Possibilitar a experiência formativa é possibilitar uma aventura, a aventura da viagem, da travessia. [...] Uma viagem que possibilite uma leitura de mundo, a busca de sentidos. [...] As narrativas trazem as experiências que fazem sentido às professoras e que podem produzir novos sentidos, abrem possibilidades para novas experiências. (Adair M. Nacarato)
Neste capítulo, descreveremos as atividades realizadas em sala de aula na disciplina Ensino Aprendizagem de Matemática A (1º semestre de 2007), ao mesmo tempo que vamos desenvolvendo a análise dos dados na busca do tratamento de nossa questão central de investigação.
Iniciamos o semestre com a leitura do texto O contrato didático e currículo oculto: um duplo olhar sobre o fazer pedagógico (SILVA; MOREIRA, 1996). Inicialmente, foi solicitada a leitura desse texto e a seguir o exploramos em aula. Na discussão, fomos construindo na lousa, a partir dos destaques que as alunas apontavam, um mapa conceitual. Juntas, em aula, elaboramos o mapa da primeira parte do texto, ou seja, sobre o conceito de contrato didático. Foi solicitado que as alunas fizessem, para a aula seguinte, o mesmo trabalho, relativo à segunda parte, sobre o conceito de currículo oculto.
A leitura desse texto e a elaboração coletiva do mapa conceitual de “contrato didático”, de certa maneira iniciaram o estabelecimento de um “contrato didático” entre a professora e as alunas da turma. Pudemos discutir sobre os procedimentos que adotaríamos nas aulas, sobre o comprometimento com o curso. Numa outra perspectiva, as alunas resgataram aspectos dos
Questões como o tratamento do erro nas aulas; os castigos impingidos quando não acertavam as chamadas orais; as lições erradas; e as idas à lousa, que causavam sentimentos vexatórios, vinham à tona nas discussões. Era com esse contrato que tínhamos a intenção de romper; e, em seu lugar, edificar outro, em que a participação era imprescindível, errar era permitido e fazer perguntas e indicar sugestões eram cláusulas irrevogáveis.
Nossa proposta era a de um trabalho não usual em aulas de matemática nos cursos de graduação. Queríamos que, com a participação das alunas, pudéssemos despertar nelas um sentimento de compromisso com a sua formação. Daí a utilização de estratégias como as narrativas em diários, a elaboração de mapas e de textos diversos. As autoras Jaramilo, Freitas e Nacarato (2005), comentando sobre um trabalho realizado com estratégias diferenciadas num curso de formação de professores de matemática, assim relatam:
Essas atividades, realizadas num curso de formação de professores de Matemática, mostraram-se importantes no sentido de provocar os alunos, futuros professores, a sistematizar suas idéias matemáticas de outra maneira que difere da linguagem predominantemente técnica e simbólica. Essa forma de trabalho exige estratégias de expressão que parecem ser benéficas para a formação do profissional de ensino de Matemática, uma vez que exige do aluno uma reflexão profunda sobre o seu modo de pensar. (JARAMILO; FREITAS; NACARATO, 2005, p. 174)
Quando nos dispusemos a trabalhar com as alunas, utilizando tarefas diferentes daquelas que foram acostumadas a empregar em sua aprendizagem inicial de matemática, buscávamos não apenas motivá-las, mas também possibilitar que vivenciassem a (re)construção de conceitos, o que foi possível a partir da escrita de narrativas.
Parece haver um consenso de que a motivação do aluno para o envolvimento em tarefas propostas está diretamente relacionada à riqueza da tarefa ou da atividade apresentada. As tarefas que possibilitam a produção de significados matemáticos podem variar quanto à complexidade e duração; podem envolver situações que partam da motivação dos próprios alunos, como podem ser criadas e instigadas pelo professor; podem ocorrer em forma de projetos, de jogos, ou com a utilização do laboratório de Matemática. (JARAMILO; FREITAS; NACARATO, 2005, p. 182)
Apresentamos a seguir o mapa do Contrato Didático que fizemos coletivamente e o do Currículo Oculto, feito por Andréia e socializado para a classe.
Figura 3
– Mapa sobre CONTRATO DIDÁTICO elaborado pela professora-pesquisadora conjuntamente
com as alunas
→ De forma $)Contrato didático
→
→→
→ ;
$
<
# = # $ Sofre influência de fatores externos Funcionários Dá resposta a situações inesperadas 8 $ +Contrato Didático só ocorre quando há adesão de ambas as partes (mesmo que
silenciosamente). alunos Indissociabilidade Contrato Didático Conhecimento Nem tudo é combinado a priori Pais Administrador Professores Alunos APRENDER
Figura 4
– Mapa sobre CURRÍCULO OCULTO elaborado pela aluna Andréia
estão ligados Currículo Escolar>
8
4 > Mensagens de comportamento Implícito/Sistema de ensino ligado ao professor Ligado ao Contrato Didático Cognitivo 1 1 ' ; Afetivo Social
Para as alunas, conforme suas primeiras indicações a respeito dessas aulas, a leitura desse texto as fez refletir sobre a dinâmica das aulas de matemática que tiveram na educação básica. Andréia traz alguns aspectos de sua compreensão sobre o texto:
O contrato didático é realizado na organização escolar, na relação do professor e do aluno, onde nele há determinadas regras, cláusulas (que podem se fazer continuamente); nem tudo é a priori (nem tudo já é combinado), há fatores externos (que muitas vezes pode ser uma adesão silenciosa). O conhecimento e o contrato didático estão sempre ligados (Andréia).
Para Valéria R., a primeira experiência com o mapa conceitual, aquele feito na lousa pela professora com o auxílio das alunas, não foi muito interessante.
Confesso que achei um pouco confuso – sou do tipo de pessoa que gosta de tudo bem detalhado – escrito! Senão eu me perco. Acho que é por isso que tenho dificuldade em matemática – ninguém escreve o caminho do raciocínio (Valéria R.).
Em sua narrativa, Valéria R. aponta-nos mais um argumento relacionado à escrita, quando reflete sobre suas dificuldades relacionadas à matemática. Acredita que a escrita sobre o processo de raciocínio utilizado poderia auxiliar a superação de algumas dificuldades com esta disciplina.
Na narrativa da aula seguinte, a mesma aluna discorreu sobre como percebeu o texto. Para essa aula, levamos os dois mapas conceituais em transparência, o que, para ela, deixou a discussão mais organizada. Sobre o conteúdo do texto e o que ficou a partir das discussões feitas em classe, assim escreveu:
Foi bem interessante a aula: entendi que existe um contrato didático nas relações de ensino-aprendizagem professor-aluno / professor- direção / professor-coordenação / escola-pais e que tudo isso acaba por determinar ou influenciar o trabalho em sala de aula. Na verdade, acho que todas as relações humanas têm contratos preestabelecidos e aceitos por todas as partes envolvidas; já o currículo oculto são todos os valores (não somente regras de comportamento), as crenças, os desejos e expectativas que individualmente existem por parte do professor – que além de transmitir a nós o conteúdo explícito da disciplina, acaba muitas vezes influenciando os alunos também em suas opiniões e crenças, interferindo na formação da personalidade de cada um – para o bem ou para o mal. Então me pergunto: é possível sermos imparciais enquanto professores e nos livrarmos de nossas convicções? Conseguimos não julgar alguém ou alguma situação sem sermos cruéis em algum momento? Acho bem difícil, talvez refletindo sobre tudo isso possamos ser professores mais compreensivos e menos injustos (Valéria R.).
Em suas afirmações, percebemos a reflexão que faz sobre o espaço escola e também sobre a atuação do professor nesse espaço e na construção do contrato didático e do currículo oculto. Além disso, indica sua preocupação com a própria formação de professora, com a importância de fazer opções relacionadas às interferências que as ações dos professores exercem sobre os alunos.
Com esses primeiros registros das alunas acerca da leitura realizada, começou a despontar o potencial da escrita nas aulas. Escrever sobre o vivido levava à reflexão e proporcionava um momento de repensar aspectos muitas vezes pouco aprofundados sobre a formação inicial e a formação de professores que estava sendo constituída na vida daquelas alunas.
A partir do que escreveram sobre o texto, sobre suas inquietações relacionadas à disciplina e das respostas ao questionário e também observando as suas ações no primeiro mês e meio de aula, começamos a delinear o que poderia ser desenvolvido na continuidade dos trabalhos. Esse planejamento processual das ações pedagógicas e da investigação foi uma característica que se manteve ao longo de todo o semestre.
No final de março, com a vinda da autorização do Comitê de Ética da Universidade para a realização da pesquisa e conhecendo melhor as alunas integrantes do grupo, foi possível iniciar as ações da pesquisa de maneira mais efetiva. A primeira ação foi apresentar a proposta de trabalho com as narrativas das aulas. Ao aceitarem essa proposta, cada aluna recebeu um caderno para registrar suas impressões sobre as aulas, tanto as observações que se referiam aos conteúdos trabalhados, quanto as sensações que lhes acometiam durante a realização dos trabalhos.
Os cadernos de narrativas: cadernos de memórias
Na aula seguinte, entregamos um caderninho brochura para cada aluna, no qual as alunas colocaram seus nomes; batizaram-no de “caderno de memórias”.
A opção por utilizar os cadernos de memórias deveu-se ao fato de que as escritas das narrativas de formação das alunas, bem como seus relatos a partir das ações realizadas no curso de Pedagogia, durante as aulas da disciplina “Ensino-Aprendizagem de Matemática”, poderiam contribuir para a sua formação como futuras professoras de matemática para os anos iniciais de escolarização. Considerávamos que partir da
vivência dos envolvidos, buscando indicar práticas diferentes, vivenciadas nas aulas e compartilhadas com os colegas e com a professora, proporcionaria uma experiência diferente das já conhecidas pelas alunas.
Nessa direção, aproximamo-nos da proposta de Nóvoa (1992, p.2) de que, quando trabalhamos na perspectiva de formação crítico-reflexiva de professores, buscamos, entre outros aspectos, o seu desenvolvimento pessoal e profissional.
Era esperado que, na escrita das alunas, quando refizessem suas trajetórias como alunas do Ensino Fundamental e também quando narrassem suas vivências nas aulas de “Ensino-Aprendizagem de Matemática”, tivessem oportunidade de desfazer alguns nós de sua aprendizagem. Muitas vezes esses nós são produzidos pela pouca oportunidade de participação nas aulas, pela insegurança em perguntar as dúvidas, pelo medo de errar. Como relatamos anteriormente, havia um constrangimento de muitas delas no que se referia às dificuldades que carregavam na bagagem estudantil. Com as narrativas, começavam a construir outros elos com o trabalho relacionado à matemática e produzir novos saberes direcionados à sua compreensão e ao fazer de professoras, na direção dos caminhos que seguiriam no futuro, após formadas.
Nos dizeres de Larrosa (2004),
O homem se faz ao desfazer: não há mais do que risco, o desconhecido que volta a começar. [...] Não sejas nunca de tal forma que não possas ser também de outra maneira. Recorda-te de teu futuro e caminha até a tua infância. E não pergunte quem és àquele que sabe a resposta, porque a resposta poderia matar a intensidade da pergunta e o que se agita nessa intensidade. Sê tu mesmo a pergunta. (p. 41).
Para nós, as narrativas deveriam favorecer estes aspectos: que buscassem, muitas vezes de forma arriscada, inquietações interiores, que estão desconhecidas porque não permitimos que venham à tona. Mas não na perspectiva de conhecê-las, de identificá- las; na intenção de (re)construí-las ou (re)significá-las. Quem sabe seria possível, a partir das narrativas nas aulas da Pedagogia, um (re)conhecer de si no que se refere às aprendizagens de conceitos matemáticos.
As tarefas que indicamos para serem realizadas e sobre as quais falaremos mais adiante deveriam permitir que aflorassem os questionamentos até então encobertos pelo desencorajamento a que muitas foram submetidas quando buscavam os porquês dos procedimentos matemáticos.
Também a professora-pesquisadora realizava suas narrativas das aulas. Convém, entretanto, lembrar que, por mais que o relato fosse elaborado com fidelidade, ele é fruto de um recorte, de um diálogo entre o que a autora pensava no momento da escrita e seus estudos e leituras anteriores. Consideramos importante dar visibilidade ao que se encontrava subjacente. Junto ao recorte feito pela pesquisadora, está o foco da pesquisa, o que se pretendia pesquisar, articulado com as ações observáveis que fizeram sentido.
Feitas essas ressalvas, prosseguimos nosso relato sobre as aulas seguintes. Na organização das dinâmicas de aulas, ao mesmo tempo que respeitávamos os aspectos anunciados no programa, buscávamos ir ao encontro das inquietações das alunas, do que era possível perceber nas interlocuções entre as participantes: professora e alunas.
Passamos, agora, a descrever e analisar os trabalhos realizados mais especificamente sobre os conteúdos matemáticos e seu ensino. Em cada trecho traremos falas das alunas, excertos de suas narrativas individuais e/ou coletivas, cartazes e outras produções. A seqüência das atividades foi a seguinte:
a) o sistema indo-arábico e o trabalho com o ábaco; b) a atividade do cálculo mental;
c) a atividade envolvendo a adição; d) a descoberta do material dourado; e) a adição e a subtração no ábaco; f) as reflexões sobre a subtração;
g) os jogos como auxílio na aprendizagem da adição e da subtração; h) a multiplicação;
i) a tão esperada divisão.
Iniciando o trabalho com os conteúdos matemáticos: os números, o sistema indo-arábico
Estabelecidas algumas cláusulas de nosso “contrato didático”, propusemos uma discussão inicial sobre o que as alunas conheciam a respeito da história dos números. Comentaram saber que na antiguidade os povos não sabiam contar. Fizemos algum
resgate dessa história, explorando as idéias subjacentes aos registros nas cavernas e da necessidade inicial do homem em controlar as quantidades a partir da correspondência biunívoca entre objetos. 6
Para melhor explorar essa idéia, foi apresentado às alunas o jogo Kalah. Este jogo é realizado a partir da idéia da correspondência biunívoca. Apresentamos a elas o tabuleiro e também as regras (Anexo 2). Jogaram em duplas e, em seguida, compartilhamos as experiências, registrando na lousa as impressões que tiveram. Destacaram ser esse um jogo de estratégia, que proporcionava ações de correspondência: uma pedrinha para cada orifício do tabuleiro. Como utilizamos um tabuleiro para cada duas duplas de alunas, foi possível que discutissem entre as duplas as estratégias para as jogadas. Verificaram que seria essa uma atividade possível de realizar até mesmo com crianças pequenas, que não possuíam ainda o recurso da contagem, pois apenas o processo da correspondência biunívoca era suficiente para participar do jogo. Outro aspecto que emergiu nas socializações posteriores ao término do jogo referiu-se às atitudes das jogadoras. O mais importante era buscar a melhor estratégia para cada jogada, independentemente de considerar se beneficiava a própria dupla ou a dupla adversária. A boa jogada favorecia a organização de estratégias interessantes e proporcionava aprendizagens a todos os participantes.
Essas relações feitas a partir do jogo utilizado em ações de aula proporcionaram a reflexão da professora em formação e podem permitir a elaboração de estratégias que se farão presentes em suas práticas futuras. O fato de vivenciarem como alunas proporcionou construir, na experiência, conceitos para a própria aprendizagem nessa circunstância e também para os saberes docentes que se iam constituindo.
Avançando na direção da história dos números, apresentamos dois outros sistemas de numeração: o romano (já conhecido da maioria) e o dos egípcios. Solicitamos uma análise comparativa entre esses sistemas e o indo-arábico.
Através das comparações, as alunas foram dando destaques para as características do sistema indo-arábico: é chamado de Sistema de Numeração Decimal, em decorrência dos agrupamentos de dez em dez; embora o sistema egípcio também fosse decimal, o indo-arábico vai além, é posicional; em função da característica de ser
6 Desde o princípio havíamos combinado que todas deveriam participar das atividades que seriam
propostas; resolvê-las algumas vezes individualmente, outras em grupos, diversificando os pares; escrever as narrativas das atividades em classe; perguntar, sempre que houvesse dúvidas, tendo a convicção de que ninguém sabe tudo; opinar, sem medo de errar ou de ser depreciada por motivo algum. Essas eram
posicional, houve a necessidade do zero para representar a coluna vazia.
Aprofundando-se nos estudos, perceberam outras vantagens do nosso sistema, como por exemplo: com apenas dez algarismos é possível registrar qualquer quantidade. Prosseguindo na compreensão desse sistema, exploramos, com a utilização do ábaco, a construção de números em outras bases, o que trouxe às alunas bastante desconforto. Primeiro, porque poucas conheciam o ábaco e a maneira de utilizá-lo. Depois, porque estavam muito atreladas ao sistema decimal, e para trabalhar com outras bases seria necessário temporariamente abandonar a idéia dos agrupamentos de dez em dez. Perceberam, nessa experiência, que agrupar quantidades e transformá-las em outra ordem não é algo tão natural assim. O que fazemos com a base dez é realizado de forma automática, sem reflexão, decorada, muitas vezes, quase sempre sem a devida compreensão.
Analisemos os registros produzidos por alguns grupos sobre o trabalho com o ábaco.
O grupo cujos registros são apresentados na Figura 5 começou a perceber, a partir do trabalho com o ábaco, o significado de “base” em um sistema. Com a possibilidade de trabalhar livremente, de ser questionado e rever o que fez anteriormente, sem ter um sentimento de frustração com o que anteriormente era chamado de “erro”, o grupo comentou de modo mais compreensivo a passagem de uma forma de raciocinar (sistema posicional de base 10) para outra (sistema posicional de base 2).
Figura 5 – Registro do grupo de Beatriz/Cíntia/Juliana/Tayná sobre o trabalho com o ábaco
Na Figura 6, temos os procedimentos de outro grupo. Nos registros aparece o que de alguma maneira ocorreu em quase todos os grupos: o sistema decimal, a base dez, está muito impregnado nas nossas ações diárias. Todas as contagens e cálculos que fazemos são realizados a partir dele. Deixar de lado tal raciocínio para pensar em outra base, mesmo que em um exercício específico, mostrou-se tarefa difícil. Aproveitamos, então, para discutir as possíveis dificuldades das crianças quando entram em contato com “as trocas” no sistema decimal. Talvez essas inquietações ocorridas com o trabalho na base dois se assemelhem ao desconforto inicial das crianças das séries iniciais.
Figura 6 – Registro do grupo de Bruna/Maria Salete/Viviane sobre o trabalho com o ábaco
O grupo destacou a diferença percebida pelas alunas entre o registro concreto (aquele feito no ábaco) e o escrito. Chamaram as ordens, nas diferentes bases, pelos nomes das ordens na base dez (dezena, centena). Houve um estranhamento do grupo, que também percebemos em outras alunas, no que se refere ao trabalho com bases não decimais.
Outras impressões foram narradas por Andressa, Simone, Valéria R. e Valéria S. em seu relato, como é possível perceber pela Figura 7, a seguir:
Figura 7 – Registro do grupo de Andressa/Simone/Valéria R./Valéria S. sobre o trabalho com o ábaco
Os sentimentos registrados pelas alunas nessa narrativa não são diferentes daqueles comentados por outras da turma. É possível que as sensações que apontaram tenham relação com as experiências vivenciadas na infância.
Chacón (2003) comenta que os alunos, muitas vezes, reagem diante de situações que envolvem a matemática na sala de aula com:
[...] rajadas quando a atividade os faz lembrar da situação vivida, quando se deparam com determinados conteúdos matemáticos com os quais tiveram problemas, quando a figura do professor os faz lembrar situações negativas anteriores ou quando a concepção da matemática não coincide com a concepção “mecanicista” que interiorizaram. (CHACÓN, 2003, p. 123)
Nos escritos das alunas encontramos tais “rajadas” de frustração e desânimo. Inicialmente, manifestaram suas crenças acerca do ensino de matemática, bem como as marcas por ele deixadas na sua trajetória inicial de aprendizagem. Para essas alunas,
além das dificuldades encontradas no trabalho com as outras bases, também ocorreram dificuldades mais comuns nos trabalhos em grupo. Era o início de uma experiência com essa possibilidade, envolvendo uma área em que, na maior parte das vezes, o trabalho é individual, depende mais da atenção do aluno às instruções dadas e da reprodução; da utilização do caderno e lápis, como indicado pelas alunas, do que da interpretação e da troca de informações com os pares ou do uso de materiais manipulativos.
Segundo as indicações das alunas envolvidas, o trabalho com o ábaco