UMA BREVE HISTÓRIA DOS NÚMEROS COMPLEXOS

A história contribui para esclarecer os movimentos e forças com que determinado conceito foi desenvolvido. É possível que o conhecimento sobre a dinâmica do surgimento de uma noção matemática possa produzir insights importantes que influenciem positivamente a didática dos professores. Com isso em mente, reuni aspectos históricos acerca do surgimento dos Números Complexos visando dar substância e argumentações que venham proporcionar apoio ao lado das teorias por mim eleitas.

Para Boyer (2010), os Números Complexos surgiram com os matemáticos algebristas italianos do século XVI. Esses matemáticos não tinham esclarecido os conceitos dos números negativos irracionais. Até o século XIX, alguns matemáticos ainda discutiam a existência dos números negativos.

Cardano (1501) havia proposto um método para resolver a equação do terceiro grau utilizando operações com Números Complexos considerando-os como se fossem números reais. No entanto, quando a equação possuía três raízes, esse método não atendia e ele acabava trabalhando de modo equivalente com raízes de natureza diferentes (reais e imaginárias).

Bombelli (1526-1572), discípulo de Cardano, introduziu a quantidade "piu di meno", que corresponde à 1, e anunciou as operações com este número. No século XVI, os matemáticos começaram a usar os Números Complexos, aplicando as regras dos números reais, e ficavam escandalizados e declaravam sua não existência ou que eram inúteis. A crença de que se poderia aplicar aos Números Complexos as mesmas regras do cálculo com números reais levou, por vezes, a enganos.

Boyer (2010), cita o Teorema Fundamental da Álgebra diz que toda equação da forma akxk +

... + a1x + a0 = 0, com a0, a1,..., ak Números Complexos, tem exatamente k raízes complexas,

Peter Rothe (?,1617), matemático de Nutemberg; em sua Arithmética Philosophica, de 1600. Ele afirma que uma equação tem no máximo tantas raízes quanto seu grau.

Além de Rothe, um dos primeiros matemáticos a se ocuparem com este teorema foi Albert Girard (1595-1632), em cujo livro L'Invention Nouvelle em Algèbre, 1629, lê-se que uma equação algébrica completa de grau "n", possui "n" raízes.

René Descartes (1596,1650), em seu La Géométrie, aceita que uma equação tem tantas raízes quanto seu grau, se forem admitidas raízes imaginárias. Descartes introduziu em seu livro a denominação números imaginários: "nem as raízes verdadeiras nem as falsas são sempre reais; por vezes elas são imaginárias". Para ele, enquanto as raízes negativas podem ser tornadas "reais" transformando a equação em outras cujas raízes são positivas, isto não pode ser feito com raízes complexas. Assim, para ele, essas raízes não são números.

D'Alembert mostrou, em 1747, que qualquer expressão algébrica de um Número Complexo a + b 1 é também um número da forma a - b 1. Expressão algébrica, para D'Alembert, incluía elevar um número complexo a uma potência complexa. Sua demonstração só não é correta para o caso (a + b 1) c + d 1_.

Em 1749, D'Alembert (1717-1783) apresentou a primeira tentativa de demonstração convincente desse teorema, que até hoje é conhecido como Teorema de D'Alembert. A demonstração de D'Alembert não mostra a existência de raízes da equação. Ele demonstra qual a forma das raízes, se elas existirem. O mérito do trabalho de D'Alembert foi o de divulgar os números complexos, pois nele encontra-se uma exposição da teoria dos Números Complexos e das funções complexas.

Euler (1707-1783), já no século XVIII, afirmou que 2 2= 4= 2, por analogia com a regra a b = ab válida para os números reais. O princípio de aplicar a novos objetos

algébricos as regras usuais do cálculo de números já conhecidos foi denominado, no século passado, "o princípio da permanência das formas" e foi utilizado, frequentemente, em álgebra, às vezes com resultados bons, às vezes, maus.

Ainda Boyer (2010) ressalta que com Euler, em 1749, as investigações atingiram outro nível. Em seu livro "Pesquisa sobre as Raízes Imaginárias de uma Equação", ele mostrou que, se a + b 1 é raiz de uma equação, então o mesmo acontece com a - 1. Ou seja, se uma equação tem uma raiz complexa, possui um fator da forma x2 _{+ kx + r. Ele mostrou, em}

seguida, que toda equação que possui grau ímpar tem pelo menos uma raiz real, e que uma equação de grau par ou não possui raízes reais ou possui pares de raízes complexas. Demonstrou, posteriormente, que todas as raízes não reais são da forma a + b 1. Para isso, foi necessário estudar as operações com Números Complexos, incluindo potências imaginárias, logaritmos de Números Complexos, funções trigonométricas de argumento complexo, entre outras maneiras.

No final do século XVIII, os matemáticos já se aventuravam a efetuar operações bem mais ousadas com Números Complexos. No entanto, uma indicação da posição ambígua mantida por eles em relação aos Números Complexos fica evidente pelo fato de que a Enciclopédia, organizada por D'Alembert e outros filósofos franceses, em seus artigos sobre Matemática mantém um silêncio prudente sobre estes números.

Laplace (1794-1827) atacou o problema de demonstrar o Teorema Fundamental de Álgebra, sem, contudo, conseguir uma prova aceitável. A primeira demonstração correta deve-se a Gauss (1777-1885), na qual utiliza propriedades topológicas da reta e do plano que não tinham sido ainda explicitadas em sua época. A demonstração de Gauss encontra-se em sua tese de doutoramento, de 1799. No trabalho, Gauss, além de apresentar sua demonstração, estuda as demonstrações precedentes de D'Alembert (1749), de Foncenet (1759) e de Lagrange (1772), todas elas insatisfatórias. Gauss ainda apresentou três novas demonstrações do Teorema Fundamental. Foi necessário o prestígio de Gauss para tornar conhecida e aceita a representação geométrica dos Números Complexos. Ele publicou suas ideias em 1831, referindo-se "a verdadeira metafísica das quantidades imaginárias"

A compreensão dos Números Complexos é importante na análise de circuitos de corrente alternada, pois a impedância, a tensão e a corrente são expressas mais adequadamente na forma de Números Complexos. A seguir, se fará á uma descrição dos conceitos, definições e

operações com uma visão voltada para a Engenharia. Aqui, o número imaginário é representado pela letra j, apesar de nos livros de matemática serem representados pela letra i.