5. Trabalho e energia
5.2. Forças conservativas
34.55 m/s. Como esse valor é muito menor que a velocidade terminal (132 m/s), a nossa solução aproximada, obtida ignorando a resistência do ar, não estará muito longe da solução verdadeira.
A invariância do produto escalar garante que o produto ~F· d~r será igual em qualquer sistema de coordenadas. Usando as coordenadas tangencial e normal, a equação3.3do capítulo3permite-nos concluir que d~r = d s~ete, portanto:
~
F· d~r = (~F·~et) d s = Ftd s (5.12)
onde Fté a componente tangencial da força. Consequentemente, o trabalho realizado por
uma força pode ser calculado da forma seguinte:
W12= s2
Z
s1
Ftd s (5.13)
Unicamente a componente tangencial da força realiza trabalho, podendo alterar a energia cinética da partícula. Uma força perpendicular à trajetória não realiza trabalho nem altera a energia cinética da partícula.
5.2. Forças conservativas
Se a componente tangencial da força, Ft, pode ser escrita em função da posição na trajetória,
s, o integral5.13pode ser calculado:
W12 = U (s1) −U (s2) (5.14)
onde U (s) é uma primitiva da função Ftdefinida por:
U = −
s
Z
sref
Ftd s (5.15)
é habitual incluir um sinal negativo, que faz com que na equação5.14os sinais fiquem trocados em relação ao que se costuma fazer para calcular integrais definidos. A posição sref é a posição de um ponto qualquer escolhido como referência.
Para que a força seja realmente uma função da posição é necessário que sempre que a partícula se encontrar num ponto da sua trajetória, a força nesse ponto seja sempre igual. Uma força com essa propriedade é denominada força conservativa.
A primitiva U (s) da força conservativa, definida pela equação 5.15, é designada por energia potencial.
A escolha arbitrária do ponto de referência srefnão terá nenhuma consequência física, já
que o que o trabalho será calculado a partir da diferença de energia potencial entre dois pontos.
Em função da energia potencial, a equação 5.14 é o teorema do trabalho e a energia potencial:
O trabalho realizado entre dois pontos por uma força conservativa é igual à diminuição da energia potencial associada a essa força.
Vimos na equação5.7que o trabalho da força resultante é igual ao aumento de energia cinética. A força resultante pode, em geral, incluir forças conservativas e não conservativas. O trabalho da força resultante pode ser calculado como o trabalho feito pela soma de todas as forças conservativas, mais o trabalho das forças não conservativas:
W12= W12(conservativas) +W12(não conservativas) (5.16)
O trabalho das forças conservativas é igual à diminuição da energia potencial e o trabalho total é igual ao aumento da energia cinética. Assim, temos:
Ec2− Ec1= U1−U2+W12(não conservativas) (5.17) em que U é a soma de todas as energias potenciais associadas a todas as forças conservativas e Ec é a energia cinética. Define-se a energia mecânica do sistema igual à soma das
energias cinética e potencial:
Em= Ec+U (5.18)
Em função da energia mecânica, a equação5.17é:
Em2− Em1= W12(não-conservativas) (5.19)
denominado teorema do trabalho e a energia mecânica:
O aumento da energia mecânica Em, definida como a soma da energia ci- nética mais a energia potencial, é igual ao trabalho feito pelas forças não conservativas.
Uma consequência desse resultado é a lei de conservação da energia mecânica: se não atuarem forças não conservativas, a energia mecânica do sistema permanecerá constante.
5.2.1. Gráficos de energia
O gráfico da energia potencial associada a uma força conservativa é muito útil na análise do movimento. A figura5.2mostra um exemplo; a curva representa a energia potencial total do sistema, em função da distância ao longo da trajetória, s.
5.2 Forças conservativas 79 -10 -5 0 5 10 15 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 Energia s Mecanica Potencial
Figura 5.2.: Exemplo de energia potencial e energia mecânica.
Há duas propriedades importantes a salientar na análise dos gráficos de energia potencial. A primeira é que em qualquer ponto s, a componente tangencial da força associada à energia potencial é igual a menos a derivada da energia potencial:
Ft= −
dU
d s (5.20)
já que a derivada de uma primitiva dá a função original.
A segunda propriedade importante é que a partícula nunca poderá estar numa posição onde a energia mecânica seja Em seja menor que a energia potencial, já que Em−U é igual à
energia cinética, que é sempre positiva ou nula
Aplicando essas propriedades ao exemplo no gráfico5.2, vemos que nos intervalos −2 < s< −1 e 2 < s < 5, o valor da força tangencial é positivo, isto é aponta no sentido em que a posição s aumenta. Nos intervalos −1 < s < 2 e 5 < s < 6 o valor da força é negativo (aponta no sentido em que s diminui). Nos pontos s = −1, s = 2 e s = 5 a força é nula. A esses pontos é dada a denominação de pontos de equilíbrio.
A energia mecânica não pode ser menor que −6.75. A reta horizontal que se mostra corresponde a uma energia mecânica igual a 2.25 unidades. Admitindo que não existam forças não conservativas, essa energia permanece constante. Com essa energia, a partícula só poderá estar nas regiões em que:
Em≥ U(x) (5.21)
por exemplo, a partícula não poderia estar na posição s = 3. A partícula estará confinada a uma vizinhança do ponto -1 ou 5.
Nos pontos em que a reta horizontal (energia mecânica da partícula) corta a curva da energia potencial, a energia cinética será nula e, portanto, a partícula estará em repouso; no entanto a partícula não permanece em repouso por muito tempo, porque a força nesses pontos não é nula.
Por exemplo, se num instante a partícula estiver na posição s = 5, deslocando-se no sentido em que s aumenta, deslocar-se-á até um ponto perto de s = 6 onde a partícula para; nesse ponto a força aponta no sentido negativo da distância, o que faz com que a partícula regresse para o ponto s = 5, mas agora com velocidade no sentido negativo da distância. A partícula aproximar-se-á do ponto s = 3.8, onde a sua velocidade será nula; nesse ponto, sendo a força no sentido positivo da distância, a partícula regressará à posição s = 5 e o ciclo será repetido novamente.
5.2.2. Energia potencial gravítica
O peso é uma força conservativa. Usando um sistema de coordenadas em que o eixo dos z é vertical e aponta para cima, o peso é:
~
F= −m g~ez (5.22)
O trabalho realizado por essa força entre dois pontos A e B é
W = B Z A ~ F· d~r (5.23)
Em coordenadas cartesianas, o produto escalar entre a força e o deslocamento é: ~
F· d~r = −m g d z (5.24)
e, portanto o integral desde A até B será um integral em ordem à variável z, desde zAaté zB
W = −m g
zB
Z
zA
d z = m g zA− m g zB (5.25)
Este resultado mostra que o trabalho depende apenas das alturas inicial e final e o resultado será o mesmo independentemente do percurso seguido entre esses dois pontos. A energia potencial gravítica, associada ao peso, é:
Ug= m g z (5.26)
A escolha da origem é arbitrária: as alturas podem ser medidas em relação a qualquer ponto, sem ter que ser em relação ao solo.
5.2 Forças conservativas 81
Figura 5.3.: Mola elástica pendurada dum suporte horizontal. A elongação é diretamente proporcional ao peso colocado.
5.2.3. Forças elásticas
Uma mola elástica esticada ou comprimida exerce uma força dirigida na direção e sentido que faz regressar a mola à sua forma normal.
O módulo da força exercida pela mola é diretamente proporcional à elongação da mola. Se pendurarmos um peso P, a mola é esticada até ficar numa posição em que a força elástica equilibra o peso. Duplicando esse peso duplica-se a elongação. A expressão matemática dessa relação entre a força elástica ~Fee a elongação z é chamada lei de Hooke:
~
Fe= −k z~ez (5.27)
onde k é a constante elástica da mola e a posição z é medida desde a posição em que não está a ser exercida nenhuma força sobre a mola.
A força elástica é uma força conservativa. Usando como ponto de referência o ponto z = 0 em que a mola tem o seu comprimento normal, a energia potencial elástica é:
Ue= − x Z 0 (−k z)~ez· d~r =⇒ U= 1 2k z 2 (5.28)