Método de Euler em 3 dimensões

As equações3.25e3.26são fáceis de generalizar a 3 dimensões. Bastará substituir s pelo vetor posição, v pelo vetor velocidade e atpelo vetor aceleração. As equações vetoriais

são:

~ri+1=~ri+~vi∆t (3.27)

~vi+1= ~vi+ ~f(ti,~ri,~vi) ∆t (3.28)

onde ~f é uma função vetorial (com três componentes) que define o vetor aceleração em função do tempo, e dos vetores posição e velocidade:

~a = ~f(t,~r,~v) (3.29)

Vamos mostrar a aplicação do método resolvendo em forma numérica o exemplo2.2que já foi resolvido em forma analítica. Neste caso a função ~f é constante e igual ao vetor ~g. No Maxima, representa-se por meio de uma lista:

(%i23) g: [0, 0, -9.8]$

Usaremos os mesmo valores iniciais usados no exemplo2.2. A posição e velocidade inicial serão listas, dentro de outras listas, onde serão acrescentados os resultados das seguintes iterações:

(%i24) r: [[9, 4, 15]]$

(%i25) v: [[13, 22.5, 15]]$

Em vez de realizar um ciclo indefinido, com uma condição para terminar, vamos mostrar outra forma mais segura, por não ter o perigo de se tornar um ciclo infinito, que consiste em realizar um número determinado de iterações.

Num problema real, teríamos que começar com um número arbitrário de iterações e ir aumentando ou diminuindo em função dos resultados. Neste caso, como no exemplo2.2já descobrimos que o tempo total do lançamento é aproximadamente 3.86 s, e como estamos a usar intervalos de tempo de 0.01 s, vamos fazer 386 iterações, usando a função for do Maxima:

(%i26) for i:1 thru 386

do (r: endcons(last(r) + 0.01*last(v), r), v: endcons(last(v) + 0.01*g, v))$

Para ver os resultados, vamos primeiro conferir o tamanho da lista r:

(%i27) length (r);

(%o27) 387

Antes de ver os resultados numéricos, é também útil ajustar o número de casas decimais que serão apresentadas no ecrã; 8 casas são suficientes:

(%i28) fpprintprec: 8$

repare que Maxima continuará a fazer as contas com o número máximo de casas decimais dos números de precisão simples (normalmente 16), mas os resultados serão arredondados antes de aparecerem no ecrã. Para obtermos uma lista apenas com os últimos 3 vetores de posição, usamos o comando rest para eliminar os primeiros 384 vetores:

3.5 Resolução numérica das equações de movimento 51

(%i29) rest (r, 384);

(%o29) [[58.92, 90.4, 0.53472], [59.05, 90.625, 0.3084],

[59.18, 90.85, 0.0811]]

os valores das coordenadas x e y coincidem, mas o valor de z apresenta um erro de 8 cm em relação aos resultados do exemplo2.2.

Vimos também que a altura máxima era alcançada em t = 1.53 s. No Maxima, o primeiro elemento da lista r é designado por r[1]; no nosso caso, r[1] tem os dados de ~r(0), r[2]será~r(0.1) e, portanto,~r(1.53) estará em r[154]

(%i30) r[154];

(%o30) [28.89, 38.43, 26.55]

Mais uma vez, os valores de x e y coincidem, mas z tem um pequeno erro. Não é de admirar, já que o movimento nos eixos x e y é uniforme, o que implica enquanto que o movimento no eixo dos z é uniformemente acelerado. No caso de movimentos com aceleração não uniforme, o erro do método de Euler poderá ser muito elevado; nesses casos será preciso usar intervalos de tempo muito menores, ou algum outro método numérico mais apropriado ao tipo de problema. Em outros capítulos posteriores estudaremos outros métodos numéricos mais precisos.

Perguntas

1. No intervalo de tempo 0 < t < 1, a velo- cidade de um objeto em função do tempo verifica a expressão v = 5 + 3t2+ 2t3. Se a trajetória do objeto for uma reta, qual das cinco funções na lista poderá ser a expressão correta para o módulo da ace- leração? A. a = 5 + 6t + 6t2 B. a = 5 C. a = 6t D. a = 5 + 6t E. a = 6t + 6t2

2. Um objeto com movimento circular tem aceleração angular constante α = 3/π radiano/s2. Se o objeto parte do re- pouso, quanto tempo, em segundos, de- morará a completar as primeiras 3 voltas? A. π

B. 2 π

C. 3 π D. 4 π

E. 5 π

3. Um ponto num objeto descreve numa tra- jetória curva, com velocidade constante. Qual das seguintes afirmações é verda- deira?

A. A aceleração é perpendicular à traje- tória.

B. O módulo da aceleração é constante. C. A aceleração é tangente à trajetória.

D. A aceleração é constante. E. A aceleração é nula.

4. Um projétil é lançado com uma veloci- dade inicial v0com direção inclinada que

faz um ângulo θ com o plano horizontal. Qual será o valor do raio de curvatura da trajetória parabólica no instante inicial? A. v 2 0tan θ g B. v 2 0sin θ g C. v 2 0cos θ g D. v 2 0 gsin θ E. v 2 0 gcos θ

5. Os seguintes comandos do Máxima estão a ser usados para criar duas listas com as posições z e as componentes da velocida- des vzde uma partícula em intervalos de

tempo d:

z:endcons(last(z)+d*last(vz),z) vz:endcons(last(vz)+d*last(z),vz)

Podemos afirmar que no movimento a ser estudado: A. vzé proporcional a z. B. azé proporcional a z. C. azé proporcional a vz. D. z é proporcional a vz. E. z é proporcional ao tempo.

Problemas

1. No intervalo de tempo 0 ≤ t ≤ 10, a velocidade e o módulo da aceleração de uma partícula com movimento em 3 dimensões são dadas pelas funções: v = t√4t2_{+ 9}

a=√16t2_{+ 9 (unidades SI). Encontre, no mesmo intervalo, as expressões para: (a) A}

3.5 Resolução numérica das equações de movimento 53

2. Um motorista entra numa curva a 72 km/h, e trava, fazendo com que a velocidade dimi- nua a uma taxa constante de 4.5 km/h cada segundo. Observando o desenho, faça uma estimativa do raio de curvatura da curva no desenho e calcule o módulo da aceleração do automóvel 4 segundos após ter iniciado a travagem.

5 m

3. Um piloto de corridas de aviões executa um loop vertical com 1200 m de raio. A velocidade no ponto A, no início do loop, é 160 m/s e no ponto C, no fim do loop, é 140 m/s. Admitindo que a aceleração tangencial é constante (negativa) durante todo o percurso, calcule o módulo da aceleração no ponto B.

1200 m

A

B C

4. A equação da trajetória de um objeto é: ~r = 8 cos2(2t)~ex+ 4 sin(4t)~ey(unidades SI e

ângulos em radianos). (a) Demonstre que o movimento do objeto é circular uniforme. (b) Calcule a velocidade angular do objeto e o seu período. (c) Encontre a posição do centro da trajetória circular.

5. Dois carros A e B passam por uma curva usando trajetórias diferentes. A figura mos- tra a curva delimitada pela reta C. O carro B faz um percurso semicircular com raio de 102 m; o carro A avança uma distância em li- nha reta, a seguir segue um semicírculo com raio 82 m e termina com outro trajeto em linha reta. Os dois carros deslocam-se à ve- locidade máxima que podem ter para conse- guir fazer a curva, que para o tipo de pneus usados corresponde à velocidade que pro- duz uma aceleração normal de 0.8 g, onde g é a aceleração da gravidade. Calcule o tempo que demora cada um dos carros a fazer a curva. 102 m 82 m C C A B

6. Os pontos P1= (0, 0), P2 = (0, 1), P3= (1, 1) e P4= (1, 0) são os vértices de um

quadrado com aresta igual a 1. Usando o Maxima, desenhe as 3 curvas de Bézier obtidas usando como pontos de controlo os quatro vértices, nas 3 sequências seguintes: (a) P1, P2,P3, P4. (a) P1, P3,P2, P4. (a) P1, P2,P4, P3.

7. Para calcular o comprimento de uma curva de Bézier é preciso integrar a equação v= ˙s. Calcule o comprimento da curva de Bézier do exemplo3.2(pode usar a função rombergdo Maxima para calcular o integral numericamente).

8. Um objeto parte do repouso na posição ~r0= ~ex+ 2~ey+~ez. A aceleração do objeto

depende da sua posição e da sua velocidade e verifica a expressão ~a = 3~r −~v. Usando o método de Euler, com intervalos de tempo de 0.01 s, calcule a posição e a velocidade um segundo depois do instante inicial.