10. Métodos numéricos
10.2. Sistemas dinâmicos com vários graus de liberdade
10.2.2. Pêndulo de Wilberforce
O pêndulo de Wilberforce (figura10.5) consiste num cilindro, pendurado de uma mola vertical muito comprida. Quando uma mola é esticada ou comprimida, cada espira muda ligeiramente de tamanho; no pêndulo de Wilberforce, o número elevado de espiras na mola faz com que seja mais visível essa mudança, de forma que enquanto a mola oscila, também se enrola ou desenrola, fazendo rodar o cilindro em relação ao eixo vertical.
A força elástica na mola é dada pela expressão:
Fy= −k z − b θ (10.12)
onde z é a elongação da mola, θ o ângulo que roda no plano perpendicular ao eixo e k e b são duas constantes. O torque é dado pela expressão:
τ = −a θ − b z (10.13)
onde a é outra constante. O termo que depende de b é devido à relação que existe entre a elongação e a torsão na mola.
As quatro variáveis de estado serão z, θ , a velocidade vertical vze a velocidade angular no
10.2 Sistemas dinâmicos com vários graus de liberdade 171
θ
z
Figura 10.5.: Pêndulo de Wilberforce.
˙z = vz θ = ω˙ (10.14) ˙ v= −k mz− b mθ ω = −˙ a Icm θ −b Iz (10.15)
onde m e Icm são a massa e o momento de inércia do cilindro. Vamos resolver esse sistema
usando os seguintes parâmetros:
(%i9) [m, I, k, a, b]: [0.5, 1e-4, 5, 1e-3, 0.5e-2]$
os lados direitos das equações de evolução são:
(%i10) eq1: v$
(%i11) eq2: w$
(%i12) eq3: -(k*z + b*ang)/m$
(%i13) eq4: -(a*ang + b*z)/I$
para as resolver, no intervalo de tempo desde 0 até 40, e com condição inicial z = 10 cm e as outras variáveis iguais a 0, usaremos o programa rk na forma seguinte:
(%i14) sol: rk([eq1,eq2,eq3,eq4],[z,ang,v,w],[0.1,0,0,0],
[t,0,40,0.01])$
convem separarmos as variáveis em listas diferentes, usando diferentes fatores para que a ordem de grandeza das variáveis seja semelhante e possam ser apresentadas num mesmo gráfico; após algumas tentativas, resolvemos usar os seguintes fatores:
(%i15) listat: makelist(sol[i][1], i, 1, length(sol))$
(%i16) listaz: makelist(100*sol[i][2], i, 1, length(sol))$
(%i18) listav: makelist(35*sol[i][4], i, 1, length(sol))$
(%i19) listaw: makelist(0.3*sol[i][5], i, 1, length(sol))$
Quando existem mais do que 3 variáveis de estado, já não é possível desenhar o campo de direções nem o retrato de fase. O que podemos fazer é representar duas das variáveis de estado num gráfico a duas dimensões.
Para desenhar os gráficos da elongação z e do ângulo θ , em função do tempo, usamos os comandos: (%i20) plot2d([[discrete,listat,listaz],[discrete,listat,listang]], [legend,"elongação","ângulo"],[xlabel,"t"],[plot_format,xmaxima])$ elongação ngulo 0 10 20 30 40 -5 0 5 10 t
Figura 10.6.: Evolução da elongação e do ângulo de rotação no pêndulo de Wilberforce. o resultado aparece na figura 10.6. O gráfico reproduz uma caraterística interessante do pêndulo de Wilberforce: se o pêndulo é posto a oscilar, sem rodar, a amplitude das oscilações lineares decresce gradualmente, enquanto que o cilindro começa a rodar com oscilações de torsão que atingem uma amplitude máxima quando o cilindro deixa de se deslocar na vertical. A amplitude dass oscilações de torsão começa logo a diminuir à medida que a oscilação linear aparece novamente. Essa intermitência entre deslocamento vertical e rotação repete-se várias vezes.
O retrato de fase também não pode ser desenhado, por ter 4 coordenadas, mas podemos desenhar a sua projeção em duas dessas variávéis, por exemplo a elongação e o ângulo (figura10.7):
(%i21) plot2d([discrete, listaz, listang], [xlabel,"elongação"],
10.2 Sistemas dinâmicos com vários graus de liberdade 173 -5 0 5 -6 -4 -2 0 2 4 6 ângulo elongaç o
Figura 10.7.: Solução do sistema, no plano formado pela elongação e o ângulo.
Neste sistema existem duas frequências angulares. A frequência angular longitudinal e a frequência angular de torsão:
ωz= r k m ωθ = r a I (10.16)
O cilindro num pêndulo de Wilberforce costuma ter quatro porcas que podem ser des- locadas, aumentando ou diminuindo o momento de inércia, para conseguir que as duas frequências fiquem muito próximas e o efeito de alternância entre oscilações lineares e rotacionais seja mais visível.
No nosso exemplo acima, foram usados valores numéricos que garantem que as duas frequências sejam iguais.
Perguntas
1. O comando
a:rk([f,g],[y,z],[0,1], [x,0,1,0.01])
foi utilizado para resolver numerica- mente um sistema de equações. A seguir, oscomandos
c:makelist([a[i][1],a[i][2]], i,1,101)
plot2d([discrete, c])
desenharão o gráfico de: A. y vs x B. y vs t C. z vs x D. x vs t E. z vs y 2. O sistema não-linear: ˙ u= −2 u v v˙= 3 u + u v vai ser resolvido numericamente, no Ma- xima, usando o programa rk, com con- dições iniciais u = 1, v = 1, entre t = 0 e t= 5, com intervalos de tempo de 0.01. Foram criadas duas listas em Maxima, usando os comandos:
c: [3*u+u*v, -2*u*v]$ d: [t, 0, 5, 0.01]$
qual é o comando que deverá ser usado para encontrar a solução do sistema? A. rk(c,[u=1,v=1],d) B. rk(c,[u,v],[1,1],d) C. rk(c,[v,u],[1,1],d) D. rk(c,[v=1,u=1],d) E. rk(c,[v,u],[v=1,u=1],d) 3. O comando do Maxima: a:rk([f,g],[y,z],[0,1], [x,0,1,0.01])
foi usado para resolver numericamente um sistema de equações. A seguir, o co- mando last(a[1]) mostrará o valor: A. final de y
B. inicial de x C. final de z
D. inicial de z E. final de x
4. As equações de evolução de um sistema dinâmico são:
˙
x1= 2 x1− x2 x˙2= x1
e num instante inicial t = 0 o estado do sistema é x1= 2, x2= 1. Usando o mé-
todo de Euler, com ∆t = 0.2, calcule os valores aproximados de x1 e x2 em t= 0.2. A. (2.6, 1.4) B. (3, 2) C. (2.3, 1.2) D. (2.2, 1.2) E. (2.4, 1.4)
5. As equações de evolução de um sistema dinâmico são:
˙
x1= 2 x1− x2 x˙2= x1
e num instante inicial t = 0 o estado do sistema é x1= x2= 1. Determine as com-
ponentes da velocidade de fase ~um, cal-
culada pelo método de Runge-Kutta de ordem 4, com ∆t = 0.2. A. (1, 1) B. (1.22, 1.22) C. (2, 2) D. (1.107, 1.107) E. (1.212, 1.212)
10.2 Sistemas dinâmicos com vários graus de liberdade 175
Problemas
1. Calcule as coordenadas da órbita heteroclínica do pêndulo, com condições iniciais θ = 0 e ω = 2pg/l, para um pêndulo com l = 0.3 m, usando o programa rk, para valores de t desde 0 até 3 s e com ∆t = 0.0005. Desenhe o gráfico de θ em função de t e compare os valores finais de θ e ω com os respetivos valores do ponto de equilíbrio instável.
2. A energia potencial de um oscilador harmónico simples em duas dimensões é: U(x, y) = kx
2 x
2+ky
2 y
2
onde x e y são as coordenadas da partícula, com massa m, e kxe kysão as constantes
elásticas.
(a) A componente x da força é igual a menos a derivada parcial da energia potencial em ordem a x, e a componente y é menos a derivada parcial em ordem a y. Escreva a expressão vetorial para a força, em função de x e y.
(b) Diga quais são as variáveis de estado do sistema, e escreva as equações de evolução. (c) Use o programa rk para encontrar a solução com m = 0.3, kx = 2 e ky = 8
(unidades SI), entre t = 0 e t = 2.43, se a partícula partir do ponto (1, 0) com momento velocidade inicial ~v = 0.6~ey. Desenhe o gráfico da trajetória da partícula
no plano xy.
(d) Repita a alínea anterior, mas admitindo que a partícula parte do ponto (1, 0) com velocidade inicial ~v = 0.3~ex+ 0.6~ey.
(e) Observe que o sistema pode ser considerado como um conjunto de dois osciladores harmónicos independentes, na direção de x e na direção de y. Calcule o período de oscilação para cada um dos dois osciladores e diga qual é a relação entre os dois períodos.
(f) Repita os cálculos da alínea c, mudando o valor de kypara 18. Que relação encontra
entre o gráfico da trajetória e ky/kx?
As trajetórias obtidas são designadas por figuras de Lissajous.
3. A força responsável pela órbita elíptica de um corpo celeste no sistema solar (planeta, cometa, asteróide, sonda espacial, etc) é a atração gravitacional do Sol, que, de forma vetorial escreve-se:
~
F = −G M m |~r|3 ~r
onde G é a constante de gravitação universal, M é a massa do Sol, m a massa do corpo celeste, e~r o vetor desde o centro do Sol até o centro do corpo celeste. Se as distâncias forem medidas em unidades astronómicas, UA, e os tempos forem medidos em anos, o produto G M será igual a 4π2.
centro do Sol, escreva as equações de evolução do corpo celeste, usando unidades de anos para o tempo e UA para as distâncias.
(b) O cometa Halley chega até uma distância mínima do Sol igual a 0.587 UA. Nesse ponto, a sua velocidade é máxima, igual a 11.50 UA/ano, e perpendicular à sua distância até o Sol. Usando o programa rk do Maxima, calcule a órbita do cometa Halley, a partir da posição inicial 0.587~ex, com velocidade inicial 11.50~ey, com
intervalos de tempo ∆t = 0.05 anos. Desenhe a órbita desde t = 0 até t = 100 anos. Que pode concluir acerca do erro numérico?
(c) Repita o procedimento da alínea anterior com ∆t = 0.02 anos e desenhe a órbita desde t = 0 até t = 150 anos. Que pode concluir acerca do erro numérico? (d) Diga qual é, aproximadamente, a distância máxima que o cometa Halley se afasta
do Sol, e compare a órbita do cometa com as órbitas do planeta mais distante, Neptuno (órbita entre 29.77 UA e 30.44 UA) e do planeta mais próximo do Sol, Mercúrio (órbita entre 0.31 UA e 0.39 UA) (Plutão já não é considerado um planeta).
4. Usando os mesmos valores das massas e das constantes das molas usados no programa 8.2, escreva a matriz do sistema linear das duas molas acopladas. Calcule os valores próprios e diga se são reais ou complexos e qual o sinal da parte real. Repita os mesmos cálculos admitindo que a resistência do ar seja nula.