A partir de agora, esperamos que o aluno seja capaz de desenvolver a estratégia máxima, utilizando o Algoritmo da Divisão. Queremos saber se ele saberá a quantidade de palitos que será retirada e quantos palitos devem ser retirados na primeira jogada. Mas o que diferenciará esta atividade das anteriores é que a quantidade de palitos será um valor ainda maior e não tendo a possibilidade de dispor dos palitos. Queremos constatar se, quando os alunos não dispuserem de materiais manipulativos, os palitos, se eles terão sucesso trabalhando de maneira abstrata. Em alguns dos itens, será dado o próprio Algoritmo da Divisão.
Nas atividades que seguem, acreditamos que alguns alunos poderão fazer desenhos, tentando visualizar os palitos e, desta forma, perceber como nas atividades anteriores, agrupando os palitos desenhados, verificando os palitos
que sobram e separando-os de tal forma a ter um palito para a última rodada e o restante para a primeira rodada. Outros alunos, porém, poderão recorrer de imediato ao Algoritmo da Divisão.
Nas atividades a seguir, faremos as seguintes perguntas aos estudantes: Com quantos palitos, você deverá sair para ser o vencedor?
Quantos “grupos” deverão montar (sem contar a primeira e a última jogada) para ser o vencedor?
Com essa perguntas, verificaremos se o aluno associa o jogo ao Algoritmo da Divisão, destacando o quociente, o divisor e o resto e, assim, desenvolver a estratégia máxima.
Oitava atividade
Tendo 672 palitos, jogando alternadamente e podendo retirar o mínimo o de 1 palito e o máximo de 5 palitos, o perdedor será aquele que retirar o último palito. Com quantos palitos deve-se iniciar para que se ganhe o jogo? Explique sua estratégia.
A Figura 47 ilustra a representação da estratégia máxima. 6 07 12 00 112 672 Resto zero.
Figura 47: Algoritmo da Divisão da atividade 8
Escolhemos o dividendo 672 e o divisor 6, de modo que o aluno não recorresse aos agrupamentos com “pauzinhos”, daí esperamos que os estudantes optem por usar o Algoritmo da Divisão e cheguem à resposta correta no quociente.
Os alunos podem apresentar dificuldades em saber com quantos palitos devem sair para vencer, visto que o resto é zero. Se for o caso, retomaremos a atividade 4, para que os estudantes recordem como proceder no jogo quando se deparam com o resto zero. Esperamos que o aluno entenda que ele pode ter 111 grupos de 6 palitos e mais 6 palitos (672=111×6+6), assim serão retirados 5 palitos na jogada inicial e sobrará 1 para a jogada final.
Além disso, para alguns alunos a institucionalização realizada antes pode ter sido feita antecipadamente, cabendo alguns momentos de institucionalização local, em situações do tipo: na decisão se o divisor é 5 ou 6, como também em alguns erros com relação à divisão ao se usar seu algoritmo – como os mencionados por Gregolin (2002), sobretudo com respeito a multiplicação.
Análise a posteriori da atividade 8
Antes de distribuirmos a atividade 8, retomamos os resultados principais dos encontros passados, para tal rediscutimos a atividade 2 (26 palitos podendo retirar no mínimo 1 e no máximo 2). Percebemos que os estudantes tinham uma grande dificuldade com relação à multiplicação e à divisão, pois ao fazermos (com eles) o cálculo na lousa e perguntarmos: quanto é 26 dividido por 3? Os estudantes demoravam a responder e quando davam a resposta, na maioria das vezes, eram valores errados. Aguardávamos pela resposta correta. Quando finalmente davam a resposta correta, deparávamos-nos com outra dificuldade dos alunos. “Quanto é 8 vezes 3”? Tinha-se uma variedade de respostas. Relemos e refizemos todos os cálculos das atividades anteriores com eles.
Para esta última oficina, vieram 8 estudantes. Formamos dois grupos de 4 alunos. Após a montagem dos grupos, entregamos a atividade 8.
Grupo 1. Uma dupla formada por Gabriela e Ricardo e a outra por Erik e Jonas.
No início, o grupo mostrou-se indeciso se a divisão seria por 5 ou por 6 e, até mesmo, fez a divisão com divisor 5 e depois com divisor 6. Revendo as
anotações das atividades anteriores chegaram a um comum acordo de que a divisão correta era por 6 e não por 5. O grupo, então, teria de analisar o resto da divisão para poder saber com quantos palitos saíria. Erik e Jonas fizeram a divisão sem grandes dificuldades, mas a dupla Gabriela e Ricardo apresentou dificuldade. Passaram a construir a tabuada do 5 e, assim, chegaram mesma resposta da outra dupla. Perguntamos se a divisão estava mesmo correta, e a dupla mostrou-se insegura. Sugerimos que fizessem a prova real. Após a prova real, a dupla constatou que tinha acertado a divisão.
Por ter resto zero, o grupo mostrou-se confuso com relação qual seria a estratégia vencedora. Como previsto, fizemos uma institucionalização local da atividade 4, na qual aparecia o resto zero. O aluno Jonas relata:
É mesmo! É só desmontar um bloco de 6 palitos e aí fica tudo certo.
Resumimos o que o grupo 1 fez em termos de cálculo com a Figura 48.
672 07 12 6 111 6 672 07 12 0 112 6 5 para o começo 1 para o final
Figura 48: Estratégia do grupo 1 para a atividade 8
Jonas escreveu sua estratégia sem a ajuda de Erik, notamos um pouco de confusão ao usar termos matemáticos “mais rigorosos”. Aconselhamos o estudante a escrever em uma linguagem mais simples. Desta forma, o estudante conseguiu explicar sua estratégia. Pedimos ao aluno que discutisse com seu grupo e se todos concordavam com a estratégia que tinham escrito. O grupo ouviu e aceitou bem o argumento mostrado pelo colega. A resposta escrita por Jonas encontra-se na Figura 49.
Figura 49: Estratégia apresentada por Jonas na atividade 8
Grupo 2. As duplas eram: Carolina e Paulo e a outra dupla Lucas e Kelvin. Lucas entendeu como associar o enunciado da atividade ao Algoritmo da Divisão, mas errou na hora de efetuar o cálculo, já que apresentava grande dificuldade com a tabuada. Paulo e Carolina não sabiam o que é preciso fazer para começar a atividade. Acreditamos que a dificuldade de Paulo devia-se ao fato dele ter faltado duas das oficinas. Por outro lado, acreditamos que a dificuldade de Carolina a associar os dados do enunciado ao Algoritmo da Divisão está relacionada com a falta de interesse que a estudante demonstrou nas atividades das oficinas anteriores, podemos afirmar que o jogo não a motivou. Explicamos individualmente e a estudante Carolina disse que entendeu o que deveria ser feito, mas também apresentou dificuldades na hora de fazer a divisão, pois a dificuldade com a tabuada era grande.
Lucas e Paulo com muito esforço chegaram ao resultado correto da divisão.
Ao intervirmos para a socialização das respostas, explicitamos na lousa os métodos curto e longo do Algoritmo da Divisão, visto que os alunos utilizaram esses dois métodos. Fizemos também a interpretação do resto.
Também efetuamos a prova real (valor do quociente multiplicado pelo valor do divisor somado com o resto é igual ao dividendo), explicitamos para os alunos que essa era uma forma de verificar se erraram ou acertaram a divisão. Destacamos ainda o cuidado que se deve ter ao tirar a prova real, pois erros na multiplicação e adição podem acarretar julgar um resultado correto como errado. Por esse motivo, é necessário ter muita atenção ao realizar as operações de multiplicação e adição, além de dominar a tabuada.
Nona atividade
Jogando alternadamente e podendo retirar o mínimo de 1 palito e o máximo de 11 palitos num total de 789 palitos e sabendo que quem retirar o último palito será decretado o perdedor. Com quantos palitos deve começar para que se vença o jogo?
Nesta atividade, queremos saber como o aluno age quando encontra uma divisão com dois algarismos no divisor. O método longo do Algoritmo da Divisão está representado na Figura 50, mas os alunos podem usar outros métodos, como o curto ou o das subtrações sucessivas.
12 789 –72 65 69 – 60 09
1 palito para a última jogada 8 palitos para a jogada inicial.
Figura 50: Estratégia máxima da atividade 9
A partir desta atividade, esperamos que os alunos saibam a quantidade de blocos a serem formados para montar o Algoritmo da Divisão. É possível que estudantes tenham dificuldade para resolver a divisão e apareçam os erros mencionados por Gregolin (2002), ou os erros similares ao pré-teste ou mesmo “novos” tipos de erros.
Análise a posteriori da atividade 9
Grupo 1
Este grupo realizou a divisão pelo método do múltiplo do divisor, da mesma maneira que fizeram nas atividades anteriores, conforme a Figura 51.
Figura 51: Representação do grupo 1 na atividade 9
Após construírem a “tabuada do 12”, as duplas resolveram com facilidade a divisão por meio de seu algoritmo e cada dupla escreveu a estratégia de maneira similar. Ricardo escreveu o que consta na Figura 52.
Figura 52: Estratégia de Ricardo para a atividade 9
Grupo 2
Paulo, Carolina e Lucas iniciam a montagem do Algoritmo da Divisão corretamente, chegando ao divisor 12. Inferimos que conseguiram associar este algoritmo com o jogo do NIM.
Carolina não avança com a divisão. A aluna tem muita dificuldade em multiplicar, pois como já relatamos não domina a tabuada. Percebemos, dessa forma, como é forte quando Gregolin (2002) menciona que a dificuldade na multiplicação compromete o ensino da divisão.
Apesar da dificuldade inicial, Paulo e Lucas conseguem juntos efetuar a divisão, mas se confundem na hora de fazer a prova real, não sabendo qual número será multiplicado e qual será somado. A Figura 53 ilustra como Lucas realizou a prova real.
Figura 53: Prova real apresentada por Lucas na atividade 9
O erro apresentado por Lucas mostra que tem dificuldades com o algoritmo da multiplicação, pois ao multiplicar ”1” vezes 789, o estudante não se dá conta de que este “1” na realidade é 10. Após a explicação para o grupo, a dupla conseguiu entender como fazer a prova real.
O estudante Paulo utiliza a estratégia de contar, usando os “pauzinhos” como mostra a Figura 54. Sua estratégia é similar à do grupo 1, mas com uma notação diferente. Pudemos perceber que o estudante fez seis linhas de 12 palitos e que a sétima linha está incompleta, pois 7 vezes 12 é maior que 78. O aluno usou o mesmo tipo de raciocínio aos demais divisores. Embora seja muita mais trabalhosa, essa notação fez com que o estudante acertasse a divisão.
Na socialização das estratégias vencedoras apresentadas pelas duplas, efetuamos na lousa a divisão pelo método longo, seguido da prova real. No entanto, Jonas nos questionou como ficaria a divisão feita pelo método curto. Efetuamos a divisão também por esse método para atender ao aluno Jonas.
Ressaltamos ainda que durante as intervenções para socialização das respostas, efetuávamos as divisões de modo interativo, de maneira que os alunos participassem do processo de obtenção das respostas.
Décima atividade
Resolva as seguintes divisões: a) 2172 ÷ 9 =
b) 4715 ÷ 26 = c) 2584 ÷ 31 =
Tendo como meta nosso objetivo principal que é ampliar e/ou construir conhecimentos sobre o do Algoritmo da Divisão utilizando o jogo do NIM. Propusemos essa atividade para perceber como uma atividade sem o viés do jogo é realizada pelos alunos, uma vez que o objeto matemático em questão (divisão com seu algoritmo) precisa ser descontextualizado a fim de que possa ser usado em outros contextos além do jogo.
Optamos por propor operações de divisão com números formados por um e dois algarismos no divisor (divisão que, em geral, aparece na qual na escola básica de ser efetuada sem o uso de calculadora). Optamos por escolher os números, nos quais segundo o pré-teste realizado, ocorreu um número significativo de erros. Nesse sentido, pretendemos verificar como o aluno ampliou os conhecimentos sobre a divisão em relação ao que ele dispunha anteriormente.
Pela a dificuldade com a adição e multiplicação que detectamos no pré- teste, acreditamos que a maior dificuldade será com os itens b) e c), porém esperamos que alguns alunos consigam resolvê-los totalmente ou que enfrentem de maneira positiva a situação, ou seja, tentem realizar a divisão para que
possamos compreender o que o faz errar. Assim, esperamos por alguns erros iguais aos que surgiram no pré-teste.
No que diz respeito aos métodos, esperamos que os alunos utilizem métodos longos e curtos (os que mais apareceram no pré-teste), para efetuarem as divisões apresentadas nessa atividade.
Análise a posteriori da atividade 10
O propósito desta atividade era basicamente efetuar divisões. Percebemos que mesmo os integrantes do grupo 1 que realizaram as atividades 8 e 9, com certa facilidade, apresentaram algumas dificuldades para realizar essas divisões. Pode ser que tais dificuldades apareceram por questão da descontextualização da atividade proposta, pois como relatamos na análise a priori precisávamos sair do cenário do jogo. Castela (2005) ao realizar um trabalho com um grupo de estudantes, concluiu em sua pesquisa que os alunos acertaram mais os exercícios contextualizados que os similares descontextualizados já tinha acenado para essa possibilidade. O grupo 2 continuou tendo dificuldade sobretudo com a tabuada.
Durante a entrega desta atividade, Jonas (grupo 1) disse:
Não precisa fazer nada? Só as continhas?
Nesta fala, percebemos que a descontextualização da atividade gerou um certo desânimo por parte desse estudante. Respondemos que era apenas para fazer as divisões. Inferimos que fazer as ”continhas”, não era algo que a motivava ou que a fazia sentir desafiado, contudo ele se empenhou para resolver a atividade.
Percebemos que esse grupo apresentou maior dificuldade no item c). Os integrantes do grupo faziam sempre pelo método do múltiplo do divisor. Mesmo avançando, o grupo ainda se perdia em alguns momentos mediante as tabuadas. A Figura 55 ilustra como a aluna Gabriela fez os cálculos auxiliares para resolver a divisão, nos quais percebemos alguns erros.
Figura 55: Cálculos auxiliares da estudante Gabriela na resolução do item b) da atividade 11
A estudante faz suas multiplicações por soma sucessiva, como uma forma de auxiliar na resolução da multiplicação que, por sua vez, é um cálculo auxiliar para resolver a divisão. Toda essa estrutura acaba por conter falhas, levando-a ao erro. O problema da soma sucessiva é que ao errar uma das somas, as demais também são comprometidas. Ao escrever 26×2=42, a estudante errou os outros fatores e, por consequência a divisão também pois ao invés de somar , fez . Após esses erros, os demais múltiplos estavam comprometidos. Percebemos erros similares aos relatos cometidos pela mesma aluna no item c). Problemas relacionados com adição para resolver divisões já foram mencionados por Gregolin (2002), no qual o autor também alega dificuldades que envolvem a multiplicação, comprometem na compreensão do Algoritmo da Divisão.
78 26
52+ = 42+26=68
Erik, Jonas e Ricardo acabaram por descobrir que o resultado estava errado no momento de fazer a prova real, de tal forma, que ao voltarem à divisão e, por consequência, a multiplicação, descobriram o erro. Por outro lado, no grupo 2, Lucas e Kelvin resolveram a primeira divisão e queriam saber se acertaram. Recomendamos que, para ter certeza, deveriam fazer a prova real. Eles fizeram e constataram que acertaram. Percebemos que esses alunos avançaram em
relação à divisão, pois fizeram a prova real para constatar que acertaram e, também, para voltar à divisão e descobrir o erro cometido.
Nas divisões dos itens b) e c), notamos uma dificuldade maior dos alunos Lucas e Kelvin, pois o aluno Kelvin ficou apenas tentando copiar do colega a resolução. Notamos a ausência de diálogos e uma tentativa sem sucesso para efetuar essas divisões.
Carolina não conseguiu realizar nenhum cálculo corretamente, fazendo multiplicações ao lado da conta principal. A estudante cometeu erros como o apresentado na Figura 56. Realizou a estrutura do Algoritmo da Divisão corretamente, mas errou na multiplicação e/ou na soma.
Figura 56: Erro cometido pela estudante Carolina no item c) da atividade 11
Fizemos uma intervenção coletiva, resolvendo com os participantes as divisões por meio de seu algoritmo, além de efetuarmos a prova real. Ressaltamos que a participação dos estudantes nesse processo deu-se de maneira satisfatória, eles respondiam aos questionamentos feitos pelo formador, além de se empenharem em dar a resposta mais acertada.
Mais uma vez, salientamos a dificuldade apresentada pelos estudantes no uso das tabelas de multiplicação (tabuada) e adições. Inferimos que tal fato comprometeu em grande medida o sucesso desses alunos ao efetuarem as divisões, acreditamos que se tais dificuldades não fossem encontradas, haveria um desempenho melhor que o observado.
Com o fim das oficinas, onde foram realizadas as atividades de 1 a 10, fizemos um pós-teste com os alunos envolvidos nas oficinas do jogo do NIM, uma vez que nosso objetivo era perceber as contribuições desse jogo para um resgate e/ou ampliação do uso do algoritmo para efetuar divisões.
Após, a realização do pós-teste, confrontamo-lo com os dados do pré-teste para constatar possíveis avanços e, mais especificamente, como os alunos enfrentaram esse teste pela segunda vez, pois as atividades do pós-teste eram as mesmas do pré-teste.
Destacamos que a ausência de alguns alunos às oficinas, foi um fator negativo, pois tais ausências podem ter comprometido o desempenho desses alunos, mediante a aplicação do pós-teste. Nos dados do Quadro 6, verificamos a frequência dos alunos participantes nas oficinas.
Quadro 5: Freqüência dos alunos nas oficinas
Quantidade de oficinas que participou Nome dos alunos duas oficinas Bruno, Vagner e Paulo
três oficinas Aurélio, Daniela, Maurício e Samuel
quatro oficinas Carolina, Erik, Gabriela, Jonas. Ricardo, Lucas e Kelvin
No estudo realizado, houve a colaboração de 14 estudantes, porém como relatamos nem todos participaram de todas as oficinas. Inferimos que os alunos do grupo 2, que participaram das quatro oficinas, apresentou um desempenho melhor nas atividades que realizamos, sobretudo, no sentido de argumentar, debater e defender suas formulações.