Centro de massa

comparação com o peso e no fim discutiremos como podem essas forças alterar a nossa resposta. A condição para que a soma das forças verticais seja nula é:

R1+ R2= 9000

Como temos duas variáveis e apenas uma condição, faz falta uma segunda condição que é a soma dos torques igual a zero. Por existir equilíbrio, podemos escolher qualquer ponto como referência para calcular os torques; é conveniente escolher o ponto onde houver mais forças aplicadas, já que as forças no ponto de referência não produzem torque. Neste caso escolheríamos um dos pontos de contato dos pneus com a estrada, ou o centro de gravidade (CG). Usando como referência o ponto de aplicação de R1, a soma dos torques é:

1.6 R2− 0.4 × 9000 = 0 =⇒ R2= 2250 N

A seguir, podíamos substituir esse valor na condição para a soma das forças, mas também podemos calcular torques novamente, em relação ao ponto de aplicação de R2:

1.2 × 9000 − 1.6 R1= 0 =⇒ R1= 6750 N

Admitindo que o centro de gravidade esteja a igual distância dos lados direito e esquerdo do automóvel, devido à simetria, as reações nos dois pneus da frente serão iguais e, portanto, a reação em cada pneu será 3375 N. Nos pneus de atrás as reações também serão iguais, cada uma com módulo 1125 N.

As forças de atrito e da resistência do ar não alteram a condição da soma das forças verticais, mas sim alteram as somas dos torques. As forças de atrito com a estrada, por atuarem na mesma linha que passa pelos pontos de contato dos pneus com a estrada, não produzem nenhum torque em relação aos pontos de referência usados. A resistência do ar produz torque negativo, que aumenta as reações normal nos pneus de atrás e diminui as reações normais nos pneus da frente. Para podermos calcular o torque da força de resistência do ar, era preciso saber o coeficiente aerodinâmico CDdo automóvel, a velocidade do vento e o

ponto de aplicação dessa força, que está distribuída em toda a superfície do automóvel.

6.3. Centro de massa

Um corpo rígido é uma distribução de massa num volume. Se a massa total do corpo for M, e d m for a massa infinitesimal que existe em cada ponto do corpo. Temos que:

M=

Z

d m (6.6)

onde o integral é um integral de volume, dentro do volume ocupado pelo sólido, já que d m é o produto da massa volúmica ρ pelo volume infinitesimal d x d y d z.

Define-se o vetor posição do centro de massa,~rcm, igual ao valor medio do vetor posição no sólido ~rcm = Z ~r d m M (6.7)

em que a média é feita com um peso igual à massa em cada ponto.

Exemplo 6.2

Calcule o vetor posição do centro de massa do sólido homogéneo apresentado na figura.

x y z a b c

Resolução: O volume do sólido é delimitado pelos 5 planos x = 0, y = 0, y = a, z = 0 e z= c (1 − x/b).

A área infinitesimal d m é igual à carga volúmica ρ vezes o volume infinitesimal em coor- denas cartesianas, d x d y d z. Comecemos por calcular a massa total, usando a equação6.6:

M= a Z 0 b Z 0 c(1−x/b) Z 0 ρ d z d x d y

Como o corpo é homogéneo, ρ é constante. No Maxima, podemos calcular os três integrais sequencialmente; usaremos p para representar a massa volúmica

(%i1) _{integrate (p, z, 0, c*(1 - x/b))$}

(%i2) integrate (%, x, 0, b)$

(%i3) M: integrate (%, y, 0, a);

a b c p

(%o3) ---

2

Repare que não pedimos para que os resultados intermédios aparecessem no ecrã mas, porém, esses resultados vão ficando armazenados nas variáveis %o1, %o2, etc.

Para calcularR

~r d m, vamos repetir o mesmo integral de volume, mas o integrando já não será ρ, mas sim (ρ~r)

6.3 Centro de massa 99

(%i4) r: [x, y, z]$

(%i5) _{integrate (p*r, z, 0, c*(1 - x/b))$}

(%i6) integrate (%, x, 0, b)$

(%i7) rcm: integrate (%,y,0,a)/M;

b a c

(%o7) [-, -, -]

3 2 3

Concluímos que o vector posição do centro de massa é ~rcm=

b 3~ex+ a 2~ey+ c 3~ez.

Em todo corpo rígido existe sempre um único ponto que é o centro de massa. Se a origem for escolhida exatamente no centro de massa, o valor de~rcmserá nulo e a equação6.7é:

Z

~r d m = 0 (6.8)

O integral em6.8 será nulo unicamente se a origem estiver no centro de massa. Em qualquer outro ponto o resultado seria um vetor não nulo. Este resultado será muito importante nas seções seguintes.

Derivando os dois lados da equação6.7obteremos uma expressão para o vetor velocidade do centro de massa

~vcm=

Z

~v d m

M (6.9)

Nomeadamente, o vetor velocidade do centro de massa é o valor médio dos vetores velocidade de todos os pontos do corpo, em que a média é feita com um peso igual à massa em cada ponto.

Derivando a equação6.9, obtemos o vetor aceleração do centro de massa:

~acm=

Z

~a d m

M (6.10)

que é a média, pesada pela massa, das acelerações de todos os pontos no sólido.

Se o referencial em que está a ser medido o vetor aceleração ~a de cada ponto for um referencial inercial, o produto ~a d m será igual à força resultante d ~f que atua sobre a massa d m:

d ~f = ~a d m (6.11)

Repare que sempre que exista aceleração, deverá existir uma força infinitesimal d ~f aplicada em cada ponto do sólido, para que consiga acompanhar o movimento do corpo e este permaneça rígido. Na maioria dos pontos essa força é devida unicamente às forças internas de contato entre as partes do corpo, forças essas que são desencadeadas em todo o

corpo pela ação de n forças externas ~F1, ~F2, . . . , ~Fnque atuam em n pontos do corpo rígido.

Nos pontos 1, 2, . . ., n, a força ~f inclui as forças de contato mais a força externa em cada ponto. A diferencial d ~f é a variação da força em todos os pontos do volume do corpo. Substituindo a expressão6.11na equação6.10, obtemos:

Z

d ~f = M~acm (6.12)

Quando somarmos todas as forças em todos os pontos do corpo, por cada força interna de contato que encontramos num ponto, existirá outra força igual mas de sentido oposto em outro ponto vizinho, devido à lei de ação e reação. Assim, no integral R

d ~f todas as forças internas de contato serão eliminadas, ficando unicamente a soma das forças externas, ~F₁, ~F₂, . . . , ~F_n, que é a força resultante sobre o corpo rígido. Consequentemente, a equação6.12é equivalente a: n

∑

Este resultado muito importante é a lei do movimento de translação do corpo rígido: O movimento do centro de massa de qualquer corpo rígido com massa M é igual ao movimento que teria uma partícula pontual com massa M e força resultante igual à soma vetorial de todas as forças externas aplicadas sobre o corpo rígido.

É de salientar que aqui a soma vetorial das forças é feita como se fossem vetores livres. Se a resultante das forças externas for nula, o centro de massa estará ou em repouso ou em estado de movimento retilíneo uniforme. Contudo, outros pontos no corpo rígido poderão ter movimentos mais complicados. Já veremos esses casos nas seções seguintes.

O peso é um exemplo de força externa aplicada em todos os pontos do corpo rígido. A equação6.12nesse caso será:

Z

~g d m = M~acm (6.14)

Se o vetor aceleração da gravidade ~g for igual em todos os pontos do corpo, o integral no lado esquerdo será igual a M~g e concluímos que a aceleração do centro de massa é igual à aceleração da gravidade e que o centro de gravidade —ponto de aplicação da força resultante do peso de todas as partes do corpo— coincide com o centro de massa. Existem casos em que ~g não é constante em todo o corpo, mas isso não acontecerá em nenhum dos sistemas considerados neste capítulo e, portanto, vamos admitir que o peso total do objeto pode ser sempre representado por uma força M~g aplicada no centro de massa.

Imagine por exemplo uma lâmina triangular. Se for pendurada por um dos vértices, começará a oscilar até parar numa posição em que o centro de gravidade estará na mesma linha reta vertical que passa pelo vértice; podemos desenhar essa reta vertical no triângulo e repetir o procedimento pendurando a lâmina dos outros dois vértices; no fim veremos que as três retas se cruzam num ponto que é o centro de gravidade e o centro de massa. Se

6.4 Cinemática dos corpos rígidos 101