincidentemente o valor do resto “apareceu” na segunda linha (02). Mas isso foi apenas uma coincidência, tanto que nos demais algoritmos, usando esta mesma “técnica”, não apareceu o resto em lugar algum, como podemos perceber na Figura 8 os item c), d) e e).

No item c) o aluno fez: 13 dividido por 5 resulta em 2, e 2 vezes 5 é 10, para 13 restam 3 (este 3 é o que está abaixo do 13). Em seguida, fez: 8 dividido por 5 resulta em 1, e 1 vezes 5 é 5, para 8 sobram 3 (este 3 é o 3 que está abaixo do 8). Chegando assim ao resultado 21 desta divisão. Nos itens c) e d) desta figura, o estudante usou o mesmo procedimento. Notamos que mesmo que o estudante tivesse realizado a subtração como deixou indicado, não traria qualquer relevância ao algoritmo e, nestes casos, o resto sequer apareceu, levando nos a crer que a “aparição” do resto no item b) foi apenas uma coincidência.

A seguir, o erro encontrado no item d) do pré-teste, e também, do pós-teste pelo mesmo estudante. A Figura 9 retrata o erro cometido pelo aluno Luis.

Figura 9: Erro cometido pelo aluno Luis

O estudante, provavelmente, tenha realizado os seguintes procedimentos: 37 dividido por 6 resulta em 6 e colocou o 6 no quociente. Como 6 vezes 6 é 36, o estudante escreveu 36 abaixo do 37 e mesmo sem registrar o sinal de menos, fez a subtração e obteve resto 1. Como 1 não divide por 6, o educando colocou 0 no quociente e abaixou o 7, ficando 17 dividido por 6. Daí em diante, o procedimento está correto. Novamente nos deparamos com mais um estudante que não percebeu que o quociente está maior que o dividendo, mesmo o divisor sendo um número maior que 1.

Uma estudante que apresentou um resultado muito bom no pré-teste, escreveu um pequeno x (sinal de vezes) na chave, possivelmente, para estar sempre lembrando que deve multiplicar o quociente pelo divisor. A Figura 10

mostra como essa aluna fez o algoritmo, porém este item, em especial, contém um erro que relataremos a seguir.

Figura 10: Erro cometido pela aluna Graziela

Na figura 10 queremos ressaltar dois aspectos. Primeiro, como mencionamos o sinal de vezes (x) na chave que foi escrito em todos os itens. O segundo aspecto, é um erro parecido com o qual havíamos previsto na análise do pré-teste. Inicialmente, a aluna escreveu 1 (122) no quociente. Pela sua escrita percebemos que a estudante realizou os seguintes procedimentos: 1×8=8 (número que aparece abaixo do 7 (779), utilizando, assim, o método longo do Algoritmo da Divisão. A seguir, fez 8−7=1 (maior menos o menor, independente do número estar no minuendo ou no subtraendo). Esse tipo de erro havíamos relatado com base nos trabalhos de Gregolin (2002). Daí em diante, não houve outros erros no algoritmo.

A aluna demonstrou clareza na relação: divisor, quociente, resto e dividendo e talvez, por isso, não encontrou grandes dificuldades na operacionalização dos cálculos propostos mesmo cometendo alguns erros como acabamos de citar.

Deparamo-nos com um tipo de erro no qual o aluno mesclou o método longo com o método das subtrações sucessivas e o se estudante perdeu-se no desenvolvimento do algoritmo. A Figura 11 ilustra esse erro.

Figura 11: Erro cometido pelo aluno Eduardo

O estudante começou o algoritmo corretamente pelo método longo.

e como e

9 8

77÷ = 9×8=72 77−72=5. Abaixando o 9, ficou com .

Nesta etapa do algoritmo, o aluno escreveu 6 e como

8 59÷ 48

8

6× = e .

Com o “resto 11” continuou fazendo a divisão por 8 e obteve o valor 1 no quociente. Daí em diante aconteceu outro erro de subtração, mas vamos analisar o que se verificou até esta etapa da divisão.

11 49

59− =

Outro erro que também ocorreu com o método da subtração sucessiva, a estudante misturou esse processo com o método curto, conforme ilustrado na Figura 12. Havíamos previsto este tipo de erro em nossas análises a priori, mas sem o emprego da vírgula.

Figura 12: Erro cometido pela estudante Luana

A aluna dividiu 57 por 4 e chegou ao resultado 10, então, e . Tendo agora o 17 dividido por 4, obteve como resultado 4 e resto 1.

40 4 10× = 17 40 57− =

Abaixando o 4, restou a divisão de 14 por 4, obtendo a resposta 3 e resto 2. Assim como no exemplo anterior, obteve-se um “resto” maior que o divisor.

Um dos estudantes cometeu um erro na divisão com dois algarismos, mostrando que ele ainda está fortemente ligado à ideia do Algoritmo da Divisão com apenas um algarismo no divisor. No item h), ele se perdeu nas ideia e não conseguiu concluir seu raciocínio, mas no item i) ele foi adiante, deixando claro sua maneira de resolver o Algoritmo da Divisão com 2 algarismos no divisor, conforme mostra a Figura 13.

Figura 13: Erros cometidos pelo estudante Gabriel

No item h), (exercício da esquerda), o estudante começou dividindo 8 por 2 chegou à resposta 4. Assim, multiplicou 4 por 2 e obteve 8, (deveria multiplicar 4 por 25). Fazendo pelo método longo, efetuou 8−8=0 e abaixou o 7. Realizando o mesmo procedimento, dividiu 7 por 2, chegou ao resultado 2. Multiplicou 2 (do quociente) por 2 (do divisor) e obteve 4. Então,7−4=3 e abaixou o 5. Daí em diante não soube como continuar. O estudante praticamente ignorou o algarismo 5 que correspondia ao valor da dezena.

A mesma ideia aconteceu no item i). A ideia foi análoga ao exercício h), tanto que se multiplicarmos 457 por 3 e adicionarmos 3, teremos:

. Na verdade, a divisão realizada não foi por 32 e sim por 3. Em momento algum, o aluno multiplicou o quociente por 32 (divisor), multiplicou somente por 3. 374 . 1 3 3 457× + =

Como imaginamos, boa parte dos estudantes realizou o método curto da divisão para divisores formados por número com um algarismo e o método longo para divisores com formados com número que com dois algarismo.

Alguns erros que mencionamos na análise a priori, realmente, apareceram. Erros esses em que os estudantes subtraíram e multiplicaram de forma equivocada, mas surgiram outros em que foi compreender o raciocínio do estudante, porém deparamos-nos com erros tão “complexos” que não conseguimos compreender a linha de raciocínio dos alunos.

Como previmos na análise a priori, a maioria dos alunos errou ou simplesmente não fiz os item: h), i) e j) possivelmente porque seus divisores eram compostos de números de dois algarismos. Constatamos também diversos erros mencionados por Gregolin (2004), sobretudo na multiplicação e na subtração. A seguir os dados do Quadro 2 mostram o desempenho dos 36 estudantes em cada uma das questões.

Quadro 2: Erros e acertos dos alunos em cada questão do pré-teste

Questões desempenho a b c d e f g h i j Corretas _{21 19 19 15 7 18 14 10 8 0} Em branco _{0 1 1 2 5 5 7 11 12 13} Erradas _{15 16 16 19 24 13 15 15 16 23}

Analisando os dados, podemos perceber que os itens e, h, i e j, foram os em que mais ocorreram questões erradas ou em branco. Surpreendemo-nos com o item e), pois foi a questão que apresentou a maior quantidade de erros e, no entanto, o divisor possuía um número com apenas um algarismo.

No Apêndice B, encontra-se uma tabela em que é possível verificar a quantidade de acertos, questões em branco e os erros de cada estudante que participou do pré-teste. Os alunos que participaram das oficinas com NIM, foram identificados pelo nome e os demais, por um número.

Verificamos que erros referentes à multiplicação ocorreram em praticamente todos os itens. Foram totalizados 15 erros de multiplicação diferentes, comprometendo assim, os resultados do Algoritmo da Divisão. É difícil saber se os erros foram caracterizados por desconhecimento da tabuada ou por distração. Constatamos vários erros referentes à estrutura do algoritmo. Acreditamos que o NIM com sua respectiva estratégia possa resgatar o algoritmo, bem como ajudar no aperfeiçoamento da divisão.