PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO
PUC/SP
MILTON CASSIANO
O Jogo do NIM: uma alternativa para reforçar o Algoritmo
da Divisão no sexto ano do Ensino Fundamental
MESTRADO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO
PUC/SP
MILTON CASSIANO
O Jogo do NIM: uma alternativa para reforçar o Algoritmo
da Divisão no sexto ano do Ensino Fundamental
Dissertação apresentada à Banca Examinadora da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, como exigência parcial para obtenção do título de MESTRE EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, sob a orientação da Professora Doutora Maria José Ferreira da Silva.
Banca Examinadora
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Autorizo, exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total ou parcial desta Dissertação por processos de foto copiadoras ou eletrônicos.
“O tempo é algo que não volta atrás, portanto, plante seu jardim e decore sua alma ao invés de esperar que alguém lhe mande flores”.
A
GRADECIMENTOS
A Deus pela força, capacidade e discernimento em conduzir a realização deste estudo.
À minha orientadora Doutora Maria José Ferreira da Silva, pela competência e dedicação que me orientou, fazendo com que esta pesquisa se concretizasse.
Aos professores Doutores Saddo Ag Almouloud e Ana Chiummo, por suas contribuições tão pertinentes para realização e desenvolvimento deste estudo.
A Lídia e Ana Maria, responsáveis pela Bolsa Mestrado pelo apoio, incentivo e, também, por me instruírem de modo competente a respeito de toda a documentação referente à bolsa.
À Secretaria da Educação do Estado de São Paulo, por custear os estudos e, assim, permitir que eu pudesse avançar profissionalmente proporcionando a realização desta pesquisa.
Aos colegas do curso de graduação que mesmo distantes torciam por meu sucesso e aos colegas do Mestrado pelo apoio, auxilio e companheirismo durante o curso. Em especial aos amigos Gilson e Ana Maria pelo apoio, carinho e auxilio em diversas etapas desta árdua jornada. Sempre dispostos a ajudarem sem medir esforços.
Aos professores do Centro Universitário Fundação Santo André Leila Modanez, Antonio Carlos Cattaruzzi e Antonio Carlos Garcia, pelo incentivo que me deram durante a graduação, para que eu desse andamento a minha vida acadêmica, cursando o Mestrado.
A Ana Rebeca, Cristiane e Eliana por disporem de seu tempo e contribuírem com suas importantíssimas observações durante as oficinas do jogo do NIM.
Aos mestres que passaram em minha vida, em especial, aos professores do Programa de Mestrado em Educação Matemática da PUC-SP que por meio de sabias contribuições ajudaram nesta pesquisa.
A meus pais e irmãos, que compartilharam todos os momentos de alegria e angústia, desde o processo seletivo até a etapa final.
Ao Gilson que, inúmeras vezes, abriu mão de seus afazeres para auxiliar, trazendo contribuições importantes a meu trabalho.
A Ivete, Ivo, Rebeca, Rosania, Sonia, Patrícia e Victoria, que inúmeras vezes motivaram-me a seguir adiante mesmo mediante as dificuldades.
Ao secretário Francisco que, por várias vezes, com competência instruiu-me como melhorar meu trabalho, dando-me valiosas dicas.
Finalmente, agradeço a todos os que de maneira direta ou indireta contribuíram de maneira significativa, para a conclusão desta pesquisa.
R
ESUMO
O jogo sempre fez parte do dia a dia das crianças desde os primeiros anos de idade. Assim, quando jogam elas questionam, fazem perguntas, concentram-se, abstraem, usam a imaginação e ficam horas a fio brincando. Desse modo, este estudo teve como objetivo verificar como o jogo do NIM pode auxiliar na construção ou aprimoramento do Algoritmo da Divisão. Foi realizada uma pesquisa qualitativa, com aplicação de um pré-teste para que alguns alunos fossem selecionados para participarem das oficinas que envolviam o jogo do NIM. O presente estudo baseou-se na Teoria das Situações Didáticas de Brousseau (1996) e a escolha metodológica apoiou-se nos pressupostos da Engenharia Didática de Artigue (1996) que contribuíram para o alcance de nossos objetivos. Diante dos resultados apresentados no pré-teste e mesmo no pós-teste, as dificuldades apresentadas pelos estudantes, perante o Algoritmo da Divisão, ficaram claras, o que pode ser de grande valia para estudos futuros a respeito do tema.
A
BSTRACT
Games have always been a part of the daily life from children since the first years of age. Thus, when they play, they question, ask questions, focus, abstract, use their imagination and spend hours playing. This way, the purpose of this study was to verify how the NIM game can help the construction or improvement of the division algorithm. A qualitative research was done with the application of a prior test and some students were selected to participate in the workshops that involved the NIM game. This study was based on Brouseau’s Theory of Didactic Situations (1996) and the methodological choice was based on the theory of Didactic Engineering from Artigue (1996) that contributed to the achievement of our goals. Facing the results presented in the prior test and even in the after test, the difficulties presented by the students were clear, regarding the division algorithm and that can be of great value for future studies about the theme
S
UMÁRIO
INTRODUÇÃO ... 13
CAPÍTULO I ... 17
1 Problemática ... 17
1.1 Justificativa ... 17
1.2 Aspectos metodológicos ... 21
1.3 Quadro teórico ... 26
CAPÍTULO II ... 33
2 Um breve estudo a respeito da utilização de jogos ... 33
2.1 Definição do jogo e suas classificações ... 33
2.2 Características dos jogos ... 36
2.3 Jogo e educação ... 38
2.4 Aspectos históricos dos jogos ... 41
2.5 Vantagens e desvantagens da utilização de jogos em sala de aula ... 42
2.6. O jogo do NIM ... 48
2.6.1 Como jogar o NIM? ... 48
2.6.2 Estudo Matemático do jogo do NIM ... 49
CAPÍTULO III ... 55
3 Divisão ... 55
3.1 Escolha do Algoritmo da Divisão ... 55
3.2 Erros comuns no Algoritmo da Divisão ... 60
3.3 Tipos de algoritmos para a divisão ... 60
3.3.1 Método curto ... 61
3.3.2 Método longo ... 62
3.3.3 Algoritmo Americano/Inglês ou das subtrações sucessivas ... 63
3.3.4 Divisão Egípcia ... 65
3.3.5 Método dos múltiplos do divisor ... 66
3.3.7 Método da divisão por decomposição ... 67
3.3.8 Método anônimo ... 68
3.3.9 Método da Galera ou Galé ... 69
CAPÍTULO IV ... 71
4 A Sequência de ensino ... 71
4.1 A escola e os sujeitos da pesquisa ... 71
4.2 Pré-teste ... 73
4.2.1 Análise do pré-teste ... 73
4.3 Descrição da aplicação da sequência ... 81
4.4 Primeira Parte: Atividade com o NIM utilizando palitos ... 82
4.5 Segunda parte ... 131
4.6 Pós-teste ... 143
CONSIDERAÇÕES FINAIS ... 147
REFERÊNCIAS ... 151
APÊNDICE A: PRÉ/PÓS TESTE ... 155
L
ISTA DE
F
IGURAS
Figura 1: Distribuição dos N palitos do NIM ... 49
Figura 2: Distribuição do jogo do NIM, com r = 1 ... 51
Figura 3: Distribuição do jogo do NIM onde r = 0 ... 52
Figura 4: Maneira "diferente" de distribuir os palitos quando r = 0 ... 52
Figura 5: Método da galera apresentado por eves (2004) ... 69
Figura 6: Erro cometido pelo aluno Rafael ... 74
Figura 7: "Acerto" do aluno Marcelo ... 75
Figura 8: Erros cometidos pelo aluno Marcel ... 75
Figura 9: Erro cometido pelo aluno Luis ... 76
Figura 10: Erro cometido pela aluna Graziela ... 77
Figura 11: Erro cometido pelo aluno Eduardo ... 78
Figura 12: Erro cometido pela estudante Luana ... 78
Figura 13: Erros cometidos pelo estudante Gabriel ... 79
Figura 14: Representação para a retirada do último palito para se obter a vitória .... 85
Figura 15: Representação dos últimos palitos a serem retirados da atividade 1 ... 85
Figura 16: Representação de todos os palitos a serem retirados na atividade 1 ... 86
Figura 17: Estratégia máxima por meio do Algoritmo da Divisão para a atividade 1 86 Figura 18: Representação da jogada do formador com aluno Jonas ... 92
Figura 19: Esquema apresentado pelo grupo na atividade 1 ... 94
Figura 20: Representação para a retirada do último palito para se obter a vitória .... 96
Figura 21: Representação dos últimos palitos retirados da atividade 1 ... 96
Figura 22: Representação de todos os palitos que devem ser retirados na atividade 1 ... 97
Figura 23: A notação do estudante Jonas para atividade 2 ... 99
Figura 24: Esta figura diz respeito a estratégia agrupando palitos de 6 em 6 ... 103
Figura 25: Esta figura representa a estratégia agrupando de 4 em 4 palitos ... 104
Figura 26: Representação da atividade 3 formulada pelo grupo 2 ... 108
Figura 27: Esquema no qual intervimos para elucidar quais palitos levam à derrota 109 Figura 28: Simulação da atividade 3 ... 110
Figura 29: Agrupamento dos palitos da atividade 4 ... 111
Figura 30: Adaptação do Algoritmo da Divisão para a estratégia máxima da atividade 4 ... 113
Figura 31: Esquema montado pelo estudante Jonas para a atividade 4 ... 116
Figura 33: Representação da divisão da atividade 3 ... 117
Figura 34: Agrupamentos de palitos da atividade 5 ... 119
Figura 35: Estratégia máxima para a atividade 5 ... 119
Figura 36: Divisão da dupla Jonas e Ricardo ... 121
Figura 37: Simulação da jogada do formador com o estudante Lucas na atividade 5 ... 122
Figura 38: Estratégia máxima apresentada pelo grupo 2 ... 125
Figura 39: Esquema da atividade 6 apresentado pelo grupo 2 ... 125
Figura 40: Estratégia da atividade 6 apresentada durante intervenção ... 126
Figura 41: Estratégia máxima para atividade 7 ... 127
Figura 42: Agrupamento da atividade 7 ... 127
Figura 43: Representação da atividade 7 pelo grupo 2 ... 128
Figura 44: Representação da atividade 7 pelo grupo 3 ... 130
Figura 45: Simulação da atividade 7 – formador jogando com o grupo 3 ... 130
Figura 46: Simulação da atividade 7 - formador jogando com o grupo 2 ... 130
Figura 47: Algoritmo da Divisão da atividade 8 ... 132
Figura 48: Estratégia do grupo 1 para a atividade 8 ... 134
Figura 49: Estratégia apresentada por Jonas na atividade 8 ... 135
Figura 50: Estratégia máxima da atividade 9 ... 136
Figura 51: Representação do grupo 1 na atividade 9 ... 137
Figura 52: Estratégia de Ricardo para a atividade 9 ... 137
Figura 53: Prova real apresentada por Lucas na atividade 9 ... 138
Figura 54: Representação da estratégia adotada pelo estudante Paulo para resolver a atividade 9 ... 138
Figura 55: Cálculos auxiliares da estudante Gabriela na resolução do item b) da atividade 11 ... 141
Figura 56: Erro cometido pela estudante Carolina no item c) da atividade 11 ... 142
L
ISTA DE
Q
UADROS
Quadro 1: Referente ao método da divisão egípcia ... 65Quadro 2: Erros e acertos dos alunos em cada questão do pré-teste ... 80
Quadro 3: Jogadas possíveis para a atividade 1 ... 87
Quadro 4: Todas as possibilidades possíveis para a atividade 3 ... 104
Quadro 5: Frequência dos alunos nas oficinas ... 143
Quadro 6: Comparação de pré-teste com pós-teste ... 144
I
NTRODUÇÃO
1Meu primeiro contato com o jogo do NIM (um jogo de palito) ocorreu em 2000 quando era eletricista em uma empresa prestadora de serviço. Na ocasião, um colega, mecânico da empresa, apresentou-me o jogo, mas “não tinha nome”. Ele alinhou 15 porcas (objeto metálico que se encaixa ao parafuso) sobre uma bancada e disse que iria jogar comigo e que cada um de nós poderíamos retirar de uma a três porcas e quem retirasse a última, perderia o jogo. Desse modo, joguei com ele algumas vezes e perdi. Ele me disse que o segredo do jogo era sair com duas porcas. Perguntei a meu colega como ele sabia que ganhava se saísse com duas porcas? Ele me disse: “Iniciando com duas (porcas) ganha e pronto”! Depois disso, joguei com outros funcionários e acabei por desenvolver uma lógica que me garantiria a vitória sempre que eu saísse com as duas porcas como meu colega ensinou-me. No entanto, eu não sabia o nome do jogo e, assim, dizia que era o “jogo das porquinhas”, pelo fato de meu primeiro contato com esse jogo ter sido com tal objeto.
Em 2001, comecei a graduação em Licenciatura Matemática no Centro Universitário Fundação Santo André e ensinava a meus colegas o tal “jogo das porquinhas” e não fazíamos quaisquer tipos de reflexão. Para que faríamos? Vencer o oponente já bastava. Isso era o que eu pensava na época. Na graduação, comecei a trabalhar em uma escola pública como professor eventual. Por diversas vezes, não sabia o que passar aos alunos até mesmo porque, muitas das vezes as aulas não eram de disciplinas da área de exatas. O que fazer? Desse modo, também ensinei o jogo das porquinhas aos alunos. Assim, mantinha os alunos entretidos e, ao mesmo tempo, fazia com que eles procurassem alguma lógica no jogo. Durante meu período como professor tanto ____________
1
eventual como efetivo, percebi que os alunos divertiam-se com o “jogo das porquinhas”.
Em minha experiência em sala de aula, também pôde perceber que os alunos do sexto ano do Ensino Fundamental até os do terceiro ano do Ensino Médio apresentavam grande dificuldade para realizar o Algoritmo da Divisão. Observei ao tentar ensinar que a falta de domínio na tabuada era um grande empecilho.
Nas aulas da graduação, alguns professores nos instruíam a trabalhar de modo diferenciado para fazer com que o estudante se motivasse e pudesse ter um ponto de vista diferenciado.
Ao ingressar no Mestrado, resolvi que gostaria de trabalhar com o algum tipo de jogo, mas qual? A professora Maria José que, até então, não era minha orientadora, recomendou-me, a princípio, a leitura dos trabalhos da Regina Célia Grando, Júlia Borin e Tizuko Morchida Kishimoto. Nessas leituras, aprendi que embora o jogo pelo jogo, tenha seu valor, o jogo em sala de aula deve ter um caráter educacional. Descobri que o jogo que eu chamava de “jogo das porquinhas”, é muito antigo e é chamado de jogo do NIM. Tanto Grando (2004b) como Borin (2004), sugerem que o NIM possa ser utilizado para o ensino de alguns conteúdos, entre eles o Algoritmo da Divisão. Desse modo, resolvi juntar o uso do jogo com o Algoritmo da Divisão que despertou meu interesse pelas dificuldades apresentadas desde os alunos do Ensino Fundamental até o Ensino Médio. Empreguei a Teoria das Situações Didáticas de Guy Brousseau, como quadro teórico para a aplicação de uma sequência didática que envolvesse o jogo do NIM e o Algoritmo da Divisão.
C
APÍTULO
I
1 Problemática
Neste capítulo, abordaremos nossa justificativa para a escolha do trabalho com o jogo e com o Algoritmo da Divisão, incluindo a questão de pesquisa e os objetivos, seguidos dos aspectos metodológicos e nosso quadro teórico.
1.1 Justificativa
O jogo sempre fez parte do dia a dia das crianças, desde os primeiros anos de idade. Assim quando jogam, elas questionam, fazem perguntas, concentram-se, abstraem, usam a imaginação e ficam horas a fio brincando. Para Grando (2004b), em alguns casos, os pais acreditam que brincar e jogar em excesso podem ser prejudiciais à criança, acreditando, assim, que jogo e estudo não estão relacionados, porém não percebem o quanto os jogos podem ser instrutivos e beneficiar a aprendizagem quando esta integração é bem elaborada e estruturada.
Desse modo, Smole et al. (2007) citam que o emprego do jogo na escola não é novo, sendo seu potencial para o ensino e a aprendizagem bastante conhecido em muitas áreas do conhecimento.
Na pré-escola, em atividades educacionais, as brincadeiras e jogos são constantes no cotidiano do aluno em atividades educacionais. Quando a criança avança para as séries seguintes e entra no Ensino Fundamental parece haver uma ruptura no processo. Os jogos e as brincadeiras praticamente desaparecem e, em seu lugar, aparece quase sempre o método do “giz e lousa”, no qual, na maioria das vezes o estudante torna-se um ouvinte na sala de aula.
Segundo Fini e Jesus (2001), ao longo dos tempos, os jogos são, com frequência, lembrados como uma alternativa para solucionar problemas da prática pedagógica. Menezes et al. (2007) confirmam essa idéia e acrescentam que os jogos têm sido adotados para ajudar a superar a crise em que o sistema educacional se encontra. Mas, de acordo com Grando (2004b), apesar de um número crescente de pesquisadores dedicarem-se ao aprofundamento do estudo da prática de jogos em sala de aula, sua utilização com a intenção de ensinar ainda é pouco explorada.
Nesse sentido, para Romero (2007), os jogos podem ser utilizados para introduzir conceitos, amadurecê-los ou preparar o aluno para aprofundar itens já estudados. Essa escolha dependerá da intenção do professor, por isso o emprego de jogos em sala de aula não deve ser efetuada sem um prévio estudo, pois sua utilização é um facilitador cujo objetivo é trabalhar bloqueios, não servindo assim como um passatempo recreativo. As ideia da autora são reforçadas por Inácio, Lupinacci e Muller (2007) que também defendem o uso dos jogos em sala de aula com os mesmos propósitos.
Desta forma, em nosso trabalho pretendemos utilizar o jogo do NIM como alternativa para permitir que alunos do 6º ano do Ensino Fundamental, que têm dificuldade no Algoritmo da Divisão, atribuam-lhe significado, além de construir e/ou melhorar o uso desse algoritmo. Acreditamos que a utilização dos jogos possa dar ao aluno uma possibilidade de aprendizagem, visto que sua eficácia depende de outros fatores como: maneira como o jogo é abordado, escolha do jogo para uma idade adequada, entre outros.
Mas o que é o NIM? Onde surgiu? Qual sua origem? O NIM é um dos jogos mais antigos que se tem conhecimento e de acordo com Gardner (1998), embora sua origem seja desconhecida, tudo leva a crer que tenha surgido na China. Ainda, segundo o autor, uma análise completa desse jogo foi publicada pela primeira vez, em 1901, por Charles Leonard Bouton. O nome NIM também foi dado por Bouton e ao que tudo indica, parece vir do inglês arcaico que significa roubar ou tomar. O NIM foi o primeiro jogo de que se tem relatos a ser estudado matematicamente.
Assim ganhou notoriedade quando em 1940, nos Estados Unidos da América (EUA) foi criada uma máquina (que pesava cerca de uma tonelada), cujo nome era Nimatron, e sua única finalidade era jogar o NIM. Em um festival britânico, em 1951, foi criado um robô cuja função também era jogar o NIM e o nome desse robô era Nimrod.
Seja qual for o tipo de jogo, sua abordagem deve vir acompanhada de reflexões e indagações. Na utilização dos jogos, percebemos um potencial para que possamos reforçar um conteúdo matemático, em nosso caso, o Algoritmo da Divisão e, com isso, esperamos que o aluno possa reformular, explorar possibilidades durante o jogo e, ao término das oficinas com o NIM, que seja capaz de refazer o conteúdo que apresentou dificuldade durante a execução do pré-teste.
apresentam dificuldades para resolver exercícios de maneira formal2. Ainda, segundo os autores, quando conteúdos são transmitidos de forma prática, isto é, quando são abordados relacionados, de alguma maneira, ao cotidiano dos alunos, estes apresentaram uma melhora significativa nos resultados.
Saiz (1996) ao analisar as dificuldades do uso do Algoritmo da Divisão com crianças dos sexto e sétimo anos do Ensino Fundamental, diagnosticou falhas referentes à interpretação e também ao uso da estrutura do Algoritmo da Divisão por parte dos alunos. A pesquisadora concluiu que o professor não pode deixar de lado tais dificuldades, simplesmente alegando que o aluno deverá prestar mais atenção ou exercitar mais, pois esses erros constituem-se em obstáculos que não são superados por meio de uma quantidade maior de exercícios ou mais atenção.
Ainda com respeito ao Algoritmo da Divisão, Gregolin (2002), Castela (2005) e Cunha (2007) ao trabalharem com alunos do Ensino Fundamental em suas pesquisas, observaram que os alunos têm dificuldades para compreender o Algoritmo da Divisão, sobretudo, quando é ensinado de maneira mecânica. Mack (1990 apud Castela 2005, p. 18) afirma que: os alunos que aprendem os algoritmos apenas como uma ação mecânica e não como apoio no conhecimento
informal sentem mais dificuldade em construir algoritmos significativos.
Diante do exposto, almejamos desenvolver nossa pesquisa, com os temas: jogos e Algoritmo da Divisão. Respaldados em pesquisas que apontam que alunos do Ensino Fundamental (sexto ao nono ano) ainda apresentam dificuldades com relação a esse algoritmo, fizemos a escolha do jogo do NIM e o aplicaremos com os alunos do sexto ano do Ensino Fundamental de uma escola pública estadual da cidade de São Paulo. Serão escolhidos alunos que apresentam dificuldades na divisão (no que diz a respeito a seu algoritmo) com o objetivo de ampliar e/ou construir conhecimentos a respeito do Algoritmo da Divisão, utilizando o jogo do NIM e tomando como base a Teoria das Situações Didáticas.
O objetivo de nosso estudo baseia-se em: Verificar como o jogo do NIM pode auxiliar na construção ou no aprimoramento do algoritmo da divisão.
____________ 2
Com base em nosso objetivo e nas escolhas que fizemos, pretendemos responder à seguinte questão de pesquisa:
Uma sequência de ensino que utiliza o jogo do NIM pode contribuir para que estudantes do sexto ano com dificuldade no Algoritmo da Divisão, possam construir e/ou aprimorar esse conhecimento?
A seguir, relataremos aspectos metodológicos e o referencial teórico nos quais esta pesquisa se apóia.
1.2 Aspectos metodológicos
Será realizada uma pesquisa qualitativa que, de acordo com Lüdke e André (1988), apresenta as seguintes características:
• sua realização ocorre em ambiente natural e é, neste local, onde se coletam os dados e o pesquisador é seu principal instrumento. O pesquisador deve ter um contado direto e estreito com a situação, sem se influenciar;
• os dados são predominantemente descritivos. O pesquisador deve se atentar à maior quantidade de elementos possíveis no ambiente, pois até mesmo um aspecto supostamente trivial pode ser a chave para a compreensão do problema estudado;
• a preocupação com o processo é maior do que com o produto. O
pesquisador tem o interesse em saber como ocorre o processo durante as atividades;
• a análise dos dados tende a seguir um processo indutivo. O pesquisador não busca evidências que comprovem suas hipóteses. As coletas de dados fornecerão elementos que poderão ou não “fortalecer” a hipóteses.
As pesquisadoras, também, mencionam que a pesquisa qualitativa proporciona ao pesquisador condições de realizar novas descobertas e observar novos fatores relevantes que possam surgir durante a realização da pesquisa. Para as autoras:
Mesmo que o investigador parta de alguns pressupostos teóricos iniciais, ele procurará se manter constantemente atento a novos elementos que podem emergir como importantes durante o estudo [...] novos aspectos poderão ser detectados, novos elementos ou dimensões poderão ser acrescentados, na medida em que o estudo avance. (LÜDKE e ANDRÉ, 1988, p.18).
Para validar a construção e a análise das atividades, que trataremos neste trabalho, tomamos como base alguns pressupostos da Engenharia Didática. Esta escolha garantirá ao pesquisador avaliar as atividades propostas fundamentado na teoria ao confrontar a análise a priori com os dados coletados durante as atividades.
A noção de Engenharia Didática surgiu no início da década de 1980. Segundo Artigue (1996), o objetivo da Engenharia Didática compara-se ao trabalho de um engenheiro quando arquiteta um projeto, ao apoiar-se em conhecimentos científicos, submetendo-se, assim, a um controle de tipo científico e que, ao mesmo tempo, faze-se necessário o estudo de objetos mais complexos que os objetos depurados da ciência.
Para Douady (1993 apud MACHADO, 2008, p. 234) Engenharia Didática, é:
A Engenharia Didática é caracterizada, segundo Artigue (1996), por um esquema experimental com base em realizações didáticas em sala de aula, outra característica, segundo a autora é a maneira como ocorre a validação3. Na maioria dos casos, é feita uma comparação entre a análise a priori e a posteriori.
De acordo com Artigue (1996), a Engenharia Didática possui quatro fases.
1. Análises prévias ou preliminares
Para Almouloud (2007), um dos objetivos dessas análises é identificar problemas de ensino e aprendizagem do objeto de estudo e descrever fundamentos teóricos e metodológicos e hipóteses da pesquisa.
Nesta fase, as análises preliminares podem comportar as seguintes vertentes: estudos da organização matemática, análise da organização didática do objeto matemático escolhido e definição da questão de pesquisa.
O objetivo desta fase é nortear, dar uma base de sustentação ao pesquisador a respeito de sua pesquisa. Fazendo um prévio estudo de como se dá a abordagem do assunto escolhido, apontando quais as dificuldades encontradas pelos discentes em aprendê-lo e pelos docentes em ensiná-lo. Justificando, assim, qual a importância e o que poderá acrescentar ao ensino e á abordagem realizada durante a pesquisa.
2. Concepção e análise a priori
Almouloud (2007) afirma que, com a finalidade de responder e validar questões levantadas na fase anterior, o pesquisador deve elaborar uma sequência de situações-problema. Esta sequência didática, além de ser de suma importância para a construção dessa fase, deverá considerar algumas características:
• Os conhecimentos anteriores não deverão ser suficientes para a realização total do problema proposto.
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• Os alunos não deverão ter dificuldade para interpretar os dados do problema, podendo assim se esforçar para obter a solução da situação proposta.
• Vários domínios do conhecimento devem estar envolvidos na resolução do problema.
Para o autor:
as situações problemas devem ser concebidas de modo a permitir ao aluno agir, se expressar, refletir e evoluir por iniciativa própria, adquirindo assim novos conhecimentos. O papel do professor é o de mediador e orientador, suas intervenções devem ser feitas de maneiras a não prejudicar a participação do aluno no processo de aprendizagem (ALMOULOUD, 2007, p. 174-175).
Percebemos que tanto na Engenharia Didática, como na Teoria das Situações Didáticas, o aluno é o maior responsável pela construção de seu conhecimento e cabe ao professor dar subsídios e elementos necessários para que o estudante progrida na edificação de seu saber. Nesta fase, também, o professor deve levar em consideração os confrontos das ideias dos alunos, cujo intuito é a consolidação dos novos conhecimentos.
De acordo com Artigue (1996), a análise a priori deve conter: a descrição do local e as características da situação-adidática; uma análise da situação decorrente das possibilidades de articulação do estudante para escolha, ação, validação durante a situação proposta; uma “previsão” dos comportamentos dos estudantes no contato com a situação problema apresentada.
Segundo Almouloud (2007), a análise a priori é muito importante, pois da qualidade desta análise dependerá o sucesso da situação-problema e é, nesta fase, que o pesquisador irá controlar a realização das atividades e compreender os fatos que serão observados.
3. Experimentação
buscam constatar se o que foi previsto nas fases anteriores, realmente, acontece nesta fase.
Para Machado (2008), na experimentação deve-se supor:
a) registros de observações feitas durante a experimentação;
Para a autora toda a observação deve ter sido preparada por uma análise a priori conhecida pelo observador, além disso, os objetivos da observação também, devem ser delimitados previamente.
Realizamos quatro oficinas para comprovarmos nosso experimento que foi realizado pautados nas ideias de Machado (2008). Para verificar os registros de observações feitos na experimentação. Colocamos cada grupo numa mesa e em cada uma delas uma observadora e um gravador de voz para que se fosse registrada a maior quantidade de informações referentes à sequência didática.
b) aplicação dos instrumentos de pesquisa;
As regras do jogo do NIM foram entregues a cada dupla e logo após, também, a quantidade de palitos correspondentes a cada atividade aos estudantes. Pedimos para que eles verificassem a quantidade de palitos e começassem a jogar. Conforme sentíamos necessidade, fazíamos intervenções coletivas, geralmente, em forma de pergunta. Por vezes, optávamos por explicações locais. Nas três primeiras oficinas, foram montados três grupos, porém na quarta, em razão da falta de alunos, foram formados apenas 2 grupos.
c) explicitação dos objetos e condições de realização à população de estudantes participantes de pesquisa.
d) estabelecimento do contrato didático4.
Nesta fase, as escolhas feitas nas etapas anteriores devem ser respeitadas. Caso tenha mudança entre as fases da análise a priori e da ____________
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experimentação, o resultado esperado poderá divergir do esperado, comprometendo, assim, a análise a posteriori.
4. Análise a posteriori e validação
Após a experimentação, pode acontecer dos instrumentos da observação não terem sido suficientes para a compreensão adequada da situação-problema; para tanto, os dados podem ser complementados por meio de outras metodologias externas, tais como: entrevistas individuais ou questionários.
A análise a posteriori dependerá exclusivamente das ferramentas utilizadas na coleta de dados (gravação de voz, observações e registros dos alunos). Esta análise a posteriori será confrontada com a análise a priori, estimando, assim, a reprodutibilidade dos fenômenos didáticos identificados. Passaremos agora a destacar os procedimentos metodológicos deste estudo.
1.3 Quadro teórico
O quadro teórico da presente pesquisa tem como base a Teoria das Situações Didáticas de Guy Brousseau que foca no aluno a responsabilidade da construção de seu conhecimento e atribui ao professor o papel de mediador entre o saber e o aluno. Desta maneira, o aluno age, reflete, cria hipóteses e constrói seus conhecimentos. Esta teoria, de acordo com Almouloud (2007), foi criada com a finalidade de modelar o processo de ensino e aprendizagem de conceitos matemáticos e tem como objeto principal a situação que ocorre com a interação entre o aluno, professor e o saber.
A situação didática, conforme Almouloud (2007), é um conjunto de relações estabelecidas de maneira implícita ou explícita entre os estudantes, o milieu5 e o professor para que os alunos adquiram um conhecimento. O docente deve criar um ambiente propício a fim de que os alunos aprendam.
Segundo o autor, parte essencial da situação didática é a situação adidática, que é uma situação onde o professor cria condições de ensinar, explorando o conhecimento prévio que o aluno já possui, porém não revela ao estudante o conteúdo que está sendo abordado na situação. O aluno é responsável pela construção de seu conhecimento. Em nosso trabalho, desejamos que o aluno aprimore e/ou construa o Algoritmo da Divisão via jogo do NIM, porém isso não lhe será revelado de imediato.
Durante as oficinas, os educandos realizarão as atividades propostas que lhe permitirão criar estratégias para ganhar o jogo. Para sempre vencer o jogo, por hipótese, o aluno perceberá a necessidade de desenvolver o Algoritmo da Divisão.
Na situação adidática, ocorre, ainda, o que chamamos de devolução, ato pelo qual o professor, com questionamentos conduz os estudantes a reflexões, a pensar, analisar o problema e, assim, fazer com que cada um seja o responsável por construir seu próprio conhecimento. Desta forma, o professor é um mediador entre o educando e o saber.
Para Freitas (1999), a devolução tem o significado de transferência de responsabilidade, no caso, o professor passa a responsabilidade do conhecimento ao aluno. O sucesso na situação adidática significa que o aluno por conta própria, conseguiu sintetizar um conhecimento.
Existe também a situação não didática que não pertence a Teoria das Situações Didáticas (TSD), em que não ocorre a intenção de ensinar. Podemos perceber esta situação, quando utilizamos de um jogo em sala de aula, porém sem o intuito de explorar qualquer objeto matemático.
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O processo de aprendizagem na Teoria das Situações Didáticas apresenta quatro fases, nas quais o estudante não possui a mesma relação com o saber em cada uma delas. Conforme cita Almouloud (2007), essas fases, são denominadas de ação, formulação, validação e institucionalização. Nas três primeiras fases, cabe ao aluno a construção do próprio conhecimento. Na última, ou seja, na institucionalização é quando o professor revela ao estudante os saberes envolvidos nessa sequência de ensino. A devolução ocorre durante as três primeiras fases.
Fase da ação
Nesta fase o aprendiz tem contato pela primeira vez com o problema e retira dele todas as informações necessárias para começar a agir e interagir em busca de respostas. Estas respostas são mais de caráter experimental sem que se obtenha explicações ou justificativas.
O aluno passa a ter contato com um problema, cuja solução é exatamente aquilo que o professor deseja ensinar. Aqui pode haver uma interação entre os alunos, caso a atividade seja feita em grupo. Neste contato com outras ideias, o estudante começa a ter maior familiarização com o problema e a construir seu saber. Neste momento, esperam-se justificativas “rudimentares”, dos alunos sem formalismo matemático. Nesta fase, existem devoluções entre o aluno e o problema, sendo assim o estudante pode mudar de opinião e agregar elementos que o façam chegar à resposta desejada.
Caso o aluno perceba ter dúvidas na resolução em algumas das atividades da sequência, o professor não deve fornecer as soluções. O papel do professor é mediar a relação entre o aluno e o saber com o objetivo de que o aluno reflita e possa, assim, construir seu conhecimento. Isso é a devolução a que nos referimos, que também poderá ocorrer nas próximas duas fases. Os estudantes serão sempre instigados a buscarem soluções, estratégias, caminhos que os levem a construir a solução da situação que lhes foi apresentada.
ganham o jogo, optarem por retirar x ou y palitos, isso faz parte da fase de ação da TDS em nossa sequência do jogo.
Fase da formulação
Nesta fase, existe troca de informações entre os alunos e/ou entre os grupos que podem ocorrer via oral ou escrita. As respostas são de caráter mais experimentais sem que se tenham explicações ou justificativas. Nesta fase, há diálogos entre os estudantes cuja finalidade é formular uma resposta mais elaborada que na fase anterior dentro daquilo que construíram.
Segundo Freitas (1999), o professor faz perguntas que envolvam porquês, explique, justifique e outros questionamentos que fazem com que os alunos se aproximem mais das soluções das atividades. A cada nova informação recebida, a construção do saber poderá estar mais perto do objetivo que se almeja.
Durante as oficinas com o NIM, a troca de informações será constante. O fato de jogarem em duplas favorecerá para que os estudantes desenvolvam estratégias. Dessas interações com o parceiro de jogo, com os adversários, ou mesmo em intervenções coletivas, os alunos poderão criar hipóteses e estratégias para vencerem o jogo, que não sejam apenas jogadas ao acaso.
Fase da validação
Nesta fase, o aluno deve convencer os demais estudantes de que sua resposta está “correta”. É possível que lhe sejam pedidos maiores esclarecimentos e, assim o discente deverá explicitar melhor suas ideia, até que, ou ele seja convencido de que está no caminho errado, ou que ele convença os demais de suas ideia. Nesta fase, ocorre um debate no qual as ideia são aceitas ou refutadas. Pode haver uma ideia ser aceita pelo grupo e não ser necessariamente a correta. O principal objeto da validação são as afirmações que foram elaboradas nas fases de ação e formulação. Nesta fase, o aluno utiliza provas para justificar suas respostas, contestar ou recusá-las.
Assim, os alunos/duplas tentarão convencer que suas estratégias são corretas e para tanto terão de argumentar, convencer os parceiros e adversários, de que sua estratégia é verdadeira.
Fase da institucionalização
Nesta etapa, o professor revela quais são os conhecimentos que estão sendo explorados na sequência de atividades. Aqui ocorre o desfecho da situação, tornando o conhecimento “público”, e o professor explica e analisa as possibilidades levantadas nas fases anteriores. Para Almouloud (2007), uma vez institucionalizado, o saber passa a ser um patrimônio matemático da classe.
De acordo com Brousseau (1996), em uma aula tradicional, como apenas o professor é o responsável pela transmissão do conhecimento, ocorre somente a última fase da Teoria das Situações Didáticas, no caso, a institucionalização.
Quando uma institucionalização é feita antes do tempo, o estudante poderá ter suas etapas de construção do conhecimento interrompidas, sendo privado de trilhar seu conhecimento com os próprios esforços; porém, quando feita de maneira tardia, ela poderá deixar erros e interpretações equivocadas, dificultando, assim, sua compreensão.
De acordo com Almouloud (2007), é na institucionalização que o professor desenvolve progressivamente uma linguagem plausível a todos os alunos. Nesta fase, o professor mostra que por meio da sequência didática foi possível adquirir conhecimentos novos. Caso o aluno mostre alguma resposta errada e que ainda se passava por verdadeira, não tendo sido percebido o erro pelos próprios estudantes, nesta ocasião o erro deverá ser desfeito.
Almouloud (2007) cita que na Teoria das Situações Didáticas, as fases não são independentes, estão interligadas de tal forma que não é possível determinar com precisão onde termina uma fase e onde inicia a outra.
Algoritmo da Divisão em que, muitas vezes, o processo de aprendizagem deu-se mecanicamente e/ou descontextualizado. Gregolin (2002) relatou erros cometidos por alunos do Ensino Fundamental e afirma que os alunos apresentam dificuldades em detalhes dos quais, muitas vezes, os professores nem se dão conta. Nesse sentido, uma abordagem diferenciada da tradicional torna-se uma opção para explorar o Algoritmo da Divisão se faz necessário.
Como relatamos, a Teoria das Situações Didáticas foi utilizada, tanto na concepção como na aplicação das atividades. Após a coleta dos dados, confrontaremos os resultados obtidos com as análises a priori, nas quais identificaremos as fases propostas pela Teoria das Situações Didáticas e, assim, perceberemos se uma alternativa não tradicional de trabalho com Algoritmo da Divisão pode potencializar a construção de conhecimentos a seu respeito, por alunos de uma classe do sexto ano do Ensino Fundamental que apresentaram dificuldades com esse algoritmo.
Para responder a nossa questão de pesquisa, aplicaremos inicialmente, um pré-teste em uma sala do sexto ano do Ensino Fundamental a fim de diagnosticar aqueles com dificuldades nesse pré-teste com o Algoritmo da Divisão. Os alunos que tiverem um índice não satisfatório (alunos com uma grande quantidade de erros e/ou com questões em branco) serão convidados a participarem, nos mesmos horários de suas aulas, de oficinas, em que uma sequência que prevê a utilização do jogo do NIM será aplicada para que possam reelaborar seus conhecimentos a respeito do Algoritmo da Divisão.
Após a realização dessas oficinas, será aplicado um pós-teste, cujo propósito é a verificação dos possíveis progressos dos alunos que participaram da intervenção em relação a todos que fizeram o pré-teste.
Nossos instrumentos de coleta de dados serão observações, gravações de voz e documentos escritos pelos alunos.
esclareceremos a Teoria das Situações Didáticas e como esta servirá de apoio para conceber, aplicar e analisar os dados.
C
APÍTULO
II
2 Um breve estudo a respeito da utilização de jogos
Neste capítulo trataremos da definição de jogo, de seu uso como instrumento de ensino e, por fim, destacaremos algumas vantagens e desvantagens da utilização do jogo em sala de aula.
2.1 Definição do jogo e suas classificações
Para Jacquin (1963) o jogo estabelece uma relação com a criança que se compara com o mesmo vínculo que o adulto tem com o trabalho, quando escolhe, por afinidade, aptidão e prazer, ou seja, assim como o adulto escolhe seu emprego e tem gosto ao realizá-lo, o jogo escolhido pela criança também deve proporcionar prazer. A criança opta por brincar/jogar porque é divertido e prazeiroso.
Mas não é elementar definir o que é jogo. Para Kishimoto (1998), o termo jogo é uma dessas palavras que o fato de lhe ser atribuído em tantas ocasiões e com os mais variados aspectos, dificulta uma definição relativamente simples. A dificuldade aumenta quando observamos o comportamento humano. Ao vermos uma criança com um arco e flecha, podemos achar que ela está brincando, mas se essa criança for um indígena, possivelmente, estará treinando para a caça o que não tem relação alguma com o jogar/brincar.
tem muito jogo político”. Quantos tipos de jogos conhecemos? Jogos de tabuleiros: Ludo, Xadrez, Damas, Gamão, Go, Mancala, entre muitos outros. Jogos esportivos: Natação, Vôlei, Futebol, Badmington, Tênis, etc. Jogos de cartas: Buraco, Truco, Paciência, Canastra, entre outros. Jogos de lógica: Sudoku, Palavras Cruzadas, etc. Bom, a quantidade e variedade de jogos é imensa.
Wittgenstein (1975 apud Kishimoto, 1998) classifica as semelhanças entre os jogos como “semelhança de família” e menciona um parentesco entre os tipos de jogos de acordo com suas características. Vejamos o que Wittgenstein diz a respeito dos jogos:
Refiro-me a jogos de tabuleiros, de cartas, de bola, torneios esportivos, etc... O que é comum a todos eles? Não diga: ‘Algo deve ser comum a eles, senão não se chamariam ‘jogos’ – mas veja se algo é comum a todos. – Pois, se você os contemplar, não verá na verdade algo que seja comum a todos, mas verá semelhanças, parentescos, e até toda uma série deles. Como disse: não pense, mas veja! – Considere, por exemplo, os jogos de tabuleiros, com seus múltiplos parentescos. Agora passe para os jogos de cartas: aqui você encontra muitas correspondências com aqueles da primeira classe, mas muitos traços comuns desaparecem e outros surgem. Se passarmos aos jogos de bola, muita coisa comum se conserva, mas muitos se perdem. – São todos ‘recreativos’? Compare o xadrez com o jogo de amarelinha. Há em todos um ganhar e um perder ou uma concorrência entre os jogadores? Pense nas paciências. [...] Então este é o resultado desta consideração: vemos uma rede complicada de semelhanças, que se envolvem e se cruzam mutuamente. Semelhanças de conjunto e de pormenor (WITTGENNSTEIN, 1975, p. 42-43 apud KISHIMOTO, 1998, p. 2-3).
Percebemos que, apesar de alguns jogos terem tantas diferenças de outros, ainda sim são jogos. Mas o que vem a ser um jogo, então? Recorremos a alguns autores em busca da definição do que é um jogo e encontramos as seguintes respostas:
Chateau (1978 apud GRANDO, 2004a) afirma que o jogo é uma busca de superação de si mesmo, por si mesmo. É o autoconhecimento que se estabelece na luta “contra” o adversário.
Huizinga (1971, p. 33) define o jogo como sendo:
[...] uma atividade ou ocupação voluntária, exercida dentro de certos e determinados limites de tempo e de espaço, segundo regras livremente consentidas, mas absolutamente obrigatórias, dotado de fim em si mesmo, acompanhado de tensão e de alegria e de uma consciência de ser diferente da vida quotidiana.
Ainda, de acordo com o autor, todos os jogos têm regras para determinar o que se pode ou não fazer durante as jogadas. Embora exista um desejo grande de vencer, todas as regras devem ser seguidas, embora alguns jogadores possam infligir as regras por desconhecimento ou para obter vantagens na partida.
Bright, Harvey e Wheeler (1985 apud GRANDO, 2004a, p. 2), denominam o jogo como sendo:
Uma atividade voluntária em que o sujeito se dedica livremente. Um desafio contra uma tarefa ou um adversário.
Possui regras.
O estado exato que se alcança durante o jogo não se conhece a priori, antes de começar o jogo.
O jogo termina depois de um número finitos de movimentos.
Como nosso objetivo é ampliar e/ou construir o conhecimento a respeito do Algoritmo da Divisão, utilizando o jogo NIM, tomando como base a Teoria das Situações Didática, aos alunos do sexto ano do Ensino Fundamental, não faz sentido o uso de um jogo “qualquer6”. Portanto, utilizaremos a definição de Grando (2004a) em nossa pesquisa por ser a que, de acordo com nosso objetivo melhor define o significado da palavra jogo.
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2.2 Características dos jogos
Existem diversas características quando se trata de jogos, assim, recorremos a alguns autores, que explicitam características comuns aos jogos. Evidentemente, existem características peculiares que não se aplicam a todos os jogos.
De acordo com Jacquin (1963), para uma criança o jogo deve ser uma ação espontânea, em que ela deve jogar simplesmente por gosto e prazer. O jogo não pode ser forçado, ou seja, a criança não deve jogar contra sua própria vontade, pois se ela não aceitar o jogo, desde o início, é provável que não se sinta prazer enquanto estiver jogando.
Segundo o autor, percebemos que uma característica do jogo é a voluntariedade, isto é, em momento algum a criança deve ser forçada a jogar e a iniciativa de participar deve partir exclusivamente dela. Em nossas oficinas com o NIM, deixaremos claro aos estudantes que eles têm a opção de não participarem, caso não se sintam estimulados ou interessados. Até mesmo porque, como mencionamos, a voluntariedade é uma característica do jogo. Se jogarem desestimulados, poderão comprometer o resultado de nossa pesquisa.
Romero (2007, p. 55) menciona uma série de características que um bom jogo deve conter:
Constitui fonte de prazer;
É uma atividade voluntária, deve ser livre e representar liberdade; Possui regras e a desobediência das mesmas estraga o jogo; A incerteza é um fator presente;
Deve propor algo interessante e desafiador; e
Deve permitir que todos os jogadores possam participar ativamente, do começo ao fim.
A própria Romero (2007) responde que o jogo em sala de aula precisa proporcionar prazer sem perder o foco do conteúdo do qual se deseja ensinar. A criança deve se sentir envolvida, estimulada, adquirir conhecimentos sem que para isso se perca a ludicidade.
Kishimoto (1998) menciona outras características que todos os jogos possuem:
Regras, elas podem ser implícitas ou explícitas. As implícitas, são aquelas encontradas no jogo de faz de conta. Uma menina é a mamãe, a outra é a filhinha, e a boneca é a irmãzinha. Já as regras explícitas, são as que devem ser respeitadas em quaisquer circunstâncias, a exemplo dos jogos de vôlei e damas.
Tempo e espaço, pois o jogo deve ser realizado em um local adequado, deve haver um número finito de jogadas, ou seja, o jogo precisa ter um fim.
A incerteza faz parte dos jogos. A priori não se sabe qual o rumo que o jogo tomará durante seu andamento. A ação dependerá de fatores internos, motivação, estratégia e da conduta de seus adversários e/ou parceiros. O fato da incerteza fazer parte dos jogos, não implica que o vencedor seja aquele que tiver mais sorte. Incerteza não está diretamente ligada à sorte. Segundo a autora, em um jogo em que a sorte é fator determinante, definitivamente não é um bom jogo. A sorte pode até ajudar, mas acima de tudo é a estratégia que deve levar o jogador a ganhar ou a perder.
Huizinga (1971) e Jacquin (1963) concordam em alguns aspectos. Para ambos, o jogo deve ser uma atividade espontânea, realizada de maneira voluntária, com regras estabelecidas onde as recompensas são a satisfação e o prazer.
Conforme citam Kamii (1991) e Krulik (1993 apud SMOLE et al. (2007): • o jogo deve ser para dois ou mais jogadores, sendo uma atividade que
as crianças realizam juntas;
Conforme referem os autores, o jogo deverá permitir que os alunos assumam papéis interdependentes, opostos e cooperativos, isto é, os jogadores devem perceber a importância de cada um na realização dos objetivos do jogo, na execução das jogadas e observar que um jogo não se realiza a menos que cada jogador concorde com as regras estabelecidas e coopere seguindo-as e aceitando suas consequências; o jogo precisa ter regras estabelecidas que não sejam modificadas , assim, cada jogador deve perceber que as regras são um contrato aceito pelo grupo e sua violação representa uma falta no jogo, deve haver a possibilidade de usar estratégias, estabelecer planos, executar jogadas e avaliar a eficácia desses elementos nos resultados obtidos; enfim, não deve ser mecânico e sem significado aos jogadores.
Desse modo, como nosso trabalho aborda o uso do jogo em sala de aula relataremos no próximo tópico a relação existente entre o lúdico e o pedagógico.
2.3 Jogo e educação
Embora a idéia JOGO X EDUCAÇÃO pareça controversa até mesmo pela maneira como alguns autores definem jogos, Kergonard (1906, p. 161 apud KISHIMOTO, 1998, p. 18), consegue unir os dois termos em uma idéia.
Sei muito bem que à primeira vista estas duas palavras – a pedagogia pelos jogos colocadas juntas, fazem um efeito de certas uniões infelizes, caracterizadas, sobretudo pela incompatibilidade de caráter dos cônjuges; mas esta impressão cessa no momento em que se reflete, porque se compreende, então que a pedagogia, em vez de estar limitada a instrução, abraça a cultura completa do ser.(KERGONARD, 1906, p. 161, apud KISHIMOTO, 1998, p. 18)
de resultado, então, o jogo e/ou brinquedo passa a ser classificado como material pedagógico.
Decroly (1978 apud KISHIMOTO, 1993) usa a seguinte definição:
Os jogos educativos não constituem senão que uma das múltiplas formas que podem tornar o material do jogo, mas que têm por meta dominante a de fortalecer à criança objetivos susceptíveis de favorecer a certos conhecimentos e também permitir repetições em relação a retenção e às capacidades intelectuais da criança (Ibid, p. 113).
Para essa autora, o jogo é um recurso, é mais um instrumento para o professor potencializar o conhecimento do aluno. É um elo que une prazer a conhecimento. Assim como Decroly (1978), acreditamos que jogar e aprender pode ser uma opção para o ensino e que o jogo e a aprendizagem não estão em lados opostos, pois bem utilizados podem levar a bons resultados. No entanto, cabe ao professor estruturar e estudar maneiras apropriadas de organizar o jogo com conteúdos educacionais, tomando os devidos cuidados para que o aluno não se interesse demais pelo lúdico, esquecendo-se da aprendizagem ou que o jogo vire um momento à parte e independente da aula, descompassado do conteúdo.
Moura defende o uso do jogo no ensino, e pontua que:
O jogo, na educação matemática, passa a ter o caráter de material de ensino quando considerado promotor de aprendizagem. A criança colocada diante de situações lúdicas apreende a estrutura lógica da brincadeira e, deste modo apreende também a estrutura matemática presente (MOURA, 2007, p. 80).
O autor também descreve que a união do caráter lúdico com o educacional pode trazer benefícios à aprendizagem do aluno, pois ele se diverte e aprende ao mesmo tempo. A diversão não é negligenciada em função do conhecimento nem o conhecimento é anulado em prol da diversão. Vemos no uso do jogo um “convite” ao aluno para que ele possa se aprimorar e buscar um novo conhecimento.
• O jogo deve apresentar uma situação interessante e desafiadora para a criança;
• Possibilitar que a criança tenha condições de se autoavaliar; e
• Permitir que a criança tenha condições de jogar ativamente do início ao fim do jogo.
Deve-se tomar alguns cuidados quanto à escolha de um jogo. Se um jogo for tido por um estudante como sendo “muito fácil”, ele tenderá a perder o interesse, pois não necessitará de esforços e estratégias para vencer. Mas se o jogo for classificado como “muito difícil”, poderá ser rejeitado, pois ao jogá-lo inúmeras vezes a criança poderá ser vencida pelo desânimo, sendo desestimulada por conta da dificuldade. O ideal é que o jogo seja um meio termo, nem difícil e nem fácil demais, exigindo da criança técnicas e raciocínios que ela seja capaz de efetuar enquanto joga. Para Kishimoto (1998), o que acontece quando ocorre falta de interesse, é que o jogo pode estar em uma faixa etária não condizente a idade da criança.
Mas afinal, qual a função do jogo educativo?
Kishimoto (1998) afirma que são duas as funções. Função lúdica é quando a criança joga de maneira voluntária e por pura diversão, ganhando ou perdendo, o importante é o prazer de jogar. A função educativa é quando algo é ensinado ao aluno e este amplia seus conhecimentos.
Mas então, como diferenciar o jogo educativo do jogo não educativo? Isso dependerá do tratamento dado pelo professor. Para Moura (2007), se a intenção do professor for construir um significado, explorar um conhecimento, elaborar e organizar situações, dispondo de um jogo e fazer com que o aluno tome consciência desse conhecimento, esse jogo será um jogo educativo que possibilitará ao aluno um aprendizado intermediado pelo professor.
A utilização do jogo, como forma de ensinar, não é algo recente e tão pouco de exclusividade da Matemática. Povos antigos já usufruíam do jogo como uma maneira de ensinar em diversas áreas do conhecimento, como veremos a seguir.
2.4 Aspectos históricos dos jogos
Segundo diversos autores, entre eles Kishimoto (1993), Grando (2004b), e Moura (2007), os jogos são utilizados naturalmente por crianças desde cedo e foi também um recurso muito explorado por vários povos antigos com o intuito de transmitir conhecimento e cultura.
Kishimoto (2007) assegura que os jogos têm ligação com o ensino desde a Antiguidade com Aristóteles, Sêneca, São Tomás de Aquino, entre outros estudiosos, que se utilizaram de jogos para ensinar/educar. Os jogos eram difundidos com vários propósitos, tais como: atividades físicas, intelectuais e escolares. O jogo na educação não tem uma ligação exclusivamente com a Matemática, e sua utilização era e é abordada em vários campos do conhecimento.
No século XVI, o jogo educativo ganhou destaque com Ignácio de Loyola, militar e nobre, que compreende a importância dos jogos de exercícios para a formação do ser humano e, também preconiza-o no auxilio ao ensino. No decorrer da História, vários tipos de jogos foram utilizados: como jogos de bola e corridas que envolviam atividade física na época do Renascimento. No século XVII, porém, os jogos abordaram outras áreas do conhecimento como Geografia, Moral, História e Religião.
Almeida afirma que, no início do século XX, ocorreu realmente uma expansão dos jogos educativos, isso em consequência do crescente aumento da rede de ensino infantil e das discussões da relação jogo/educação. Empresas de jogos educativos procuram melhorar não só a qualidade de seus produtos, mas também as normas de segurança dos mesmos. Tudo isso para levar à escola um material de qualidade que possibilitasse uma melhor aprendizagem.
2.5 Vantagens e desvantagens da utilização de jogos em sala de aula
De acordo com Lara (2004), o uso de jogos em sala de aula, vem aumentando, porém, existem vantagens e desvantagens em seu emprego nas aulas de Matemática. Inicialmente, abordaremos as vantagens e, posteriormente, as desvantagens. Diversos autores defendem que o jogo auxilia na aprendizagem.
Segundo Kishimoto:
A utilização do jogo potencializa a exploração e a construção do conhecimento, por contar com a motivação interna, típica do lúdico, mas o trabalho pedagógico requer a oferta de estímulos externos e a influência de parceiros bem como a sistematização dos conceitos em outras situações que não jogos. Ao utilizar de modo metafórico a forma lúdica (objeto suporte de brincadeira) para estimular a construção do conhecimento, o brinquedo educativo conquistou espaço definitivo na educação infantil (KISHIMOTO, 2007, p. 37-38).
qual o autor defende a utilização de jogos, vendo essa possibilidade de aprender jogando, acreditamos na importância da aprendizagem via jogo. O estudante pode ter uma visão diferenciada que o levará a aquisição do conhecimento.
Grando (2004b) menciona alguns benefícios decorrentes do trabalho com jogos em sala de aula, como:
• auxilia na (re) significação de conceitos já aprendidos; • o aluno aprende a tomar decisões e saber avaliá-las; • favorece a interação social e o trabalho em grupo; e
• desenvolve criatividade, senso crítico, participação e observação.
A autora afirma ainda que, quando o jogo é interessante ao aluno, pode despertar a vontade de conhecê-lo cada vez mais para vencer e se superar, pois, quando o aluno erra ao jogar, busca entender o erro cometido, para poder tirar proveito quando jogar novamente. Percebemos que o errar é natural enquanto se joga e que não traz consequências negativas, por esse motivo o aluno busca minimizá-lo.
Outra vantagem de jogar é defendida por Rêgo e Rêgo (2004) ao afirmarem que o jogo pode:
Proporcionar à criança o prazer da “redescoberta” é um direito que lhe tem sido negado em detrimento do próprio ensino. Quando ela é capaz de descobrir uma regra chegar a enunciá-la, esta regra está sabida para sempre, e o tempo gasto é apenas alguns minutos. Se, ao contrário, na ânsia de economizar tempo e esforço, damos a regra, o “saber pronto” para a criança usar, estamos oferecendo uma tarefa muito mais difícil e desinteressante, e a sua aprendizagem vai tomá-nos vários dias; voltaremos a insistir no assunto daí a semanas, daí a meses, porque haverá sempre o “esquecimento”, o que nós nunca confessamos a nós mesmos é que a criança esquece justamente porque nunca chegou a aprender (REGO e REGO, 2004, p. 17).
Nessa situação, vemos implicitamente as fases da Teoria das Situações Didáticas, na qual os alunos irão agir, formular, validar, tentando convencer seus colegas de que suas decisões são as corretas e por meio desses diálogos construirão gradativamente um saber matemático.
As vantagens mencionadas por Schneider (2007), também nos levam à Teoria das Situações Didáticas, segundo a autora, o uso do jogo em sala de aula proporciona ao aluno o levantamento de hipóteses, fazer comparações, argumentar e, desta forma, caberá ao professor orientar para a busca de suas soluções. Com isso, o estudante torna-se mais crítico e não um mero “receptor de informações”. As vantagens mencionadas por Bragança e Silva (2007), também, são na mesma linha dessa autora.
Por sua vez, Brenelli (2006) defende o uso do jogo e menciona a importância do contexto lúdico, que propicia ao aluno o desenvolvimento da criatividade, a afirmação da personalidade e o domínio de si. Outra vantagem é que o jogo possui um contexto educacional que pode garantir aos alunos a motivação e, ao mesmo tempo, pode possibilitar a construção e o aprimoramento dos conteúdos.
Groenwald e Timm (1998) salientam que os jogos quando bem planejados, tornam-se um recurso pedagógico eficaz para a construção do conhecimento matemático e, para isso, deve apresentar: caráter lúdico, desenvolvimento de técnicas intelectuais e formação de relações sociais. Notamos que os autores ressaltam que o jogo deve conter a parte lúdica e a educativa para poder auxiliar na eficácia da aprendizagem. Devem ser bem estruturados e elaborados, caso contrário, os resultados poderão não corresponder às expectativas almejadas pelo docente. Se, por um lado, esses aspectos auxiliam no ensino, as ausências de uns desses aspectos podem gerar desvantagens, como veremos mais adiante.
argumentar, respeitar as decisões e atitudes dos demais, isto é, o jogo auxilia também, na formação do indivíduo.
Além de poder ser utilizado como um recurso para diminuir e/ou amenizar bloqueios criados durante a vida escolar do aluno. De acordo com Borin:
Outro motivo para a introdução de jogos nas aulas de matemática é a possibilidade de diminuir bloqueios apresentados por muitos de nossos alunos que temem a Matemática e sentem-se incapacitados para aprendê-la. Dentro da situação de jogo, onde é impossível uma atitude passiva e a motivação é grande, notamos que, ao mesmo tempo em que estes alunos falam Matemática, apresentam também um melhor desempenho e atitudes mais positivas frente a seus processos de aprendizagem (BORIN, 2004, p. 9).
Percebemos que uma abordagem diferente pode dar ao aluno melhor compreensão do assunto que está sendo ensinado. Além disso, muitos alunos já trazem consigo bloqueios de séries anteriores, assim, julgam-se sem aptidão para a aprendizagem Matemática e incapazes de entender conceitos matemáticos, e o uso do jogo pode auxiliar para que esses bloqueios sejam amenizados.
Lara (2007) compartilha das mesmas ideia que Menezes (2007) que, por sua vez, vê a vantagem do jogo como forma de adquirir conhecimento e permitir ao estudante uma aprendizagem mais significativa, em que haja conexão entre o conhecimento anterior e atual, sem ser necessário privilegiar a memorização. Deve-se, também, incentivar o aluno a defender suas próprias ideia e pontos de vista. É evidente que para que estes argumentos tenham sentido, o docente deve preparar uma situação em que ocorra a conexão entre os conhecimentos, caso contrário, o uso do jogo não terá o resultado esperado.
Rêgo e Rêgo defendem a importância dos jogos, pois para eles:
Em particular, a interpretação e uso das regras de um jogo têm um grande valor didático, levando os alunos a aprenderem a questionar, negociar, colocar seu ponto de vista e discutir com os colegas, aprendendo a perder e a ganhar (REGO e REGO, 2004, p. 25-26).
Os Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática, PCN (BRASIL, 1998) enfatizam que a utilização de jogos, em sala de aula, permite ao professor avaliar alguns aspectos importantes nos estudantes, tais como: a compreensão que ele faz do jogo, a facilidade para encontrar estratégias para vencer, a descrição do processo que o leva a determinada estratégia e, também, a capacidade de levantar hipóteses e fazer previsões de suas jogadas.
Piaget (1970) defende o uso do jogo, alegando que este é um meio tão poderoso para o ensino de crianças que em todo lugar que se consegue a introdução de um conceito via jogos, as crianças apaixonam-se, mesmo que o conteúdo seja classificado como maçante.
Os PCN (1998) destacam os benefícios que a utilização dos jogos pode trazer à sala de aula.
Os jogos constituem uma forma interessante de propor problemas, pois permitem que sejam apresentados de modo atrativo e favorecem a criatividade na elaboração de estratégias de resolução e busca de soluções. Propicia a simulação de situações-problema que exigem soluções vivas e imediatas o que estimula o planejamento das ações, possibilitam a construção de uma atitude positiva perante os erros, uma vez que as situações sucedem-se rapidamente e podem ser corrigidas de forma natural no decorrer da ação sem deixar marcas negativas. (BRASIL, 1998, p. 46).
Dentre as diversas vantagens mencionadas, acreditamos que a (re) significação de conceitos pode trazer um grande benefício ao aluno, uma vez que o estudante reverá um conteúdo abordado sob outro ponto de vista e, assim, amplificará sua visão a respeito desse conteúdo.
usar o jogo? Da mesma forma, que o jogo possui vantagens, também, apresenta desvantagens. Estas podem ser prejudiciais à aprendizagem. Destacaremos agora certas desvantagens que podem comprometer a aprendizagem.
Para Ide (2002) o jogo não deve ser visto apenas como um passatempo ou uma brincadeira qualquer, que acontece com frequência, pois pode ocorrer do o aluno associar as aulas de Matemática a passatempos e, desta forma, desinteressar-se pelo caráter educacional. Quando isso se verifica, os estudantes podem interagir com a parte da aula em que ocorre o jogo e durante a intervenção do professor para a função educativa não apresentarem o interesse necessário.
De acordo com Romero (2007), muitos professores repudiam o emprego dos jogos por alegarem que a sala de aula vira uma grande desordem, além de causar indisciplina e ser um mero passatempo. Bragança e Silva (2007) confirmam essas ideia e afirmam que falar da utilização de jogos em sala de aula causa certa inquietação no corpo docente e que em lugar de procurarem novas maneiras de ensinar (utilizando jogos, por exemplo), acabam por encontrar novas maneiras de revisar. Desta forma, acabam por ver o jogo como um obstáculo e não como uma ferramenta que auxilia na aprendizagem.
Grando (2004b) apresenta alguns motivos nos quais que a utilização do jogo pode fracassar, entre eles, o tempo gasto, uma vez que a utilização dos jogos, quando bem elaborada e com o intuito de ensinar, exige mais tempo que as aulas convencionais ou que possa comprometer outros conteúdos da grade curricular. Os alunos podem também ter a falsa ideia de que todos os conteúdos poderão ser ensinados por meio de jogos e criarem a expectativa de que a cada novo assunto haverá um novo jogo. Existe ainda possibilidade da perda do caráter pedagógico, mas o aluno se interessa apenas por jogar e perde o interesse pelo conteúdo. Pode também acontecer de algum aluno não querer jogar, e o professor abrigá-lo, perdendo assim a voluntariedade (que é uma das características dos jogos).
No entanto, Kishimoto (1993) destaca que, mesmo com a riqueza de situações de aprendizagem propiciada com a manipulação e utilização de jogos, a priori, nunca teremos a certeza de que os resultados obtidos na construção do conhecimento será aquele esperado pelo professor.
Desse modo, utilizaremos o jogo do NIM em nosso trabalho, buscando com que os alunos construam ou aprimorem seus conhecimentos sobre o Algoritmo da Divisão, apoiando-nos na Teoria das Situações Didáticas.
2.6. O jogo do NIM
2.6.1 Como jogar o NIM?
Material: alguns palitos de fósforos, botões, tampas de garrafas ou outros objetos similares.
Objetivo do jogo7: jogando alternadamente, será o perdedor o jogador que retirar o último palito. O jogo não permite a retirada de 0 (zero) palitos, isto é, não é permitido ao jogador não realizar uma jogada (pular sua vez de jogar).
Regras: os palitos são dispostos na mesa, um ao lado do outro, preferencialmente, (caso os palitos, fiquem dispostos de maneira aleatória, acreditamos que poderá ser mais difícil estabelecer uma relação entre a retirada de cada um dos participantes).
Cada dupla deve retirar, alternadamente, uma determinada quantidade de palitos, em uma ordem, seja da esquerda pra direita, ou vice-versa. Haverá a quantidade mínima de um palito e uma máxima pré-estabelecida a ser retirada. Quem retirar o último palito, será o perdedor do jogo.
Nossa sequência baseou-se, parcialmente, no livro da Borin (2004), ao qual a autora refere-se ao NIM como Jogo da Corrente. Cada palito do NIM corresponde a um elo do Jogo da Corrente. Entre esses jogos, a diferença é que
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