Na hora de enviar os alunos, a professora, mandou um aluno a mais do que o solicitado, ficando, assim com 13 alunos e não 12. Optamos montar um grupo com um trio contra uma dupla. Pelo fato do NIM ser um jogo de estratégia e os alunos estarem em condições de igualdade para jogar, acreditamos que
mesmo com um aluno a mais o grupo não levaria vantagem. Adotamos nomes fictícios para a identificação do grupo de estudantes.
Nestas atividades com palitos, os estudantes receberam uma folha com as regras que foram lidas com eles. Depois, entregamos a quantidade de palitos suficiente para a realização de cada uma das atividades. Pedimos que os estudantes conferissem a quantidade para evitar possíveis problemas.
Primeira atividade
Dispondo de 17 palitos, podendo retirar 1 ou 2 palitos, será perdedor a dupla que retirar o último palito.
O objetivo desta atividade é um primeiro contato do aluno com o NIM. Neste primeiro contato com o jogo, o estudante esta na fase da ação. Caso tenha dúvida a respeito das regras, poderá consultá-las sempre que for necessário, pois receberam-na por escrito. Esperamos que alguns quartetos alinhassem seus palitos, outros, poderiam deixá-los esparramados. Acreditamos que os grupos que deixaram seus palitos esparramados, poderiam sentir mais dificuldade para desenvolver uma estratégia, porque com os palitos alinhados, fica mais fácil ao estudante perceber a estratégia vencedora.
A priori, é possível que os alunos/duplas joguem diversas vezes de forma aleatória, mas, após um número jogadas, esperamos que começassem a criar estratégias que os levassem a vitória. Por ser o primeiro contato dos estudantes com o jogo, acreditamos que dificilmente buscassem por estratégias para vencer, até mesmo porque o jogo era uma novidade. Poderemos fazer algumas perguntas para investigar as duplas que pensassem no modo de ganhar o jogo. As perguntas foram semelhantes a estas: “Vocês acham que a vitória neste jogo depende meramente da sorte”? “Será que existe uma maneira de vencer sempre”?
Dependendo das respostas dos alunos para essas questões, poderíamos direcioná-los à utilização de algum tipo de estratégia, mas o mais importante é
que percebessem que jogar de “qualquer maneira”, ou seja, de forma aleatória, não os levaria a vencer o jogo.
Era possível que, após uma determinada quantidade de jogadas, os estudantes fizessem afirmações do tipo: “tem que sair com ”x” palitos para ganhar o jogo” ou ”basta eu repetir a quantidade de palitos que meu adversário retirou para que eu vença”. De fato, o aluno pode até ganhar várias partidas jogando mesmo sem utilizar a estratégia máxima, mas isso não significa que uma estratégia incorreta garanta-lhe a vitória sempre. Caberá ao formador, analisar atentamente as estratégias e com devoluções, questionar o aluno para que ele reflita e repense suas jogadas.
Como Grando (2004b) e Borin (2004), esperávamos que os estudantes começassem a estabelecer estratégias “de trás para frente”, isto é, que simulassem quais eram suas possibilidades de jogada, partindo do último palito, até chegar a quantidade ideal para sua saída.
A priori, esperávamos que os alunos, após algumas jogadas, percebessem que o jogador que retirasse o 14º palito, seria o perdedor, a menos que seu adversário joguasse demasiadamente errado15. Já que restavam 4 palitos (14º, 15º 16º e 17º), quem retirar quaisquer quantidade proposta na atividade perderá o jogo. O jogador terá apenas duas possibilidades para realizar sua jogada:
• retirar 1 palito, isto é, o 14º. Seu adversário possivelmente, retirará os 2 palitos seguintes (15º e 16º), restando apenas o último a ser retirado. • se opção for por retirar 2 palitos, no caso, os 14º e15º, seu adversário
possivelmente retirará um palito (16º), deixando o último a ser retirado. Em resumo, quem retirar o 13º palito será o vencedor e, dessa forma, quem retirar o 14º palito será o perdedor do jogo.
Em lugar do 17º, agora será o 14º palito que determinará a vitória ou a derrota de cada jogador. As Figuras 14 e 15 mostram como as duplas podem se
____________
15
Quando nos referimos em jogar demasiadamente errado, queremos dizer que o aluno jogue “sem pensar”. Por exemplo, seu adversário retirou o 14º palito, é evidente que para vencer o próximo jogador deverá retirar 2 palitos, isto é, o 15º e o 16º palito, caso retire apenas um, perderá.
articular para efetuar suas jogadas para vencer o jogo. A letra P abaixo de alguns palitos indica que o jogador/dupla que o retirar “perderá” o jogo.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
P
Figura 14: Representação para a retirada do último palito para se obter a vitória
Desta maneira, conforme os alunos forem efetuando suas jogadas/retiradas perceberão que deverão retirar o 13º palito para vencer e, assim, sucessivamente.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
P P
Figura 15: Representação dos últimos palitos a serem retirados da atividade 1
Seguindo a linha de raciocínio de Grando (2004b), acreditamos que o mesmo raciocínio deve acontecer até que alguns alunos descubram que a melhor saída é começar retirando um palito. Desta forma, acreditamos também que o aluno perceberá que a retirada de alguns palitos específicos os levá-los-ão à derrota. Na ordem decrescente, os palitos das posições: 17ª, 14ª, 11ª, 8ª, 5ª e 2ª, por isso, jogarão visando a não retirada desses palitos. Os números que representam as posições, são uma sequência, mais precisamente uma Progressão Aritmética (PA) de razão 3.
Nosso intuito aqui não é introduzir o conceito da Progressão Aritmética, até mesmo porque alunos do sexto ano do Ensino Fundamental não estudam este assunto. A Figura 16 mostra detalhadamente quais os palitos quando retirados levam o jogador a derrota (palitos com “risco” são aqueles que se retirados, levam o jogador à derrota) e a razão (r) de três unidades para que se obtenha a estratégia máxima.
Figura 16: Representação de todos os palitos a serem retirados na atividade 1
Alguns estudantes poderão concluir que o jogador que retirar o 8º palito perderá, mas talvez não consigam concluir que o mesmo acontece com os 5º e o 2º palitos. Mesmo que os estudantes cheguem até esta conclusão, acreditamos que dificilmente associarão essa estratégia ao Algoritmo da Divisão. Caso os estudantes cheguem ao Algoritmo da Divisão (o que acreditamos que não ocorrerá ainda nesta atividade), a Figura 17 ilustra a estratégia máxima para ganhar referente a essa atividade.
3 2 5 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 P P P P P P + 3 + 3 + 3 + 3 + 3
1 palito para a última jogada. 1 palito para a jogada inicial.
Figura 17: Estratégia máxima por meio do Algoritmo da Divisão para a atividade 1
O dividendo é 17, isto é, a quantidade total de palitos. O divisor 3 refere-se à razão da PA. Em uma divisão com divisor 3, os restos possíveis são 0, 1 e 2. Como deve ser efetuada alguma retirada, encontramos a razão dessa PA efetuando a soma: (soma dos valores possíveis da retirada de cada jogador).
3 2 1+ =
De acordo com Borin (2004), existe outra maneira de perceber porque chegamos ao valor do divisor igual a 3.
Quadro 3: Jogadas possíveis para a atividade 1
Jogador A Jogador B Soma das jogadas A + B
1 palito 1 palito 2 palitos
1 palito 2 palitos 3 palitos (●)
2 palitos 1 palito 3 palitos (●)
2 palitos 2 palitos 4 palitos
Esta tabela mostra que 3 palitos (●) é a quantidade de palitos que pode ser “montada” pelo jogador B independente da quantidade de retiradas efetuadas pelo jogador A. Para quaisquer quantidade que o jogador A retirar, o jogador B poderá montar “blocos” de 3 palitos, assim ele complementará as jogadas de seu oponente sem depender de um erro.
Caso cheguem à estratégia máxima, esperamos que os alunos percebam que o resto da divisão representa 2 palitos, um deles deverá ser o 17º palito, ou seja, aquele que será deixado para seu adversário na última rodada, e o outro palito será aquele que deverá iniciar a partida para vencer o jogo. A partir da jogada inicial, o jogador completará suas jogadas complementando que seu adversário jogar, retirando o que falta para formar 3 palitos. Se o adversário retirar 1, para se vencer, faz-se necessário retirar 2(1+2=3). Caso o adversário retire 2 palitos, deve-se retirar 1 palito
(
2+1=3)
.Nesta atividade, para se obter a vitória, o jogador deve começar com um palito, e a partir daí complementar sua jogada para que a quantidade de palitos retirados por seu oponente mais a quantidade de palitos de sua retirada resulte no total de três palitos. Mas o que acontece quando o adversário sair? Como percebemos nesta atividade existem palitos que, ao serem retirados, determinam o jogo a favor de um jogador ou de seu adversário, por exemplo, o 8º, 11º, 14º e outros. A ideia é tentar induzir o adversário ao erro, até mesmo porque, antes da institucionalização, cada dupla poderá chegar a conclusões diferentes em momentos distintos e essas conclusões poderão não ser as que levam à estratégia máxima.
Por ser o primeiro contato dos alunos com o NIM, acreditamos que os alunos talvez não cheguem à conclusão que aluno que sair com um palito e complementar sua jogada com a do adversário, obtendo soma 3 será o vencedor. Nas demais atividades poderão chegar à estratégia máxima, mas ainda assim poderão ter dificuldade para associá-la com o Algoritmo da Divisão.
Análise a posteriori da atividade 1
Na hora de enviar os alunos para nossa oficina, a professora mandou um estudante a mais. Preferimos trabalhar em um dos grupos com uma dupla e um trio. Neste primeiro encontro, os grupos foram os seguintes:
Grupo 1: as duplas eram Aurélio e Bruno contra Carolina e Daniela. A observadora foi Cristiane.
Grupo 2: formaram dupla Erik e Gabriela contra a dupla Ricardo e Jonas. A observadora foi Eliana.
Grupo 3: a dupla Samuel e Vagner contra o trio formado por Lucas, Kelvin e Maurício. A observadora desse grupo foi Ana Rebeca.
Uma das observadoras percebeu que o grupo em que estava, apresentava dificuldades para entender o que estava sendo solicitado. Então, lemos a atividade com os alunos para que compreendessem e começassem a jogar.
Deixamos à disposição dos alunos papel e lápis para que escrevessem se sentissem necessidade. No início, a folha serviu apenas como placar para saber quais duplas venciam as jogadas. Destacamos que as duplas jogaram livremente, ou seja, a quantidade de partidas jogadas variou entre os grupos, e os grupos jogaram, muitas vezes, mais de dez vezes.
Sugerimos que os palitos ficassem alinhados para favorecer na hora de criarem e/ou perceberem algumas estratégias. O grupo 2 optou jogar sem alinhar seus palitos inicialmente.
Grupo 1
Na primeira partida, todos os integrantes jogaram de maneira aleatória. Na partida seguinte, Aurélio mencionou que viu algo semelhante em algum programa de televisão. Percebemos que, após algumas partidas, Aurélio começou a jogar de maneira mais pensada, olhando, observando as jogadas de seus adversários, a partir de uma determinada quantidade de palitos restante. Quando restavam cerca de 6 ou 7 palitos, Aurélio tomava a frente na dupla e, geralmente vencia.
Na sexta rodada, Aurélio acertadamente mencionou que, ao sobrar quatro palitos, o jogador que efetuasse a próxima retirada, perderia e nos justificou sua fala longe da dupla adversária:
Se elas tirarem 1, nós tiramos 2, e elas pegam o último. Se elas tirarem 2, nós tiramos 1 e, da mesma forma, elas perdem.
Ao traçar suas estratégias, o aluno não quer compartilhar suas conclusões com seus oponentes, para não correr o risco de ser superado pela dupla adversária.
Depois de algumas jogadas, observamos que a estratégia de Aurélio era falha. Ele não tinha domínio dela como um todo, tentava transpor uma vaga lembrança do que tinha visto na televisão, contando também com a desmotivação e distração da dupla adversária.
A dupla Bruno e Aurélio venceu a maioria das jogadas e tanto Carolina como Daniela demonstraram-se desinteressadas. Perguntamos se ambas queriam voltar para a classe, visto que as atitudes que apresentavam, tais como, conversas paralelas ou “piadinhas” não eram de quem estava levando a atividade a sério. Apesar de terem ficado, a dupla rendeu muito aquém do que esperávamos.
Em certo momento, Aurélio lembrou-se de um programa que ele viu na TV Cultura. O nome do jogo era Corrida ao Espaço e contava com 17 bonecos em formato de astronauta. Destes, os 16 primeiros eram verdes e o último vermelho e quem o retirasse, perderia o jogo. Aurélio afirmou:
Tinha que ficar 5. (para o final). Se for sua vez, você perde. Se for a vez deles (outra dupla), você ganha.
O comentário mencionado por Aurélio está correto para o jogo Corrida ao Espaço, mas o aluno ainda não encontrou uma forma de associá-lo ao NIM. Carolina disse que, também, viu o mesmo programa que Aurélio, porém ao contrário do colega, não buscava refletir e pensar sobre suas jogadas, jogava aleatoriamente.
Mesmo durante as intervenções coletivas que foram realizadas em razão do avanço dos demais grupos, deixamos claro que a retirada de certos palitos era fundamental para se ganhar ou perder, alguns alunos ainda se atrapalhavam ao jogar. Exemplo disso foi que Daniela e Carolina, com 5 palitos restantes, tendo a possibilidade de retirar um palito e vencer o jogo, tirou 2 palitos e “entregou” a vitória à dupla adversária. Aurélio chegou a mencionar em diálogo conosco a seguir (A: Aurélio e F: Formador).
A: Que tontas! Era só elas tirarem um palito que elas ganhavam, e a gente perdia.
F: Por que você está falando isso?
A: Se elas tirassem 1 palito, a gente teria de tirar um ou dois palitos. Se a gente tira 1 palito, sobravam 3 (palitos), aí era só elas tirarem 2. Se a gente tirasse 2 (palitos), também sobraria 3 palitos, então, era só elas tirarem 1 palito. Se elas tirassem 1 palito ao invés de 2, não tinha como a gente ganhar.
Após este comentário, não houve novas contribuições para a resolução da atividade 1 por parte do grupo.
Grupo 2
Nas primeiras jogadas, este grupo deu-se conta da vitória, desde que a dupla tirasse o palito que deixasse 3 palitos a serem retirados. Esta condição garantiria a vitória ao jogador que fosse retirar os 2 palitos, deixando um para o adversário. Antes disso, as jogadas eram sempre de maneira aleatória. Este grupo, durante a atividade 1, sempre deixou os palitos esparramados.
Na sexta rodada, ao sobrar 4 palitos para que a dupla Erik e Gabriela fizesse a retirada, Jonas disse:
Já era! Se vocês tirarem 1 (palito), eu pego 2 (palitos) e se vocês tirarem 2 (palitos) e tiro só 1 (palito) e vocês perdem do mesmo jeito.
Assim, o grupo percebeu que o ideal para vencer é sempre tentar deixar 4 palitos, sendo a próxima jogada a do adversário. A partir desta informação a dupla Gabriela e Erik começou a interagir, visto que antes jogava sem qualquer tipo de diálogo. A dupla adversária formada por Jonas e Ricardo estava mais entrosada e buscava estratégias desde o início. Suas anotações eram feitas longe do alcance da dupla adversária, visto que seus oponentes poderiam usar as estratégias contra eles. A dupla nos disse que queria tentar descobrir quais outros palitos que os adversários devem retirar para que perdessem.
Algumas vezes, pudemos perceber, neste grupo, que mesmo com estratégias não corretas, algumas duplas venciam, seja pela “dificuldade”, seja pela distração apresentada pela dupla adversária. Mesmo depois de afirmarmos, que quem retirasse alguns palitos como os que estavam nas posições 17º, 14º e o 11º seriam os perdedores, Gabriela e Erik não procuravam evitar esses palitos. Fizemos tal afirmação com base no avanço do Grupo 3. Como o grupo joga com os palitos esparramados, sente dificuldade para perceber isso.
Por diversas vezes, retirando o 11º palito Jonas venceu, para ele isso era condição que o levava à vitória. Afirmou que, quando sobravam 7 palitos ele fosse jogar, com certeza, ele seria o vencedor, contrariando o que já havíamos mostrado. Sendo assim o desafiamos ao jogo, com o intuito de mostrar-lhe, que ele estava equivocado.
Desenhamos os 7 palitos em uma folha na mesa no grupo do que ele pertencia (simulando os sete últimos palitos) e dissemos para ele começar, uma vez que o estudante era enfático ao afirmar que, nesta circunstâncias, ele ganharia o jogo, conforme é mostrado na Figura 18. Os palitos com a letra J são os que Jonas “retirou” e com a letra F (formador) os que nós retiramos.
J: Tiro 1 palito.
F: Então, eu tiro 2 palitos. J: Agora eu tiro 2 palitos.
F: Então, eu vou tirar um palito.
J: Perdi! Realmente, achava que eu fosse vencer.
Figura 18: Representação da jogada do formador com aluno Jonas
Perguntei a Jonas se ele tinha se dado conta do equívoco de sua estratégia e se já estava convencido de que quem retirasse o 11º palito, isto é, quando sobravam 7 palitos, o jogador que fizer a retirada perderá. Ele afirmou que já estava convencido de que suas estratégias estavam equivocadas. Após essa intervenção, o grupo jogava para chegar até o 10º palito e quem retirasse tal palito já era considerado o vencedor. Este grupo não avançou mais do que isso nesta atividade. Os integrantes desse grupo não conseguiram perceber quais palitos não deveriam ser retirados, além dos já mencionados.
Grupo 3
Na primeira rodada, como esperado, foram sendo retirados os palitos de forma aleatória, mas na segunda jogada os integrantes desse grupo perceberam que, ao se aproximar dos palitos “finais”, teriam de parar e pensar para poderem vencer.
Na terceira rodada, surge a primeira estratégia. De acordo com a Teoria das Situações Didáticas, os alunos já estão na fase de formulação. Vagner sugere para Samuel a retirada de palitos da seguinte maneira:
Se eles tirarem 1 (palito), você tira 2 (palitos) e se eles tirarem 2 (palitos), você tira só 1 (palitos).
Vagner acha melhor enfileirar os palitos, já Lucas diz que não faz diferença alguma.
O grupo tinha claro que a solução para vencer o jogo consistia em complementar a jogada do adversário com a própria jogada para obter soma igual a 3. A ideia estava parcialmente certa, mas, ao realizar essa estratégia desde o início, sobravam 2 palitos para o final, pois eram montados 5 “blocos” de 3 palitos . Desta forma sobravam 2 palitos. O jogador que complementava as jogadas do adversário (segundo a jogar) perdia o jogo. Alguns alunos da dupla ao perceberem isso, começaram a utilizar essa estratégia até certa quantidade de palitos, depois repensavam em como vencer. Em certa ocasião, faltando 6 palitos, Vagner pediu a Samuel que esperasse ele pensar, antes de realizar a jogada. Samuel, por sua vez, com a ideia de complementar, ignorou o pedido do parceiro e jogou. O trio formado por Maurício, Kelvin e Lucas venceu a partida. Vagner adverte que se ele tivesse calma para esperar, eles possivelmente teriam vencido o jogo.
(
5×3=15)
Após algumas partidas, os integrantes desse grupo convenceram–se de que, ao restar 7 palitos, o jogador que iniciar o jogo, perderá. Lucas justificou:
Quando sobram 7 palitos e eles tiram 1 palito, nós tiramos 2 palitos. Se eles tirarem 2 palitos, nós tiramos 1 palito. Vão sobrar 4 palitos e aí se eles tirarem 1 palito, nós tiraremos 2 e se eles tirarem 2 (palitos), a gente tira 1 (palito). De qualquer jeito, eles perdem.
Embora os estudantes tivessem a estratégia de complementar as jogadas, sem motivo “aparente”, eles mudavam a estratégia.
Após algumas jogadas, perceberam também que quem retirasse o 8º palito (deixasse 10 palitos sobrando), perderia o jogo, e bastaria complementar as jogadas de modo a obter a soma 3 na jogada da dupla adversária com a própria dupla. Perceberam, ao restar 10 palitos, quem jogasse já perderia e, assim, não haveria mais necessidade de jogar. Perguntamos ao grupo quais os palitos que ao serem retirados, levariam à dupla a derrota? Eles responderam quando faltavam 1, 4, 7 e 11. Evidentemente, essas não eram as posições dos palitos mas sim quantos palitos faltavam. Percebemos que havia um conflito quando se
falava “qual palito”? O que para o jogo é referente à posição (primeiro, segundo,...), para os alunos, eram referentes a quantos palitos faltavam ser retirados, isto é, quantos ainda tinham na mesa. Então, quando falávamos no 11º palito, o estudante achava que devia deixar 11 palitos na mesa.
Sugerimos a todos os grupos, que escrevessem em uma folha os números referentes a cada palito na ordem: 1, 2, 3,...,16, 17, e escrevessem quais deveriam ser retirados. Assim, para a dupla que perdesse poderia ficar mais simples entender o que queríamos dizer.
O grupo aceitou a sugestão e, após alguns minutos, perguntamos novamente quais palitos, ao serem retirados, levaria a dupla à derrota, obtivemos como resposta que os palitos 17º, 14º, 11º e 8º. A retiradas desses palitos fariam com que a dupla perdesse.
Vagner percebeu que o jogador que retirasse o quinto palito, também, perderia. Perguntamos como havia chegado a essa conclusão? Ele explicou:
Se seu adversário retirar o quinto palito, eu vou retirar o sexto e sétimo. Logo meu adversário irá retirar o oitavo palito e como foi mostrado, quem retirar o oitavo perde. Caso eles retirem 2 palitos (quinto e sexto palito), a gente tira o sétimo e eles terão de retirar o oitavo palito.
O grupo nos mostrou uma folha com um esquema da Figura 19.
Figura 19: Esquema apresentado pelo grupo na atividade 1
Até o término desta atividade, os alunos desse grupo tinham a convicção de que quem retirasse o quinto palito perderia, mas não chegaram à conclusão de com quantos palitos teriam de iniciar para vencer, mas tinham clareza de que quem retirasse os 5º, 8º, 11º, 14º e o 17º palitos perderia o jogo.
Comparados com nossas análises a priori, os alunos ficaram aquém do que esperávamos, pois não chegaram a mencionar que a saída para vencer era com 1 palito. Deparamo-nos com situações que não esperávamos, sobretudo,