8:2 7:3 24:5 128:6 164:12
Individualmente:
a) Resolva cada uma das operações de mais de uma maneira.
b) Tente escrever com palavras a forma que utilizou para resolver duas delas. c) Explique os procedimentos que utilizou e tente justificá-los.
d) Diga como esse procedimento seria utilizável em qualquer situação de divisão. Em equipe (trios ou quartetos):
a) Elejam uma redatora e uma relatora.
b) Apresentem individualmente às colegas o trabalho que cada uma realizou e abram espaço para que seja problematizado e explorado pela equipe.
c) Destaquem procedimentos para os quais atentaram e não tinham observado anteriormente.
d) Confeccionem cartaz com as principais etapas da investigação. e) Apresentem o trabalho à classe para discussão.
maneiras diferentes de pensar, uma vez que organizar grupos para resolver atividades já era, naquele momento, prática comum em nossas aulas. Após a socialização das resoluções individuais para as colegas do grupo — foram formados dez grupos —, as alunas elaboraram cartazes, indicando as sínteses do que foi discutido nos grupos. As apresentações e a discussão aconteceram na aula seguinte.
Iniciamos apresentando quatro cartazes dos grupos relacionados a esta tarefa, seguidos das considerações sobre os registros neles contidos e sobre as conversas.
.
Figura 28 – Cartaz do grupo Caroline/Juliana/Valéria R. sobre a atividade de divisão
Figura 30 – Cartaz do grupo Camila/Tayná sobre a atividade de divisão.
Seguem algumas considerações escritas nos cartazes e anunciadas pelas alunas, com os diálogos que ocorreram entre as integrantes do grupo, as demais alunas da classe e a professora, durante a socialização dos cartazes.
Camila e Tayná registraram em seu cartaz:
Na nossa opinião, em qualquer operação de divisão, é necessário o uso da multiplicação.
Um outro grupo de alunas:
Com número pequeno, usar bolinhas (no caso da divisão de 8 por 2).
Assim:••••••••••
Um terceiro grupo de alunas: Chave: 8 2 04 •• •• •• ••
Dividimos o maior pelo menor, onde o quociente é o número mais próximo que, multiplicado pelo divisor, é igual ou próximo ao dividendo.
O resultado é 2, dois grupos de quatro bolinhas.
E continuaram:
Agrupamento:
Quantos agrupamentos de dois cabem em um conjunto de oito? São 4.
Na exposição desse terceiro grupo de alunas, verificamos que elas agruparam as unidades de duas em duas, diferentemente do grupo anterior, que agrupou de quatro em quatro. Embora oito possa significar dois grupos de quatro ou quatro grupos de dois, verificamos aqui uma dupla interpretação para a expressão 8:2, a saber: distribuir 8 unidades em 2 grupos (cabendo 4 elementos em cada grupo) ou distribuir 8 unidades em grupos que contenham 2 elementos cada um (resultando em 4 grupos). No segundo caso, temos a situação “quantos 2 cabem em 8?”. E essa parece ter sido a interpretação do terceiro grupo de alunas, pois, de maneira coerente com essa interpretação, armaram de outra maneira a mesma divisão. Ou seja, depende da idéia que se usa para a divisão. Respaldando-nos novamente em Dolk (2008), a divisão do todo em grupos menores, ou divisão por medida; ou pela adição sucessiva de parcelas iguais, utilizando o processo longo da divisão (quantos 2 cabem em 8).
8 2 -2 1 6 1 -2 1 4 1 . -2 4 2 -2 0
O próximo grupo de alunas a relatar suas conclusões, demonstrou uma interpretação para a divisão semelhante ao segundo grupo:
Resolvemos da forma mais prática que aprendemos na escola, procurando sempre a divisão certa e exata para cada conta, ou seja, 8 : 2, pode ser 8 balas para 2 crianças, é igual a 4 para cada criança. As alunas destacam aqui um aspecto com o qual constantemente se deparam. As divisões utilizadas para o ensino dessa operação geralmente são previamente concebidas de maneira que não haja resto. Tais procedimentos enfatizaram a visão absolutista da
matemática, presente nos contextos escolares.
Mas o mesmo grupo, ao tentar outra forma de operar, defrontou-se com a seguinte situação:
Não conseguiram, segundo seus relatos, perceber onde estava o erro. Iniciaram explicando da seguinte maneira:
Começamos dividindo o 8 pelo 2 e deu 2. Tirando 4 do 8, ficaram 4. Dava para dividir novamente. Quatro por 2 dá 2, e dá resto zero. Por que deu o resultado errado [22]?
Questionamos a sala a esse respeito. Por um momento, todas ficaram intrigadas com o ocorrido. Até que uma aluna assim interpretou:
Foi colocado 22, ao invés de 2 x 2. E outra:
Na verdade é 2 +2, e não 22. Estamos dividindo uma unidade. [..] O número (o primeiro 2) é unidade e o outro também é unidade. Quando divide unidade por unidade, dá unidade. Então são 2 unidades mais duas unidades. Deveria ter colocado um número embaixo do outro. Nesse momento comentamos:
Tem uma coisa muito importante que se deve fazer ao socializar uma tarefa: discutir com o grupo o que “não estaria correto”. Olha o que discutimos: Quando divido unidade, não pode dar dezena. Se dividirmos duas vezes unidades, teremos unidades mais unidades. No momento da discussão da tarefa no grupo, as alunas já haviam estranhado o resultado e perguntaram qual era o problema com o exercício. Solicitamos que registrassem e dissemos que conversaríamos melhor com toda a classe. Argumentamos, na hora da exposição, a importância de não termos naquele momento inicial categorizado o exercício como errado. Provavelmente apagariam o exercício e teriam
privado o grupo todo dessa exploração e reflexão. Ou ainda, de forma mais negativa, muitas vezes o professor, além de decretar o exercício como errado, desqualifica o aluno e seu trabalho. Isso pode levar a um sentimento de incapacidade em relação à matemática, fenômeno encontrado em muitas das memórias iniciais dessas alunas. Em nossa concepção, essa interlocução e essa reflexão são fundamentais tanto para a significação do conceito matemático quanto para a formação profissional do professor
8 2
4 4 0
que irá ensiná-lo aos jovens e crianças.
Interessante notar que o uso constante e sem reflexão do algoritmo impregna o raciocínio dos alunos, impedindo-os de verificar que, se lançarem mão de outros processos (como no caso do exemplo anterior), a técnica não se torna mais utilizável. Ou seja, colocar um número à direita do outro seria formar um número com dezena e unidade. No entanto, foi possível perceber uma feição de alívio no semblante das alunas daquele grupo, pois havia uma saída para aquela situação. O “erro” estava na interpretação das respostas, o que, aliás, como dissemos a elas, ocorre com freqüência com as crianças das séries iniciais do Ensino Fundamental. Saber tratar o erro como caminho na busca do correto é importante estratégia de ensino.
Pinto (2005), em seu trabalho acerca do tratamento do erro na sala de aula, reflete que o erro, sobretudo nas aulas de matemática, tem sido encarado como negativo, como algo a ser eliminado. Na perspectiva da autora, ele deve ser usado de maneira construtiva, possibilitando a organização de um caminho que indica o percurso correto a seguir. No nosso caso, tratava-se de um “erro” na interpretação do resultado, decorrente da forma de representação do número de grupos distribuídos nas subtrações sucessivas.
Em outra exposição, uma equipe de alunas apontou, para as divisões mais simples, dois caminhos: o convencional e o não convencional.
82 - 8 4 0
Utilizando o segundo exemplo, 7 ÷ 3, o grupo assim trabalhou, com a maneira
não convencional, segundo suas afirmações:
7 ÷ 3 =
(3 + 3 + 1) ÷ 3 = 1+1+0,3=2,3
Este grupo optou por decompor o número em parcelas menores, para fazer a divisão, somando os resultados das divisões parceladas. Na sua exposição oral, as alunas comentaram terem usado o recurso da decomposição dos números, tal qual já havíamos trabalhado nas outras operações matemáticas.
Procuramos decompor o número para facilitar e depois dividimos pelo divisor; logo, somamos os resultados da divisão. Forma convencional: verifica com a multiplicação 4x2=8
Para a terceira divisão 24 ÷ 5, fizeram as seguintes considerações: 245
-204,8 40
0
As alunas começaram suas explicações:
A gente fez assim: que número que multiplicado por cinco dá 24 ou perto do 24? Dá 4. Aí fizemos 4 x 5, que dava 20, tirando de 24 dá 4. Aí 4 não divide o cinco, então coloca a vírgula e vai o zero. Aí ficou: 40 dividido por 5 fica 8 e o resto é zero. Mas por que coloca a vírgula e vai o zero?
Outra aluna do grupo tentou responder, fazendo uma pergunta: Porque multiplicou por dez, então divide por dez? Outra aluna, ainda:
A gente ficou pensando se era pra multiplicar por 10 e depois dividir o resultado por 10. Mas achamos que isso seria “sem noção” (sic), e pra criança ficaria ainda mais difícil, e não conseguimos então pensar em nada.
Nesse relato, percebemos também outro fator: o da preocupação com a forma de ensinar para as crianças. É o pedagogo em formação, buscando sentidos e significados para um conceito, na busca de compreender para si e para o trabalho docente que pretende realizar. No entanto, por trás dessa preocupação, muitas vezes está o próprio desconhecimento diante do algoritmo. O curioso é que, no comando da tarefa, não havia indicativos de que se tratava de uma tarefa para a aula, para as próprias alunas. Mas as futuras professoras não se comportaram como alunas diante da tarefa, e sim como alguém diante da tarefa de ensinar.
Com as argumentações de um outro grupo (Beatriz, Eliane e Geovana), foi possível esclarecer a questão do “colocar o zero e a vírgula”.
O cartaz dessas alunas recebeu um título: É COMPLICANDO QUE SE DESCOMPLICA. A seguir, a imagem desse cartaz e as considerações das alunas.
(O destaque sombreado é das alunas.) Multiplica-se o divisor até chegar a um resultado igual ou menor que o dividendo.
4 24 8 x 5 - 20 x 5 20 4 40
Figura 31 – Cartaz do grupo de Beatriz/Eliane/Geovana sobre a atividade de divisão.
Buscaram a compreensão para a divisão “depois da vírgula”. Conseguiram expor para a turma que as 4 unidades que restaram da divisão 24 por 5 poderiam ser transformadas em 40 décimos, assim como “4 dezenas” podemos escrever “40 unidades”. Aí a divisão se torna possível; 40 décimos por 5 unidades são 8 décimos. Os décimos têm que ser registrados após a vírgula, que separa a parte inteira da decimal. Então resultam 4,8. Com a apresentação desse grupo, pareceu-nos que muitas alunas conseguiram compreender a divisão por decimais. As alunas desse grupo também usaram desenhos para auxiliar na compreensão da divisão, como podemos observar no cartaz.
Passando agora aos comentários da atividade referente à divisão 164 ÷ 12, seguem alguns destaques indicados por Camila e Tayná.
Quando tem divisor por dois algarismos, há mais dificuldade. Então fazemos a multiplicação do ladinho.
Outro grupo chamou essa multiplicação de prova real. Voltaram a relatar o ocorrido:
Quando estávamos no grupo eu disse que faço assim porque foi do jeito que aprendi.
16412 4413,666 80
8
Camila justificou sua ação assim: 16412
04 13,6... 4 + 4
8
Um dilema para nós foi entender a vírgula e o porquê dos números após ela. Nós sabemos que tem que transformar o número, mas não sabíamos como acontece e como explicar para a criança. De todas as transformações, essa é a mais difícil até para nós. A gente ficou muito perdida. Agora entendemos melhor, com o que o outro grupo falou, mas ainda achamos complicado ensinar para as crianças.
Este grupo mais uma vez trouxe à tona a importância da socialização dos procedimentos, dos raciocínios, das estratégias que ocorrem nos ambientes de aula. O que não havia ficado claro para aquelas meninas, quando do seu trabalho no grupo, foi esclarecido pelas colegas da equipe que as antecedeu na apresentação. E mais: ficou a percepção de que, ao investigar, podemos encontrar saídas para as nossas inquietações, sobretudo quando investigamos em grupos.
A socialização do que foi discutido nos grupos trouxe significado para as dificuldades que muitos sentiram durante o início da atividade. Novamente percebemos a potencialidade de solicitar o registro das atividades e sua socialização como fontes de (re)construção de conceitos matemáticos.
Com as discussões realizadas nas aulas sobre a divisão, muitas alunas superaram a não-compreensão do algoritmo da divisão, encarado por elas como o de mais difícil compreensão. Como argumento para essa dificuldade, apoiamo-nos em Rocha e Menino (2008), que assim a justificam:
12 12 12 12 12 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 24 36 48 60 72 44 80 - 36 - 72 8 8
Esse quatro (assinalado na operação), não é 4, mas é 40. Ele representa 4 dezenas. Isso também dá mais segurança
para a criança, entende que o 4 que desceu do 16, não é 4,
mas 40. Então, 40 dividido por 12 é 3 e sobram 4. Juntando com as 4 unidades do número, temos 8 para dividir.
[...] por um lado, [o algoritmo] trabalha contra o sentido do número, já que não é necessário que os alunos olhem para o dividendo como um todo, mas sim que trabalhem com os dígitos de cada ordem separadamente; e, por outro, porque a forma como é vulgarmente ensinado não contribui para o desenvolvimento de um pensamento algorítmico (p. 195).
Além disso, há a indicação de que se chegue à resposta exata em cada passo, o que comumente não é feito nas situações-problema em que utilizamos a divisão no nosso cotidiano. O mais comum é buscar as aproximações, estimar o resultado.
Terminadas as exposições, os grupos indicaram suas conclusões para o trabalho realizado. Eis alguns depoimentos:
- Não sei como cheguei até aqui sem saber a divisão.
- Ao trabalharmos das diferentes formas, foram estimuladas nossa percepção, a possibilidade de fazer a divisão a partir da soma/subtração/decomposição.
- É possível usar maneiras não convencionais.
- Favorece também o cálculo mental, trabalhar com outras formas que não a convencional.
- Usar o agrupamento e a decomposição do número deixa mais compreensível entender o que queremos dividir.
E também alguns questionamentos:
- Como explicar para a criança a posição do número depois da vírgula? - Existe o “empresta” na divisão?
- Qual a maneira mais fácil de se ensinar a divisão?
Essas discussões e conclusões das alunas revelam-nos as marcas da matemática escolar. Nos procedimentos utilizados, práticas e discursos presentes no ensino dos algoritmos foram observados: a forma de encaminhar o raciocínio do aluno, as perguntas que são feitas e a forma de fazer as representações. São os “pedaços banalizados de linguagem técnica”, aos quais se refere Larrosa (1995, p.231). Nessas falas, manifestaram-se novamente dúvidas e incompreensões já reveladas nas escritas das memórias: a dificuldade da divisão por dois algarismos, a não-compreensão dos porquês (porque coloca a vírgula e vai o zero; entender a vírgula e os números após
ela; existe o empresta para a divisão?).
Ao final da atividade, solicitamos que as alunas escrevessem sobre sua aprendizagem a partir do estudo desenvolvido. Destacamos a seguir alguns relatos:
ter dúvidas com a divisão no Ensino Fundamental, na 5ª e na 6ª série, era uma vergonha (Monique).
- Nas nossas aulas tive oportunidade de rever e aprender novos métodos [...] Acho muito importantes as socializações e discussões sobre os assuntos, pois assim é possível aprender vários métodos e perceber que não existe só um jeito de fazer matemática. (Valéria)
- Fiquei muito feliz quando começamos a trabalhar com as operações, em especial com a divisão, pois eu resolvia sem saber por que fazia (Simone).
- A minha relação com a matéria melhorou muito, pois aquele medo de estar fazendo algo errado não existe mais (Juliana).
- Um método simples e muito eficaz de se manter o que foi aprendido vivo na memória é ta (sic) escrevendo e relendo as narrativas do que foi dado em classe e as atividades realizadas (Juliana).
Pudemos constatar que as práticas envolvendo a escrita das memórias e das narrativas, a discussão dos saberes iniciais acerca do conceito de divisão e a reelaboração desses saberes auxiliaram essas alunas na compreensão do conceito de divisão. E, dessa forma, talvez muitas das marcas deixadas por um ensino de matemática que não permitiu significar os procedimentos que realizaram nos primeiros anos escolares começaram a ser superadas, permitindo uma aprendizagem para a docência.
Concordamos com Chacón (2003) que o ambiente foi fundamental para que marcas negativas fossem superadas. Para a autora,
o ensino e a aprendizagem não acontecem em um âmbito isolado e neutro, mas dependem do contexto no qual se ensina e do comportamento dos participantes. O professor também tem um papel de possível modelo de atuação. [...] cada professor adota em sala de aula uma série de decisões e de atitudes que traduz suas idéias sobre o que é, para que serve e como se aprende matemática sem esquecer sua própria predileção para um ou outro conteúdo ou para determinado tipo de atividade. (CHACÓN, 2003, p. 147)
Tanto o ambiente como as estratégias de trabalho também mereceram destaque de outras alunas. Algumas delas fizeram comentários sobre a estratégia do trabalho nos trios e a socialização do que foi elaborado pelos grupos.
- É muito importante a socialização dos trabalhos. Os conhecimentos/experiências se cruzam, há trocas, complementos. Mudou totalmente meu conceito tradicional de matemática. Nunca poderia imaginar que essa matéria poderia ser dada/aprendida dessa forma. E um ponto importante é sistematizar, registrar para refletir o que aprendemos.
- Essa experiência com a matemática na graduação abriu um leque com várias opções de trabalho que poderei seguir no decorrer da minha
formação, pois o que era um bicho de sete cabeças, hoje é apenas algo que “posso, consigo” passar para meus futuros alunos.
- A relação com os colegas me acrescenta outras formas de se fazer a mesma conta, a respeitar pensamentos diferentes. E é legal que todas nós possuímos dificuldades, mesmo que sejam diferentes. Aí verificamos que nossos pensamentos são importantes.
Essas alunas viveram a possibilidade de valorização de seus saberes a partir da organização de suas experiências iniciais. E a oportunidade de trabalhar em grupos, vivenciando as experiências das colegas, foi fator de auxílio.
As marcas do trabalho realizado
Com as atividades envolvendo a divisão, terminamos o semestre. E, no final dele, a aluna Tayná veio despedir-se da turma, pois voltava para a Bahia para morar com os pais. Deixou em seu caderno de memórias a narrativa que segue:
Estou muito triste ao escrever isso. [...] A transferência para a Bahia já está em andamento. Mas estou sentindo muito em deixar este curso. Principalmente quando vi que lá (na Bahia) eles só têm matemática no 6º semestre. Você não faz idéia do quanto essa disciplina foi importante na minha vida. Em cinco meses, perdi o medo da matemática que eu carreguei comigo durante toda a vida escolar. É como se tivesse tirado um peso enorme de mim. Antes quando tinha prova de matemática passava mal a semana inteira. E olha que engraçado, hoje eu falo: “como é gostoso aprender matemática”. Não vou dizer que é fácil, mas só de fazer sentido as operações e eu compreender o porquê das coisas, já fico completamente feliz (Thayná).
Interpretamos, da narrativa da Tayná, que a possibilidade de conversar com as colegas e a professora sobre suas dificuldades; de participar de diferentes experiências com as operações aritméticas; de perceber que tinha dúvidas semelhantes às das colegas e que ter dificuldades iniciais não significava falta de competência para entender matemática — tudo isso lhe proporcionou essa alegria. Alegria de ter-se transformado, neste processo, e de ter mudada sua relação com a matemática.
Voltamos a concordar com Alrø e Skovsmose (2006), quando, apoiados em Freire, destacam que, se a aprendizagem é baseada no diálogo, ela acontece de forma diferente; poderá ser significativa, pois será favorecida pelo apoio nas relações com os
demais. E, estudando em que sentido o diálogo favorece qualidades críticas de aprendizagem, assim escrevem:
Por um lado, aprender pode estar voltado para um propósito socioeconômico particular. O processo pode ter sido definido em função dos conteúdos e das competências exigidas pela sociedade “produtiva”. [...] Por outro lado, aprender pode significar aprender para a cidadania; e cidadania exige competências que são importantes para uma pessoa participar da vida democrática e para desenvolver a cidadania crítica. (ALRØ; SKOVSMOSE, 2006, p. 140)
E continuam indicando a importância de estabelecer associações entre educação matemática e democracia. A educação matemática, em seus princípios, apresenta sintonia com ideais democráticos. Mas, por vezes, segue outros caminhos, apresentando características não democráticas, principalmente quando se trata do ensino tradicional de matemática, onde se apresenta a crença da necessidade de “acreditar nos números”, aliada à indicação que um dado problema deve ser resolvido a partir de um único procedimento e terá uma única solução. Não é assim que ocorre na vida real, o que torna essa matemática uma “patologia” (ALRØ; SKOVSMOSE, 2006, p. 142).
O que buscamos, e que foi percebido por Tayná, foi dar oportunidade para que, num ambiente de cooperação reflexiva e investigativa, todos se tornassem inseridos nas propostas de aprendizagem, trazendo suas contribuições e suas dificuldades, (re)construindo conceitos matemáticos e construindo saberes pedagógicos.
Em paralelo com as práticas reflexivas exploratório-investigativas realizadas em aula, solicitávamos leituras de textos relativos à educação matemática que pudessem contribuir para aprofundar as reflexões feitas durante as aulas e também oferecer recursos para a construção de saberes para a docência. Entre eles, destacamos os textos de Brocardo, Serrazina e Kraemer (2003) e de Cebola (2002), centrados na compreensão dos algoritmos e do sentido dos números. Os estudos sobre a utilização dos jogos no ensino da matemática basearam-se em Grando (2004). Utilizando o texto de Pinto (2000), refletimos sobre o tratamento do erro no ensino das operações