Campo de direções

(x0, vx,0)

x vx

Figura 7.2.: Espaço de fase de uma partícula que se desloca ao longo do eixo dos x.

Em cada instante, o estado da partícula pode ser qualquer ponto do plano. Se num instante inicial a partícula se encontra na posição x0, com componente da velocidade vx,0, o estado

nos instantes seguintes são os pontos de uma curva contínua a partir do ponto (x0, vx,0).

A evolução do sistema em função do tempo é dada por uma curva contínua no espaço de fase; a curva não pode ter nenhuma descontinuidade porque a posição e a velocidade não pode mudar repentinamente de um valor para outro diferente, sem passar por todos os valores intermédios. Por cada ponto do espaço de fase passa uma única curva de evolução do sistema.

7.2. Campo de direções

Na figura7.2, o ponto (x, vx) que representa o estado da partícula em cada instante, desloca-

se no sentido horizontal e no sentido vertical. O deslocamento horizontal por unidade de tempo é dado pela derivada ˙x(componente x da velocidade) e o deslocamento vertical por unidade de tempo é dado pela derivada ˙v_x(componente x da aceleração).

Assim, o estado da partícula desloca-se, no espaço de fase, com velocidade:

~u = vx~ex+ ax~ey (7.1)

esse vetor designa-se de velocidade de fase. Em cada ponto do espaço de fase, a velocidade de fase é um vetor tangente à trajetória que passa por esse ponto.

A figura7.3mostra as componentes da velocidade de fase em vários pontos do espaço de fase. Esse tipo de desenho designa-se de campo de direções. A figura mostra também uma possível curva de evolução do sistema, no espaço de fase. O movimento correspondente a essa curva é o seguinte: a partícula parte desde uma posição inicial x0> 0, com velocidade

de valor negativo e aceleração tangencial positiva, que implica diminuição do valor absoluto da velocidade; quando passa pela origem a sua aceleração é nula, mas continua a deslocar- se para valores negativos de x, com componente da velocidade negativa e constante. A partícula para num ponto x1< 0 mas como a componente da aceleração ax nesse ponto

é positiva, começa a andar novamente no sentido positivo de x, regrassando à origem; finalmente a partícula continua a afastar-se da origem com velocidade sempre a aumentar.

x v

x

Figura 7.3.: Velocidade de fase em vários pontos do espaço de fase e uma curva de evolução do sistema.

Na figura7.3, observe que a velocidade de fase no semiplano superior aponta sempre para a direita, porque nesse semiplano o valor da velocidade é sempre positivo, e no semiplano inferior a velocidade de fase aponta sempre para a esquerda, porque nesse semiplano o valor da velocidade é negativo. No eixo horizontal, a velocidade de fase é sempre perpendicular ao eixo, porque a velocidade é nula. Assim, as curvas de evolução do sistema deslocam-se para a direita no semiplano superior e para a esquerda no semiplano inferior.

No Maxima, a função plotdf permite desenhar campos de direções como o da figura7.3. O exemplo seguinte mostra como usar esse programa.

Exemplo 7.1

Uma partícula com massa de 0.5 kg desloca-se ao longo de um carril. A componente da força no carril é Fx= −x3+ 6 x2− 3 x − 10, onde x é a posição ao longo do carril (unidades

SI). ( a) Desenhe o campo de direções para valores de x no intervalo [−4, 8] e valores de v_xno intervalo [−30, 30]. ( b) No instante inicial a partícula encontra-se na posição x = 4, com componente da velocidade vx= 3 m/s. Desenhe a curva de evolução da partícula no

7.2 Campo de direções 117 Resolução: (a) Começamos por definir a expressão da força no Maxima e a seguir calculamos a aceleração tangencial em função de s:

(%i1) _{F:-x^3 + 6*x^2 - 3*x - 10;} 3 2 (%o1) - x + 6 x - 3 x - 10 (%i2) a: F/0.5; 3 2 (%o2) 2.0 (- x + 6 x - 3 x - 10)

As variáveis de estado são x e vx, e as componentes da velocidade de fase são vxe ax (que

já está definida em função de x). Os dois primeiros argumentos que deverão ser dados ao programa plotdf são uma lista com as componentes da velocidade de fase, [v, a], e uma lista que indique as variáveis de estado, [x, v]. A seguir podemos dar alguns argumentos opcionais, por exemplo, para delimitar o domínio de valores de x e de v:

(%i3) plotdf([v, a], [x, v], [x, -4, 8], [v, -30, 30])$

(b) Para desenhar a curva de evolução a partir do estado inicial x = 4 e v = 3, usa-se a opção trajectory_at: (%i4) plotdf([v,a],[x,v],[x,-4,8],[v,-30,30],[trajectory_at,4,3])$ x v x -2 0 2 4 6 8 -30 -20 -10 0 10 20 30

Figura 7.4.: Campo de direções do exemplo7.1e curva de evolução do sistema.

A figura7.4mostra o gráfico obtido. Os vetores que representam a velocidade de fase não foram desenhados com o valor real do seu comprimento para evitar que se cruzem. Foram desenhados com módulos ajustados para ficar com tamanho ligeiramente menor que a distância entre os pontos da quadrícula em que são desenhados os vetores.

A curva de evolução da partícula a partir de x = 4 mostra que a partícula avança na direção positiva de x, até parar (vx= 0) em aproximadamente x = 5.8; a seguir a partícula regressa

sentido negativo até parar aproximadamente em x = 3.8; finalmente, regressa ao ponto inicial x = 4 com a mesma componente da velocidade inicial vx= 3. Nesse instante o ciclo

repete-se.

A partir do campo de direções pode obter-se muita informação importante sobre o sistema. No exemplo apresentado na figura7.4, as condições iniciais dadas conduzem a um movi- mento oscilatório à volta de um ponto perto de x = 5. Podemos ver que se a velocidade inicial fosse mais elevada ou se a partícula parti-se de uma posição inicial com x > 6, a oscilação seria até valores de x menores que −1.5. Perto de x = −1.5 também pode existir movimento oscilatório à volta desse ponto.

7.2.1. Opções do programa plotdf

Como já foi referido, o primeiro argumento que deve ser dado ao programa plotdf é uma lista com as duas componentes da velocidade de fase. Cada componente deverá ser uma expressão que só pode depender de duas variáveis, variáveis essas que definem o estado do sistema.

Se as variáveis de estado fossem x e y, não seria preciso dar nenhum outro argumento ao programa. Se as variáveis são outras diferentes, a seguir deverá ser escrita uma lista com os nomes dessas duas variáveis. Como regra geral pode ser escrito sempre o nome das duas variáveis de estado.

A seguir ao nome das variáveis de estado há várias opções adicionais que podem ser usadas. A lista completa de opções do programa pode ser consultada no manual do Maxima. Quando se executa o programa plotdf, é criada uma nova janela com o campo de direções (figura7.5).

7.3 Pontos de equilíbrio 119