Vocês deverão fazer oralmente as atividades que se seguem, contando para os colegas os passos que estão seguindo para realizar a tarefa. Uma de cada vez comentará a maneira que raciocina, enquanto outro colega fará o registro em uma folha para entregar. Todas deverão comentar seus processos e todos os processos deverão ser registrados. Não se importem se está certo ou errado. Caso alguém verifique que seu procedimento deve ser refeito, não apague a primeira tentativa; escreva a segunda após o que aconteceu primeiro e identifique por que mudou de opinião.
1. Operação 1: como você resolve “de cabeça” essas operações?
27 + 13 ; 52 + 18 ; 74+ 16 ; 58 + 32
2. Faça o mesmo agora para:
27 — 13 ; 27 — 18 ; 55 — 16 ; 78 — 14
3. Agora, o mesmo com as operações:
5 x 25 ; 6 x 14 ; 9 x 12 ; 4 x 33
4. Mais uma:
42 : 3 ; 38 : 12 ; 95 : 6 ; 78 : 4
5. Ao final, comentar as vantagens, as desvantagens e as potencialidades de registrar a forma como pensou.
recursos escritos ou ainda com o auxílio de calculadoras ou computadores. Para as diferentes situações que se apresentam, cabe avaliar qual a melhor estratégia ou ferramenta a ser utilizada.
Porém, naquele momento, interessava-nos a abordagem do cálculo mental, evidenciando que não o entendíamos como estratégia que envolvesse raciocínio rápido e resposta correta.
Da mesma forma que Parra (1996), “entendemos por cálculo mental o conjunto de procedimentos em que, uma vez analisados os dados a serem tratados, estes se articulam, sem recorrer a um algoritmo pré-estabelecido para obter resultados exatos ou aproximados.” (p. 189).
O cálculo mental, naquele momento, serviria para clarear nossa intenção de indicar que não há necessidade da utilização de uma única maneira/técnica/algoritmo de resolver as operações matemáticas. Dito de outra forma: ao nos depararmos com situações de cálculo, entendemos ser importante eleger, em função do que se apresenta — os números e as operações —, um procedimento que seja adequado àquele que está operando e ao estágio em que a pessoa se encontra. Isso significa que a melhor maneira para resolver um cálculo, para uma pessoa, não necessariamente o será para outra.
Na realização da atividade foram constatados tais aspectos, como veremos a seguir. As considerações das alunas sobre esta tarefa, aqui trazidas, foram retiradas das folhas que utilizaram para sua resolução. As impressões dos cadernos de memórias estarão no final desses comentários.
Juliana Santos, ao registrar o cálculo de Beatriz, comentou que a colega fez o cálculo de cabeça, mas utilizou a técnica para confirmar o resultado. Quando somou o 4 com o 6, por exemplo, só ficou segura que dava 10 quando viu o número 1 do 10 “subindo”. Podemos observar, na atitude de Beatriz, como verificamos nas ações e comentários de outras alunas, que somente o algoritmo aprendido na escola lhe permitiu a confirmação de um resultado. Novamente nos deparamos com as crenças que se enraizaram nos procedimentos das alunas e constatamos que elas apresentam dificuldade para questionar ou para agir de outra maneira.
Também foi utilizado, em todas as operações, o procedimento de contar nos dedos, recurso que, como denunciado por muitas delas, era proibido na escola.
Beatriz também usou a tabuada. Juliana seguiu relatando que, para a divisão, a colega “imaginou” a conta na chave e verificou quantos de um cabem no outro para finalizar a conta. Juliana descreveu os processos usados por Beatriz para a divisão “42 :
3”, da seguinte maneira: ela imagina a conta e o 3 dentro da chave. Depois começa a
ver se a tabuada do 3 tem quatro. Como não tem, ela vê que sobra um e desce o 2, assim finaliza a conta.
Por sua vez, Beatriz, ao escrever os raciocínios de Juliana G., relatou praticamente todos os passos verbalizados pela colega. Por exemplo, na subtração “27 — 18”, ela registrou:
Para subtrair o número 7 do 8 [sic: seria 8 do 7] ela percebe que não dá, por isso ela imagina o “empréstimo”, corta o[número] 2 e vai 1 para o [número] 7, ficando 17. Aí ela conta nos dedos quanto falta do 8 até 17, depois ela lembra que como o 2 emprestou 1 na subtração, com o 1 do número 18 fica zero.
Para a multiplicação “5 x 25”, ela assim escreveu:
Para multiplicar 5 com 5, ela imagina o 2 [do 25] “indo” do lado do 5 (do número 25) e depois sobe (na imaginação) o número 2 para somar. O resto é automático. Já no 6 x 14, ela encontra dificuldade por não saber de cabeça quanto dá [6 x 4]; para resolver ela multiplica o 6 com o 2 [6 x 2 a aluna sabe que é 12] e do 12 ela vai somando 6, e depois mais 6, até chegar em 24 [resultado de 6 x 4]. A dupla finalizou dizendo: Tanto ela quanto eu não conseguimos fazer só na
imaginação, é necessário “rabiscar” para obter os resultados.
A ação de relatarem uma para a outra os procedimentos utilizados permitiu-lhes buscar os processos que realizavam mentalmente e organizar o pensamento. Retomando Smolka (1993), a fala para si, a fala interna, não precisa ser organizada, pois o assunto já é conhecido. Porém, na fala externa, na fala para o outro, há necessidade de planejar o que vai ser dito. Com isso, as alunas precisavam esclarecer para a colega o modo de pensar, o que as obrigava a desvendar os próprios caminhos que utilizavam em seus cálculos. Além disso, nesse movimento tornava-se também possível que a aluna que registrava o pensamento da colega adquirisse, incorporasse novos procedimentos.
Bruna relatou os processos utilizados por Maria Salete. Assim escreveu: 58 + 32 8 + 2 é = 10; 50 + 30 = 80; 80 + 10 é = a 90.
78 — 14 4 — 8 = 4, desculpa, é 8 – 4 que é = 4; reserva. 70 – 10 é = 60, então o resultado da conta é 64.
4 x 33 4 x 3 é = a 12; então fazendo a conta, hã... o 10 do 12 passou para a outra casa, foi promovido. Espera que eu estou olhando na minha cabeça, não deu, vou ter que escrever para ficar mais concreto. Salete faz a conta no papel, 3 x 4 = 12; com 1 que foi para a outra casa, 13. É igual a 132, porque é a mesma coisa que 33 + 33 + 33 + 33.
78 : 9 É um pouco mais chato, 4 x 10 = 40, guardo o 40. 4 x 9 vai dar 36, guarda porque estou pensando quantas vezes cabe o 4 no 78. Então cabe 10 x 4 = 40, mais 9 x 4 = 36. Não, ta errado! Era para
dar 78. Uma outra colega, a Mônica, alerta que seu raciocínio não estava errado, então o resultado é 19 e sobram 2. A Bruna disse que não pode sobrar, então coloca uma vírgula do lado do 9. Aí fica assim: 19,5 é o resultado, porque 5 x 4 = 20, que é o que restou, agora zerou.
Tal registro, escrito com riqueza de detalhes, reproduziu cada passo do raciocínio utilizado por Maria Salete. Percebemos o quanto o algoritmo fica impregnado no cálculo mental e que há dificuldades de a aluna realizar as operações sem empregar o algoritmo. Também notamos o quanto as alunas se dedicaram à realização da atividade. Procuraram não deixar escapar nenhuma das etapas percorridas pelas colegas. Observamos, ainda, a interação entre os elementos do grupo: quando Maria Salete apresentou-se confusa, as colegas vieram em seu auxílio, ajudando-a a interpretar seu raciocínio mental.
Outro aspecto que nos parece ter sido favorecido com a estratégia usada — resolver e contar para o outro o caminho percorrido — pode ter sido o conhecimento das alunas acerca do campo numérico. Ao refletirem sobre as operações, surgiram tratamentos diferenciados de relações matemáticas. Retomamos o que fez M. Salete e que Bruna registrou: 58 + 32 8 + 2 é = 10; 50 + 30 = 80; 80 + 10 é = a 90.
Ao somar as unidades do número 58 com as do número 32 e depois as dezenas desses números, as alunas usaram, de forma intuitiva, as propriedades associativa e comutativa da adição8.Talvez pudéssemos ter explorado melhor a utilização desses recursos, o que potencializaria a compreensão da operação. Naquele momento tal oportunidade não foi por nós percebida, mas consideramos ser importante problematizar, refletir e analisar o fato de que a decomposição dos números, associada às propriedades da adição, permite a compreensão do algoritmo da operação no sistema decimal, além de facilitar a sua resolução.
Thaísa e Camila relataram que armaram a conta em pé, mesmo na imaginação. Em metade dos registros das alunas encontramos o mesmo procedimento apontado por Thaísa e Camila. Também a maior parte das alunas escreveu em seus relatos que não conseguiu realizar a divisão a partir do cálculo mental. Porém, em todos os apontamentos apareceram afirmações acerca da vantagem do trabalho com o cálculo mental e da necessidade de verbalizar o cálculo realizado. Comentaram ainda sobre as dificuldades de registrar o cálculo da colega.
8 Consideramos que, embora intuitivamente, as alunas fizeram associações e comutatividades, como: 58 +
A instigação oferecida pela atividade envolvendo o cálculo mental, ao mesmo tempo que permitiu a lembrança do aprendido, proporcionou a (re)construção dos conceitos até então emaranhados, referentes às operações aritméticas fundamentais. E as alunas, ao discutirem os nós e os desembaraços, construíram novos saberes, inclusive aqueles que lhes possibilitariam uma aprendizagem do saber docente.
Enfatizando a importância da escrita como estratégia de ensino nos aspectos que envolvem a matemática, apoiamo-nos em Powell e Bairral (2006), no sentido de que a escrita força os interlocutores a refletir diferentemente sobre sua experiência matemática. Ao produzirmos escritas, é possível desenvolver o senso crítico (p. 26).
Os mesmos autores destacam que “matematizar é um processo construtivo, fortalecido pela interação pessoa-grupo, no qual as idéias matemáticas constituem diferentes significações.” (p.15). Constitui-se em processo natural de qualquer pessoa e pode ser desenvolvido a partir da tomada de consciência de experiências com conceitos ou acontecimentos matemáticos.
Tal processo é importante na formação dos professores. Há a necessidade do saber para si e do saber que se vai transmitir a outros ou possibilitar que seja construído.. O saber que permitirá convencer o outro. Ou melhor, através daquilo que temos construído em nós, favorecemos a construção daqueles com os quais interagiremos na profissão docente.
Utilizando estratégias diferenciadas em aulas de matemática, como a escrita dos processos que costumamos realizar através de algoritmos escritos ou mentais, podemos proporcionar outras formas de reconstruir o pensamento matemático e ampliar o conhecimento acerca do que está sendo estudado. Nas palavras de Powell e Bairral (2006):
Quando incorporamos atividades de escrita na aula de matemática, aplicamos de maneira diversificada um importante princípio pedagógico: o aprendizado é otimizado quando os alunos refletem criticamente sobre suas experiências matemáticas, reagindo a situações matemáticas e questões que são pessoais e de seu próprio arbítrio. (p. 74)
O registro escrito de um raciocínio mental, contado para outra pessoa, exigiu esforço da aluna que relatava seu processo de cálculo e da outra aluna que interpretava e precisava registrar, com a escrita, o pensamento da colega. Esse esforço ficou enunciado nos registros de algumas delas, como podemos acompanhar a seguir:
Eu acho ruim registrar porque tem que ficar parando para pensar e, quando eu faço a conta, eu faço mecanicamente, porque falando em voz alta eu me perco (Juliana C.).
Eu achei vantagem não utilizar as regras básicas como colocar um número embaixo do outro e realizar as operações. A desvantagem é que falando em voz alta, o raciocínio se perde, pois mentalmente
acontece automaticamente (Juliana P.).
Falando em voz alta, causou discussão no grupo, pois cada um opina sobre o raciocínio do outro. Esse exercício mostrou como estamos acostumados a registrar nossos cálculos. No início me senti numa chamada oral, como antigamente. Mas foi interessante e divertido (Paula).
Em outros depoimentos, é possível observar que as dificuldades foram superadas pelas vantagens percebidas pelas alunas, como podemos notar nos relatos que se seguem. A dupla Valéria S. e Kátia assim comentou a atividade e ressaltou a diversidade de percurso que cada uma utilizou na solução da operação:
Foi importante registrar a forma como cada uma raciocinou, porque pensamos diferente. Resolvemos as operações de formas diferenciadas. A Valéria, por exemplo, utilizou os dedos para chegar do 37 ao 40. [...] Foi ótimo para verificarmos na prática as variadas possibilidades de resolução de operações (Valéria S. e Kátia). Bruna e Luciane revelaram que, ao ouvir a colega, foi possível perceber que, para fazer o mesmo cálculo, há maneiras diferentes, algumas delas até mais simples; também comentaram a dificuldade que tiveram para registrar o raciocínio da colega e para verbalizar o próprio processo mental:
A vantagem é que vimos as diferenças. Percebemos que há maneiras de calcular que algumas têm e que as outras não conheciam. Tem métodos até mais fáceis de calcular. Também percebemos como é difícil registrar o raciocínio do outro, porque nem sempre acompanhamos o pensamento dele. Também é difícil de verbalizar o raciocínio. E para algumas foi difícil esperar o raciocínio da colega, querendo muitas vezes impor o seu raciocínio ao colega (Bruna e Luciane).
Juliana C. ficou satisfeita com a atividade e assim escreve:
Eu achei esse exercício muito legal porque, mais uma vez, tive a oportunidade de exercitar o meu raciocínio, coisa que não faço com muita freqüência. Achei mais difícil fazer a divisão (Juliana C.). A seguir, trazemos alguns dos registros das alunas, encontrados em seus cadernos de memórias:
[...] Achei muito interessante, pois estudei em escola tradicional onde não podia contar usando os dedos, e nesta atividade algumas colegas usaram os dedos e chegaram ao mesmo resultado, usando
processos diferentes. Bom saber que futuras professoras não impedirão seus alunos de chegar ao resultado por diferentes caminhos (Valéria S.).
Valéria S. era uma das alunas menos jovens da turma. Iniciou o curso depois que sua filha havia se formado na faculdade. Como acompanhou o percurso escolar da filha, buscando auxiliá-la em suas dificuldades, tinha sempre um olhar mais atento na resolução das atividades, buscando superar aquelas dificuldades vivenciadas tanto na sua formação inicial, quanto na da filha. Ao mesmo tempo, procurava delinear caminhos para a futura ação como professora.
Juliana G. e Bruna perceberam ser possível resolver por diferentes caminhos uma mesma operação e o quanto essa diversidade pode ser positiva. Ao mesmo tempo, sentiram alargarem-se as possibilidades de organização de raciocínio ao ouvirem e respeitarem as proposições das colegas:
[...] Percebi duas coisas nessa aula: como ainda tenho dificuldades com os cálculos e o quanto eu e minha colega somos diferentes (Juliana G.).
[...] Foi bem interessante, pois o raciocínio da Mônica é diferente e bem mais fácil para calcular, eu nunca tinha pensado em fazer dessa forma. Eu não tenho paciência para esperar minhas colegas raciocinarem e foi um exercício difícil para mim, fiquei muito ansiosa devido a isso, na aula de hoje (Bruna).
Valéria R. apresenta suas angústias relacionadas às dificuldades com os cálculos. Além de sentir-se insegura quando não se apoiava no cálculo escrito, também destaca as restrições que as dificuldades de raciocínio lhe trazem nas situações do cotidiano. Comenta os aspectos do convívio social nos quais os cálculos se inserem:
[...] Na atividade de hoje, além de verbalizar nossos raciocínios, tivemos que escrever os dos colegas. Me senti um pouco angustiada, pois quando os números são maiores e mais complexos eu sinto dificuldade — prefiro fazer escrevendo no papel. Teve uma pessoa no grupo que só conseguiu resolver no papel. Entendi perfeitamente a dificuldade dela, pois quase tive que fazer a mesma coisa. Lembrei de uma situação que eu vivo diariamente e que me deixa muito nervosa: quando compro alguma coisa e recebo troco, nunca confiro, pois tenho medo e vergonha de errar e passar por uma situação desagradável. Não consigo nem defender os meus direitos por conta da ansiedade e acho que isso é reflexo das ocasiões em que fui exposta de maneira inadequada em sala de aula. O que me surpreendeu na atividade foi observar que existem variadas maneiras de raciocinar, maneiras fáceis inclusive, mas que a gente não
consegue desenvolver por estar sempre condicionada àquele raciocínio formal que nos foi passado (Valéria R.).
Como observamos nos trechos de narrativas das alunas, a importância da atividade deveu-se a alguns fatores que possibilitaram romper com estigmas que as alunas trouxeram de suas vivências com a matemática. Um deles refere-se ao “contar nos dedos”. Algumas alunas comentaram que essa prática não lhes era permitida na escola básica. Discutimos quais seriam as causas dessa proibição. Novamente volta a impressão de que saber calcular mentalmente deveria significar, para os professores daquelas alunas, ter boa memória. Mas buscamos ponderar que não há nada de errado na utilização dos dedos para resolver cálculos. Ao contrário, esse pode ser um interessante recurso para a resolução de cálculos aritméticos básicos.
As discussões ocorridas em classe proporcionaram às alunas a percepção de que, diferentemente de suas concepções iniciais, a matemática permite processos diferentes para a resolução das operações aritméticas. Revelaram, ainda, que o erro acontece, é esperado e não define a capacidade das pessoas. Nesses registros iniciais, começamos a perceber que escrever sobre seus caminhos, sobre as ansiedades que trazem na bagagem escolar pode favorecer a superação dessas ansiedades e permitir às alunas a elaboração de novos conhecimentos.
As práticas formativas, embora não possamos declarar que sejam definitivas para definir a caminhada docente daquelas alunas, proporcionaram a reflexão sobre os processos utilizados pelas alunas para calcular, mostrando que há algoritmos diferentes para uma mesma situação; e permitiram, também, perceber o erro como caminho para a busca de compreensão do pensamento matemático. Tais percepções só foram possíveis a partir das dinâmicas utilizadas durante a prática formativa.
Na formação inicial das professoras, entendemos como fundamental a reflexão comparativa entre suas concepções iniciais e as práticas que podem construir a partir das novas experiências. Isso dará oportunidade, por exemplo, para que se sintam preparadas e abertas para abordar os cálculos aritméticos a partir de uma multiplicidade de formas e processos.
Atividade envolvendo a adição
A próxima atividade a ser narrada e analisada teve como tarefa inicial a apresentada na Figura 9. Similarmente ao que foi proposto para o cálculo mental, a tarefa solicitava um trabalho específico com a operação adição. A diferença consistia em que, inicialmente, o trabalho fosse realizado individualmente. Solicitou-se que cada aluna registrasse sua maneira, a forma como realizava mentalmente a operação, e comparasse esse processo com o que havia realizado anteriormente. Depois, em duplas, deveriam identificar aproximações entre os procedimentos de cálculo de ambas.
As alunas desenvolveram a primeira etapa da atividade, algumas de maneira mais sintética, por vezes colocando apenas os resultados, e outras descrevendo detalhadamente os processos utilizados.
Convém destacar que o significado que propusemos para a resolução das operações, a partir do cálculo mental, relacionava-se aos procedimentos utilizados pelas alunas, a suas estratégias. Poderiam, talvez, indicar um valor aproximado para a situação. Enfatizávamos que não pretendíamos verificar a rapidez com que chegavam a uma resposta certa para determinada situação de cálculo.
Por vezes, indicamos a importância de aliar o cálculo mental e as estimativas. Era importante que as alunas percebessem que este é um aspecto rico e que, muitas vezes, é ignorado nas situações escolares. Estimar um resultado não significa resolver de forma incorreta uma operação; com freqüência, é suficiente o cálculo estimado.
Figura 9 – Roteiro de Atividade sobre Adição