As soluções apresentadas pelos alunos ao resolver cada questão

Essa análise pretende identificar os avanços de cada aluno, observando o desempenho no pré-teste e no pós-teste, ambos aplicados em 2003. Pretendemos, também, analisar os erros dos alunos de maneira qualitativa, identificando se houve mudanças em sua maneira de pensar ao resolver o problema. Os quadros apresentados a seguir nos ajudam a identificar onde houve avanços cognitivos e a entender melhor a evolução da aprendizagem de cada aluno durante os estudos do GTD. Para isso, foi feita uma classificação dos tipos de erros encontrados em três grandes categorias que se mostraram apropriadas à maior parte das questões:

a) Erro no processo: dificuldade na apresentação dos passos necessários à resolução do exercício;

b) Erro no fato fundamental: dificuldade em apresentar o resultado correto do fato fundamental;

c) Erro com avanço de compreensão: apresentou mudanças na forma de apresentar os resultados, demonstrando avanços na compreensão dos passos necessários à resolução do exercício.

• Questão A -. Quantos conjuntos de 3 elementos em cada conjunto posso fazer com os botões abaixo?

Faça os conjuntos.

⊗ ⊗ ⊗ ⊗ ⊗ ⊗ ⊗ ⊗ ⊗ ⊗ ⊗ ⊗ ⊗ ⊗ ⊗ ⊗ ⊗ ⊗

Tipos de erros Total de

erros* _ProcessoErro no _fundamentalErro de fato

Erro com avanço de compreensão Alunos Pré- teste Pós- teste Pré- teste Pós- Teste Pré- teste Pós- teste Pós-teste Andréia 0 0 Carla 0 0 Ivan ¹ 1** - Mateus 1 0 1 Priscila ² - 0 Paulo 1 0 1 Raiane 0 0 Teresa 1 0 1

* questão composta por um exercício. ** deixou o exercício em branco

¹ não fez o pós-teste ² não fez o pré-teste I

Figura 2: Tipos de erros da questão A Fonte: Elaborada pela autora da dissertação.

No pré-teste, Mateus e Teresa formaram subconjuntos de seis elementos cada, Paulo formou subconjuntos de dois elementos cada, e Ivan deixou a questão em branco, podendo indicar que houve dificuldade em entender a instrução para formar conjuntos de três elementos

em cada conjunto. Posteriormente, todos os alunos presentes no pós-teste acertaram a questão.

Isto sugere que a maior dificuldade dessa questão se relacionava com o entendimento do enunciado e nem tanto com a formação dos subconjuntos.

• Questão B -: Um prédio tem 7 andares e 6 apartamentos em cada andar. Quantos apartamentos há ao todo?

Tipos de erros Total de

erros* _ProcessoErro no _fundamentalErro de fato

Erro com avanço de compreensão Alunos Pré- teste Pós- teste Pré- teste Pós- teste Pré- Teste Pós- teste Pós-teste Andréia 1 0 1 Carla 1 0 1 Ivan ¹ 0 - Mateus 1 0 1 Priscila ² - 0 Paulo 1 0 1 Raiane 0 1 1 Teresa 1 0 1

* questão composta por um exercício.

¹ não fez o pós-teste em 2003. ² não fez o pré-teste I.

Figura 3: Tipos de erros da questão B Fonte: Elaborada pela autora da dissertação.

No pré-teste, quatro crianças registraram a operação correspondente de maneira correta, mas apresentando erro de fato fundamental, o que pode indicar, por exemplo, a memorização errada do fato fundamental ou ainda dificuldades em manter a correspondência um-para-muitos constante (NUNES; BRYANT, 1997) ao se pensar no fato a ser respondido. A correspondência invariável: seis apartamentos a cada andar, deveria ser mantida para encontrar o número de apartamentos do prédio. Um aluno deu a resposta errada e não registrou a operação correspondente, e os dois alunos que acertaram registraram a operação e o resultado de maneira correta. No pós-teste, as respostas foram dadas corretamente. Só uma aluna que tinha acertado no pré-teste, utilizando o recurso de desenhar o prédio com os apartamentos, errou o resultado do fato fundamental ao registrar somente a operação no pós-teste.

Todos os alunos que acertaram utilizaram a operação de multiplicação para encontrar o resultado. No pós-teste Andréia mostrou ter usado o recurso da adição repetida para encontrar o resultado e depois armou, também, a operação de multiplicação, podendo indicar que a aluna se apropriou com significado, isto é, fez sentido para ela, o procedimento que foi repassado pela professora — encontrado em vários episódios de correção coletiva — comprovando que esse é um recurso útil para resolver situações que envolvem o raciocínio multiplicativo (NUNES; BRYANT, 1997). Veja como ela fez: 6+6+6+6+6+6+6 = 42 e depois 7x6 = 42

• Questão C -. Resolva as operações abaixo escrevendo como você pensou para resolver: letra a: 453 x letra b: 405 x 3 4 Tipos de erros Total de

erros* _processoErro no _fundamentalErro de fato

Erro com avanço de compreensão Alunos Pré- teste Pós- Teste Pré- teste Pós- teste Pré- Teste Pós- teste Pós-teste Andréia 2 1 1 Carla 2 0 2 Ivan ¹ 1 - 1 Mateus 0 1 1 Priscila ² - 0 Paulo 1 1 1 1 Raiane 2 0 1 1 Teresa 2** 1 1 1

* questão composta por dois exercícios. ** deixou um exercício em branco.

¹ não fez o pós-teste em 2003. ² não fez o pré-teste I.

Figura 4: Tipos de erros da questão C Fonte: Elaborada pela autora da dissertação.

No pré-teste, encontrei quatro acertos (três na letra a e um na letra b), sete erros de processo (dois na letra a e cinco na letra b), dois erros de fato fundamental na letra a, e uma criança deixou a operação sem resolver.

Nos erros de processo, as explicações apresentadas corresponderam ao seguinte:

- multiplicou, apenas as ordens das unidades e as outras ordens foram somadas com zero, indicando não compreender a técnica do algoritmo. Veja como um aluno registrou:

453 x Explicação

3 3+3+3 = 9 5+ 0 = 5 4+0 = 4 459

- soma-se o algarismo da 1ª reserva ao algarismo das dezenas do multiplicando (2) antes de fazer a multiplicação.Veja como três alunos fizeram:

2

405 x Explicação

4 5 x vai 2 2 x 4 x 1680 4 4 4 20 8 16

- depois de multiplicar pela ordem das dezenas três alunos não adicionaram o 2, reserva da ordem das unidades: Veja como um deles explicou:

2

405 x Explicação: “Eu pensei somano”( disse que era somando.) 4

1600

Já no pós-teste, alguns alunos, apesar de terem errado a questão, apresentaram mudanças na resolução dos exercícios. Andréia, por exemplo, tinha resolvido as operações no pré-teste sem multiplicar todos os algarismos do multiplicando pelo multiplicador. Já, no pós-teste, percebe-se uma mudança significativa em seu raciocínio, que classifiquei como EA - Erro com Avanço de compreensão.

405 x Pré-teste: 4+4+4+4+40 = 20 vai 1 1+0 = 1 4+0 = 4 4

410

405 x Pós-teste: 1º Eu fiz 4x5 que deu 20

4 2º Eu fiz 4x0 que 0 mais o 2 do 20 deu 8(( ela somou o 2 com o zero e 1680 depois multiplicou por 4))

3º Eu fiz 4x4 que deu 16 e ficou 1680

No caso de Andréia, no pós-teste, existem claros indícios de compreensão da propriedade distributiva da multiplicação, apesar da dificuldade de entender que se deve somar o número da reserva (2) somente depois de multiplicar o algarismo da dezena do multiplicando (4x0). Acredito que novos sentidos foram dados aos números, mas que, para que o domínio da operação da multiplicação se efetive é necessário que Andréia perceba que deve respeitar mais algumas exigências lógicas, isto é, que é preciso multiplicar todos os algarismos do multiplicador pelo multiplicando e somar as reservas somente depois de multiplicar cada algarismo, quando for o caso, conforme lembra Nunes e Bryant (1997).

• Questão D

-

Escreva o resultado das operações abaixo sem armar: a) 10x2 = f) 4x20 = b) 62x10 = g) 9x30 = c) 403x100 = h) 20x40 = d) 100x90 = i) 12x20 = e) 52x1000 = j) 12x30 = Tipos de erros Total de

erros* _ProcessoErro no _fundamentalErro de fato

Erro com avanço de compreensão Alunos Pré- teste Pós- teste Pré- teste Pós- Teste Pré- teste Pós- teste Pós-teste Andréia 7*** 4 3 1 3 Carla 5 0 5 Ivan ¹ 8** - 2 Mateus 5 6 5 6 Priscila 9**** 5 8 5 Paulo 6 2 5 1 1 1 Raiane 7 6 7 6 Teresa 8*** 4***** 4

* questão composta por dez exercícios. ** deixou seis exercícios em branco. *** deixou quatro exercícios em branco. **** deixou um exercício em branco. ***** deixou três exercícios em branco. ¹ não fez o pós-teste em 2003.

Figura 5: Tipos de erros da questão D Fonte: Elaborada pela autora da dissertação.

No pré-teste, Andréia deixou quatro exercícios sem fazer; errou três e acertou três. No pós-teste, errou quatro, mas tentou resolver todos eles. Apresentou, como na questão anterior, dificuldades em resolver operações onde tem que entender a função do zero na operação. Apesar dos acertos, as respostas erradas indicam uma inconstância quanto ao uso das regras, até em relação aos acertos anteriores. A aluna demonstrou não compreender as invariáveis que são necessárias respeitar ao pensar matematicamente a multiplicação por 10, seus múltiplos e suas potências, como descreve Nunes e Bryant (1997), apresentando inconstância nos resultados. Exemplos:

Pré-teste Pós-teste

403x100 = 4000 4300

4x20 = 80 40 9x3 = 270 90

Carla apresentou um resultado que demonstra o avanço na compreensão da multiplicação por 10 e múltiplos de 10, pois acertou todas os exercícios do pós-teste, enquanto tinha acertado cinco no pré-teste.

Mateus, tal como Andréia, apresentou um resultado que demonstra inconstância no uso da regra na resolução desse tipo de exercício. Em alguns momentos, usa adequadamente a regra e depois demonstra não a ter entendido. Ele ainda não demonstra entender a importância de algumas relações que, uma vez aprendidas devem ser mantidas (NUNES; BRYANT, 1997), como o uso das regras da multiplicação por 10, seus múltiplos e suas potências, precisando continuar os estudos e rever situações relativas a esse assunto, para avançar de forma progressiva. Exemplos: Pré-teste Pós-teste 62x10 = 602 620 403x100 = 1403 40300 52x1000 = 1520 52000 23x30 = 390 230

No pré-teste, Ivan39 acertou duas operações, deixou seis em branco e errou duas enquanto, no pós-teste, em 2004, tentou resolver todas elas e acertou sete. Nesse momento demonstra compreender as regras para resolver operações com múltiplos de dez.

Priscila apresentou avanços na compreensão das regras, pois acertou quatro exercícios a mais no pós-teste, apesar de ainda demonstrar dificuldades como 23x30 = 60.

Paulo demonstrava, inicialmente, saber realizar as multiplicações por 10,100 e 1000 e não as que envolvem outros múltiplos de 10, como 20 e 30. No pós-teste, mostrou avanço acertando oito exercícios.

39

Este aluno faltou no dia da aplicação do primeiro pós-teste, então, para avaliar a sua evolução vamos nos apoiar sempre nos resultados da reaplicação desse pós-teste em 2004.

Raiane não evidenciou avanços significativos, pois usou as regras de forma inconstante,como no caso de Mateus e de Andréia. Exemplos:

Pré-teste Pós-teste

62x10 = 60 620

9x30 = 270 180

20x40 = 80 180

Teresa demonstrou, tanto no pré-teste como no pós-teste, estar insegura ao resolver os exercícios. Falou para si mesma várias vezes que estava errado, fazia e desmanchava. Deixou vários exercícios em branco tanto no pré-teste (4) quanto no pós-teste (3). Apesar disso, conseguiu resolver de maneira correta um número maior (6) de exercícios no pós-teste, e o único exercício que respondeu de maneira errada apresenta uma resposta (62 x 10 = 570) para a qual não consegui descobrir nenhuma lógica.

Os resultados demonstram que a maioria obteve avanços, mas indica que alguns alunos ainda estão inseguros e necessitam continuar os estudos em relação a esse aspecto da multiplicação. • Questão E - Efetue: a) 34 x 641 x 402 x 10 10 10 b) 62 x 42 x 64 x 20 30 50 c) 37 x 49 x 62 x 12 25 19

Tipos de erros Total de

Erros* _processoErro no _fundamentalErro de fato

Erro com avanço de compreensão Alunos Pré- teste Pós- teste Pré- teste Pós- teste Pré- Teste Pós- teste Pós-teste Andréia 9 2 9 1 1 Carla 5 1 5 1 Ivan ¹ 5 - 5 Mateus 9 2 9 2 Priscila 9 7 9 1 1 5 Paulo 1 0 1 Raiane 9 7 9 7 Teresa 7** 3 2 3

* questão composta por nove exercícios. ** deixou cinco exercícios em branco. ¹ não fez o pós-teste em 2003.

Figura 6:Tipos de erros da questão E Fonte: Elaborada pela autora da dissertação.

Tal como na questão C, Andréia registrou avanços significativos na compreensão da técnica do algoritmo. No pós-teste, diferentemente do pré-teste, demonstrou compreender a aplicação da propriedade distributiva, a compreensão da base dez e os diferentes valores dos algarismos em relação à sua posição, fazendo o registro e usando o algoritmo de maneira correta na maioria das operações. Entretanto, em uma operação esqueceu de multiplicar o algarismo 6 (última ordem à esquerda do multiplicando), e, em outra, registrou erradamente o resultado de um fato. 641 x 42 x 10 30 000 + 00 + 410 1660 410 1660

No pré-teste, todas as operações haviam sido resolvidas seguindo esses exemplos, que mostram dificuldades na compreensão da base dez e dos diferentes valores dos algarismos em relação à sua posição, fazendo o seguinte registro:

62 x 37 x

20 12

000 + 740 + 124 47 124 787

No pré-teste, Carla apresenta dificuldades, nas multiplicações por múltiplos de 10, tanto na forma vertical como horizontal (como se pode verificar nos exercícios da questão C). Vejamos um exemplo:

23x30 = 230 62 x

20

620

Nas operações com dois algarismos no multiplicador, acertou uma e, nas outras, só multiplicou a ordem das unidades. Já no pós-teste, demonstra compreender a técnica do algoritmo, acertando a maioria das operações.

Ivan resolveu, no pré-teste, as operações que envolviam multiplicações por 10 e seus múltiplos. Entretanto, nas operações que envolviam dois algarismos no multiplicador, apresentou dificuldades ao utilizar a propriedade distributiva. Ao resolver o pós-teste, em 2004, o fez usando corretamente a propriedade distributiva. Entretanto, somou incorretamente em quatro operações.

Mateus demonstrou, inicialmente, não compreender os diferentes valores dos algarismos em relação à sua posição, fazendo o registro de maneira incorreta. No pós-teste, teve avanços significativos, resolvendo todas as operações utilizando a propriedade distributiva e posicionando os algarismos corretamente, errando somente o resultado de dois fatos.

Pré-teste Pós-teste 62 x 62 x 19 19 558 + 558 + 62 620 620 1178

Fazendo uma análise qualitativa dos erros de Priscila que teve, ainda no pós-teste, um número pequeno de acertos (2) em relação ao total de exercícios (9), verificamos que sua compreensão em relação ao processo da técnica de multiplicação se modificou. Apesar dos erros, verificamos novas formas de resolver os exercícios, que classificamos como erro com avanço de compreensão.

Veja o exemplo: Pré-teste Pós-teste 37 x 37 x 12 12 54 74 + 37 221

É possível verificar que, no pré-teste, Priscila demonstrou não estar compreendendo a técnica da multiplicação por dois algarismos. As suas respostas sugerem que ela multiplicou os algarismos do multiplicador pelos do multiplicando, coluna a coluna, usando o mesmo raciocínio das operações de adição, na seguinte ordem:

49 x 5x9 ( U x U ) 25 2x4 ( D x D ) mais 4 dezenas 125 64 x 0x4 ( U x U ) 50 5x6 ( D x D ) 304

Já no pós-teste, a sua maneira de multiplicar demonstra avanços no uso da técnica, como no caso da operação 37x12, quando multiplica o algarismo da unidade e da dezena do multiplicador pelos algarismos do multiplicando da maneira correta, apesar de ela ainda não compreender que nesse caso o 1 do multiplicador vale 10, e então 1Dx7 = 70 e 1Dx3D = 300. Priscila também errou em outra operação quando multiplicou 0 x 4 e obteve como resultado 4, não compreendendo a propriedade do zero na multiplicação.

Considero que Priscila avançou na compreensão da aplicação da propriedade distributiva e da técnica da multiplicação, mesmo errando a maioria dos exercícios da questão. Nota-se, também, que ela diferencia a técnica do algoritmo da adição da técnica do algoritmo da multiplicação, o que não fazia anteriormente.

Paulo já demonstrava compreender a técnica do algoritmo, pois apresentou somente um erro no pré-teste, o que foi corrigido no pós-teste. Na entrevista com a professora do GTD — também era sua professora nas aulas regulares —, ela confirma que Paulo não “tinha muita dificuldade... gosta de matemática ( ) durante as aulas do 3º B tive de chamar um pouco a atenção dele... estava desligando... ( ) eu sabia que ele sabia, entendeu? Aí no GTD... eu passava as

atividades... ele fazia com a maior tranqüilidade... acertava tudo ( ) ele deveria estar calmo”. A declaração da professora vem confirmar os resultados apresentados por ele, não apenas nesta questão. Acreditamos que as características do espaço do GTD permitiram ao Paulo se organizar melhor o que deve ter interferido em sua produção.

Raiane, outra aluna do grupo, não teve acertos no pré-teste e teve dois acertos com mais sete erros com avanço de compreensão posteriormente. Observemos duas operações da letra a:

Pré-teste Pós-teste 641 x 402 x 641 x 402 x 10 10 10 10 640 400 000 + 000 + 6410 402 6410 402

No início, Raiane demonstrou não compreender o algoritmo envolvendo multiplicação por 10. Posteriormente, resolve a primeira operação conforme a explicação da professora: primeiro multiplica a unidade do multiplicador por todos os algarismos do multiplicando — 0x1, 0x4 e 0x6; em segundo lugar, multiplica a dezena do multiplicador por todos os algarismos do multiplicando — 10x1, 10x4 e 10x6, e, finalmente, soma os resultados parciais.

Ao resolver a segunda operação ela se esquece de colocar o zero na ordem das unidades ao multiplicar 1Dx2. Em algumas operações, o zero é colocado e, em outras, não. Acreditamos que Raiane avançou muito na compreensão da técnica da multiplicação por 10, mas, às vezes, ainda precisa ser lembrada das regras de resolução, que envolvem o principio posicional e os agrupamentos na base dez.

Teresa deixou de fazer cinco operações, acertou duas e errou o processo em outras duas no pré-teste. Já, no pós-teste, acertou seis operações, errou uma soma e registrou dois resultados de fatos da multiplicação erradamente. Apesar de ter errado o resultado de três operações, apresentou domínio do significado operatório do algoritmo ao respeitar os valores posicionais, aplicar a propriedade distributiva e entender a função do zero ao multiplicar os algarismos das dezenas ou centenas do multiplicador pelo algarismo das unidades do multiplicando.

• Questão F - Arme e efetue:

b) 27x10 = c) 32x30 = d) 34x12 =

Tipos de erros Total de

Erros* _processoErro no _fundamentalErro de fato

Erro com avanço de compreensão Alunos Pré- Teste Pós- Teste Pré- Teste Pós- teste Pré- teste Pós- teste Pós-teste Andréia 3** 0 Carla 2 1 2 1 Ivan ¹ 0 - Mateus 3 0 3 Priscila 3 3 3 3 Paulo 1 0 1 Raiane 3 3 3 3 Teresa 2 4*** 1 1 1 1

* questão composta por quatro exercícios. ** deixou os três exercícios em branco. ***deixou dois exercícios em branco. ¹ não fez o pós-teste em 2003. Figura 7 :Tipos de erros da questão F Fonte: Elaborada pela autora da dissertação.

Analisarei essa questão verificando se, ao armar as operações, os alunos apresentaram alguma dificuldade, e se já foram analisados os erros cometidos por elas ao resolver as operações da questão anterior, que envolviam as mesmas dificuldades.

Andréia armou e resolveu só a primeira operação. Entretanto, no pós-teste armou, resolveu e acertou todas elas.

Carla armou todas as operações corretamente, acertando as duas primeiras. No pós-teste, acertou três operações.

Ivan armou e acertou todas as operações nos dois testes.

Mateus armou e resolveu todas as operações, acertando a primeira. Posteriormente, acertou todas elas.

Priscila resolveu a questão da mesma maneira nos dois momentos, acertou a primeira operação e errou as outras três, confirmando a necessidade de continuar os estudos relativos ao assunto.

Paulo armou e resolveu todas as operações. Acertou três no pré-teste e quatro no pós- teste, confirmando sua evolução positiva ao resolver as operações.

Raiane armou corretamente as operações, mas não conseguiu efetuá-las corretamente. Continuou apresentando dificuldades em relação ao princípio posicional e, também, à aplicação da propriedade distributiva, cometendo os mesmos erros no processo da multiplicação, nos dois momentos.

Nesta questão, Teresa apresentou mais dificuldades no pós-teste do que no pré-teste. Resolveu as operações fazendo o registro incompleto, o que não havia feito anteriormente. Sua professora, ao pedirmos para que falasse sobre Teresa na entrevista, afirmou que ela ainda precisa de um tempo a mais, pois sua insegurança a estava atrapalhando no início dos trabalhos, mas que ela já avançou. Conforme ela mesma afirma: “acho que consegui ajudá-la bastante... se eu tivesse tempo eu poderia ajudá-la muito mais... quando eu comecei a perceber que ela é insegura, comecei a trabalhar da seguinte forma ( ) trazia ela para cima... viu como você é capaz? ( ) consegui atingir um desses objetivos do GTD que é melhorar a auto-estima dela ( ) e ela aprendeu muita coisa... As afirmações da professora demonstram a preocupação com a aluna, que vai além da aquisição do conhecimento matemático. Vejamos como Teresa resolveu esse exercício:

Pré-teste Pós-teste 34 x 34 x 12 12 68 + 68 340 408

Nenhum aluno apresentou dificuldade em armar as operações. Entretanto ao resolvê-las, duas alunas cometeram erros que não foram detectados na questão anterior. Podemos inferir que, ao ser introduzido mais uma ação no exercício — a de armar a operação —, a atenção do aluno foi desviada, o que pode ter originado esses novos erros. Isto mostra a necessidade de apresentar exercícios de formas variadas para a resolução das operações.

• Questão G - Resolva a operação abaixo e escreva como você pensou para encontrar o resultado:

a) 323 x

Estarei verificando se as crianças avançaram na forma de explicar o raciocínio feito ao resolver a operação, apresentando a explicação de cada uma no pré-teste e no pós-teste.

Tipos de erros Total de

erros* _ProcessoErro no _fundamentalErro de fato

Erro com avanço de compreensão Alunos Pré- teste Pós- teste Pré- teste Pós- Teste Pré- teste Pós- teste Pós-teste Andréia 1 0 1 Carla 1 1 1 1 Ivan ¹ 1 - 1 Mateus 1 1 1 1 Priscila 1 1 1 1 Paulo 0 0 Raiane 1 0 1 Teresa 1 0 1

* questão composta por um exercício. ¹ não fez o pós-teste em 2003.

Figura 8 :Tipos de erros da questão G Fonte: Elaborada pela autora da dissertação.

Andréia demonstra ter tido um avanço qualitativo na explicação escrita, reelaborando o significado da técnica do algoritmo, quando consegue dizer como resolve a operação. Utiliza a idéia da propriedade distributiva em que se fundamenta a técnica operatória de maneira correta.

Carla demonstra compreender a técnica do algoritmo, aplicando a propriedade distributiva, desde o pré-teste. Entretanto, errou a soma no pré-teste e o fato 2x2 no pós-teste.

Ivan demonstra compreender a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição, registrando corretamente todos os passos. No entanto, quando multiplica a dezena do 2º fator os resultados dos fatos são incorretos. Não termina a sua explicação no pré-teste e, no pós- teste, não registra seu pensamento. Parece que Ivan estava desatento, pois na primeira multiplica 2x4 e encontra 4 e deixa de multiplicar 2x2 no segundo teste.

Mateus apresenta, no pós-teste, o seu pensamento utilizando mais o sistema de sinais próprios da matemática, ao contrário do pré-teste. Refere-se à ação de multiplicação como se fosse uma soma em todos os dois momentos. Avança no significado operatório do algoritmo quando utiliza a propriedade distributiva e o princípio posicional do sistema de numeração decimal de forma correta. Entretanto, não realizou a soma das parcelas e se referiu a uma delas como se fosse o resultado da operação.

No documento A matemática em uma escola organizada por ciclos de formação humana (páginas 99-119)