Deslocamento e vetor posição

Um vetor é um segmento de reta entre dois pontos P1 e P2 no espaço, em que um dos

pontos é designado de ponto inicial e o outro de ponto final. Por exemplo, na figura2.1, o vector que vai desde o ponto P1até o ponto P2está indicado com uma seta e designado por

~a a seta por cima da letra a serve para nos lembrar que ~a e não um escalar ou uma variável numérica. a a b P1 P2 P5 P6 P3 P4 a b c P Q R

Figura 2.1.: Vetores livres e soma de vetores.

Assim, um vetor representa um deslocamento desde um ponto do espaço até outro ponto. A distância entre os dois pontos é denominada módulo, ou norma do vetor. No caso do vetor ~a, entre os pontos P1e P2, o módulo representasse pela mesma letra a mas sem seta

e é igual à distância entre P1e P2; como a distância é um escalar, o módulo de um vetor é

sempre um escalar. Um vetor tem também uma direção, definida pela reta que passa pelos dois pontos, e um sentido, que vai desde o ponto inicial para o ponto final.

Dois vetores que tenham o mesmo módulo, direção e sentido consideram-se iguais. Assim, na figura2.1o vetor entre os pontos P1e P2e o vetor entre os pontos P3e P4foi identificado

como o mesmo vetor ~a, porque a distância entre P3e P4é a mesma que a distância entre

2.1 Vetores 19 dos dois vetores é para cima e para a direita. O vetor~b, entre os pontos P5e P6, já não é

igual porque tem módulo e direção diferente.

Esse tipo de vetores é denominado vetor livre porque não interessa o ponto específico onde for colocado, mas o que interessa é a direção, sentido e módulo. No lado direito da figura2.1, partindo do ponto P o vetor ~a produz um deslocamento até o ponto Q; a seguir, o vetor~b provocará um deslocamento até o ponto R; portanto, o deslocamento combinado de ~a e~b resulta no deslocamento desde P até Q, representado por um outro vetor ~c. Assim, dizemos que ~c é igual à soma dos vetores ~a e~b:

~a +~b = ~c (2.1)

essa definição da soma dos vetores implica que~b = ~c −~a. Consequentemente, a soma de dois vetores consiste em deslocar um deles de forma que o seu ponto inicial coincida com o ponto final do primeiro e construir o vetor que vai desde o ponto inicial do primeiro vetor até o ponto final do segundo. A figura também mostra que a subtração de dois vetores, ~c −~a, pode ser obtida colocando os seus pontos inicias no mesmo ponto e construindo o

vetor~b que vai desde o ponto final de ~a até o ponto final de ~c

A soma de vetores é comutativa; deslocar o vetor ~b a continuação do vetor ~a produz o mesmo resultado do que deslocar o vetor ~a a continuação do vetor~b (figura2.2). A soma dos vetores ~a e~b é a diagonal do paralelogramo em que dois dos lados são iguais a ~a e os outros dois lados são iguais a ~b. Como a soma de dois vetores é outro vetor, a soma de vários vetores também verifica a propriedade associativa.

b b

a

a a + b

Figura 2.2.: Regra do paralelogramo para somar vetores.

A soma de um vetor com si próprio ~a +~a = ~a dá um vetor com a mesma direção e o mesmo sentido, mas com módulo duas vezes maior. Assim, generalizando, o produto de um escalar k e um vetor ~a será um vetor com a mesma direção de ~a mas com módulo igual a |k| a; se k for positivo, a direção de k~a será a mesma de ~a e se k for negativo a direção será oposta. Costuma escrever-se primeiro o escalar e a seguir o vetor, mas o produto é também comutativo. Se k for igual a zero, k~a será o vetor nulo~0, nomeadamente, o ponto inicial e final do deslocamento é o mesmo.

vetor de módulo unitário, com a mesma direção e sentido de ~a, designado de versor na direção de ~a (figura2.3). Usaremos sempre um e minúsculo para representar versores.

a e_a

Figura 2.3.: A direção e sentido de um vetor ~a pode ser indicada por um versor ~ea, com

módulo igual a um.

No capítulo1vimos que para determinar a posição de um ponto P no espaço são precisas três variáveis, em relação a um sistema de referência. Uma possibilidade é usar como referencial um conjunto de 3 planos perpendiculares, com um ponto em comum O e medir as 3 distâncias desde o ponto P até os 3 planos, como mostra a figura2.4. Essas 3 distâncias são as coordenadas cartesianas, designadas por xP, yP e zP.

x y z r ex ey ez xP yP zP O P

Figura 2.4.: Coordenadas cartesianas (xP, yP, zP) de um ponto P, em relação a um referen-

cial definido por 3 versores perpendiculares, ~ex, ~eye ~ez.

As interseções dos 3 planos de referência (planos cartesianos) definem os 3 eixos cartesia- nos x, y e z, com origem no ponto P, de forma que o plano xy seja o plano desde onde foi medida a coordenada zP em forma perpendicular, o plano xz perpendicular à distância yP e

o plano yz perpendicular à distância xP.

Existem duas formas de definir os sentidos positivos dos eixos; e habitual usar sempre os sentidos de acordo com a regra da mão direita: feche o seu punho direito, estique o dedo indicador e a seguir abra o polegar e o dedo maior de forma que formem ângulos retos entre si; o indicador apontará no sentido do eixo dos x, o dedo maior no sentido do eixo dos y e o polegar no sentido do eixo dos z. O referencial pode ser definido também indicando a posição da origem O e os 3 versores perpendiculares, ~ex, ~eye ~eznas direções

2.1 Vetores 21 Define-se o vetor posição do ponto P, como o vetor ~rP que vai desde a origem O até o

ponto P. O vetor posição pode ser escrito como a soma de 3 deslocamentos ao longo dos 3 eixos:

~rP = xP~ex+ yP~ey+ zP~ez (2.2)

Qualquer outro vetor pode ser escrito também como a soma de 3 deslocamentos ao longo dos 3 eixos; por exemplo:

~a = ax~ex+ ay~ey+ az~ez (2.3)

~b = b_x~ex+ by~ey+ bz~ez (2.4)

(ax, ay, az) e (bx, by, bz) são as componentes cartesianas dos vetores ~a e~b. Assim, a soma

desses dois vetores será:

~a +~b = (ax+ bx)~ex+ (ay+ by)~ey+ (az+ bz)~ez (2.5)

Nomeadamente, a soma de dois vetores é outro vetor com componentes iguais à soma das componentes dos vetores. Repare que a direção, o sentido e o módulo de um vetor ~a são os mesmos, independentemente do ponto O que for definido como origem e indepen- dentemente das direções dos eixos cartesianos; no entanto as coordenadas (ax, ay, az) são

diferentes em diferentes referenciais. Se dois vetores são iguais, as suas componentes, no mesmo referencial, deverão ser iguais.

Observe também que a posição de um ponto P é definida pelas coordenadas cartesianas (xP, yP, zP), que são iguais às componentes do vetor posição ~rP desse ponto. No entanto, se

mudarmos o sistema de referência, o vetor ~r_Pcontinua a ser o mesmo segmento orientado entre os pontos O e P, mas as coordenadas do ponto P já não serão iguais às componentes de ~r_P, porque o ponto O já não estará na origem.