Conhecer, explorar, representar e caracterizar a multiplicação. Reconhecer as propriedades da multiplicação e suas aplicações. Conhecer, explorar e caracterizar as etapas da operação.
Realizar investigação matemática: problematizando, explorando, conjecturando, testando, argumentando, refutando, comprovando, generalizando.
Trabalhar individualmente com autonomia. Trabalhar em grupos colaborativamente.
Comunicar, por escrito e oralmente, de forma clara, detalhada e organizada, todas as etapas da investigação matemática realizada, utilizando corretamente a linguagem matemática.
Considere as seguintes operações:
23 x 2 23 x 5 23 x 12 23 x 67
Individualmente:
Resolva cada uma das operações de mais de uma maneira;
Tente escrever com palavras a forma que utilizou para resolver duas delas. Explique os procedimentos que utilizou.
Diga como esse procedimento seria utilizável em qualquer situação de multiplicação. Em equipe (trios ou quartetos):
Elejam uma redatora e um relatora.
Apresentem às colegas, individualmente, o trabalho realizado por cada um dos integrantes da equipe e abram espaço para que ele seja problematizado e explorado pela equipe. Confeccionem cartaz com as principais etapas da investigação.
tradicional. Em seguida, tenta explicá-las, passo a passo. Porém começa a perceber, quando utiliza um procedimento não tradicional, que também com a multiplicação ocorre o que havíamos discutido na adição: não existe a obrigatoriedade de iniciar a resolução a partir das unidades.
Figura 14 – Registros da aluna Tayná sobre a multiplicação
No segundo momento, apresenta seus registros para o seu grupo, bem como para as demais colegas. E a própria Tayná registrou as sínteses do seu grupo, antes da confecção dos cartazes:
Figura 15 – Registro do grupo Tayná/Andressa/Andréia sobre a tarefa de multiplicação.
O registro do grupo traz muitas das considerações do que a aluna Tayná havia feito individualmente. De acordo com a apresentação do grupo, que expomos em seguida, isso se deveu ao fato de que os procedimentos individuais se assemelharam.
O cartaz desse grupo está apresentado na imagem que segue11:
11 As citações que se farão presentes no texto, referentes à participação dos alunos, estarão nomeadas
Figura 16 – Cartaz do grupo Tayná/Andressa/Andréia sobre a tarefa de multiplicação.
Na exposição do cartaz, as alunas assim justificaram suas anotações:
Tayná: Todas resolvemos primeiro da forma tradicional. Depois, fizemos pela decomposição. Vimos que trabalhava a adição junto com a multiplicação.
A segunda foi pela decomposição.
O que a gente quer ressaltar é esta terceira, que foi bem diferente. 5 x 2 3 2 x 5 = 10
3 x 5 = 15
Mas tem que ser vezes 10 novamente, porque o 2 é da dezena, então é 20.
5 X 2 = 10 x 10 = 100 (sic, em relação à primeira igualdade) 3 x 5 = 15 x 1 = 15
Professora: Quem de vocês fez desse jeito?
Andressa: Eu, porque queria fazer de outro jeito, e porque nunca tinha pensado nisso. Comecei fazendo a distributiva e aí não deu certo. Porque percebi que não era 5 x 2.
Agora o outro jeito, o 2º, é o aperfeiçoamento desse. Com a ajuda da Tayná e da Andréia a gente fez assim, mas esse modelo é da Andréia.
2 3 x 1 2 20 x 10 = 200 20 x 2 = 40 3 x 10 = 30 3 x 2 = 6
276
Tayná comentou que não conseguia perceber o porquê daquele 10 vezes 20: Tayná: Fiquei me perguntando e não conseguia entender. Até perguntei: Gente, por que 20 x 10? Com a ajuda do grupo é que vi que era da dezena.
Andréia: Esses dois modelos acabam mostrando qual realmente é a posição do número, que o número não é sempre unidade, às vezes é dezena e aí dá para perceber o porquê do resultado.
Andressa: É perceber a diferença entre o valor absoluto e relativo do número que está dentro da multiplicação. O valor relativo do 2 é vinte, ele está na dezena.
A reflexão em grupo permitiu perceberem que, na multiplicação, um aspecto importante a atentar refere-se ao valor relativo dos algarismos que compõem os números. Multiplicar um número que ocupa a casa da dezena indica que seu resultado será igual a tantas dezenas quantas resultarem da sua multiplicação.
Como em Kraemer (2008), foi possível perceber que essas reflexões surgiram a partir das discussões no grupo e da intenção de socializar as “descobertas” das alunas. Concordando com esse autor, entendemos que os momentos de debate mostram “o quanto é importante reflectir e discutir num grupo restrito de colegas comprometidos no mesmo terreno de trabalho sobre as pequenas e as grandes questões que levantam as actividades empreendidas.” (KRAEMER, 2008, p.27).
Seguem-se outras transcrições de algumas das apresentações dos grupos que foram videogravadas.
Bruna, Monique e Caroline, explicando o cartaz de seu grupo, assim disseram: Nós três usamos os mesmos métodos para fazer a multiplicação, que foram o método posicional, o método da decomposição e a distributiva. O método posicional é aquele de colocar a conta em pé. Nós optamos por ele por ser aquele que a gente aprendeu na escola, que a gente faz desde pequena, que a gente tá mais acostumada a fazer. Ficou assim:
23 X2 46
20, porque está na dezena, e 10, porque também o 1 está na dezena. Aí dá 200. Daí o 20 de novo, porque o 2 é da dezena, vezes o 2, dá 40. O 3 vezes o 10, porque o 1 é da dezena, fica 30. E o 3 x 2, que é 6, porque os dois são unidades.
O método de decomposição fizemos assim: Para o 23 X 2, fizemos assim:
20 e 3 X 2. 40 e 6 = 46
Em seu cartaz, escreveram como conclusão do grupo:
Optamos pelo método posicional por ser mais familiarizado. No entanto, acreditamos que a apresentação de outros métodos é muito importante e elegemos o de decompor o número mais interessante de trabalhar com as crianças.
No registro individual de Monique, ela descreve seus métodos para efetuar a multiplicação e escreve suas justificativas para as escolhas que fez.
Figura 17 – Registro de Monique sobre a atividade de multiplicação.
Com suas justificativas, Monique manifesta perceber, no percurso de suas ações e reflexões, a partir de como as realiza, que utiliza o algoritmo tradicional para chegar
Resolvi primeiro pelo sistema posicional e depois utilizei a distributiva, separei a unidade da dezena.
Nas outras, primeiro coloquei a conta “em pé”, depois multipliquei a unidade, começando da direita para a esquerda; em seguida passo para a dezena e sigo o mesmo “modelo”. Depois percebi que não precisava do jeito que fiz, ter começado da direita, dava certo de qualquer jeito. Na distributiva eu decompus os números separando a unidade da dezena e apliquei a propriedade distributiva. (o que está feito na parte lateral da folha)
Enfim, o sistema posicional, onde uso o transformar a unidade em dezena pode ser aplicado em qualquer situação, mesmo em cálculo mental.
A gente pensou: 23 é a mesma coisa que 20 e 3 ou 20 + 3, vezes 2. Aí fizemos a distributiva, multiplicando o 20 pelo 2 e depois o 3 pelo 2. Deu 40 mais 6, ou 46. É o mesmo resultado desta conta. Embora a gente tenha optado pelo método tradicional para fazer, a gente acha que esse da distributiva é o mais rápido, mais prático e o melhor para ensinar para as crianças.
ao resultado correto. Mas que pode se utilizar de outros recursos, agora que percebeu o sentido dos cálculos que realizava. As colegas, tanto as do grupo como as demais da classe, também viram outras possibilidades de fazer a multiplicação a partir do exposto por Monique.
Alrø e Skovsmose (2006) destacam que, num modelo tradicional de aprendizagem, os alunos são captadores de conhecimento, enquanto o professor é detentor de conhecimento e poder. Porém, ancorados em Rogers (1994), os autores indicam que, quando centramos a aprendizagem nas pessoas e favorecemos um ambiente de confiança mútua, “a responsabilidade pelos processos de aprendizagem é de todos.” (p. 15). Enfatizam, ainda embasados nos dizeres de Rogers (1994), que
O princípio fundamental é aprender a aprender, e auto-disciplina e auto-avaliação viabilizam um processo ininterrupto de aprendizagem. Esse clima que promove o crescimento não somente facilita os processos de aprendizagem, mas também estimula a responsabilidade dos alunos e outras competências para o exercício da cidadania e da democracia (ALRØ; SKOVSMOSE, 2006, p. 15)
Bruna, Monique e Caroline, ao narrarem o que vivenciaram no grupo, sintetizam as experiências da seguinte forma:
Figura 18 – Registro do grupo Bruna/Monique/Carolina sobre a atividade de multiplicação.
Essas três alunas começam a perceber que calcular de outras maneiras que não aquelas costumeiramente usadas pode trazer vantagens, como ocorreu com o “método
da decomposição”, indicado por elas. Preocupam-se também com a possibilidade de utilizar esse recurso para ensinar seus futuros alunos.
O próximo cartaz, do grupo das alunas Juliana C., Geovana e Karina, foi apresentado por Juliana. Ela inicia, dizendo que optaram por um método parecido com o de Bruna e Caroline, que é, segundo elas, o método da decomposição.
Registraram no cartaz a multiplicação 23 X 67. Depois escreveram:
20 e 3 X 60 e 7 =
1200 21
140 180
1000 e 200 + 20 e 1 + 100 e 40 + 100 e 80. Aí somamos.
O milhar só tem esse, o 1000. As centenas, somamos o 200, o 100 e o outro 100, que são 400, as dezenas tem o 20, o 40 e o 80, que dá 140 e a unidade que só tem 1. No final, dá pra ver que são 1541. E é só isso. A conclusão é que, quando fizemos individualmente, não conseguimos fazer esse método da distributiva, porque tinham 2 algarismos tanto no primeiro quanto no segundo termo da multiplicação. Só tínhamos conseguido quando tinha um só número aqui (apontando o multiplicador). Mas, quando trabalhamos juntas, nós conseguimos fazer nesse método que chamamos da decomposição e da adição, porque usamos a adição no resultado.
No cartaz, assim escreveram:
Concluímos então que o nosso método para resolver a multiplicação é
o de decomposição, que se utiliza, muitas vezes, da adição (grifos do
grupo).
Na narrativa síntese dos trabalhos realizados pelo grupo, escreveram:
Multiplicamos o 20 e o 3, pelo 60 e 7. Achamos assim mais fácil de ensinar para a criança, pela decomposição. Aí pegamos todos os resultados e vamos decompor novamente.
Erro! Indicador não definido.
Figura 19 – Registro do grupo Juliana/Geovana/Karina sobre a atividade de multiplicação.
O registro coletivo desse grupo traz informações diferentes dos demais. Comentaram que inicialmente tiveram dificuldades e que foi a partir do diálogo com as colegas que encontraram saídas para a realização da tarefa. O que percebemos nesse registro e nas explicações das alunas é o que encontramos em Freire (1979): abordando o aspecto da cooperação, esse autor comenta que, quando ela ocorre, são lançadas luzes sobre os desafios ou problemas apresentados. Nesse momento, há necessidade de associar ação e reflexão. E é no diálogo que emerge dessa ação e dessa reflexão que há o enriquecimento de ambas.
O terceiro grupo a apresentar-se era composto por Luciane, Valéria S. e Viviane, que elaboraram o seguinte cartaz:
Figura 20 – Registro do cartaz do grupo Luciane/Valéria/Viviane sobre a atividade de multiplicação.
Na apresentação, Luciane assim comenta:
Todas nós fizemos pelo método tradicional.
Depois também fizemos o 23 + 23, que também dá 46. Mas vimos que esse jeito só é bom quando são contas pequenas, quando tem "um número aqui" (número de apenas um algarismo no multiplicador), porque, se for mais, vai ficar repetindo muitas vezes o mesmo número, o que traz dificuldade para a criança fazer.
Viviane: Quando fizemos a multiplicação por 2 algarismos, a gente
não encontrou o porquê daquele mais que coloca na conta. Ficou essa
Naquele momento, um outro grupo manifestou-se, dizendo que tinha encontrado essa justificativa. Optamos, então, por esperar a explicação desse grupo, quando chegasse seu momento de apresentar a síntese.
Valéria S. posicionou-se, dizendo que perceberam a importância de usar todos os recursos: o algoritmo, o lápis, o papel e também contar nos dedos. Conforme relata, tiveram dificuldade de fazer a operação usando o cálculo mental, mas, com o algoritmo com lápis e papel, ficou mais fácil.
Luciane: Não entendo como a Valéria faz a multiplicação nos dedos, porque pra gente é somar nos dedos, né?
Valéria: Se ela me perguntar quanto é, por exemplo, 7 X 5. Aí eu vou: 7; 14; 21; 28 (a cada quantidade falada, aponta um dedo). Até chegar ao resultado. Elas já não, falam o resultado direto, têm ele na cabeça. E quando eu não sei, eu uso o papel, vou fazendo a tabuada no papel. A possibilidade de expor as idéias e de questionar as colegas amplia a compreensão dos processos de aprendizagem percorridos por todas as envolvidas. Favorece também à aluna que expõe suas idéias refletir sobre os processos que utiliza, ao operar aritmeticamente.
O próximo cartaz era das alunas Juliana, Eliane e Maria Salete. Maria Salete comenta o cartaz:
Usamos o CONCRETO. E também desenhos (referindo-se aos traços verticais), como fez a Eliane.
23 + + x 2
46
Outra coisa que a gente pensou foi na tabuada.
Quando fazemos a conta em pé, já temos a decoreba da tabuada e a gente pode estar se utilizando disso.
23 3 x 5 = 15
x 5 2 x 5 = 10
115
Nesse caso, as alunas ainda não verbalizaram que o 2 x 5 seria o produto de 2 dezenas vezes 5 unidades, ou seja, de 20 por 5. Salete continua:
Isso fica confortável para a criança fazer a conta.
Com a tabuada não precisa ficar fazendo a soma. Seria um processo mais adiante para a criança. Faço 3 x 5 = 15. Transformo as 10 unidades em dezena, como a gente aprendeu. Daí 2 x 5 que dá 10, com uma dezena do 15, dá 11 e o resultado é 115.
A Juliana fez a conta 23 x 12 da esquerda para a direita e ficou assim: 23 x 12 23 46+ 483
Salete: Pra mim, porque nós conversamos muito sobre isso no grupo, tá claro, mas não sei se consegui explicar pra vocês. A professora pode ajudar.
Professora: Uma pergunta: Esse 1 (do 12) significa o quê? Alunas: Dez.
Professora: Uma dezena, 10, vezes 3 unidades (do 23), vai dar 3 dezenas, ou o 30. Então o que seria melhor colocar ali naquela casa, embaixo do 2?
Alunas: O 230.
Percebemos que a Salete tinha razão ao notar a dificuldade das colegas em compreender a multiplicação envolvendo dezenas e unidades. O grupo dela, a exemplo do que tínhamos feito na adição e subtração, quis iniciar a multiplicação pela ordem da esquerda do multiplicador, nesse caso a dezena. No entanto, não atentaram para o fato de que o resultado deveria ser em dezenas e não em unidades, como o fizeram, pois, ao multiplicar o “1” do “12” do multiplicador pelo 3 do multiplicando, multiplicavam uma dezena por 3, o que resultaria em 3 dezenas ou 30. Dessa forma, o 3 não poderia ser colocado na ordem das unidades, como por elas foi feito.
Nesse momento, conseguimos dar sentido para “o recuar” das casas, quando fazemos a multiplicação por números com mais de um algarismo.
Salete: Essa foi a regra que nos saltou aos olhos.
Registraram em seu cartaz a seguinte afirmação, que chamaram de REGRA: Quando tiver mais que um multiplicando, obrigatoriamente tem que começar a multiplicação da direita para a esquerda.
Embora pudéssemos interferir naquele momento para questionar a validade da regra, optamos por não fazê-lo, acreditando que outros grupos poderiam fazê-lo. Esta hipótese confirmou-se, pois outras apresentações “derrubaram” a regra do grupo, como ocorreu mais adiante, com a participação de Salete. Além disso, os registros anteriores e
Ficamos pensando por que que não deu certo. Achamos assim: na multiplicação, sempre quando a gente multiplica uma dezena por um número, ela não vai ficar na casa da unidade, ela vai ficar uma casa acima da unidade. Se multiplicar um número que é dezena ou centena, não fica na unidade. Por exemplo, o 1 do 12 ele é dezena e se multiplicar pelo 3 vai ficar 30 e não 3. Então não pode colocar na casa das unidades.
suas apresentações já tinham mostrado que havia possibilidade de pensar e resolver as multiplicações sem necessariamente efetuá-las “da direita para a esquerda”.
Como se estabelecera desde o início o ambiente de cooperação investigativa, segundo o conceito de Alrø e Skovsmose (2006), continuávamos percebendo o que esses autores, amparados em Freire (1979), destacam:
Há uma importância das relações interpessoais para o diálogo. [...] um diálogo não é uma conversação como outra qualquer. Dialogar é um elemento fundamental para a liberdade de aprender. A noção de diálogo é inerente a conceitos como “empowerment” e “emancipação”, e, a partir dessa perspectiva, Freire traça uma conexão entre a qualidade das relações interpessoais e o potencial de engajamento das pessoas em ações políticas. Ele define o diálogo como o encontro entre pessoas, a fim de “dar nome ao mundo”, o que significa conversar sobre os acontecimentos e a possibilidade de alterar o seu curso. [...] Dialogar não pode existir sem amor (respeito) pelo mundo e pelas pessoas, e ele não pode existir em relações de dominação (p. 14).
A seguir trazemos o cartaz realizado por Juliana P., Juliana G., Mônica e Sandra, bem como os comentários do grupo acerca do trabalho realizado:
As alunas assim comentaram seu cartaz:
Trabalhamos primeiro com a decomposição dos números, levando em consideração a noção de unidade, dezena, etc.
Ex: 23 20 dezenas/ 3 unidades.
multiplicamos por etapas e depois somamos os resultados. Ex: 23 x 2 30x2= 40 e 3 x2=6 40+6= 46
Se o aluno possuir uma noção das tabuadas pelo menos as mais simples, como 1, 2, 5 e 10, ele fará automaticamente, sem precisar decompor os números.
Descrição dos procedimentos:
23 x 5 Primeiro multiplicamos 5 x3 e, como a tabuada do 5 já está impregnada em nossa mente, o resultado já vem automático, que é 15, depois multiplicamos o 20 vezes o 5, que também o resultado vem automático que é 100, conseqüentemente somamos o 100 mais 15, que é igual a 115.
23 x 12 Primeiro decompomos os dois números que ficaram 20 e 3, 10 e 2; em seguida multiplicamos 20 vezes 10, que é igual a 200; depois 20 vezes 2, que é igual a 40; depois 3 vezes 10, que é igual a 30; e 3 vezes 2, que é igual a 6. Por fim, somamos todos os resultados 200 + 40 = 240 240 + 30 = 270 270 + 6 = 276. Nesse relato aparece a importância de “saber a tabuada”. As expressões das alunas: a tabuada está impregnada na nossa mente ou o resultado vem automático, parecem trazer de volta as memórias de suas aprendizagens iniciais e do trabalho intenso que normalmente é dedicado à memorização das tabuadas, mesmo que seja pelo
menos com as mais simples como 1, 2, 5 e 10, conforme declararam as alunas.
Mendes e Delgado (2008) destacam como é usual a preocupação com a memorização das tabuadas para a aprendizagem da multiplicação.
É habitual considerar-se que a aprendizagem da multiplicação depende essencialmente da memorização das tabuadas. Afirmações do tipo: “Não sabe multiplicar porque não sabe tabuada” ou “têm que aprender as tabuadas antes de começar a multiplicar” são afirmações muito comuns e idéias que estão habitualmente presentes na abordagem da multiplicação. [..] A idéia é a de que os alunos à medida que vão evoluindo no nível de aprendizagem vão constituindo os produtos que constituem as tabuadas (p. 164).
A discussão de decorar ou não a tabuada foi posta nesse momento. Alguns relatos foram associados com “chamadas orais”, competições e castigos que ficaram registrados nas memórias das alunas. No entanto, muitas delas comentaram ser importante decorar a tabuada. Para nós, conforme afirmamos para as alunas, saber a tabuada, de um lado, pode ser importante, pois facilita o trabalho com o cálculo escrito e
mental das operações aritméticas. Porém, de outro lado, mais importante do que responder rapidamente um resultado de multiplicação ou “ir bem na chamada oral”, é compreender o processo da multiplicação e as idéias que estão embutidas nela.
Muitos dos conceitos que a multiplicação envolve emergiram nas discussões dos grupos. Mas também emergiram outros aspectos que nos fazem refletir. Por exemplo, no cartaz de Margareth, Melissa e Valéria R., que apresentamos a seguir, as alunas comentam terem se incomodado quando, fazendo a multiplicação pela distributiva, o sinal de vezes desapareceu.
As alunas assim explicaram seus registros: para o 2 3 X 1 2
(2 0 + 3 ) X ( 1 0 + 2 ) =
200 + 40 + 30 + 6 = Neste passo, o X sumiu.
240 + 36
Como explicar para a criança o sumiço,
o “sono do X”? (sic) Ficou só a adição.
Professora: Não é que o X some. A multiplicação foi feita e o que ficou faltando foi somar os diferentes produtos realizados. Isso também acontece no algoritmo tradicional, depois que fazemos as multiplicações na "conta em pé", somamos as parcelas que ficou sob o traço da igualdade.
Ao final da apresentação, discutindo com as demais colegas da classe, perceberam que a multiplicação (o “X”), estava realizada na primeira etapa de seus
raciocínios, na primeira etapa da “distribuição” dos produtos. Ao final, restaram as somas para completar a operação, fato que também acontece com o algoritmo tradicional.
Simone, que realizou a tarefa juntamente com Amanda e Kátia, apresentou o seguinte relato de seu grupo :
Fizemos a conta “posicional” e também a distributiva. Mas, quando tem 2 algarismos no multiplicador, a gente não conseguiu pela distributiva.
x 2 Aplicamos a distributiva, mas para a conta 23 x 2:
2 3
46 2 x 2 3 = 46 ou ( 20 e 3 ) x 2
Mas a Kátia fez invertendo. A que era 23 x 2 ela fez 2 x 23. Isso por causa da prática de observação dela. Algumas crianças queriam fazer assim e a professora não deixou, dizendo que não dava certo. Mas ela fez e deu certo.
Nós procuramos aprender quais são as muitas formas que podemos fazer para ensinar de maneira que as crianças possam utilizar uma dessas ou ainda alguma que elas mesmas possam arrumar para resolver o exercício.
Na exposição de Simone transparece de forma mais evidente um aspecto oportunizado por esse tipo de atividade: a resolução de operações aritméticas, que a princípio parecia ter caminho único e não merecer discussão, ao longo da realização dos trabalhos foi se desvelando, apresentando muitas alternativas e caminhos diferentes. Algo semelhante também foi observado por Barbosa, Silva e Barros (2008):
Nos momentos de socialização das atividades realizadas, quando cada grupo coloca suas conclusões, podemos observar como existem diferentes maneiras ou estratégias para desenvolver e validar uma única atividade. Isso nos possibilita mudar nossa concepção sobre os modos de fazer Matemática em sala de aula. (BARBOSA; SILVA; BARROS, 2008, p. 237).
Trouxemos o registro individual de Beatriz para a mesma tarefa, pela riqueza de detalhes da aluna, ao explicitar seu raciocínio:
Figura 23 – Registro individual da Beatriz sobre a atividade da multiplicação.
Beatriz assim explica seus procedimentos:
A operação 23 x eu resolvi multiplicando o no 2 com o no 3 e depois o
no 2com o no 2. Já a operação 23 x 12 eu multipliquei o no 2 com o no
3 e depois com o no 2 e só depoiso no 1 com o 3 e o no 2. No final eu
somo unidade com unidade , dezena com dezenas e centena com