7. Sistemas dinâmicos
7.4. Sistemas autónomos
a opção versus_t do programa plotdf. Os gráficos na figura7.8foram obtidos com os comandos seguintes:
(%i8) plotdf([v,F/0.3],[x,v],[x,-5,8],[v,-50,50],[versus_t,1],
[trajectory_at,0.5,0],[direction,forward],[nsteps,425])$
(%i9) plotdf([v, F/0.3], [x,v],[x,-5,8],[v,-50,50],[versus_t,1],
[trajectory_at,-2.61,0.5],[direction,forward],[nsteps,425])$ 0 2.5 5 7.5 -5 -2.5 0 2.5 5 x v t x v 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 -50 -25 0 25 50 t
Figura 7.8.: Posição e velocidade em função do tempo no caso de um ciclo (esquerda) e de uma órbita homoclínica.
O gráfico obtido com o comando (%i8), apresentado no lado esquerdo da figura7.8, mostra a evolução, em função do tempo, do ciclo que aparece no retrato de fase7.6como uma elipse à volta do ponto de equilíbrio em x = 0.81. O movimento é periódico.
O gráfico obtido em (%i9) aparece no lado direito da figura7.8e corresponde à órbita homoclínica que parte desde o ponto de equilíbrio em x = −2.65 na figura7.6e termina no mesmo ponto. Nesse ponto existe unicamente uma órbita homoclínica; as outras duas curvas, uma que chega ao ponto desde cima e da esquerda, e a outra que sai do ponto para a esquerda e para baixo, são curvas abertas que se estendem até o infinito; não fazem parte de nenhuma órbita homoclínica.
7.4. Sistemas autónomos
Quando a força resultante que atua sobre a partícula não depender do tempo, diz-se que o sistema é um sistema autónomo. Do ponto de vista físico, um sistema será autónomo se, sempre que for colocado no mesmo estado inicial, a sua evolução for a mesma.
Os sistemas que observamos na natureza costumam ter essa propriedade. As leis físicas são as mesmas em qualquer instante; se repetirmos uma experiência física uns dias mais
tarde, o resultado deverá ser o mesmo. Quando isso não acontecer, será um sinal de que falta alguma informação adicional sobre outros fatores físicos externos.
Assim, num sistema autónomo a força resultante dependerá unicamente do estado do sistema: posição e velocidade. Claro está que a posição e a velocidade podem ser escritas em função do tempo e, consequentemente a força depende implicitamente do tempo, mas não existe nenhuma dependência explicíta no tempo. As causas que dão origem à força são independentes do tempo.
Num sistema que não seja autónomo, para poder definir a velocidade de fase, num ponto do espaço de fase, é preciso saber a posição, a velocidade e o tempo. Portanto, o estado completo de um sistema não autónomo inclui também o tempo; o espaço de fase é formado pela posição, a velocidade e o tempo. O tempo passa a ser mais uma variável de estado.
7.5. Sistemas conservativos
Se a força resultante sobre a partícula for conservativa, será possível definir uma função de energia potencial. No capítulo5vimos que se a componente da força depende unicamente da posição x, o sistema é conservativo. A energia potencial U calcula-se a partir da primitiva da componente da força (equação5.15):
U= −
x
Z
xref
Fxd x (7.2)
Os dois sistemas considerados nos exemplos7.1e7.2são ambos conservativos. No caso do exemplo7.2, a expressão da força foi armazenada na variável F do Maxima; assim, para obtermos a energia potencial calculamos a primitiva da expressão F:
(%i10) U: -integrate( F, x);
5 3
x 4 x 2
(%o10) -- - x + -- + 16 x - 25 x
10 2
A energia mecânica obtém-se somando a energia cinética:
(%i11) E: U + 0.3*v^2/2;
5 3
x 4 x 2 2
(%o11) -- - x + -- + 16 x - 25 x + 0.15 v
10 2
Essa energia mecânica depende do estado inicial do sistema e permanece constante. Assim, as curvas de evolução do sistema serão todas as curvas do plano de fase obtidas com diferentes valores numéricos para E.
7.5 Sistemas conservativos 125 No Maxima, o pacote plotdf inclui outra função ploteq que permite calcular as curvas obtidas dando diferentes valores a uma função de duas variáveis. Para obter as curvas com valores constantes de E, usamos o seguinte comando:
(%i12) ploteq( E, [x,v], [x,-5,8], [v,-50,50])$ -4 -2 0 2 4 6 8 -50 -25 0 25 50 v x
Figura 7.9.: Curvas de evolução do exemplo7.2, obtidas a partir das curvas com energia constante.
Clicando em alguns pontos do espaço de fase, conseguimos obter o gráfico na figura7.9, que reproduz o mesmo gráfico que já obtivemos com plotdf na figura7.9. A única diferença é que agora não temos setas que indiquem o sentido da evolução do sistema. Podemos calcular a energia mecânica nos pontos que foram usados no gráfico7.9:
(%i13) E, x=-2.65, v=0; (%o13) 106.92107209375 (%i14) E, x=3.95, v=0; (%o14) 34.42494371875003 (%i15) E, x=0.5, v=0; (%o15) - 8.496875 (%i16) E, x=5.5, v=0; (%o16) 17.90937500000001
E também podemos representar esses níveis de energia mecânica constante junto com o gráfico da energia potencial:
(%i17) plot2d([U,-8.5,17.91,34.42,106.92],[x,-4,7.5],[ylabel,"U(x)"])$
O resultado aparece na figura7.10. Para cada valor de energia, o sistema só pode estar nas regiões onde a energia potencial seja menor ou igual à energia mecânica.
-40 -20 0 20 40 60 80 100 120 140 -4 -2 0 2 4 6 U(x) x
Figura 7.10.: Gráfico da energia potencial no exemplo7.2, mostrando alguns níveis de energia mecânica.
Os dois valores mais elevados da energia representados no gráfico 7.10, E = 34.42 e E= 106.92, são os valores da energia nos dois pontos de equilíbrio instável: E = 106.92 no ponto de equilíbrio x = −2.65 e E = 34.42 no ponto de equilíbrio x = 3.95.
Observe também que em todos os pontos da órbita homoclínica que passa pelo ponto instável x = −2.65, a energia é igual a 106.92. De fato, a condição E = 106.92 define essa órbita. As duas órbitas homoclínicas que passam pelo ponto instável x = 3.95 estão definidas pela condição E = 34.42.
Se a energia for menor que E = 34.42, a curva de evolução será um ciclo em torno de algum dos dois pontos de equilíbrio estável. Se a energia estiver comprendida entre 34.42 e 106.92, a curva de evolução será um ciclo (oscilação) em torno dos dois pontos de equilíbrio estável.
É muito importante observar que num gráfico da energia potencial, como o que aparece na figura 7.10, os pontos onde a curva tem um mínimo local correspondem a pontos de equilíbrio estável. Os pontos onde existe um máximo local são pontos de equilíbrio instável.
Podemos imaginar a curva de energia potencial como uma calha vertical; se colocarmos uma esfera nos pontos máximos, poderá ficar em repouso, mas um pequeno impulso fará com que comece a descer, afastando-se da posição de equilíbrio (equilíbrio instável). Se largarmos a esfera desde o repouso perto de um ponto onde o potencial é mínimo (equilíbrio estável), descerá acelerando até chegar ao ponto mínimo, subindo no lado oposto até parar; se a esfera não perde nenhuma energia no seu trajecto, a altura do ponto onde pára é igual à altura do ponto onde foi largada. Assim, a esfera voltará a descer e regressará ao seu ponto inicial e continuará a oscilar de um lado para o outro.
7.5 Sistemas conservativos 127
Perguntas
1. A força resultante sobre uma partícula que se desloca sobre o eixo dos y é ~
F = (2 − y)(3 − y)~ey. Em t = 0 a par-
tícula encontra-se em repouso no ponto y= 2.5. Em que ponto se encontrará a partícula após um tempo muito elevado? A. Muito afastada, em y → ∞
B. Oscilando à volta de y = 2 C. Em y = 2
D. Em y = 3
E. Oscilando à volta de y = 3 2. Um sistema é autónomo se:
A. Não apresenta pontos singulares onde a derivada não pode ser calculada. B. Não depende de outros sistemas. C. Evolui de forma espontânea, sem pre-
cisar de agentes externos.
D. O seu estado não depende do tempo. E. A evolução do sistema a partir de um estado inicial é igual em diferentes instantes.
3. A figura mostra o gráfico da componente xda força resultante Fx(x), que atua so-
bre uma partícula que se desloca ao longo do eixo dos x. Qual das seguintes afirma- ções é verdadeira, em relação aos pontos de equilíbrio da partícula? x Fx(x) −1 1 3 A. x = −1 é estável e x = 1 é instável. B. x = 1 é estável e x = 3 é instável. C. x = −1 é estável e x = 3 é instável. D. x = −1 e x = 3 são estáveis. E. x = −1 e x = 1 são instáveis.
4. A figura mostra o gráfico da energia po- tencial U (x), de uma partícula que se des- loca ao longo do eixo dos x. No instante inicial a partícula tem energia mecânica de 5 J e encontra-se em x = 1 m, com ve- locidade no sentido positivo de x. Como será o movimento da partícula?
x (m) U (J)
−2 −1 1 2 −3
3
A. Oscila à volta do ponto x = 1 B. Oscila à volta do ponto x = 2
C. Desloca-se até um ponto maior que x= 2 e depois regressa e fica em re- pouso em x = −1
D. Permanece em repouso no ponto x = 1
E. Desloca-se até um ponto maior que x= 2 e depois afasta-se em sentido negativo até −∞.
5. Quais são as componentes da velocidade de fase associada ao potencial U (x) = 3 expara uma partícula com massa m = 3? A. vx~ex− ex~ey B. vx~ex− e−x~ey C. vx~ex− x ~ey D. vx~ex+ ex~ey E. vx~ex+ e−x~ey
Problemas
1. Uma bola com 0.150 kg é lançada verticalmente para cima, desde y = 0 (o eixo dos yaponta para cima, na vertical). Desprezando o atrito com o ar, a energia permanece constante. (a) Desenhe o campo de direções, para y > 0, mostrando 4 curvas de evolução diferentes (use o valor 9.8 m/s2para g). Para cada curva, explique o significado dos pontos em que a curva interseta os eixos. (b) Na seção3.5.1(página47) foi considerada uma bola largada em queda livre, que batia no chão e era projetada novamente para cima; explique como seria a curva de evolução dessa bola no espaço de fase que desenhou na alínea anterior.
2. Para cada um dos 3 valores de k no problema 6 do capítulo 1, encontre os pontos de equilíbrio, diga que tipo de ponto de equilíbrio é cada um e desenhe o campo de direções mostrando as curvas de evolução perto dos pontos de equilíbrio.
3. Uma partícula com massa igual a 1 kg desloca-se ao longo do eixo dos y. No sistema SI, a componente da força sobre a partícula em cada ponto é dada pela expressão Fy= y + y2. (a) Encontre os pontos de equilíbrio e diga se são estáveis ou instáveis. (b) Calcule a energia potencial, em função de y, admitindo U = 0 na origem, e calcule a energia potencial em cada ponto de equilíbrio. (c) Desenhe o campo de direções do sistema, mostrando as 4 curvas de evolução correspondentes à energias seguintes: 0, uma energia menor que as energias nos pontos de equilíbrio, uma energia compreendida entre as energias nos dois pontos de equilíbrio, e energia maior que a energia nos pontos de equilíbrio. (d) Calcule a posição y onde a partícula pode estar em repouso, sem estar em equilíbrio, com energia total igual a zero; explique como seria o movimento da partícula nesse caso.
4. Uma partícula com massa m desloca-se no eixo dos x sob a ação da força: Fx= −k x + a
x3
onde k e a são duas constantes positivas. (a) Encontre os pontos de equilíbrio e mostre que todos são pontos de equilíbrio estável. (b) Explique como será o movimento da partícula. (c) Desenhe o campo de direções e algumas curvas de evolução no caso em que m, k e a são iguais a 1.
5. Uma partícula com massa m desloca-se no eixo dos x com energia potencial: U(x) = U0x2e−a x
2
onde U0 e a são duas constantes positivas. (a) Calcule a força que atua na partícula.
(b) Encontre os pontos de equilíbrio e diga se são estáveis ou instáveis. (c) Desenhe o gráfico da energia potencial para U0= 1 e a = 1. (d) Desenhe o campo de direções,
mostrando as curvas de evolução que passam pelos pontos de equilíbrio instável, no caso m = 1.
8. Sistemas lineares
O metrônomo produz pulsos de duração regular que podem ser ajustados deslocando um peso na haste que oscila. Os osciladores têm tido um papel muito importante no desenvolvimento da teoria dos sistemas dinâmicos.
8.1. Equações de evolução
A velocidade de fase de uma partícula que se desloca em uma dimensão tem duas com- ponentes que são as derivada da posição e da componente da velocidade, em função do tempo:
d x dt = vx
d vx
dt = f (x, vx,t) (8.1)
em que f (x, vx,t) é uma função conhecida, que determina a aceleração para quaisquer
valores da posição, velocidade e tempo. Estas duas equações são as equações de evolução, que permitem calcular o estado da partícula, (x, vx), a partir de um estado inicial. No caso
de um sistema autónomo, a função f não depende de t.
As duas equações8.1podem ser combinadas numa única equação, de segunda ordem, que define a posição em função do tempo:
d2x
dt2 = f (x, vx,t) (8.2)
De forma inversa, qualquer equação diferencial de segunda ordem pode ser interpretada como duas equações de evolução de um sistema dinâmico em duas dimensões, como veremos no exemplo a seguir.
Exemplo 8.1 A equação diferencial: x2y00+ x y0+ x2−1 9 y= 0
é uma equação de Bessel. Escreva a equação na forma de um sistema dinâmico autónomo num espaço de fase.
Resolução: A variável independente neste caso é x, em vez do tempo t e y0representa a derivada de y em função a x. Definiremos uma variável adicional v igual a y0:
d y
d x = v (8.3)
assim, a segunda derivada y00é igual à primeira derivada de v e a equação de Bessel é: x2d v d x+ x v + x2−1 9 y= 0 resolvendo para a derivada de v, obtemos:
d v d x = − v x− 1 − 1 9 x2 y (8.4)
8.2 Sistemas autónomos gerais 131