9. Sistemas não lineares
9.4. Aproximação linear do pêndulo
9.4. Aproximação linear do pêndulo
Os pontos de equilíbrio do pêndulo são todos os pontos onde os lados direitos das equações9.9 e 9.10 sejam nulos; consequentemente, existem pontos de equilíbrio em θ = 0, ±π , ±2π , . . ., com ω = 0.
Os pontos em θ = 0, ±2π, ±4π, . . ., são realmente o mesmo ponto físico, na posição mais baixa do pêndulo, correspondentes à passagem do pêndulo por essa posição, após um número qualquer de voltas. Os pontos em θ = ±π, ±3π, . . . são também um mesmo ponto física, na parte mais alta do pêndulo.
A matriz jacobiana do sistema é: " 0 1 −g l0 cos θ 0 # (9.11) No ponto de equilíbrio em θ = 0, a matriz é:
" 0 1 −g l0 0 # (9.12)
com valores próprios iguais a ± ipg/l0. Consequentemente, o ponto de equilíbrio é um
centro (equilíbrio estável). De fato, a matriz9.11é semelhante à matriz de um oscilador harmónico simples, com g/l0em vez e k/m.
Assim, nos pontos próximos de θ = 0, ±2 π, ±4 π, . . ., o sistema é parecido a um oscilador harmónico simples, com órbitas elípticas no espaço de fase, que correspondem a oscilações harmónicas com frequência angular:
2 π f =r g
l0 (9.13)
Perto do ponto de equilíbrio em θ = π, a matriz jacobiana é igual a: " 0 1 g l0 0 # (9.14)
com dois valores próprios reais ±pg/l0e de sinais opostos. Trata-se de um ponto de sela
(equilíbrio instável).
Para esboçar o campo de direções usando o programa plotdf, consideremos um pêndulo com l0igual 50 cm. Assim, no sistema internacional de unidades, as equações do pêndulo
são:
˙
θ = ω ω = −19.6 sin θ˙ (9.15)
Vamos representar o intervalo −10 < θ < 10 onde aparecerão 3 centros (−2π, 0 e 2π) e 4 pontos de sela (−3π, −π, π e 3π):
-10 -5 0 5 10 -20 -10 0 10 20 omega teta A B
Figura 9.4.: Retrato de fase do pêndulo.
(%i20) plotdf([omega, -19.6*sin(teta)], [teta, omega],
[teta, -10, 10], [omega, -20, 20])$
A figura9.4mostra o retrato de fase do pêndulo. No eixo horizontal está representado o ângulo θ e no eixo vertical a velocidade angular ω.
As curvas identificadas com as letras A e B na figura9.4, que começam desde um ponto de sela e terminam noutro, fazem parte de uma órbita heteroclínica.
Uma órbita heteroclínica é uma curva no espaço de fase formada por vários segmentos, cada um começando num ponto de sela e terminando em outro ponto de sela diferente. O último segmento termina no mesmo ponto de sela onde começou o primeiro.
0 θ
ω
0
9.4 Aproximação linear do pêndulo 159 As órbitas heteroclínicas do pêndulo correspondem ao caso em que a energia mecânica do pêndulo é exatamente igual à energia potencial gravítica no ponto de altura máxima. Usando como referência U = 0 no ponto mais baixo do pêndulo, a energia potencial no ponto mais alto é U = 2 m g l0.
Essas órbitas heteroclínicas também são separatrizes, porque delimitam a região onde existe movimento oscilatório: região sombreada na figura9.5. Se o estado inicial estiver dentro dessa região, o pêndulo oscila; caso contrário, o pêndulo descreve movimento circular não uniforme.
A figura9.6mostra a evolução em função do tempo de dois ciclos à volta do ponto de equilíbrio estável. No primeiro caso, o pêndulo foi largado, do repouso, com um ângulo inicial de 0.5 radianos (aproximadamente 29◦); isto é, no menu Config do plotdf usou- se “0.5 0” no campo Trajectory at. No retrato de fase, essa solução é bastante aproximada a uma elipse. Como vimos no capítulo anterior, uma elipse no retrato de fase corresponde à solução de um oscilador harmónico simples. O pêndulo oscila de forma harmónica e o seu período de oscilação é aproximadamente 1.44 s.
-1 0 1 -8 -4 0 4 8 t θ,ω θ(t) ω(t) -1 0 1 -8 -4 0 4 8 t θ,ω θ(t) ω(t)
Figura 9.6.: Oscilações do pêndulo, com amplitude angular de 29◦ (esquerda) e 115◦ (direita).
O gráfico no lado direito da figura9.6) corresponde ao lançamento do pêndulo, desde o repouso, com um ângulo inicial de 2 radianos (aproximadamente 115◦). O movimento pode parecer harmónico, mas a solução no espaço de fase não é uma elipse perfeita, e as funções θ (t) e ω(t) não são realmente funções harmónicas; isso é mais evidente para ω(t) que é demasiado reta entre máximos e mínimos. O período de oscilação, neste caso, é aproximadamente 1.88 s.
Usando a aproximação do pêndulo como oscilador harmónico simples, é possível calcular o seu período de oscilação (equação9.13). No caso que consideramos (l = 0.5 m) o período do pêndulo seria aproximadamente 1.42 s. Os valores mais realistas, que obtivemos
de forma numérica, são um pouco superiores. Quanto menor for o ângulo máximo de oscilação, mais perto estará o período do valor obtido com a aproximação linear.
Perguntas
1. O valor ideal do período de um pêndulo com comprimento l é 2πpl/g, onde g é a aceleração da gravidade. Na prática, o período só se aproxima do seu valor ideal em algumas situações. Qual das condi- ções seguintes garante que o período de oscilação seja aproximadamente igual ao valor ideal?
A. valor máximo da velocidade angular pequeno.
B. aceleração da gravidade pequena. C. comprimento l pequeno.
D. valor máximo do ângulo pequeno. E. atrito com o ar desprezável.
2. Se Fx= 4 x (x − v2x) representa a força re-
sultante que atua sobre uma partícula, no eixo dos x, e vx é a componente veloci-
dade, quantos pontos de equilíbrio tem o sistema? A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 0
3. No retrato de fase na figura, que tipo de ponto de equilíbrio é o ponto (1,0)?
1 0 -1 1 -1 A. nó atrativo B. foco repulsivo C. ponto de sela D. foco atrativo E. nó repulsivo
4. Qual é a matriz jacobiana do sistema ˙ x= y2, ˙y= x y? A. y 2 1 1 x y B. 0 2 y 1 1 C. 0 2y y x D. y x 0 2 y E. 1 1 0 2 y
5. As equações de evolução de um sistema dinâmico, no espaço de fase (x, y), são
˙
x= x y, ˙y= y + 1. Qual dos seguintes vetores poderão representar a direção e sentido da velocidade de fase no ponto (1, 2)? A. 4~ex+ 2~ey B. 2~ex+ 4~ey C. 6~ex+ 4~ey D. 4~ex+ 6~ey E. −2~ex− 3~ey
9.4 Aproximação linear do pêndulo 161
Problemas
1. Uma partícula com massa m, desloca-se ao longo do eixo dos x sob a ação de uma força resultante Fxque depende da posição x e da componente da velocidade vx. Para
cada um dos casos seguintes encontre os pontos de equilíbrio, diga que tipo de ponto equilíbrio é cada um (estável ou instável; centro, foco, nó ou ponto de sela) e desenhe o retrato de fase mostrando as órbitas mais importantes:
(a) Fx= −m x (1 + vx)
(b) Fx= −m x (x2+ vx− 1)
2. O diagrama mostra o retrato de fase de um sistema com 3 pontos de equilíbrio, no caso idealizado em que não existisse atrito. Faça (a mão) um esboço da energia potencial e de como seria o retrato de fase do sistema real, considerando as forças de atrito.
3. Se a base do pêndulo da figura 6.1 estiver a rodar no plano horizontal, com velocidade angular constante ωb, sobre o disco atuará também uma força centrífuga Fc= m R ωb2,
onde R é a distância desde o centro do disco até à vertical que passa pelo eixo do pêndulo. R l mg F Fc θ tangente
(a) Se o raio do disco for muito pequeno, a força no eixo de rotação tem unicamente componente normal. Demonstre que a força tangencial sobre o disco é:
Ft= m sin θ l ωb2cos θ − g
(b) Faça um gráfico de Ft em função de θ , entre −π e π, com os valores seguintes:
dois gráficos diga, em cada caso quais são os pontos de equilíbrio estável e instável. (c) Demonstre que em geral, quando ωb<pg/l, existe um único ponto de equilíbrio estável em θ = 0, e um único ponto de equilíbrio instável em θ = ±π. (d) Para ωb>
p
g/l, demostre que os pontos θ = 0 e θ = ±π são ambos pontos de equilíbrio instável, e aparecem dois pontos de equilíbrio estável em ±θ0, com 0 < θ0< π/2.
4. A amplitude de oscilação de um pêndulo decresce, devido à força de resistência do ar e ao atrito no eixo. Admita um pêndulo em que o atrito no eixo é desprezável e a resistência do ar é dada pela expressão −γω, onde γ é uma constante, e ω a velocidade angular. Usando os valores numéricos m = 300 g, l = 50 cm, g = 9.81 m/s2, γ = 0.05 N·s, desenhe o campo de direções do sistema. Desenhe as soluções para os casos seguintes:
(a) O pêndulo parte do repouso com um ângulo inicial θ = 120◦.
(b) O pêndulo é lançado desde θ = 60◦, com uma velocidade angular inicial ω = −9 s−1. Explique o significado físico das duas soluções esboçadas.